2024八年级数学下册测练第18招特殊平行四边形的性质和判定的综合应用习题课件新版冀教版

第18招特殊平行四边形的性质和判定的综合应用冀教版八年级下

例典例剖析如图，正方形ABCD的边长为6.菱形EFGH的三个顶点E，G，H分别在正方形ABCD的边AB，CD，DA上，且AH＝2，连接CF.【解题秘方】特殊平行四边形的性质和判定的综合应用，就是从四边形边、角、对角线的特征进行判断和应用．解题的关键是作辅助线：过F作FM⊥DC，交DC的延长线于M，连接GE，构造全等三角形．(1)当DG＝2时，求证：菱形EFGH为正方形；证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠D＝∠A＝90°.∵四边形EFGH是菱形，∴HG＝EH.∵DG＝AH＝2，∴Rt△DGH≌Rt△AHE.∴∠DHG＝∠AEH.∵∠AEH＋∠AHE＝90°，∴∠DHG＋∠AHE＝90°.∴∠GHE＝90°.∴菱形EFGH为正方形．(2)设DG＝x，试用含x的代数式表示△FCG的面积．解：过F作FM⊥DC，交DC的延长线于M，连接GE，如图所示，则∠M＝90°.∵CD∥AB，∴∠AEG＝∠MGE.∵GF∥HE，∴∠HEG＝∠FGE.∴∠AEH＝∠FGM.类型1利用矩形的性质和判定巧求折叠中线段的长分类训练1如图，将矩形纸片ABCD的四个角向内折起，点A、点B落在点M处，点C、点D落在点N处，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形EFGH.若EH＝3cm，EF＝4cm，求AD的长．【点方法】此题利用折叠提供的角相等，可证明四边形EFGH为矩形，然后利用三角形全等来证明HN＝MF，进而证明HD＝MF，从而将AD转化为直角三角形EFH的斜边HF，进而得解，体现了转化思想．2折纸是我国传统的民间艺术，精美的折纸背后离不开数学原理，这吸引了无数数学教育工作者以折痕为研究对象，关注折法和折叠过程中所得平面图形的性质．如图，矩形纸片ABCD中，AB>AD.类型2

特殊平行四边形中的操作型问题(1)折叠矩形纸片ABCD，使点C落在线段AB上，折痕为BM.若AB＝2AD，直接写出点M的位置．【解】点M在CD的中点位置.【点拨】折叠矩形纸片ABCD，使点C落在线段AB上，折痕为BM.如图，由折叠的性质知，CB＝C′B，CM＝C′M.∵四边形ABCD为矩形，∴AD＝BC，AB＝DC.∵AB＝2AD，∴AB＝2BC＝2BC′.∴AC′＝BC′.∴点C′为AB的中点．(2)现要折出30°角，小明采用下面的方法．步骤一：对折矩形纸片ABCD，使AB与DC重合，得到折痕EF，把纸片展平；步骤二：再一次折叠纸片，____________________________________________________．请在横线上将步骤二补充完整，并证明所折出的角为30°.使点C落在线段EF上，折痕为BM，则∠CBM＝30°证明如下：如图，BM与EF交于点P，连接CP.∵对折矩形纸片ABCD，使AB与CD重合，∴EF∥AB∥DC，点E，F分别是AD，BC的中点．∴PF∥CM.∴点P为BM的中点，即BP＝PM.∵四边形ABCD为矩形，∴∠BCM＝90°，∠ABC＝90°.

∴PC＝PB＝PM.3[2023·永州]如图，已知四边形ABCD是平行四边形，其对角线相交于点O，OA＝3，BD＝8，AB＝5.类型3特殊平行四边形中的探究型问题(1)△AOB是直角三角形吗？请说明理由．(2)求证：四边形ABCD是菱形．【证明】由(1)可知，∠AOB＝90°.∴AC⊥BD.∴平行四边形ABCD是菱形．4如图，在正方形ABCD中，G是BC边上任意一点(不与B，C重合)，DE⊥AG于点E，BF∥DE，且交AG于点F.(1)求证：AF－BF＝EF.【证明】∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠BAD＝∠BAF＋∠DAE＝90°.∵DE⊥AG，∴∠AED＝∠DEG＝90°.∴∠DAE＋∠ADE＝90°.∴∠ADE＝∠BAF.又∵BF∥DE，∴∠BFA＝∠DEG＝90°＝∠AED.∴△ABF≌△DAE(AAS)．∴AF＝DE，AE＝BF.∴AF－BF＝AF－AE＝EF.(2)四边形BFDE是否可能是平行四边形？如果可能，请指出此时点G的位置；如果不可能，请说明理由．【解】不可能．理由如下：如图，连接AC，若要使四边形BFDE是平行四边形，已知DE∥BF，则当DE＝BF时，四边形BFDE为平行四边形．由(1)可知DE＝AF，∴BF＝AF，此时∠BAF＝45°.又易知∠BAC＝45°，∴点G与点C重合．与题中点G不与点C重合矛盾，∴四边形BFDE不可能是平行四边形．5阅读材料，然后回答问题：如果一个三角形和一个矩形满足条件：三角形的一边与矩形的一边重合，且三角形的这边所对的顶点在矩形这边的对边上，则称这样的矩形为三角形的“友好矩形”，如图①所示，矩形ABEF为△ABC的“友好矩形”，显然，当△ABC是钝角三角形时，其“友好矩形”只有一个．类型4

特殊平行四边形中的阅读理解型问题(1)仿照以上叙述，说明什么是一个三角形的“友好平行四边形”；【解】如果一个三角形和一个平行四边形满足条件：三角形的一边与平行四边形的一边重合，且三角形的这边所对的顶点在平行四边形这边的对边上，则称这样的平行四边形为三角形的“友好平行四边形”．(2)如图②，若△ABC为直角三角形，且∠C＝90°，在图②中画出△ABC的所有“友好矩形”，并比较这些矩形面积的大小；【解】如图①，共有两个“友好矩形”，分别为矩形BCAD，矩形ABEF.易知，矩形BCAD，矩形ABEF的面积都等于△ABC面积的2倍，∴△ABC的两个“友好矩形”的面积相等．(3)若△ABC是锐角三角形，且BC＞AC＞AB，在图③中画出△ABC的所有“友好矩形”，指出其中周长最小的矩形并加以证明．【解】如图②，共有3个“友好矩形”，分别为矩形BCDE，矩形CAFG和矩形ABHK，其中矩形ABHK的周长最小．证明如下：易知这三个矩形面积相等，设它们的面积为S.【点方法】理解该题中的新定义．能根据新定义正确画出符合要求的图形，掌握三角形和矩形的面积公式，能够运用作差法比较大小．6如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC，OA＝5，OC＝4.在AB上取一点D，沿CD折叠，点B恰好落在AO上的点E处．(1)点B的坐标为________．(5，4)类型5特殊平行四边形中的存在性问题【点拨】∵BC＝OA＝5，BA＝OC＝4，∴点B的坐标为(5，4)．(2)