随机过程的基本概念

关于随机过程的基本概念一、直观背景及例

第一节随机过程的基本概念例1生物群体的增长问题。在描述群体的发展或演变过程中，以群体的个数，则对每一个t，从t=0开始每隔24小时对群体的次数观测一次，则表示在时刻t是一个随机变量.是随机过程。假设我们第2页,共51页，2024年2月25日，星期天例2某电话交换台在时间段[0,t]内接到的呼唤次数是与t有关的随机变量X(t),对于固定的t,X(t)是一个取非负整数的随机变量。故{X(t),t∈

[0,∞]}是随机过程。第3页,共51页，2024年2月25日，星期天

由上例可见随机过程表示依赖于一个变动参量的一族随机变量。它虽然不能用一个确定的函数来描述，但也是有规律的。为此，我们给出随机过程的一般定义。第4页,共51页，2024年2月25日，星期天二、随机过程的定义随机过程说明1参数集T在实际问题中，常常指的是时间参数，但有时也用其它物理量作为参数集。

随机过程是概率空间(

,F,P)上的一族随机变量，其中T称为指标集或参数集.说明2通常将随机过程解释为一个物理、自然和社会的系统，表示系统在时刻t所处的状态。第5页,共51页，2024年2月25日，星期天的所有可能状态构成的集合为状态空间，记为S.一般地，如果不做说明都认为状态空间是实数集R或R的子集。状态分类离散状态连续状态取值是离散的取值是连续的第6页,共51页，2024年2月25日，星期天说明3第7页,共51页，2024年2月25日，星期天说明4当T取为R，或[a,b]时，称为连续参数的随机过程。当T取为Z，时，称为离散参数的随机过程。参数集T通常代表时间，T可取实数集R,非负实数集，整数集Z，或非负整数集等第8页,共51页，2024年2月25日，星期天

参数集T是一个可列集T={0,1,2,…}离散参数连续参数参数分类参数集T是一个不可列集第9页,共51页，2024年2月25日，星期天例1（随机游动）一个醉汉在路上行走，以概率p前进一步，以概率1-p后退一步（假定其步长相同）。以X(t)记他t时刻在路上的位置,则{X(t)}就是直线上的随机游动第10页,共51页，2024年2月25日，星期天例2（布朗运动）英国植物学家布朗注意到漂浮在液面上的微小粒子不断进行无规则的运动，这种运动后来称为布朗运动。它是分子大量随机碰撞的结果。若以（X(t),Y(t)）表示粒子在平面坐标上的位置，则它是平面上的布朗运动。第11页,共51页，2024年2月25日，星期天例3

（排队模型）顾客来到服务台要求服务。当服务站中的服务员都忙碌，即服务员都在为别的顾客服务时，来到的顾客就要排队等候。顾客的到来、每个顾客所需的服务时间是随机的，所以如果X(t)表示t时刻的队长,Y(t)表示t时刻到来的顾客所需的等待时间，则{X(t),t∈T}{Y(t),t∈T}都是随机过程。第12页,共51页，2024年2月25日，星期天一、随机过程的分布函数一维分布函数其分布函数为

第二节有限维分布与Kolmogorov定理第13页,共51页，2024年2月25日，星期天二维分布函数联合分布函数第14页,共51页，2024年2月25日，星期天n维分布函数联合分布函数第15页,共51页，2024年2月25日，星期天有限维分布族一维，二维，…，n维分布等的全体：易知第16页,共51页，2024年2月25日，星期天一个随机过程的有限维分布族具有对称性和相容性.(1)对称性(2)相容性第17页,共51页，2024年2月25日，星期天Kolmogorov定理前苏联数学家1931年证明了此定理

说明随机过程的有限分布函数族可以完整描述随机过程的统计规律性.设分布函数族满足上面的对称性和相容性，则必存在一个随机过程{X(t),t∈T}使恰好是{X(t),t∈T}的有限维分布。第18页,共51页，2024年2月25日，星期天例1

袋中放有一个白球，两个红球，每隔单位时间从袋中任取一球，取后放回，对每一个确定的t对应随机变量试求这个随机过程的一维分布函数族。分析先求的概率分布第19页,共51页，2024年2月25日，星期天所以解P第20页,共51页，2024年2月25日，星期天练习求一维分布函数解:第21页,共51页，2024年2月25日，星期天第22页,共51页，2024年2月25日，星期天二、随机过程的数字特征1．均值函数说明第23页,共51页，2024年2月25日，星期天如果对任意的则称随机过程为二阶矩过程第24页,共51页，2024年2月25日，星期天2．方差函数说明第25页,共51页，2024年2月25日，星期天3．协方差函数二阶中心混合矩注第26页,共51页，2024年2月25日，星期天4．自相关函数注

协方差函数和自相关函数反映随机过程在时刻和时的线性相关程度.第27页,共51页，2024年2月25日，星期天例2解求:(1)均值函数;(2)协方差函数;(3)方差函数。（1）（2）（3）第28页,共51页，2024年2月25日，星期天练习解：例其中是相互独立的且均服从N(0，1)分布的随机变量第29页,共51页，2024年2月25日，星期天1.严平稳过程定义1则称为严平稳过程第三节随机过程的基本类型一、平稳过程若对任意的和任意的严平稳过程的有限维分布关于时间是平移不变的.第30页,共51页，2024年2月25日，星期天2.宽平稳过程定义2如果它满足：则称为宽平稳过程（二阶平稳过程），简称平稳过程第31页,共51页，2024年2月25日，星期天注2注1严平稳过程不一定是宽平稳过程。因为严平稳过程不一定是二阶矩过程。若严平稳过程存在二阶矩，则它一定是宽平稳过程。宽平稳过程也不一定是严平稳过程。因为宽平稳过程只保证一阶矩和二阶矩不随时间推移而改变，这当然不能保证其有穷维分布不随时间而推移。第32页,共51页，2024年2月25日，星期天3.平稳过程协方差函数的性质性质3性质1性质4性质2即对任意的2n个实数第33页,共51页，2024年2月25日，星期天例1满足试讨论随机序列的平稳性。解因为注在科学和工程中，例1中的过程称为“白噪声”，它是实际中最常用的噪声模型。第34页,共51页，2024年2月25日，星期天例2解的密度函数为所以其中T={1,2,…}，试讨论随机序列的平稳性。

是在[0，1]上服从均匀分布的随机变量，第35页,共51页，2024年2月25日，星期天练习解：例其中是相互独立的且均服从N(0，1)分布的随机变量第36页,共51页，2024年2月25日，星期天二、独立增量过程定义随机变量是相互独立的第37页,共51页，2024年2月25日，星期天例3证的随机变量序列,则令第38页,共51页，2024年2月25日，星期天三、平稳增量过程定义第39页,共51页，2024年2月25日，星期天兼有独立增量和平稳增量的过程称为平稳独立增量过程.四、平稳独立增量过程Poisson过程和Brown运动都是平稳独立增量过程.第40页,共51页，2024年2月25日，星期天

在何种条件下，平稳过程对时间的平均值可以等于过程的均值？

对于平稳过程重要的是确定它的均值和它的协方差函数由大数定律知，可以用第41页,共51页，2024年2月25日，星期天然而对随机过程作多次观察一般来说比较困难，容易的是作一次观察,获得一条样本路径,我们希望由这一次观察来估计

,对于一般的随机过程这是不可能的，但对于平稳过程,只要加上一些条件，就可以从一次观察中得到

的较好的估计，这就是遍历性定理。

介绍从一次试验所获得的一个样本函数来决定随机过程的均值和协方差函数，从而就可以得到该过程的全部信息，即遍历性问题。第42页,共51页，2024年2月25日，星期天

定义1称的均值有遍历性注这里的极限是指在均方意义下的极限.称的协方差函数有遍历性.第43页,共51页，2024年2月25日，星期天第44页,共51页，2024年2月25日，星期天定理（均值遍历性定理）

第45页,共51页，2024年2月25日，星期天例1是否具有均值遍历性。解所以是平稳过程。第46页,共51页，2024年2月25日，星期天故有即此过程是均值遍历的。第47页,共51页，2024年2月25日，星期天

历第48页,共51页，2024年2月25