浙江省强基联盟2023-2024学年高二年级上册12月月考数学试卷(含答案)

浙江省强基联盟2023-2024学年高二上学期12月月考数学试卷

学校：___________姓名：班级：___________考号：

一'选择题

1.若复数z=*在复平面内所对应的点在实轴上，则实数。=（）

2+i

A.—B._IC.lD.4

2.已知直线6：x+2分—1=0和直线/2：（3a—l）x—ay—1=0,则“a=L'是（）

6

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

3.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想

是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和“，如30=7+23.在小于9的素数中，选两

个不同的数，积为奇数的概率为（）

A.1-2B.£C-2D.-1

4752

4.与椭圆二+二=1有公共焦点，且离心率e=2的双曲线的方程为（）

49244

22222222

A.土_2L=1B.二一匕=1C.土—工=1D.土_2L=1

49242449916169

5.已知l,m,n是三条不同的直线,a,/3,y是三个不同的平面,给出下列命题，其中为假

命题的是（）

A.若J_/?,八，则“_1_，

B.若lua，l工m，l工,nll/3，则a//，

C.若。）3=1,）3'y=m，/a=",,///人则成仿

D.若m与n异面，/±.m,l_Ln，则存在a，使得/J_a,mHa,nila

6.在平行四边形A3CD中,E是3C的中点，尸是CD的中点,DE与3R相交于点G,则

AG=（）

22211112

A.-AB+-ADB.-AB+-ADC.-AB+-ADD.-AB+-AD

33333333

7.正项等比数列｛an｝的前n项和为S„，且满足16s$=21邑=504,则q%…4的最大值为

（）

A.256B.512C.1024D.2048

8.在三棱锥S—ABC中,回，5。,帅=5。=2,54=5。=2&，二面角3—4。—5的大

小为2,则三棱锥S—ABC外接球的表面积为（）

6

A88兀n104兀八56兀八104兀

9933

二、多项选择题

9.某校组织了600名学生参与测试，随机抽取了80名学生的考试成绩（单位:分），成绩的

频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是（）

A.图中a的值为0.15

B.估计这80名学生考试成绩的众数为75

C.估计这80名学生考试成绩的中位数为82

D.估计这80名学生考试成绩的上四分位数为85

10.如图所示，在四个正方体中」是正方体的一条体对角线，点M,N,P分别为其所在棱的

中点，能得出/_L平面MNP的图形为（）

11.记y=2必的图象为。，如图，一光线从X轴上方沿直线X=1射入，经过。上点

一4

%）反射后，再经过。上点N&,%）反射后经过点P，直线M0交直线y=-1于点

。，下面说法正确的是（）

B.|w|=y

C.以MN为直径的圆与直线y=-1相切

D.P,N,Q三点共线

12.斐波那契数列又称“兔子数列”“黄金分割数列”，在现代物理，准晶体结构，化学等领域

都有着广泛的应用.斐波那契数列｛4｝可以用如下方法定

34.q=%=1,+4-2（〃》3，"eN*）,则（）

A.3an-an_2+an+2,«>3，neN*B.%+%+%+…+a2n_x-a2n-1

C.q+a?+%^a”=4+2—1D.q+a2HF"2023=^202302024

三、填空题

13.已知忖=1,W=0,（a,。）=日，则a.（a+Z?）=.

14.已知2,48,。四点不共面,若/。/%=/67方=/4/>8=60。，直线尸。与平面MB所

成的角为0，则cos6=.

15.已知圆A/：（%_4）2+（y-2）2=9,直线/：x+y+3=0/为/上的动点，过点。作（M

的切线以『3,切点分别为4B,则直线所过的定点坐标为.

16.已知数列｛%｝的通项公式是an=3".在生和电之间插入1个数/，使《，占1，的成等差

数列;在内和%之间插入2个数孙，々2，使的，孙，％22，43成等差数列.那么X22=.按

此进行下去，在an和a用之间插入n个数xnl,xn2，…，x1m，使an,xnl,xn2,...,xnn,a“+]成等差数

歹U,贝■]a｝+xli+a2+x2i+x22+a3+---+an+xni+x„2+••-+xnn=------

四、解答题

17.在△ABC中，角A,3,C所对边分别为a,6,c,且N2+cosA)=6asiaB.

(1)求角A的大小；

(2)。是线段上的点，且4£>=5£>=1，8=2,求4他£)的面积.

18.已知圆锥的顶点为S,。为底面圆心,ZAO3=120，异面直线SA与所成角的余弦

值为L△SAB的面积为3JTT.

6

(1)求该圆锥的表面积；

(2)求该圆锥内半径最大的球的体积.

19.在平面内，已知动点M到两个定点4(-5,2),8(-2,2)的距离的比值为2.

(1)求动点”的轨迹方程，并说明其轨迹C的形状；

(2)直线2x-y+2=0与轨迹。交于两点，求过该两点且面积最小的圆的方程.

20.如图，在直棱柱ABC-4瓦G中，A4,=AC=C3=A5,E,F分别是棱3GAe上的

动点，且班=CF.

(1)证明:4石，男尸.

(2)当三棱锥C.-CEF的体积取得最大值时，求平面BXBF与平面B.EF的夹角的余弦

值.

21.已知Sn为数列｛4｝的前n项和,4=2,J=an+]-3n-2.

（1）求｛4｝的通项公式；

（2）设勿=工■，记数歹!J抄｝的前几项和为7；,若关于m的不等式/—9加＜丁恒成立,

%%7

求m的取值范围.

22

22.已知椭圆石：++3=1（。〉6〉0）的左,右焦点分别为大（-1,0）,耳（1,0）,“是椭圆上

的一点，当N隼陷=60。时，△耳M鸟的面积为迹.

3

（1）求椭圆E的方程；

（2）过右焦点工的直线/与椭圆E交于A,3两点，线段A3的垂直平分线交直线/于点

P,交直线％=-2于点。，求吗的最小值.

\AB\

参考答案

1.答案：B

解析：由题意z="='一吸2—；）=""一（2a+2）i其对应的点（j即与在

2+i（2+i）（2-i）5I55J

实轴上，

所以2a+2=0,得a=-1.

故选:B.

2.答案：A

解析：由题设/J/4河得2a（3a-r）--a，解得a=0或a=：.

当a=0时，乙：x=14：x=T，止匕时当0=工时，4：3x+y—3=04：3x+y+6=0,止匕时

〃〃2，

所以“八:"是“”的充分不必要条件.

故选:A.

3.答案：D

解析：小于9的素数有2,3,5,7,共4个，随机选取两个不同的数,

基本事件有（2,3）,（2,5）,（2,7）,（3,5）,（3,7）,（5,7）,共6种,

其积为奇数的基本事件有（3,5）,（3,7）,（5,7）,共3种,

所以尸=3=工

62

故选:D

4.答案：D

222

y2

解析：椭圆京+（=1的焦点坐标是耳（-5,0）心（5,0）,设双曲线的方程为与―1,

|a2+Z?2=25

双曲线的离心率e=J故155解得a=4,/?=3.

4-=-

4

22

故双曲线的方程为土—匕=1.

169

故选:D

5.答案：B

解析：对选项A,若机机_L£，则c%,又〃_La，所以故A正确；

对选项B,当/ue,/，加,/，〃,mll/3,n///3时,c与，可能平行或相交，故B错误；

对选项C,由〃/加，可得加〃又加u九/（z="，所以加〃〃，故C正确；

对选项D,在/上取点。，分别作m,n的平行线加M，这两条相交直线确定平面a，如图所

因为加〃加，War,加ua厕mlla，同理可证nila，

因为/J_/n，/_!_〃，mlIni,,所以/_L加，/_L〃'，

又因为加‘葭'=Q，加，n'ua,

所以口，故D正确.

故选:B.

6.答案：A

解析：设ACBD=O,

由题意可知:G为△BCD的重心，且。为AC的中点,

可知A,O,G,C四点共线，且AO=OC=3OG,

所以AG=—AC=-（AB+AC）=*AB+3A。.

33、'33

故选:A.

7.答案：C

解析：显然“wi,则sJ(J)

6-2>q

邑=匕驾=0,化简得l+d+4="，解得2='

2

S21-q16164

又a“>0，所以q=；.

§2=等=24=01a+4=|。］=。］二］6,所以4=］6x［gJ*=QJ§

当〃W5时,421,当6时,a”<1'

10

所以%)3=(%4•••4)=2皿3+4=2=1024.

故选:C.

8.答案：C

解析：如图，因为他，5。,至=5。=2,所以47=2后，

因为SA=SC=2&，所以科。为等边三角形，所以5。。&4=*2点=后

取AC的中点。，连接BD和SD,则ZSDB为二面角台―AC—S的平面角，即ZSDB=150°.

因为△ABC为直角三角形，所以D为△AB。的外心.设△SAC的外心为。］,

过点。作平面A3C的垂线，过点&作平面5AC的垂线，则交点O为球心，连接。。,。£设

三棱锥S—ABC外接球的半径为R.

在中,=0B?—BD?=R?_（司=片-2,

由已知得ZSDO=60°，在△SDO中,由余弦定理得

SO-=OD-+SD2-2OD-SDcosZSDO^

-2xy[6xcos60°，解得A?=g

即R2=R2_2+（旬-_2血

故三棱锥S-ABC外接球的表面积为S=4做2=您

3

故选:C.

9.答案：BD

解析：根据频率之和等于110a=1-10x(0.01+0.035+0.03+0,01)=0.15

a=0.015,故A错误；

由频率分布直方图可知:各组对应的频率分别为0.1,0.15,0.35,0.3,0.1,

频率最高的为［70,80)，对应区间的中点值为75,则估计众数也为75,故B正确；

0.01X10+0.015X10=0.25，0.01X10+0.015义10+0.035X10=0.6，

可知中位数落在［70,80)内，即中位数的估计值不是82,故C错误；

因为0.1+0.15+0.35=0.6<0.75,0.1+0.15+0.35+0.3=0.9>0.75

可知上四分位数在［80,90)内，设第75百分位数约为x,

则Ql+0.15+0.35+(x—80)x0.03=0.75,得％=85,故D正确.

故选:BD.

10.答案：AD

解析：如图所示,正方体ABCD—AB'C'D.连接M，P分别为其所在棱的中

点,：.MPHAC

'B'

四边形ABCD为正方形,

:.AC±BD,

BB'±平面ABCD,ACu平面ABCD,

：.BB'LAC，

AC±BD,BDBB'=B,：.ACJ_平面DBB'，/.D?u平面DBB'，；.AC±DB'-

MP//AC，DB」MP洞理，可证DRLMN，DB」NP，

MP\［加=。,〃？匚平面“稗,即匚平面跖\里

...JJB±平面MNP,即/垂直平面MNP,故A正确.

在。中，由A中证明同理可证/又MP\MN=M,

平面MNP.故D正确.

假设直线与平面垂直，则这条直线垂直于面内任何一条直线.

对于B选项建立直角坐标系如图:设棱长为2,

M（1,0,0）,N（2,2,1），直线/所在体对角线两个顶点坐标（0,0,2）,（2,2,0）,

所以其方向向量〃=（2,2,-2）,肱V=（1,2,1）,

〃.MN=4HO,所以直线不可能垂直于平面MNP.

同理可在C中建立相同直角坐标系,以（2,0,1）,N（l,2,0）,肱V=（-1,2,-1）,

”.MN=4HO,所以直线不可能垂直于平面MNP.

故选:AD.

11.答案：ACD

解析：利用抛物线的光学性质，平行于对称轴的光线,经过抛物线的反射后集中于它的焦

八占、、，.

从焦点发出的光线，经过抛物线上的一点反射后,反射光线平行于抛物线的对称轴.

因为，焦点下(0,1),

11

所以直线v%13।

MN:y=———x+1=——x+1

-14

3,

y=一尸+L

消去并化简得小

由VJy3%-4=0,

4

选项A,X\+x2=一3,项%2=—4,%%=」（七入2）2=1，故A正确;

选项B,又y=」,故丫2=4,N(-4,4),

4一

1

故眼凶=乂+%+.=；+4+2=?,故8错误；

选项C,由贵土耳=工(4+工］=",抛物线的准线为丁=-1,

22(4)8

MN的中点到准线的距离为1)=2

88

即等于WM的一半，即以MN为直径的圆与直线y=-1相切，故C正确;

选项D,直线0M的方程y=与y=-l联立，可得Q点的横坐标为一，

4

从焦点发出的光线，经过抛物线上的一点反射后,反射光线平行于抛物线的对称轴.

由点尸在直线％=T上，则三点都在直线％=T上，故D正确.

故选:ACD.

12.答案：ACD

解析：对于A,由题意可得a,+2=a〃+i+4=2a〃+a“T，q_2=a〃—qT，

所以an_2+a.=2an+%+an-an_x=3a“，故A正确.

对于B,ax—a2—l,a3—2,a4=3,a5=5,a6=8,o1+a3+a5=8w4—1=7,故B错误.

对于C,%+g=/，出+%=a4，.・.，"〃+a“+i=a“+2，以上各式相加

得,q+2a2+2%H----H2a“+an+i—+a4-----Fctll+2,

化间得q+。2+“3---------+"〃=，〃+2—。2="〃+2—1，故C正确.

对于D,由题意可得42=1,

W=%(/―%)=%/一1,

CL^—CL^(。4—^2)=Cl^Cl^—Cl^Cl>2，

“2023二%023(“2024—^2022)=〃2023a2024一〃2023a2022'

累加得1；+-|------+〃；o23=12023a2024，故^D正确.

故选:ACD.

13.答案：0

解析：由题意a.(a+〃)=/+=同+同Mcos*=F-[^xlx应=0.

故答案为:0.

14.答案：旦或上乖>

33

解析：在PC上任取一点。并作00,平面APB，连接P。,则NDP0就是直线PC与平

面以3所成的角.

过点。作OE，B4,0/，尸5，连接DE,DF.

OO，平面APB,PA,pg匚平面APB,所以，PB,

因为OOOE=O,D0,OEu面DOE,DOiO/=O,D。,。/u面。。卜

所以PA_L面DOE,pgJ_面DOF,

又£>Eu面DOE,DFu面DOF,

则

所以ADEWADFP，:.EP=FP，：.^OEP^^OFP.

ZAPC=ZBPC=60°，

.•.点。在NAPS的平分线上，即NOPE=30。.

设PE=1，NOPE=30°，:.OP=---二空.

cos3003

在直角中,"PE=60。,PE=1,则PD=2.

在直角ADOP中，OP=2叵，PD=2,则cosZDPO=—=—»

3PD3

即直线PC与平面以8所成角的余弦值是走.

3

B

故答案为:走.

3

15.答案：（3,1）

解析：设P（X0,%）为直线x+y+3=0上一点，则/+为+3=0,

过点P作圆〃的切线出/民则四点共圆，

该圆以为直径，

则方程为（X/+4）21（.%+22="（/4）2+（%—2）2

222

整理为（%_4）6%）+（＞_2）（丁_%）=0,

直线AB的方程即两圆的公共弦方程，

(x-4)(x-/)+(>-2)(y-%)=0

联立

(x-4)2+(y-2)2=9

两圆相减,A5的方程即(x_4)(/_4)+(y_2)(%_2)=9.

又/+为+3=0,可得(％-丁一2)/-4x-5y+17=0,

y=3

二］,则直线AB过定点（3,1）.

故答案为：（3,1）.

16.答案：21,〃.3用

解析：由%=3",%=91%=27,

Xa

,/出1X21,22'3成等差数列，

、、27—9

X21+%22=%+%=36，且公差为一--二6,

x21=15,%22=21,

在%和4+1之间插入〃个数xnl,xn2,...,xnn,

使，x“i，七吐，…，%，4+i成等差数列，设其公差为d，

n+1

此数列首项为an=3"沫项为an+l=3,

1

贝Jx“i=a”+d，xnn=an+i-d,

mHn(a+d+a-d)n(3n+3"+1)

+1LL

则了n”l+xn“Z2+…+Znn”=〜------2----------=八---?---=2"•3”，

设1=%1+(91+%22)+…+(X"l+X"2+…+%”〃)，

贝Ui；=2x31+4x3?+…+2"x3",

贝1|37；=2x32+4x33+-..+2"x3"i,

则—27；=2x3+2(32+33++3")-2«x3,,+1,

3"T-1

=2X3'+2X32X-—2nx3,,+1=(1-2n)3,,+I-3，

QQ«+l

则7；=3一；+〃.3向,

二4+为1+出++々2+%+…+an+Xn\+X"2+…+Xnn

=Oj+a2+-+an+xu+x2l+x22+---+xnl+xn2+---+x1m

Q+1

=31+32+---+3,,++n-3),+1>

2

3n+1-33-3/!+I

-----+------+分3向=小3小

22

故答案为：21;〃.3"+I.

17.答案:(1)—

3

⑵B

4

解析：（1）因为匕（2+cosA）=y/3asinB，由正弦定理得sinB（2+cosA）=百sinBsinA•

因为Be(O,兀)，所以sinB>0,所以由sinA-cosA=2,

即sinA--cosA=2sinfA-7-11=2.

2J6

因为Ae(o,7i)，所以A—巴=±即4=0

''623

(2)设3=e，因为A=&,所以。=兀—0—9=2—/

333

2兀

因为他=5£>=1，所以NJB4D=3=e，ZADC=2e，ZDAC=——0,

一3

ADCD

Z\ACD中，由正弦定理可知

sinCsinZDAC

12

cos6+—sin。,

2J

化简可得3sin6-^-cos0,即tan。=,6=上,

2236

所以5川=gA。,BDsin（兀-26）=gAD.BDsin26>=|xl2x^^^-

18.答案：（1）16K

（2）晅乳

3

解析：（1）取弧AC的中点。，连接OD,则0£）j_a。，

又因为SO，底面ABC以点。为坐标原点,OD,OC,OS所在直线分别为x,y,z轴建立如下

图所示的空间直角坐标系，

"1、

设OA=r，OS=〃，由题设NAO3=120，则5—r,-r,0,A（O,-r,O）,S（O,O,h）,

\7

所以AS1=（0,,03=,

——12

所以cos（AS,困=AS「B=2'△，解得"=2折，

'/AS^OBr-yjr+h26

1

所以母线SA=y/s^+OA=J8产+r=3r，

取A3的中点E,连接。瓦SE,则SE±AB,

因为Q4=03=r，则OE，AB,且NQ4B=NOB4=30。，

所以,AE=OAcos30=且厂,所以,SE=JSA2-AE?=I9P=叵r，

2V42

则5维的=3*百厂义孚—=乎产=3而，所以r=2，

由圆锥的表面积公式得S=TTF-3r+Ttr1=4?rr2=16兀•

（2）由于圆锥与球均为旋转体,可知最大的球的半径R即圆锥轴截面的截切圆的半径,

=-AC-SO=-x4x4V2=8V2,

SO=2V2r=4V2^ASAc

22

S&SAC=1^(5A+5C+AC)=1T?X(6+6+4)=87?=8V2，解得尺=拒,

因此，该圆锥内半径最大的球的体积为d亦3=±兀*2正=疲兀-

333

19.答案：⑴5+1）2+（―2）2=4；轨迹C是以（-1,2）为圆心，半径为2的圆

2

17

(2)XH—I+

5

解析：（1）设点”（工田，则手=J（“+5）2空且

==2,化简得

\MB加+2『+(一)2

x2+y2+2x-4y+1-0,

即a+iy+（y_2）2=4,所以轨迹c是以（-1,2）为圆心，半径为2的圆.

（2）设直线2x—y+2=0与圆（x+iy+（y—2）2=4的两个交点分别为

<(x+l)+(v2)-4^12_Q_|._1

由?5%+2X3=5%I+%2=5=；

2x—y+2=055

设PQ的中点为（4,为〉则毛=七上=-：，%=2/+2=|,即中点为1_8

5J5

38亚

所以\PQ\=Jl+/-+%)2-4X/2=#!X-4x

1_8，半径的平方为厂=幽=拽,

故最小的圆是以PQ为直径的圆,其圆心坐标为

5J525

2

1I+

故所求圆的方程为X~\—

5

20.答案：（1）证明见解析

（2）正

5

解析：（1）由题意知在直棱柱ABC-451cl中,47=尊=走45，可得

2

AC2+BC-=3,所以AC_LBC,

又CC]，面ABC,AC,5Cu面ABC,所以C£1AC,CC,±BC,

即AC3C,CG两两垂直，如图，建立空间直角坐标系C-孙z,

不妨设明=AC=CB=a,BE=CF=/，则

A（tz,0,0）,^（6z,0,tz）,F（Z,0,0）,B（0,t7,0）,JB1（0,a,tz）,E（0,6z-^0）,

所以,-CI"尸=（—a）,

可得AE,3]F=—必一。2+Q.+Q2=。,

所以人先上4方,即4石，51b

17\,Qt+(a-/)

⑵LCEF——t\Cl-t)Cl0一

6v76224

当且仅当/=aT,即/=@时，有最大值，

2

此时E,R分别为3cAe的中点,E[O,/O],呜,0,0）所以所=.-纠，

由（1）可知4（0,仪）,5（。，。，。》所以硒=[咚“'3户=|，-。，0），期=（0,0,a）,

不妨设平面片的一个法向量为勺=（4加4）,

珥•EF=-xi-—yi=0

则<22，令Z]=_i懈得％=%=2,

々•EB]=一%+az1=0

、2

所以可取平面片EP的一个法向量为〃=（2,2,-1）,

不妨设平面片3歹的一个法向量为%=（%,%，Z2），

a

„,-BF=-x-ay=0.

则<21?，令%=1,斛AT得1犬2=2,z2=0,

n2-BB]=az2=0

所以可取平面B、BF的一个法向量为加=（2,1,0）,

.、\n-mA

设平面与平面片屈F的夹角为0，则cos6=cos/n,m）=J।।[=—产=---,

\/附同3V55

所以平面B]BF与平面B[EF的夹角的余弦值为手.

21.答案：（1）a“=5x2"T—3

（2）--<m<1

7

解析：（1）S„=an+1-3n-2,S„_,=an-3（zz-l）-2（«>2）,

两式相减得。“+i=2%+3,