2024届广东百师联盟高三12月联考（四）数学试题+答案

2024届高三一轮复习联考(四)

数学试题

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需

改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在

本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

考试时间为120分钟，满分150分

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的。

1.已知集合。={1,2,3,4,5},4={2,3},8={%卜=2左,左€2},则8口&4=()

A.{4}B.{2,4}C.{1,2}D.{1,3,5}

2.已知复数z满足(z—2i)(l—i)=2,则目=()

A.V13B.VioC.3D.2

1-1

3.已知a=cos—=32,。=log—,贝ij()

232

A.c>a>bB.b>c>aC.b>a>cD.a>b>c

4.“aW—石或。之君”是“圆G：x2+y2=i与圆。2：(%+。)2+(,一2a)2=36存在公切线”的()

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件

5.已知3tana=一,贝(Jcos2a=()

sin2a

6.如图，ABC-A与G是一个正三棱台，而且下底面边长为4,上底面边长和侧棱长都为2,则异面直线4。

与3耳夹角的余弦值为()

▲B

V6V3V3

A.----B.----C.----D.也

31236

7.已知函数f（x）=log2（X-+1）+2国+1,则不等式/（x+l）＜4的解集为（）

A.(-2,0)B.(-GO,-2)C.(0,+8)D.(-co,-2)U(0,+oo)

8.已知函数/（%）=一x2+x在上有两个极值点，则实数机的取值范围为（)

A.0,B.C.—,+00D.,+8

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

22

9.已知曲线C:二一+乙=1,点尸（x,y）为曲线C上一动点，则下列叙述正确的是（）

2m-4m

[7

A.若m=10,则曲线C的离心率为

4

B.若加=1,则曲线C的渐近线方程为y=±gx

C.若曲线。是双曲线，则曲线。的焦点一定在y轴上

D.若曲线C是圆，则%-y的最大值为4

3a-1

10.已知数列｛4｝满足％=2,a〃+i也一，则下列说法正确的是（）

%+1

51〃+3

A.%=耳B.数列｛%｝为递减数列C.数列＜为等差数列D

4T-

11.如图，球。的半径为6,球面上的三个点的外接圆为圆O],且NC4B=2,则下列说法正确

的是（)

A.球。的表面积为12〃

B.若A。=的面积为事

C.若BC=200],则三棱锥0—的体积是g

D.三棱锥0-体积的最大值为g

12.已知函数/(x)=x2—hu,下列说法正确的是()

A./(x)在x=l处的切线方程为x—y=0B.〃x)的最小值为g(l+ln2)

C.的最小值为g—ln2D.若34学(》)+©£恒成立，贝Ua<2e

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知向量满足，卜/卜3,忖=2,(2。+可％=1,贝“2a+,=.

2

14.在△ABC中，角A,民C所对的边分别为。力,。，且2sinB=3sinC,若6-。=1,©0$4=—,则〃=

3

15.已知数列｛里,｝是各项均为正数的等比数列，则—+4的最小值为.

22

16.已知A(0,1),5(1,0),点P为椭圆C:?+]■=1上的动点，当|尸川+|尸耳取最小值时，点P的横坐标

的值为.

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(10分)已知函数/(x)=-4sin(〃+x)cosx+2j5cos2》.

（1）求函数/（X）的最小正周期和单调减区间;

（2）求函数/（x）在0,1上的值域.

18.（12分）已知数列｛4｝的前九项和为S”%=2,等比数列抄/的公比为2,S也=/2".

（1）求数列｛凡｝,（4｝的通项公式;

a〃为奇数

（2）令1=求数列｛%）的前io项和.

也，“为偶数，

77

19.（12分）已知△ABC中，BC=3,M在线段3C上，2BM=MC,ZBAM=-.

6

（1）若A5=2,求AC的长；

（2）求△AMC面积的最大值.

20.（12分）在直三棱柱4BC—A4G中，D,E分别为4cB用的中点，BF=-CF.

2

■

4r

YE/

AB

（1）证明，AE〃平面G。/；

（2）若BC=2AB=2BBI=2,AC=E求平面ABE与平面。EQ夹角的余弦值.

21.（12分）已知抛物线C:y2=2px（p>0）,垂直于x轴的直线/与圆Q:（x—iy+y2=i相切，且与C交

于不同的两点A,51A却=4J5.

（1）求p；

（2）已知尸（-1,2）,过尸的直线与抛物线C交于M,N两点，过P作直线MQ,NQ的垂线，与直线MQ,NQ

分别交于S,T两点，求证：|S0=|TQ|.

22.（12分）已知函数/（%）=。6工-x-l有两个零点.

(1)求。的取值范围；

7

(2)设两零点分别为玉,%2(/<%2)，证明％2一再>/(1一。

2024届高三一轮复习联考（四）

数学参考答案及评分意见

1.A【解析】•••（；,A={1,4,5},.­.BA（^4={4},故选A.

2.B【解析】•.•z=2+2i=±±^=l+3i,.•.目=故选B.

1—i1—i

3.C【解析】\t0<a<l,b>l,c<0,:.b>a>c.故选C.

4.C【解析】圆G的圆心为（0,0），半径4=1，圆的圆心为（一。，2。），半径弓=6,所以两圆的圆心

距为d=|CC|=」片+4。2=而，两圆内含时，即忘7<|6—1],解得—石<。<^，所以当两圆有

公切线时，。之6或a<—右，所以“aW—石或。之6"是"圆G：/+丁=1与圆

。2：（%+。）2+（丁-2a>=36存在公切线”的充要条件.故选C.

5.D【解析】由题意得3siin"c^=_---]----65出2。=1,.,.3—3cos2a=l,「.cos2a=—.2故选D.

cosa2sinacosa3

6.D【解析】作AB的中点。，连接耳，则。或其补角（/CAQ为钝角时）的余

2

弦值即为所求.A,C=CD=273,A}D=2,cosZCA^D=+0右）-（产）=百，则异面直线4。与

2X2X2V36

巧

3月的夹角的余弦值为故选D.

6

7.A【解析】由题意得了（%）为偶函数且在[0,+oo）上单调递增，又/1⑴=4,；.〃%+1）<〃1）:.（+1|<1,

?.-2<x<0.故选A.

8.B【解析】因为函数〃x）=/n（x—在xe[,2]上有两个极值点，所以/'（X）在

?Y-1

上有两个变号零点，v//(x)=mxex-2x+1,mxex-2x+1=0,/.m=-----.令

⑺=-(x-*2x+l)

,令/z'(x)>0,得xw,令〃(x)<0,得

JCe

e（1,2）,.•.丸（x）在I；』]上递增，在（1,2）上递减.13

X0,/?(l)=-,/?(2)=—,.-./ne.故

选B.

22[7

9.AC【解析】A选项，〃z=10时，曲线C为土+匕=1,曲线C的离心率为之，故A选项正确；B

16104

/、历

选项，机=1时，曲线C为＞2—]_=1,则曲线c的渐近线方程为,=±]-%,故B选项错误；C选项，若

曲线C是双曲线，则相(2加-4)＜0,，0＜加＜2,则曲线C的焦点一定在y轴上，故C选项正确；D选项,

若曲线C是圆，则m=2m-4,即m=4,.\%2+y2=4,令

x=2cosa,y=2sina(ae[0,2万x—y=2j5sin—aj,则x—y的最大值为2后，故D选项错

误.故选AC.

4+1_]4T—,---=1+—(n-l)=—n+—,

10.BCD【解析】：--------------V

an+l~1an-1一2%-12a“一22an-l2'22

n+3.23+33

----二1-1,a,——=—,故A错误，BCD正确.故选BCD.

n+1-----H+13+12

11.ACD【解析】A选项，S=4万产=12万，故A正确；B选项，

TCTC1o

■.■ZCAB=-,ZBO.C=SACO[B=-BOl=l,故B错误；C选项，设3c=2a,由BC=2。。],

7T

可得。。1=。，因为NCA8=],BC=2a,。]为LABC的外心，所以

。*。外。c/畋。—4.。—。。、叱’故。氏。。①,由已知‘

OO^+AO^=OA2,OA=43,所以a=l,所以=。。=血,/B。。=、,。。]=1,由球的截面性质

可得0。，平面OpBC,所以三棱锥O—。石。的体积V=gSao/c・。。=gxgx后x&xl=g,故C

正确；D选项，设AO]=x,00]=」3-x?,S△()BC=—犷，，BC=—x~q3—x~=—yj—x6+3x4,令

12166

%?—/(0＜3),贝UVQ-OBC=「d+3t2,令g(%)=——+3/,/.g'(1)=—3/+6/=—3%(，一2),.二当％=2

时，g（/）max=4,%/BC的最大值为g，故D正确•故选ACD.

12.ABD【解析】的定义域为（0,+⑹J'（X）=2X-L则/⑴=1,〃1）=1,故切线方程为

X

1r\21、

y-l=x-l,即x—y=0,故A正确.由尸(x)=2x——二1—=0得,x=*j(x)在区间0,—

xx22J

（万、（5、（（6、1

单调递减，在区间—,+oo单调递增，所以“乃皿=/—=--In—=±（l+ln2）,故B

正确，C错误.ax<cx2-clwc+ex恒成立，其中x〉0,所以。《叱-elnx+e',记

X

l、ex2-elnx+e*,八、

F(x)=--------------(x>0)则

x

2ex--+ex1-x-(ex2-elnx+e”

e(%2―i)+(1—i)e%+elnx

F(x)=当尤£（0,1）时,Fr（x）<0；

x

当%£（I,+8）时，F（X）>0,所以厂（工）在（0,1）上单调递减，在（L+8）上单调递增，故

尸（%）min=/（l）=2e，则实数〃的取值范围为〃<2e，D正确•故选ABD.

13.V34【解析】・.・（2万+B）-B=1,2限,2晨彼=1—4=—3,

忻+囚=TZF+P+ZaT=V36+4-6=V34.

14.V5【解析】由2sinB=3sinC,得2b=3c,因为=1解得c=2/=3,又cosA=一,由余弦定

3

理得〃2=4+9—2x2x3xZ=5,解得〃=6.

3

15.2A/2【解析】•:q>0,.,./+。82^yja6as=2a7(当且仅当。6=。8时等号成立)，

.，.％/----2aqH---,2%--->2^/2(当且仅当%=交时等号成立)，故4+'+网的最小值为

%&&2%

272.

-4+6后

16.【解析】因为3（1,0）为椭圆的右焦点，设椭圆左焦点为则F（-1,0）,由椭圆的定义,

7

得|「川+|尸耳=|尸山+2〃—|尸司=4+|尸山—|尸司，所以P为射线E4与椭圆交点时，|尸山+|「耳取最小值,

y=%+l,1-

一/消去y得7r+8%―8=0,%=—4+6,2或

因为直线E4方程为y=%+l,设尸(x,y),联立＜

----F--=1,7

[43

"舍).

17.解：(1)/(x)=4sinxcos%+2A/3COS2X

=2sin2x+2A/3COS2X

=4sin[2%+^-j,

.-./(X)的最小正周期为T=g=万.

7T7T37r

令一+2k兀<2x-\——<—+2左肛左£Z,

232

TC7%

得一+2kji<2x<——+2k兀,左£Z,

66

TC7〃

化简得土+上乃＜%＜/+左匹左£Z,

1212

，/(x)的单调减区间为展+左肛+左"eZ.

7C

(2)•••0<x<—,

2

71fTC

—V2xH—V—.

333

ren47r

令t=2xJ,则

333

.-^-<sinr<l,

2

:.-26<4sin/<4,

.•./(X)在0,|上的值域为126,4].

18.解：(1)当〃=1时，

・・・£伪=24=2,

「•4—1>

••也=2自，

2

Sn=2n.

当〃22时，

22

a〃=S〃一S〃T=2n-2(及-I)=4n-2.

经检验，当〃=1时，q=2满足上式，

/.an=4n-2.

，八[4〃-2,〃为奇数，

■"为偶数.

设｛c,J的前10项和为几，

7]Q=(q+%■1+)+(4+人4+40)

_5x(2+34)2X(1-45)

=2-+1-4

=772.

19.解：(1)在ZkABA/中，一——=———,

sinZAMBsinZBAM

2_1

"sinZAMB-sin300'

sinZAMB=1,

ZAMB=90°,

NABC=60°.

在AABC中，AC2=AB2+BC2-2ABxBCxcosZABC,

,1

AC2=4+9-2x2x3x-=7,

2

.'.AC=V7.

另解：•••ZAMC=ZAMB=90°,

AM=yjAB2-BM2=V22-l2=V3,

I----------\2

AC=V22+(V3=布.

(2)•.•在△A5Af中，BM2=AB2+AM--2ABxAMxcosZBAM,

1^AB2+AM--V3ABxAM>(2-y/3^ABxAM,

ABxAM<—<=2+6，当且仅当A3=AM时，等号成立.

2-V3

1n

S=-ABxAMXsin-,

AABM26

・•.S“BM的最大值为，8.

^AAMC=2sAABM，

的最大值为二一•

20.(1)证明：连接CE交于点G,连接。G,延长C7与48延长线交于点H.

因为△CiCEs4HSRBE=gcE,所以BH=；CG，所以E"=CG，所以△“EGS^GCG,则

EG=CG.

又因为AD=CD,所以。G为△CE4的中位线，则AE〃DG.

因为。Gu平面QDF,AE<2平面，所以AE//平面CQF.

(2)解：因为4B=1,BC=2,4C=右,AC?=482+8。2,所以A3,5c.

如图，以B为坐标原点，3C为x轴，R4为y轴，8片为z轴建立空间直角坐标系，

则尸1,0,0：。［；,0：和(2,0」)，

则丽=［，别，后=臣」：

设m=（x,y,z）为平面DEG的一个法向量，

11c

—x+—y=0,

m-FD=0,32人14

则______.即令x=1解得加=

m-FC[43

=0,—x+z=0,

[3

又平面ABE的一个法向量5=（1,0,0）,

21.⑴解：由题意得/的方程为x=2.又卜耳=4近，

不妨设A（2,2夜），代入抛物线C,解得p=2.

（2）证明：①当直线中有一条直线斜率存在时，

不妨设直线MQ的斜率不存在，则M（L-2）,N（0,0）,此时直线NQ的斜率为0.

IMQ；X=1,INQ:y=0,IS0=|T0=2.

②当直线MQ,NQ斜率均存在时，

记直线MQ斜率为k一直线NQ斜率为k2,P到直线MQ的距离为4,到直线NQ的距离为d2,

设/“N:y=^(x+l)+2,A/(x1,y1),?/(x2,y2),

%%_______=___________________________

2,2

%>2"yL+£}+i才4(%+%)2+8%%+16

16(44；

y2=4x,得:y2_y+左+2=0,44(左+2)

则为+y

y=攵(％+1)+2,2

64(左+2)

4M左+2)]]

16伏+2)26432(左+2)4^+8^

16

K7^K”+1K+

因为4=