人教A版（2019）选择性必修第一册 直线的倾斜角与斜率（含解析）

人教A版(2019)选择性必修第一册2.1直线的倾斜角与

斜率

一、单选题

1.已知直线/：6-y+l=0,点A(l,-3),8(2,3),若直线/与线段AB有公共点，则实

数。的取值范围是()

A.HB.ifH

(-8,-∙^-]u[l+∞)

C.D.(-∞,-4]u[l+∞)

2.若两直线/]：(〃_l)x_3y_2=0与/2：x_(o+l)y+2=0平行，则Q的值为()

A.±2B.2C.-2D.0

3.己知直线/的斜率为3倾斜角为。，若45。<&<135。，则女的取值范围为

().

A.(Tl)B.(→o,-l)U(l,+oo)

C.[-ɪɔ]D.(―∞,-1]_[l,+∞)

4.已知点A(2,3),B(-3,-2),若直线/过点P(l,l),且与线段AB相交，则直线/的

斜率左的取值范围为()

3

A.左≤一或左≥2B.k<∖

4

3

C.∖<k<2D.-<k<2

4

5.若直线/的斜率仁-2,又过一点(3,2),则直线/经过点()

A.(0,4)B.(4,0)

C.(0,-4)D.(-2,1)

6.设直线4"+3y-7=O与直线Qx-y+l=。的交点为P,则尸到直线

/:无+@+2-4=0的距离最大值为

A.√iθB.4C.3√2D.√H

7.设点4(2,-3)、3(-3,-2),若直线[过点PaI)且与线段AB相交,则直线/的斜率A

的取值范围是()

331

A.k≥一或Z≤-4B.k≥-^^k≤--

444

33

C.-4≤k<-D.——≤k<4

44

8.若直线/经过42,1),仇1,—>)(,〃GR)两点，则直线/的倾斜角α的取值范围是

()

C,4C兀CTI:,3冗Cπ/冗

A.0≤α<一B.—<α<7iC.一<α≤—D.—≤α<一

422442

9.直线/:6一3丫+2=0与X轴交于点A,把/绕点A顺时针旋转45°得直线，"，"?的

倾斜角为α,则COSa=()

AV6+5/2ŋ∙j2-y∕β--76+∙J2r.ʌ/ð—V2

4444

10.经过点P(O,T)作直线/,若直线/与连接A(l,-2),8(2,1)的线段总有公共点，则

直线/的斜率k的取值范围为()

A.[-1,1]B.(―∞,-l]'->[l,+∞)C.[—1,1)

D.(-∞,-l)u[l,+∞)

11.对于直线∕ior+αy-1=0(ακ0),下列说法不正确的是()

a

A.无论。如何变化，直线/的倾斜角的大小不变

B.无论。如何变化，直线/一定不经过第三象限

C.无论“如何变化，直线/必经过第一、二、三象限

D.当。取不同数值时，可得到一组平行直线

12.直线(4+l)x—2殴-3=0的倾斜角的取值范围是()

13.若方程(6∕-α-2)x+(3∕-5a+2)y+α-l=0表示平行于X轴的直线，则〃的值是

()

C2」

A-B.D.1

•3~23,2

fl、三点共线，则实数机的值为

14.若4-2,3),8(3,2),Cr一,mI

1

A.2B.-2C.-D.——

22

15.如图所示，下列四条直线中，斜率最大的是()

A.∕∣B.I2C.I3D.I4

二、填空题

16.若A(4,O),B(0,b),C(-2,-2)三点共线，则,+'=______.

ab

17.已知A(1,0),B(-1,2),直线/：Zr-殴-4=。上存在点P,满足IRM+∣PBl=

20，则实数4的取值范围是.

18.直线。的斜率为&/=6，直线/2的倾斜角为//的g,则直线//与/2的倾斜角之和

为.

三、解答题

19.已知,AfiC的顶点分别为A(5,-l)、8(1,1)、C(2,m),若ABC为直角三角形，求

实数〃?的值.

20.将一块直角三角形木板ABO置于平面直角坐标系中，已知AB=QB=1,4BLO8,点

PC)是三角形木板内一点，现因三角形木板中阴影部分受到损坏，要把损坏部分

钻掉，可用经过点P的任一直线MN将三角形木板钻成AMN.设直线MN的斜率为k

(1)求点M，N的坐标(用k表示)及直线MN的斜率k的范围;

(2)令AMN的面积为S,试求出S的取值范围.

21.判断下列直线4与4是否垂直.

(1)《的斜率为-|,4经过点A。/)，

(2)6的倾斜角为45。，&经过尸(一2,-1),Q(3,-6)两点；

(3)4经过M(1,0),N(4,-5)两点，4经过R(-6，。)，S(T,3)两点.

22.已知坐标平面内两点M(m+3,2m+5),N(m-2,1).

(1)当m为何值时，直线MN的倾斜角为锐角？

(2)当m为何值时，直线MN的倾斜角为钝角？

(3)直线MN的倾斜角可能为直角吗？

参考答案:

1.A

若直线/与线段AB有公共点，由A、8在直线/的两侧(也可以点在直线上)，得

/(1-3)/(2,3)<O(f(x,y)=ax-y+∖)可得结论.

【详解】

若直线/与线段AB有公共点，则A、8在直线/的两侧(也可以点在直线上).

^f(x,y)=ax-y+l,则有f(l,-3)/(2,3)≤0,即(α+3+l)(2α-3+l),,0.

解得T黜1,

故选：A.

2.A

根据两直线平行的充要条件可得-m+l)3-l)-(-3)xl=0,即可求”的值.

【详解】

由题意知:√α+l)(α-l)-(-3)×l=0,整理得4-储=。,

∙'∙ez=+2>

故选：A

3.B

根据倾斜角和斜率关系求解.

【详解】

直线倾斜角为45。时，斜率为1,

直线倾斜角为135。时，斜率为-1,

因为∕=tan0在呜)上是增函数，在《㈤上是增函数，

所以当45。VaVI35。时,%的取值范围是(v,T)U(I,+∞).

故选：B

答案第1页，共11页

4.A

首先求出直线抬、所的斜率，然后结合图象即可写出答案.

【详解】

解：直线2的斜率%、=汨3-1=2,直线总的斜率原L—-2-1=3

因为直线/过点尸(1,1),且与线段48相交，

结合图象可得直线/的斜率k的取值范围是A≤。或后≥2.

4

故选：A.

5.B

利用斜率公式逐个验证即可

【详解】

4-22

对于A，Z=厂=一彳*一2,不符合题意；

对于B,A=∣Ξ^=-2,所以B正确；

3-4

对于C,Z=V=2*-2,不符合题意;

对于D,k="*=ɪ≠-2,不符合题意,

ɔ一LZ)ɔ

故选：B

答案第2页，共11页

6.A

先求出尸的坐标，再求出直线/所过的定点。，则所求距离的最大值就是PQ的长度.

【详解】

fx+3y-7=O,fx=l,、

由∙,可以得到°,故P1,2,

[x-y+l=n0[y=2

直线/的方程可整理为：x+2+a(y-l)=0,故直线/过定点(-2,1),

因为P到直线/的距离d<∖PQ∖,当且仅当/±PQ时等号成立，

22

故Jmax=√(l+2)+(2-l)=710，

故选A.

一般地，若直线4：4+线k£=0和直线/24'+鸟“。2=。相交，那么动直线

Λ1x+B∣γ+Cl+Λ(Ax+B2y+C2)=O(Λ∈∕?)必过定点(该定点为4，/：1的交点).

7.A

根据斜率的公式，利用数形结合思想进行求解即可.

【详解】

如图所示：

答案第3页，共11页

3

则"，或％≤4

故选：A

8.D

应用两点式求直线斜率得&=tanα=l+m2,结合〃WR及0≤α＜万,即可求α的范围.

【详解】

根据题意，直线/经过4(2,1),B(l,->),

；•直线/的斜率左=甘勺=1+/，又mwR,

2-1

*'•1+∕n2≥1»即Iana=Z≥1,又O≤α<τr,

.兀,71

・・—<a<-；

42

故选：D.

9.C

答案第4页，共11页

由题知直线/的倾斜角为30。，从而求得旋转后的倾斜角，利用特殊角的两角和与差的余弦

公式求得结果.

【详解】

解：设/的倾斜角为则tan。=@，

3

.♦.6=30。，

由题意知。=（，-45。）+180。=165。，

.,.cosa-cos165o=-cos15o=-cos（60o-45o）=-cos60ocos45o-sin60osin45o

1√2√2√2+√6

=—X-----×-------.

22224

故选：C

10.A

过定点的直线与线段恒有公共点，数形结合，求斜率的取值范围即可.

【详解】

根据题意画图如下:

kpA=：一（”=-1/=与尊=1,在射线也逆时针旋转至射线PB时斜率逐渐变大,

I-U2-U

直线/与线段A3总有公共点，所以-l≤Ar≤l.

故选:A.

11.C

答案第5页，共11页

直线/：5+©，_1=0（。#0）,化为：y=-χ+4,根据直线斜率与在y轴上的截距的意义即可

aa~

判断出正误.

【详解】

直线/:公+4-LOmW0）,化为：γ=-χ÷-y,

aa

可得斜率％=T,倾斜角为3一4，），轴上的截距为r1>0,

因此无论。如何变化，直线/必经过第一、二、四象限，C错；

直线/一定不经过第三象限，B对；

直线/的倾斜角的大小不变，A对；

当。取不同数值时，可得到一组平行直线，D对；

故选：C.

12.A

分斜率存在不存在，若斜率存在，根据直线方程求出斜率，由斜率求倾斜角.

【详解】

设直线（片+1卜-2ay-3=0的倾斜角为。,

TT

当4=0时，。=万；

2.

当QWo时，则tan。="+-I4Z+-l∈(-∞,-l]U[l,+∞).

因为o≤eV万

所以夕W

π3；T

综上可得：8WN

故选：A

13.B

根据直线与X轴平行，由直线方程各项系数的特征，即可求”的值.

答案第6页，共11页

【详解】

直线(6/-。-2)x+(3α?-5α+2)y+。-1=0与X轴平行

6a2-a-2=0

・，・,3(/—5tz+2≠0,解得：a=—

2

。-1≠0

故选：B.

14.C

由三点共线可得出向量共线，再根据向量共线的知识即可解题.

【详解】

因为A(—2,3),B(3,2),Cm三点共线，

所以方向向量AB=(5,-1)与AC=(I,机-3)共线,

所以5("L3)-(-1)X2=O,解得，"=4∙

22

故选：C

本题主要考查点共线和向量共线问题，属于常规题型.

15.D

先判断直线斜率的正负，当斜率为正时，再根据倾斜程度比较斜率大小.

【详解】

由图可知：4斜率为负，4斜率为0，4%的斜率为正，

又Ii的倾斜程度大于所以6的斜率最大，

故选：D.

答案第7页，共11页

由斜率相等得α,6的关系.

【详解】

解析：由题意得空

2a+2

6f⅛+2(tz+fe)=0,.

ah2

故答案为：-

17.[-∣,2]

计算线段AB的距离，得到点尸的轨迹，将点A,8分别代入2x-ay-α=0,得到“，根据

题意得到直线/所过定点。，求出直线AC,BC的斜率，根结合直线/与线段AB始终有交点

计算出。的取值范围.

【详解】

因为IAfil=J(-l-iy+(2-O)2=2√Σ,且∣Λ4∣+∣P8∣=2夜，

由图可知，点P的轨迹为线段A8,

将点48的坐标分别代入直线/的方程，可得α=2,α=-∣,

由直线/的方程可化为：2x-«(>-+l)=0,所以直线/过定点C(0,-1),

画出图形，如图所示：

因为直线AC的斜率为MC=1,直线BC的斜率为*8C=U2?=-3,

-1—0

答案第8页，共11页

所以直线/的斜率为上=2,令/,解得-]%W2,

a2≤-33

.a

2

所以。的取值范围是2].

_2

故答案为：2].

18.90°

由已知求得两直线的倾斜角，由此可求得答案.

【详解】

解：因为。的斜率5G，所以倾斜角为60。.

又力的倾斜角为//的所以/2的倾斜角为30。,

所以。与/2的倾斜角之和为60o+30o=90o.

故答案为：90°.

19.%的值为-7,-2,2或3

根据直角顶点分类讨论，由垂直关系列式求解

【详解】

ιγt-L11+1

①若NA为直角，则AC_LAB,所以∕AC∙3B=-1,即黑XH=-1,解得也=-7；

2-5I—5

②若D8为直角，则ASL8C,所以*AB∕BC=T,即=X黑=—1，

l-52-1

解得/77=3；

③若NC为直角，则AC_L8C,所以原CMBC=T，即黑誓=T，

2—52—1

解得m=±2.

综上，〃?的值为-7,-2,2或3.

(U-√_1ɪ1

20.(1)M∣4(ΛL-l),4(⅛-l)J,U14Y2<k<-∙(2)

κ24,3

答案第9页，共11页

(1)首先设直线MV:y=丘+b,由直线MN过点代入求出b=再联立直

线OA方程V=X，直线A3X=1,即可得解；

(2)首先求出底长.IAM.=I-£2k2+1=望3-,2k再求高d1=＞1荻2k—可1=2而k—3D,带入面积公

式，即可得解.

【详解】

(1)设直线MN:y=履+"因为直线MN过点P

LL…11,1k

所以二=hf：f=:一二•，

4242

1k

：.MN:>>=依-5,直线OA:y=x,直线AB:x=l,

2⅛-l2k-∖

故M,小筌

4(Λ-1),4(⅛-1)^

11,1

^OP=],%>=一一<k<-

222

2⅛+l3-2%,2k-I2k-3

⑵∙∣AN∣=1-—―=—:—,d

444(⅛-l)^4(⅛-l),

2k-3_(21-3)2_I+%1)+%—：_ɪ1

.∖S=-∖AN∖∙d=-×^^-×+(1-4)+1

2l1244(J)32(1)32(T)8[4(l-⅛)

—≤Z≤一,一≤1—Zc≤——≤S≤—,

222