北师大版九年级上册数学相似三角形整理与复习

PAGE相似三角形整理与复习【考点分析】①了解比例的性质、线段的比、成比例的线段；通过建筑、艺术上的实例了解黄金分割．②通过具体实例认识图形的相似，了解相似多边形和相似比．③掌握两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．一、比例线段比例线段：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段.第四比例项：若，则d叫a、b、c的第四比例项.比例中项：若，即，则b叫a、c的比例中项.针对练习：1、下列说法中正确的是（

）

A.两条线段的比总是整数B.两条线段的比总是正数

C.两条线段的比可能为0D.两条线段的比与所采用的长度单位有关2、下列各组中的四条线段成比例的是()A.a=，b=3，c=2，d=B.a=4，b=6，c=5，d=10C.a=2，b=，c=2，d=D.a=2，b=3，c=4，d=1二、比例的性质1基本性质：（a、b、c、d都不为零）2等比性质：如果，那么．温馨提示：(1)此性质的证明运用了“设法”，这种方法是有关比例计算，变形中一种常用方法．(2)应用等比性质时，要考虑到分母是否为零．(3)可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用等比性质也成立．如：；其中三、黄金分割点C把线段AB分成两条线段AC和BC,如果,那么称线段AB被点C黄金分割,点C叫做线段AB的黄金分割点,AC与AB的比叫做黄金比.黄金比=黄金比=BCABCA四、相似多边形1.一般地,形状相同的图形称为相似图形。2.对应角相等、对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形.相似多边形对应边的比叫做相似比。3、相似多边形的性质（1）相似三角形对应高的比、对应角平分线的比和对应中线的比都等于相似比。（2）相似多边形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。例1、（1）若2x－5y=0，则y∶x=________，=________.（2）已知，求下列各式的值：变式练习1：（1）已知，则（2）已知x∶y∶z=3∶4∶5，①求的值；②若x+y+z=6，求x、y、z.（2）若,且2a－b+3c=21.试求a，b，c.例2、如图，用纸折出黄金分割点：裁一张正方的纸片ABCD，先折出BC的中点E，再折出线段AE，然后通过折叠使EB落到线段EA上，折出点B的新位置B′，因而EB′=EB．类似地，在AB上折出点B″使AB″=AB′．这是B″就是AB的黄金分割点．请你证明这个结论．变式练习2：据有关实验测定，当气温处于人体正常体温（37°C）的“黄金分割点”时，人感到最舒适.这个气温约为_______°C.例3、以长为2的线段AB为边作正方形ABCD，取AB的中点P，连结PD，在BA的延长线上取点F，使PF=PD，以AF为边作正方形AMEF，点M在AD上，（1）求AM、DM的长.（2）求证：AM2=AD·DM.（3）根据（2）的结论你能找出图中的黄金分割点吗？变式练习3：如果一个矩形ABCD(AB＜BC)中，≈0.618，那么这个矩形称为黄金矩形，黄金矩形给人以美感.在黄金矩形ABCD内作正方形CDEF，得到一个小矩形ABFE(如图)，请问矩形ABFE是否是黄金矩形？请说明你的结论的正确性.例4、如图，将矩形ABCD沿两条较长边的中点的连线对折，得到的矩形ADFE与矩形ABCD相似，确定矩形ABCD长与宽的比。变式练习4：在长8cm，宽4cm的矩形中截去一个矩形，使留下的矩形（图中阴影部分）与矩形相似，那么留下的矩形的面积为（）cm2。A32B8C24D12课堂练习选择题已知线段a、b、c、d满足ab=cd，把它改写成比例式，错误的是()A.a∶d=c∶b B.a∶b=c∶dC.d∶a=b∶c D.a∶c=d∶b下列说法中正确的是：所有的（）都相似。A、菱形B、矩形C、正方形D、梯形一条线段的黄金分割点有（）.

A.1个B.2个C.3个D.无数个已知点M将线段AB黄金分割(AM＞BM)，则下列各式中不正确的是()A.AM∶BM=AB∶AMB.AM=ABC.BM=ABD.AM≈0.618AB下列各组图形中相似的是（）A、①②③B、②③④C、①③④D、①②④如图，正五边形FGHMN是由正五边形ABCDE经过位似变换得到的，若AB:FG=2:3，则下列结论正确的是（）A．2DE=3MN，B．3DE=2MN，C.3∠A=2∠FD．2∠A=3∠F已知,则下列式子中正确的是（）A.a∶b=c2∶d2B.a∶d=c∶bC.a∶b=（a+c）∶（b+d）D.a∶b=（a－d）∶（b－d）如果一个矩形对折后所得矩形与原矩形相似，则此矩形的长边与短边的比是()A.2∶1 B.4∶1C.∶1 D.1∶

（二）填空题如果,那么=________.若5：2=（3-x）：x，则x=___________在1∶500000的地图上，A、B两地的距离是64cm，则这两地间的实际距离是________.（三）解答题已知线段AB=10cm，C、D是AB上的两个黄金分割点，求线段CD的长.在同一时刻物高与影长成比例，如果一古塔在地面上的影长为50m，同时高为1.5m的测杆的影长为2.5m，那么古塔的高是多少?已知实数a,b,c满足,求的值.自我巩固以下列长度（同一单位）为长的四条线段中，不成比例的是（）A、2，5，10，25B、4，7，4，7C、2，，，4D、，，2，若,且3a－2b+c=3,则2a+4b－3c的值是（）A.14 B.42C.7 D.五边形ABCDE∽五边形A′B′C′D′E′，若对应边AB与A′B′的长分别为50厘米和40厘米，则五边形A′B′C′D′E′与五边形ABCDE的相似比是()A.5∶4 B.4∶5C.5∶2 D.2∶5若点C是线段AB的黄金分割点，且AB=2，则AC=（）A、B、C、D、或以下五个命题：①所有的正方形都相似②所有的矩形都相似③所有的三角形都相似④所有的等腰直角三角形都相似⑤所有的正五边形都相似.其中正确的命题有_______.图形的相似（二）图形的相似（二）知识点总结

1.相似三角形相似三角形的定义：对应角，对应边的两个三角形叫做相似三角形.相似三角形叫做相似比.(2)相似三角形的性质：相似三角形的对应角，对应边.2.三角形相似的条件(1)，两三角形相似.(2)，两三角形相似.(3)，两三角形相似.3.相似三角形的性质(1)相似三角形的，与都等于相似比.(2)相似三角形周长之比等于，相似三角形面积之比等于.例1、如图，D为ΔABC内一点，E为ΔABC外一点，且∠1=∠2，∠3=∠4.(1)ΔABD与ΔCBE相似吗？请说明理由.(2)ΔABC与ΔDBE相似吗？请说明理由.变式练习1：如图，已知BD、CE都是△ABC的高。_E_A_C_B__E_A_C_B_D（2）试猜想∠ADE与∠ABC有何关系？并说明你的猜想。例2、如图△ABC是一块锐角三角形材料，边BC=120mm，高AD=80mm，要求把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长是多少？变式练习2：在△ABC中，AD是高，矩形PQMN的顶点P、N分别在AB、AC上，QM在边BC上.若BC=8cm，AD=6cm，且PN=2PQ，求矩形PQMN的周长.例3、已知：如图，等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°，AE是△ABC的外角平分线，BF是∠ABC的平分线，BF的延长线交AE于E．求证：(1)AF＝BF＝BC；(2)EF∶BF＝BC∶FC．

课堂检测（一）选择题下列命题错误的是（）A.两个全等的三角形一定相似B.两个直角三角形一定相似C.两个相似三角形的对应角相等，对应边成比例D.相似的两个三角形不一定全等如图，△ABC中，AD⊥BC于D，下列条件：⑴∠B＋∠DAC＝90°；⑵∠B＝∠DAC；⑶EQ\F(CD,AD)=EQ\F(AC,AB)；⑷其中一定能够判定△ABC是直角三角形的有（）A、1 B、2 C、3 D、4第2题图第2题图在△ABC与△中，有下列条件：①；⑵③∠A＝∠；④∠C＝∠。如果从中任取两个条件组成一组，那么能判断△ABC∽△的共有（ ）组。A、1 B、2 C、3 D、4如图，D、E分别是AB、AC上两点，CD与BE相交于点O，下列条件中不能使ΔABE和ΔACD相似的是（）∠B=∠CB.∠ADC=∠AEBC.BE=CD，AB=ACD.AD∶AC=AE∶AB第4题图第6题图第4题图第6题图5.下列说法中正确的是()A.位似图形可以通过平移而相互得到B.位似图形的对应边平行且相等C.位似图形的位似中心不只有一个D.位似中心到对应点的距离之比都相等6.如图所示，D、E分别是ΔABC的边AB、AC上的点，DE∥BC，并且AD∶BD=2，那么SΔADE∶S四边形DBCE=（）A.B.C.D.7.△ABC和△A′B′C′符合下列条件，其中使△ABC和△A′B′C′不相似的是（）A.∠A=∠A′=45°∠B=26°∠B′=109°B.AB=1AC=1.5BC=2A′B′=4A′C′=2B′C′=3C.∠A=∠B′AB=2AC=2.4A′B′=3.6B′C′=3D.AB=3AC=5BC=7A′B′=A′C′=B′C′=8.如图，在大小为4×4的正方形网格中，是相似三角形的是（）①②③④A.①和②B.②和③C.①和③D.②和④第9题（二）填空题第9题9.如图，在RTABC中，AC⊥BC，CD⊥AB于D，AC=8，BC=6，则AD=_________。第10题图10.如图，AD=DF=FB，DE∥FG∥BC，则SⅠ∶SⅡ∶SⅢ=.第10题图11.两个相似多边形的一组对应边分别为3cm和4.5cm，如果它们的面积之和为130cm2，那么较小的多边形的面积是cm2.12.已知△ABC的三条边长分别为3cm,4cm,5cm,△ABC∽△A′B′C′，那么△A′B′C′的形状是______，又知△A′B′C′的最大边长为20cm，那么△A′B′C′的面积为________.（三）解答题 13已知：如图，在正方形ABCD中，P是BC上的点，且BP=3PC， Q