浙江省宁波市镇海中学2023-2024学年高三上学期期末考试数学试题和答案

1镇海中学2023学年第一学期期末考试高三数学试题说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分.考试时间120分钟，本次考试不得使用计算器，请考生将所有题目都做在答题卷上.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。2．函数f(x)=2x+x3-9的零点所在区间为()A．与a有关，且与b有关B．与a无关，且与b有关C．与a有关，且与b无关D．与a无关，且与b无关A．充要B．充分不必要C．必要不充分D．既不充分也不必要l」n，则下列说法中正确的是()A.l//aB.l」βC.若a(β=a，则a//lD.a」β6.已知,是单位向量，且它们的夹角是60.若=+2,=λ-，且||=||，则λ=A．2B．-2C．2或-3D．3或-27．函数f(x)=+xcosx在[-2π,2π]上的图象大致为()2D.+y312x23y2恒成立，则实数k的最大值为()A.12B.24二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。9.已知复数z1,z2，则下列结论正确的有().z2C.z1z2=z1.z2D.z1+z2=z1+z2若f(x+2)为奇函数，则()A.g(x)关于x=1对称B.g(x)为奇函数C.f(2)=0D.f(x)为偶函数，P(x0,y0)为曲线Γ上动点，则()A.曲线Γ关于y轴对称B.曲线Γ的图象具有3条对称轴C.y0ea,aD.OP的最大值为a三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。角B=13.镇海中学举办大观红楼知识竞赛，该比赛为擂台赛，挑战者向守擂者提出挑战，两人轮流答题，直至一方答不出或答错，则另一方自动获胜，挑战者先答题，守擂者和挑战者每次答对问题的概率都是，每次答题互相独立，则挑战者最终获胜的概率为.14．在四面体P一ABC中，BPLPC,经BAC=60。，若BC=2，则四面体P一ABC体积的最大值是，它的外接球表面积的最小值为.3四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。=(b-a,c),=(sinB-sinC（1）求A2）若ΔABC的外接圆半径为2，且cosBcosC=-，求ΔABC的面积.16.（15分）已知Tn为正项数列{an}的前n项的（2）若数列{bn}为递增数列，求实数k的取值范围；17.（15分）某款游戏预推出一项皮肤抽卡活动，玩家每次抽卡需要花费10元，现有以下两种方案.方案一：没有保底机制，每次抽卡抽中新皮肤的概率为p1；方案二：每次抽卡抽中新皮肤的概率为p2，若连续99次未抽中，则第100次必中新皮肤.已知0<p2<p1<1，玩家按照一、二两种方案进行抽卡，首次抽中新皮肤时的累计花费为X,Y（元）.（1）求X,Y的分布列；（2）求E(X)；（3）若p1=2p2=0.02，根据花费的均值从游戏策划角度选择收益较高的方案.线l与椭圆交于A、B两点（其中点A在x轴上方△ABF2的周长为4x23（1）求椭圆C的标准方程；x23（2）如图，将平面xOy沿x轴折叠，使y轴正半轴和x轴所确定的半平面（平面AF1F2）与y轴负半轴和x轴所确定的半平面（平面BF1F2）互相垂直.1若θ=，求三棱锥A-BF1F2的体积，2若θ=，异面直线AF1和BF2所成角的余弦值；θ<，使得△ABF2折叠后的周长为与折叠前的周长之比为？若存在，求tanθ的值；若不存在，请说明理由.19.（17分）在几何学常常需要考虑曲线的弯曲程度，为此我们需要刻画曲线的弯曲程度.考察如图所示的光滑曲线C:y=f(x)上的曲线段，其弧长为Δs，当动点从A沿曲线段一AB运动到B点时，A点的切线lA也随着转动到B点的切线一lB，记这两条切线之间的夹角为Δθ（它等于lB的倾斜角与lA的倾斜角之差）.显然，当弧长固定时，夹角越大，曲线的弯曲程度就越大；当夹角固定时，弧长越小则弯曲程度越大， 一Δθ因此可以定义K=为曲线段AB 一Δθ ΔθK==（若极限存在）为曲线C在点A处的曲率.（其中y',y''Δθy=f(x)在点A处的一阶、二阶导数）（1）求单位圆上圆心角为60o的圆弧的平均曲率；（3）定义Q(y)=为曲线y=f(x)的“柯西曲率”.已知在曲线f(x)=xlnx-2x上存在两点P(x1,f(x1))和Q(x2,f(x2)),且P,Q处的“柯西曲率”相同，求+的取值528y23x2-y328y23x2-y3a=+，axy8答案：CBDBCDCB9.BC10.ACD11.ABC 11.【解析】将x用-x替换代入方程，方程不变，故曲线关于y轴对称，A正确；令x=rcosθ,y=rsinθ,代入整理可得r=asin3其中r=>0，θ为点(x,y)所在终边对应的角度，且θe[0,2π)，因为r>0，故θe0,U,πU,，因为曲线关于y轴对称，故θe,对应的图象关于θ=轴（即y轴对称）对称，注意到r=asin3θ关于θ的周期为，故曲线也关于θ=和θ=（即y=土）对称，故B选项正确；y0=asin3θsinθ=sin2θ(3-4sin2θ)e-a,，C正确；综上，选ABC.2-y2)常x4+(2y2-3ay)x由实根分布可知y0e-a,a.2223x238y2y23x2x2由正弦定理得c(b-c)-(b-a)(a+b)=0，即bc-c2+a2-b2=0，6因为‘ABC的外接圆半径R=2，所以由正弦定理可得sinBsinC=.==所以S‘ABC=bcsinA=xx=.n 1617.【解析】因为E(X)<E(Y)，故选择方案二.18.18.解1）由椭圆的定义知：AF1+AF2=2a,B所以△ABF2的周长L=4a=8，所以a=2，7F------A,BF2由题意，椭圆的焦点在由题意，椭圆的焦点在x轴上，（（2）①联立求得联立求得A(0,)因为点A在x轴上方）以及B(|（_,_，00||FF2|AF3565,OO为坐标原点，折叠后原y轴负半轴，原x轴，原y轴正半轴所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则空间直角坐标系，则---------FA.BF212记异面直线AF1和BF2所成角为Q，则FABF------②设折叠前②设折叠前A(x1,y1)，B(x2,y2)，折叠后A，B在新图形中对应点记为ABA，(x12,0,_y2)，将直线将直线l方程与椭圆方程联立〈2+1，得(3m2+822x1-x2+y1222x1-x2+y12x-x-y2又222+y1+y2x-xx1-x2+y1-y2y12y2在折叠后的图形中建立如图所示的空间直角坐标系（原在折叠后的图形中建立如图所示的空间直角坐标系（原x轴仍然为x轴，原y轴正半轴为y轴，原原y轴负半轴为z轴i）2x-x22+y1+i）2x-x22+y1+y2 22x1-x2+y1-y2所以AB-A,B,=--2y1y222x1-x2+y1-y2+1y1y2ii）所以=-2y1y22， 36] 36]222，2因为因为0<θ<，所以tanθ==.92x1-4x232x1-4x23由三余弦定理可知，由三余弦定理可知，cosABF=-cos2θ,在