清单09 玩转圆锥曲线经典题型（12个考点梳理+题型解读+提升训练）（解析版）

清单09玩转圆锥曲线经典题型（12个考点梳理+题型解读+提升训练）【知识导图】【考点分布图】【知识清单】1、过椭圆的右焦点作两条互相垂直的弦，．若弦，的中点分别为，，那么直线恒过定点．2、过椭圆的长轴上任意一点作两条互相垂直的弦，．若弦，的中点分别为，，那么直线恒过定点．3、过椭圆的短轴上任意一点作两条互相垂直的弦，．若弦，的中点分别为，，那么直线恒过定点．4、过椭圆内的任意一点作两条互相垂直的弦，．若弦，的中点分别为，，那么直线恒过定点．5、以为直角定点的椭圆内接直角三角形的斜边必过定点6、以上顶点为直角顶点的椭圆内接直角三角形的斜边必过定点，且定点在轴上．7、以右顶点为直角顶点的椭圆内接直角三角形的斜边必过定点，且定点在轴上．8、以为直角定点的抛物线内接直角三角形的斜边必过定点，9、以为直角定点的双曲线内接直角三角形的斜边必过定点10、已知是椭圆上的定点，直线（不过点）与椭圆交于，两点，且，则直线斜率为定值．11、已知是双曲线上的定点，直线（不过点）与双曲线交于，两点，且，直线斜率为定值．12、已知是抛物线上的定点，直线（不过点）与抛物线交于，两点，若，则直线斜率为定值．13、为椭圆上一定点，过点作斜率为，的两条直线分别与椭圆交于两点．（1）若，则直线过定点；（2）若，则直线过定点．14、设是直角坐标平面内不同于原点的一定点，过作两条直线，交椭圆于、、、，直线，的斜率分别为，，弦，的中点记为，．（1）若，则直线过定点；（2）若，则直线过定点．15、过抛物线上任一点引两条弦，，直线，斜率存在，分别记为，即，则直线经过定点．16、定值问题解析几何中定值问题的证明可运用函数的思想方法来解决．证明过程可总结为“变量—函数—定值”，具体操作程序如下：（1）变量----选择适当的量为变量．（2）函数----把要证明为定值的量表示成变量的函数．（3）定值----化简得到的函数解析式，消去变量得到定值．17、求定值问题常见的方法有两种：（1）从特殊情况入手，求出定值，再证明该定值与变量无关；（2）直接推理、计算，并在计算推理过程中消去变量，从而得到定值．18、求最值问题常用的两种方法（1）几何法：题中给出的条件有明显的几何特征，则考虑用几何图形性质来解决，这是几何法．（2）代数法：题中给出的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求该函数的最值．求函数的最值常见的方法有基本不等式法、单调性法、导数法和三角换元法等，这就是代数法．19、求定值、最值等圆锥曲线综合问题的“三重视”（1）重视定义在解题中的作用（把定义作为解题的着眼点）．（2）重视曲线的几何特征特别是平面几何性质与方程的代数特征在解题中的作用．（3）重视根与系数的关系在解题中的作用（涉及弦长、中点要用根与系数的关系）．20、求参数的取值范围据已知条件及题目要求等量或不等量关系，再求参数的范围．21、在面对有关等角、倍角、共线、垂直等几何特征时，可设法将条件翻译成关于斜率的关系式，然后将斜率公式代入其中，得出参数间的关系式，再根据要求做进一步的推导判断．22、通过合理的方式，将所需要的坐标、斜率、角度、向量数量积等问题利用参数进行表达，进而构造函数，通过求函数值域解决．涉及向量的数量积，多与坐标有关，最终利用根与系数的关系进行解决．23、求定值问题常见的方法有两种：（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．24、求解直线过定点问题常用方法如下：（1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；（2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；（3）求证直线过定点，常利用直线的点斜式方程或截距式来证明．24、证明共线的方法：（1）斜率法：若过任意两点的直线的斜率都存在，通过计算证明过任意两点的直线的斜率相等证明三点共线；（2）距离法：计算出任意两点间的距离，若某两点间的距离等于另外两个距离之和，则这三点共线；（3）向量法：利用向量共线定理证明三点共线；（4）直线方程法：求出过其中两点的直线方程，在证明第3点也在该直线上；（5）点到直线的距离法：求出过其中某两点的直线方程，计算出第三点到该直线的距离，若距离为0，则三点共线．（6）面积法：通过计算求出以这三点为三角形的面积，若面积为0，则三点共线，在处理三点共线问题，离不开解析几何的重要思想：“设而不求思想”．26、证明四点共圆的方法：方法一：从被证共圆的四点中先选出三点作一圆，然后证另一点也在这个圆上，若能证明这一点，则可肯定这四点共圆．方法二：把被证共圆的四个点连成共底边的两个三角形，且两三角形都在这底边的同侧，若能证明其顶角相等，则可肯定这四点共圆（根据圆的性质一一同弧所对的圆周角相等证）．方法三：把被证共圆的四点连成四边形，若能证明其对角互补或能证明其中一个外角等于其内对角时，则可肯定这四点共圆（根据圆的性质一一圆内接四边形的对角和为，并且任何一个外角都等于它的内对角）．方法四：证明被证共圆的四点到某一定点的距离都相等，或证明被证四点连成的四边形其中三边中垂线有交点），则可肯定这四点共圆（根据圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹为圆）．27、（1）若点是圆上的点，则过点的切线方程为．（2）若点是圆外的点，由点向圆引两条切线，切点分别为A，B，则弦AB所在直线方程为．（3）若点是椭圆上的点，则过点的切线方程为．（4）若点是椭圆外的点，由点P向椭圆引两条切线，切点分别为A，B，则弦AB所在直线方程为．【考点精讲】考点1：斜率和问题例1．（2023·浙江·高二温州中学校联考期中）已知双曲线，斜率为k的直线l过点M.(1)若，且直线l与双曲线C只有一个交点，求k的值；(2)已知点，直线l与双曲线C有两个不同的交点A，B，直线的斜率分别为，若为定值，求实数m的值.【解析】（1）由题设，设直线，联立双曲线，得，所以，当，即时，直线与双曲线只有一个交点，当，交点为；当，交点为；当，此时，则，当，切点为；当，切点为；综上，或.（2）由题设直线，联立双曲线方程，得，则，故，所以①，设，则，，由又，，为定值，所以，此时为定值.例2．（2023·广东广州·高二广州市育才中学校考期中）已知椭圆的焦距为，且经过点.(1)求椭圆的方程；(2)经过椭圆右焦点且斜率为的动直线与椭圆交于、两点，试问轴上是否存在异于点的定点，使得直线和关于轴对称？若存在，求出点坐标，若不存在，说明理由.【解析】（1）椭圆的焦距为，故，过点，，且，联立解得：所以椭圆的方程为：.（2）椭圆右焦点为，故过椭圆右焦点且斜率为的动直线为：，和椭圆联立得：，，设，则，设存在异于点的定点，直线和关于轴对称，故，即化简得：，即则.故存在异于点的定点，使得直线和关于轴对称.例3．（2023·浙江·高二校联考期中）已知双曲线的右焦点，离心率为.(1)求双曲线的方程；(2)过点直线与双曲线交于两点，设直线的斜率分别为，求证：为定值.【解析】（1）由题意得，解得，所以双曲线的方程为.（2）由题意得直线AB的斜率存在且不为0.设直线方程为，，.联立，消去得，所以.，又，.考点2：斜率积问题例4．（2023·广东深圳·高二深圳市高级中学校考期中）已知圆M：，点，S是圆M上一动点，若线段SN的垂直平分线与SM交于点Q.(1)求点Q的轨迹方程C；(2)对于曲线C上一动点P，且P不在x轴上，设△PMN内切圆圆心为E，证明：直线EM与EN的斜率之积为定值.【解析】（1）圆M：的圆心，半径.设SN中点为K，则KQ为线段SN的垂直平分线，则，所以，所以点Q的轨迹是以，为焦点，长轴长为4的椭圆，即，则，所以点Q的轨迹方程为：；（2）证明：根据椭圆的对称性，不妨设，圆E的半径为.，同理，所以，又，所以.对于，，又，所以，所以，，即直线EM与EN的斜率之积为定值.例5．（2023·四川成都·高二成都实外校考阶段练习）已知，，动圆与圆外切且与圆内切．圆心的轨迹为曲线．(1)求曲线C的方程；(2)是否存在过点的直线交曲线C于A，B两点，使得点Q为中点时，直线的斜率与直线OQ的斜率乘积为定值？如果存在，求出这个定值，如果不存在，说明理由．【解析】（1）依题意可得圆的圆心为，半径为1，圆的圆心为，半径为7，设动圆的半径为，由动圆与圆外切且与圆内切，则，且，则由椭圆的定义可知，动点的轨迹是以，为焦点，4为半长轴长的椭圆，所以，，，故曲线C的方程的方程为．（2）依题意可得过点的直线的斜率存在，则设直线为，联立，消整理得，当点Q为中点时，有，解得，又，所以(定值)，故直线的斜率与直线OQ的斜率乘积为定值．例6．（2023·全国·高二专题练习）已知椭圆的长轴为双曲线的实轴，且椭圆过点.(1)求椭圆的标准方程；(2)设点是椭圆上异于点的两个不同的点，直线与的斜率均存在，分别记为，若，试问直线是否经过定点，若经过，求出定点坐标；若不经过，请说明理由.【解析】（1）因为椭圆的长轴为双曲线的实轴，所以，因为椭圆过点，所以，，得，所以椭圆方程为；（2）①当直线的斜率存在时，设其方程为，由，得，

，所以，，所以，，因为，所以，所以，所以，所以，化简得，即，所以或，当时，直线的方程为，则直线过定点（舍去），当时，直线的方程为，所以直线过定点，②当直线的斜率不存在时，设直线为（），由，得，所以，所以，解得（舍去），或，所以直线也过定点，综上，直线恒过定点.考点3：夹角问题例7．（2023·天津北辰·高二统考期中）已知椭圆经过点，且离心率为．(1)求椭圆的方程；(2)若直线与椭圆相交于A，B两点，线段AB的中点为，是否存在常数，使恒成立，并说明理由．【解析】（1）由题意知，又因为解得．所以椭圆方程为．．（2）存在常数，使恒成立．证明如下：由得，且．设，，则

，

．又因为，，，

所以.又因为线段的中点为，所以，所．所以存在常数，使恒成立.例8．（2023·上海浦东新·高二华师大二附中校考期中）如图，D为圆O：上一动点，过点D分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为A，B，连接并延长至点W，使得，点W的轨迹记为曲线．(1)求曲线C的方程；(2)若过点的两条直线，分别交曲线C于M，N两点，且，求证：直线MN过定点；(3)若曲线C交y轴正半轴于点S，直线与曲线C交于不同的两点G，H，直线SH，SG分别交x轴于P，Q两点．请探究：y轴上是否存在点R，使得？若存在，求出点R坐标；若不存在，请说明理由．【解析】（1）设，，则，由题意知，所以，得(，所以，因为，得，故曲线C的方程为．（2）由题意可知，直线不平行坐标轴，则可设的方程为：，此时直线的方程为．由，消去得：，解得：或(舍去)，所以，所以，同理可得：．当时，直线的斜率存在，，则直线的方程为，所以直线过定点．当时，直线斜率不存在，此时直线方程为：，也过定点，综上所述：直线过定点．（3）假设存在点R使得，设，因为，所以，即，所以，所以，直线与曲线C交于不同的两点G、H，易知G、H关于轴对称，设，易知点，直线方程是，令得点P横坐标，直线方程是，令得点Q横坐标，由，得，又在椭圆上，所以，所以，解得，所以存在点，使得成立．例9．（2023·河北·高二校联考期中）已知椭圆：的右焦点为，离心率为．(1)求的方程．(2)若，为上的两个动点，，两点的纵坐标的乘积大于0，，，且．证明：直线过定点．【解析】（1）依题意可得则，故的方程为．（2）由题意可知直线的斜率存在，设直线的方程为，联立得，设，的坐标分别为，则，且，．设直线，的倾斜角分别为，因为，且，两点的纵坐标的乘积大于0，所以，所以则，则即，所以所以，化简可得则直线的方程为，故直线过定点考点4：数量积问题例10．（2023·辽宁·高二校联考期中）已知双曲线的渐近线方程为，右顶点为.(1)求双曲线的标准方程；(2)过的直线l与双曲线的一支交于两点，求的取值范围．【解析】（1）由渐近线方程为，所以，右顶点为，所以，，故双曲线的标准方程为．（2）如下图所示：根据题意易知，直线斜率存在，并设直线l的方程为，设，则联立直线和双曲线消去可得．因为直线与双曲线一支交于两点，所以，解得，因此．因为，所以，所以，所以，故．例11．（2023·重庆沙坪坝·高二重庆一中校考阶段练习）已知双曲线：经过点，其中一条渐近线为.(1)求双曲线的方程；(2)一条过双曲线的右焦点且纵截距为的直线，交双曲线于，两点，求的值.【解析】（1）因为双曲线的渐近线方程为，所以①，又因为点在双曲线上，所以②，①②联立解得，，所以双曲线的方程为.（2）由（1）可知双曲线中，所以右焦点坐标为，即直线的横截距为，又因为直线的纵截距为，所以直线的方程为，即，联立得，设，，则，，所以.例12．（2023·海南·高二统考期末）已知椭圆：的离心率为，点，，分别是椭圆的左、右、上顶点，是的左焦点，坐标原点到直线的距离为.(1)求的方程；(2)过的直线交椭圆于，两点，求的取值范围.【解析】（1）设椭圆的半焦距为，根据题意解得故的方程为.（2）由（1）知：.当直线的斜率为0时，点为椭圆的左、右顶点，不妨取，此时，则.当直线的斜率不为0或与轴垂直时，设其方程为，代入椭圆并消去得，设，则.而，所以.因为，所以，所以.综上，的取值范围为.考点5：垂直问题例13．（2023·浙江·高二温州中学校联考期中）平面上的动点到定点的距离等于点P到直线的距离，记动点P的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程；(2)直线与曲线C相交于A，B两点，线段AB的中点为M.是否存在这样的直线l，使得，若存在，求实数m的值，若不存在，请说明理由.【解析】（1）由题意，动点P的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，故，所以曲线C的方程为.（2）设，联立，得，且，则，故，所以，所以，又，即，不满足，所以不存在满足要求的直线l.例14．（2023·辽宁·高二校联考期中）已知焦点在x轴上的椭圆C的离心率为，且过点．(1)求椭圆C的标准方程；(2)点M，N在C上，且，证明：直线MN过定点．【解析】（1）设椭圆C的方程为，由题意得解得∴椭圆C的标准方程为．（2）证明：设点，∵，∴整理可得①，当直线MN的斜率k存在时，设，联立得，由得，则．∴，，代入①式化简可得，即，∴或，则直线方程为或，∴直线过定点或，又和A点重合，故舍去．当直线MN的斜率k不存在时，则，，此时，即，又，解得或2（舍去），此时直线MN的方程为，过点．综上所述，直线MN过定点．例15．（2023·江苏常州·高二常州市第一中学校考期中）已知抛物线经过点.(1)求抛物线的方程及其准线方程；(2)设为原点，过抛物线的焦点作斜率不为0的直线交抛物线于两点，直线分别交直线于点和点，求证：以为直径的圆经过定点.【解析】（1）由抛物线经过点，得.所以抛物线的方程为，其准线方程为.（2）抛物线的焦点为，设直线的方程为.由，得.设，则.直线的方程为，令，得，同理.由抛物线的对称性可得若以为直径的圆过定点，则定点必在轴上.设，则，所以.令，即，得或.综上，以为直径的圆经过轴上的定点和.考点6：定点问题例16．（2023·浙江台州·高二校联考期中）已知动圆过定点，且与直线相切.(1)求动圆圆心C的轨迹的方程.(2)设A、B是轨迹C上异于原点O的两个不同点，直线OA和OB的倾斜角分别为和，当，变化且为定值，证明直线AB恒过定点，并求出该定点的坐标．【解析】（1）设动圆圆心，设C到直线的距离为d，则，∴点C的轨迹是以为焦点，直线为准线的抛物线.设抛物线方程为：，由，得，∴点C的轨迹方程为：.（2）设，，，∵，显然直线AB斜率存在，∴设直线AB的方程为：，消x得：，设OA的斜率为，OB的斜率为，∵则，，∴，∴，∴，∴，∴直线AB的方程为：，即，恒过定点例17．（2023·辽宁沈阳·高二东北育才学校阶段练习）已知抛物线的焦点，为坐标原点，、是抛物线上异于的两点．(1)求抛物线的方程；(2)若直线、的斜率之积为，求证：直线过轴上一定点．【解析】（1）根据题意，，则，故抛物线方程为：.（2）显然直线的斜率不为零，且不过原点，故设其方程为，联立抛物线方程可得：，时，设两点的坐标分别为，则，，由题可知，，即，解得，此时满足，故直线恒过轴上的定点.例18．（2023·河南南阳·高二统考期中）已知抛物线的焦点为为上任意一点，以为圆心，为半径的圆与直线相切.(1)求的值；(2)若点，过点的直线与交于两点，在轴上是否存在定点，使恒成立，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由.【解析】（1）根据抛物线的定义，显然是抛物线Ω的准线，则，解得.（2）根据（1）中所求，点的坐标为，假设存在符合题意，则，设直线l方程为：，由可得，设，则，故，即，又，故，故，所以，综上所述：在x轴上存在定点，使恒成立.例19．（2023·江苏泰州·统考模拟预测）已知，是过点的两条互相垂直的直线，且与椭圆相交于A，B两点，与椭圆相交于C，D两点．(1)求直线的斜率k的取值范围；(2)若线段，的中点分别为M，N，证明直线经过一个定点，并求出此定点的坐标．【解析】（1）根据题意直线，的斜率均存在且不为0直线，分别为，，联立得，由得，则或，同理，则，所以k的取值范围为．（2）设，，由（1）得，所以，则，所以，则，同理，则直线的方程为，化简整理得因此直线经过一个定点．考点7：定值问题例20．（2023·甘肃嘉峪关·嘉峪关市第一中学校考模拟预测）已知椭圆：（，），离心率为，且点在椭圆上．（1）求椭圆的方程；（2）若椭圆上的任意一点（除短轴的端点外）与短轴的两个端点，的连线分别与轴交于，两点，求证为定值．【解析】（1）由题设，，可得，故椭圆方程为.（2）由题意，若，，设椭圆上任意一点，∴直线的方程为；直线的方程为，令，得，．∴为定值，得证．例21．（2023·安徽·高三校联考阶段练习）已知椭圆E：（）的焦点为，，且点在E上．（1）求E的方程；（2）已知过定点的动直线l交E于A，B两点，线段的中点为N，若为定值，试求m的值．【解析】（1）由题意可知，∴，而，∴，∴椭圆E的方程为．（2）①若直线l的斜率不存在，易得，②若直线l的斜率存在，设其方程为，，，则，联立得，且，，要使上式为常数，必须且只需，即，此时易知恒成立，且，符合题意．综上所述，．例22．（2023·河北秦皇岛·高二秦皇岛一中校考阶段练习）已知椭圆的两个顶点分别为，，焦点在轴上，离心率为.（1）求椭圆的标准方程（2）若点是椭圆上异于的点，判断直线与直线的斜率之积是否为定值？若是，请求出该定值，若不是，请说明理由.【解析】（1）设椭圆方程为：，，，.椭圆的方程：（2）设，则，，，.例23．（2023·陕西宝鸡·高二统考期末）已知的长轴长为4，短轴长为2．（1）求椭圆C的标准方程；（2）点A，B分别为椭圆C的左、右顶点，点P为椭圆C上的动点（异于A，B两点），过原点O作直线PB的垂线，垂足为H，直线OH与直线AP相交于点M，证明：点M的横坐标为定值．【解析】（1）因为椭圆的长轴长为4，短轴长为2，所以，所以椭圆C的标准方程是；（2）设点，因为A，B分别为椭圆C的左、右顶点，所以，则，因为直线OH垂直直线PB，所以，则，又，则，解得，因为，则，解得，所以直线OH与直线AP的交点M的横坐标为定值．考点8：向量与共线问题例24．（2023·吉林长春·东北师大附中校考一模）椭圆的离心率为，过椭圆焦点并且垂直于长轴的弦长度为1．(1)求椭圆的标准方程；(2)若直线与椭圆相交于，两点，与轴相交于点，若存在实数，使得，求的取值范围．【解析】（1）因为该椭圆的离心率为，所以有，在方程中，令，解得，因为过椭圆焦点并且垂直于长轴的弦长度为1，所以有，由可得：，所以椭圆的方程为；（2）当直线不存在斜率时，由题意可知直线与椭圆有两个交点，与纵轴也有两个交点不符合题意；当直线存在斜率时，设为，所以直线的方程设为，于是有，因为该直线与椭圆有两个交点，所以一定有，化简，得，设，于是有，因为，所以，代入中，得，于是有，化简，得，代入中，得.例25．（2023·四川遂宁·高二射洪中学校考阶段练习）已知为坐标平面上的动点，且直线与直线的斜率之积为．(1)求点的轨迹方程；(2)设点的轨迹为曲线，过点斜率为的直线与曲线交于不同的两点中点为，直线（为坐标原点）的斜率为，求证为定值；(3)在（2）的条件下，设，且，求直线在轴上的截距的变化范围．【解析】（1）设，由题意知：，化简得：得轨迹方程为；（2）法1：设的方程为：，设，联立曲线方程得：，恒成立则①，②，所以，则中点为，所以；法2：设的方程为：，设，则，相减整理得：，又，因为；（3）由得，代入①②得：③，④，③式平方除以④式得：，而根据对勾函数单调性知在上单调递增，，则，又在轴上的截距为，．例26．（2023·江苏盐城·盐城中学校考模拟预测）阿基米德（公元前287年-公元前212年，古希腊）不仅是著名的哲学家、物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.在平面直角坐标系中，椭圆：的面积为，两焦点与短轴的一个顶点构成等边三角形.过点的直线与椭圆C交于不同的两点A，B.(1)求椭圆C的标准方程；(2)设椭圆C的左、右顶点分别为P，Q，直线PA与直线交于点F，试证明B，Q，F三点共线.【解析】（1）依题意有，解得，所以椭圆C的标准方程是.（2）（i）当直线的斜率不存在，易知，，或，，当，时，直线PA的方程为：，所以点，此时，，，显然B，Q，F三点共线，同理，时，B，Q，F三点共线；（ii）当直线的斜率存在时，显然斜率，设直线的方程：，设，，由整理可得：，，，由（1）可得左右顶点分别为，，直线PA的方程为，又因为直线与交于F，所以，所以，，因为，又，所以，所以，所以B，Q，F三点共线；考点9：设点设线问题例27．（2023·河南省直辖县级单位·高二统考期末）设椭圆过点，右焦点为，设直线分别交轴、轴于C、D两点，且与椭圆交于M、N两点．(1)求椭圆C的方程；(2)若，求值，并求出弦长|MN|；(3)若线段MN的垂直平分线与轴相交于点，求实数的取值范围．【解析】（1）由题意可得：，①因为在椭圆上，所以，②又因为③．由①②③解得，．所以椭圆的方程为．（2）直线与轴交点，轴交点，设，，联立，消去得，所以④，，因为，，由得，⑤，由④⑤得，解得，又因为，所以．所以，．所以．（3）线段MN的垂直平分线斜率为，中点坐标为，．所以线段MN的中点坐标为，则中垂线的方程为．令，所以．因为当且仅当时取等号成立，则，又因为，所以，所以实数的取值范围为．例28．（2023·黑龙江哈尔滨·高二哈尔滨三中校考阶段练习）已知平面内动点与定点的距离和到定直线的距离的比是常数．(1)求动点的轨迹方程；(2)设动点的轨迹为曲线，过定点的直线和曲线交于不同两点、满足，求线段的长．【解析】（1）因为面内动点与定点的距离和到定直线的距离的比是常数，则，整理可得，因此，点的轨迹方程为.（2）若直线与轴重合，则、为椭圆长轴的顶点，若点、，则，，此时，不合乎题意，若点、，同理可得，不合乎题意，所以，直线不与轴重合，设直线的方程为，设点、，联立可得，，因为，即，所以，，即，由韦达定理可得，所以，，，解得，因此，.例29．（2023·江苏连云港·高二校考期中）双曲线：，已知是双曲线上一点，分别是双曲线的左右顶点，直线，的斜率之积为.(1)求双曲线的离心率；(2)若双曲线的焦距为，直线过点且与双曲线交于、两点，若，求直线的方程.【解析】（1）因为是双曲线E上一点，可得，即为，由题意可得，，可得，即有.（2）由题意可得，，则双曲线的方程为，易知直线斜率存在，设直线的方程为，联立直线与双曲线的方程，可得，设，则，，①又，可得，②由①②可得，，代入①可得，解得，则直线l的方程为.考点10：四点共圆问题例30．（2023·吉林通化·高二梅河口市第五中学校考阶段练习）已知双曲线与点.(1)求过点的弦，使得的中点为；(2)在（1）的前提下，如果线段的垂直平分线与双曲线交于、两点，证明：、、、四点共圆.【解析】（1）双曲线的标准方程为，所以，，设存在过点的弦，使得的中点为，设，，，，两式相减得，即，得：，，经检验，存在这样的弦，方程为；（2）设直线方程为，则点在直线上，则，所以直线的方程为，设，，的中点为，，，两式相减得，则，则，又因为在直线上有，解得，，解得，，整理得，则，则，由距离公式得，所以、、、四点共圆.例31．（2023·河北唐山·唐山一中校考模拟预测）设动点与定点的距离和到定直线的距离的比是.（1）求动点的轨迹方程；（2）设动点的轨迹为曲线，不过原点且斜率为的直线与曲线交于不同的两点，，线段的中点为，直线与曲线交于,D两点，证明：，，，四点共圆.【解析】（1）设，因为动点与定点的距离和到定直线的距离的比是，所以，整理化简得.所以动点的轨迹方程为：.（2）设直线的方程为，，，由方程组得，①方程①的判别式为，由，即，解得.由①得，.所以点坐标为，直线方程为，由方程组得，.所以.又.所以.所以，，，四点共圆.例32．（2023·河北邯郸·高二校联考期中）已知双曲线的左顶点为，不与x轴平行的直线l过C的右焦点F且与C交于M，N两点.当直线l垂直于x轴时，.(1)求双曲线C的方程；(2)若直线，分别交直线于P，Q两点，求证：A，P，F，Q四点共圆.【解析】（1）由题意，解得，所以双曲线C的方程为；（2）当直线l斜率存在时，设直线l的方程为，由，得，,整理得，设，，所以，，所以，直线，所以，同理可得，记直线交x轴于点G，所以，又，所以，当直线l斜率不存在时，不妨设，，则，，所以，所以A，P，F，Q四点共圆.考点11：极点极线问题例33．（2021•朝阳区校级期中）已知，分别是椭圆的左、右顶点，点在椭圆上，且直线与直线的斜率之积为．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）如图，已知，是椭圆上不同于顶点的两点，直线与交于点，直线与交于点．若弦过椭圆的右焦点，求直线的方程．【解答】解：（1）点在椭圆上，，又直线与直线的斜率之积为，，解得，，椭圆的方程为：．（2）设，，，，，联立，得，，，直线的直线方程为，的直线方程为，联立，解得，同理，，直线的方程为．例34．（2021•常熟市期中）如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆过点，离心率为，点，分别是椭圆的左、右顶点，点是直线上的一个动点（与轴交点除外），直线交椭圆于另一点．（1）求椭圆的方程；（2）当直线过椭圆的短轴顶点时，求的面积．【解答】解：（1）由题意，因为，得，，．所以椭圆的方程为．（2）直线的方程为，得．所以直线的方程，联立方程组，化简得，解得，，得点．又点到直线的距离，，所以．例35．（2021•邗江区校级期中）如图，已知椭圆的离心率为，，分别是椭圆的左、右顶点，右焦点，，过且斜率为的直线与椭圆相交于，两点，在轴上方．（1）求椭圆的标准方程；（2）记，的面积分别为，，若，求的值；（3）设线段的中点为，直线与直线相交于点，记直线，，的斜率分别为，，，求的值．【解答】解：（1）设椭圆的焦距为．依题意可得，，解得，．故．所以椭圆的标准方程为．（2）设点，，，．若，则，即有，①设直线的方程为，与椭圆方程，可得，可得，，②将①代入②可得，解得，则；（3）由（2）得，，所以直线的方程为，令，得，即．所以．所以．考点12：切线问题例36．（2023·江西南昌·高二南昌县莲塘第一中学校考阶段练习）已知两个定点，，动点满足．(1)求动点的轨迹方程；(2)若过点作曲线的切线，记其中的一个切点为，求线段的长．【解析】（1）由题，设点的坐标为，因为，所以，即，整理得，所以所求曲线的轨迹方程为；（2）由（1）知，圆心，半径，点，则，则切线．例37．（2023·全国·模拟预测）已知，分别是双曲线的左、右焦点，A为双曲线在第一象限的点，的内切圆与x轴交于点．(1)求双曲线C的方程；(2)设圆上任意一点Q处的切线l，若l与双曲线C左、右两支分别交于点M、N，问：是否为定值？若是，求出此定值；若不是，说明理由．【解析】（1）如图，设，与的内切圆分别交于G，H两点，则，所以，则，则双曲线C的方程为．（2）由题意得，切线l的斜率存在．设切线l的方程为，，．因为l与圆相切，所以，即．联立消去y并整理得，所以，．又．又，将代入上式得．综上所述，为定值，且．例38．（2023·全国·高二专题练习）已知点P是曲线C上任意一点，点P到点的距离与到y轴的距离之差为1．(1)求曲线C的方程；(2)设直线l1，l2为曲线C的两条互相垂直切线，切点为A，B，交点为点M．（ⅰ）求点M的轨迹方程；（ⅱ）求证：直线AB过定点，并求出定点坐标．【解析】（1）设，则当时，，所以，当时化简得；当时，由题意得，所以曲线的方程为：或.（2）（ⅰ）设，，当时，则，则，即过的切线的斜率为，若时，则，则，即过的切线的斜率为，所以过点的切线为，同理可得过点的切线为，根据，可得．所以联立两条切线方程，即，即，即，即，所以的轨迹为，（ⅱ）由题意可得的直线方程为，即，所以必过．【提升练习】1．（2023·重庆沙坪坝·高二重庆南开中学校考期中）如图，双曲线，过原点O的直线与双曲线分别交于A、C、B、D四点，且．

(1)若，P为双曲线的右顶点，记直线、、、的斜率分别为、、、，求的值；(2)求四边形面积的取值范围．【解析】（1）由题设，的斜率都存在且不为0，令，则，所以，即，联立与双曲线，得，不妨令，同理，由，则、、、，所以.（2）由题设且同（1）得，联立，则，所以，联立，同理可得，所以四边形面积，则，令，所以，而且，故，，当时，，当趋向于时，趋向于0，即趋向于正无穷，所以四边形面积的取值范围是.2．（2023·江苏淮安·高二统考期中）已知抛物线，直线交抛物线于两点，中点为．

(1)求抛物线的标准方程；(2)记抛物线上一点，直线斜率为，直线斜率为，求．【解析】（1）设，则有，①②得③均在直线上，，又中点为，则有，代入③有抛物线的标准方程为.（2）由题意知，设，同理有，④联立直线与抛物线，易得，则有，代入④式有.3．（2023·黑龙江·高二统考期中）已知椭圆C：经过点，F为椭圆C的右焦点，O为坐标原点，△OFP的面积为．(1)求椭圆C的标准方程；(2)过点且斜率不为0的直线l与椭圆C交于M，N两点，椭圆C的左顶点为A，求直线AM与直线AN的斜率之积．【解析】（1）因为△OFP的面积为，则有，解得，又因为在椭圆C上，则，解得，所以椭圆C的标准方程为．（2）当直线的斜率不存在时，直线的方程为，与椭圆方程联立得，，又因为，所以，，所以；当直线的斜率存在时，设直线的方程为，，联立方程，消去y得：，则，由韦达定理得，，所以，，综上所述，直线AM与直线AN的斜率之积为．4．（2023·辽宁鞍山·高二鞍山一中校考期中）已知抛物线的焦点为，且经过点.(1)求抛物线C方程及其准线方程；(2)过作斜率不为0的直线交抛物线于两点，直线分别交于两点，求证：以为直径的圆经过轴上的两个定点.【解析】（1）因为点在上，所以，解得，所以的方程为，准线方程为.（2）易知直线的斜率存在，设直线的方程为，联立，得，设点，则.直线的方程为，令，得，所以，同理得，设以线段为直径的圆与轴的交点为，则，因为，则，即，所以，解得或.故以线段为直径的圆经过轴上的两个定点和.5．（2023·河北邯郸·高二校联考期中）已知椭圆的离心率为，且过点.(1)求椭圆C的方程；(2)若椭圆C的上顶点为P，过P的两条直线，分别与C交于异于点P的A，B两点，若直线，的斜率之和为，试判断直线是否过定点？若是，求出该定点；若不是，请说明理由.【解析】（1）由题意知解得，，，所以椭圆C的方程为；（2）显然，直线的斜率存在，设直线的方程为，，，,由得，所以，所以，所以，所以直线的方程为，所以直线恒过定点6．（2023·河南·高二校联考期中）已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，长轴长为4，离心率为.(1)求的方程.(2)已知点是上不关于坐标轴对称的两点，且满足（表示斜率），判断直线是否过定点.若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由.【解析】（1）因为的中心在坐标原点，焦点在轴上，所以设椭圆的方程为，半焦距为.由题可得，所以，所以的方程为.（2）如图所示，由题可设直线的方程为，，联立，得，，则，所以，化简得，所以，即，将代入得，因为，所以，所以直线的方程为，恒过定点.7．（2023·重庆南岸·高二重庆市第十一中学校校考期中）已知双曲线，点在E上．(1)求E的方程；(2)过点的直线l交E于不同的两点A，B（均异于点P），求直线PA，PB的斜率之和．【解析】（1）将点代入双曲线方程可得，，解得，所以，E的方程为.（2）由已知易得直线的斜率一定存在，设斜率为，则的方程为.联立直线与双曲线的方程，整理可得，则，解得且.设，由韦达定理可得，则.8．（2023·陕西咸阳·高二统考期中）已知双曲线C：的右顶点为，且双曲线C的一条渐近线恰好与直线垂直.(1)求双曲线C的方程(2)若直线：与双曲线C的右支交于A，B两点，点F为双曲线C的右焦点，点D在双曲线C上，且轴.求证：直线过点F.【解析】（1）由右顶点为，得，由双曲线C：的一条渐近线恰好与直线垂直，得，即，∴，∴双曲线C的方程为.（2）由（）可知，右焦点F的坐标为（2，0），由题意可知直线的斜率存在且不为0，∴，设，，则，由（）可知，双曲线的渐近线方程为，又直线与双曲线的右支交于A，B两点，则，即，且直线过定点作出图像如上，联立消去得，则，得，，，则，又，∴，，∴，∴，又，有公共点F，∴B，F，D三点共线，∴直线过点F9．（2023·福建莆田·高二莆田第四中学校考期中）己知椭圆离心率，设点M和N分别是椭圆上不同的两动点．(1)求椭圆C的标准方程；(2)若直线MN过点，且，线段MN的中点为P，求直线OP的斜率的取值．【解析】（1）因为，故椭圆C的标准方程为；（2）由题意可知直线MN的斜率存在且不为0，设其方程为，联立，得，由，得；设，则，则，因为，所以，即，设直线OP的斜率为，因为，两式相减得，即，则，故直线OP的斜率的取值范围为.10．（2023·陕西汉中·高二校联考期末）已知椭圆的一个顶点为，且离心率为.(1)求椭圆的方程；(2)直线椭圆交于、两点，且，求的值.【解析】（1）设椭圆的半焦距为，由题意得，解得，∴椭圆的方程为.（2）联立，消去得.由，解得.设，，则，，∴，，易知，，∵，∴，∴，即，∴，解得或（舍）.∴.11．（2023·高二课时练习）已知点与点的距离比它到直线的距离小，若记点的轨迹为曲线．(1)求曲线的方程；(2)若直线与曲线相交于两点，且．求证直线过定点，并求出该定点的坐标．【解析】（1）点与点的距离比它到直线的距离小，点与点的距离和点到直线的距离相等，由抛物线定义知：点轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，即曲线的方程为：.（2）设，，，由得：，则，即；，，，；，，即；当时，，恒过定点.12．（2023·云南保山·高二统考期末）已知为抛物线：的焦点，直线：与抛物线交于，两点且．（1）求抛物线的方程；（2）若直线：与抛物线交于，两点，且与相交于点，且向量，，证明：为定值．【解析】（1）设，，联立方程，得，则，从而，解得，故的方程为．（2）证明：设，，且点，联立方程，得，则，同理得，因为向量，，所以，两式相加得，即，由于，所以．所以为定值．13．（2023·四川南充·高二统考期末）已知抛物线的准线与轴的交点为.（1）求的方程；（2）若过点的直线与抛物线交于，两点.求证：为定值.【解析】（1）由题意，可得，即，∴抛物线的方程为.（2）证明：设直线的方程为，，，联立抛物线有，消去x得，则，∴，，又，.∴.∴为定值.14．（2023·湖南·高二校联考期中）已知双曲线，．焦距为，浙近线方程为．（1）求双曲线C的方程．（2）已知M，N是双曲线C上关于x轴对称的两点，点P是C上异于M，N的任意一点直线PM、PN分别交x轴于点了T、S，试问：是否为定值．若不是定值，说明理由，若是定值，请求出定值（其中O是坐标原点）【解析】（1）又因为渐近线方程为，，，，.（2）是定值，定值为2设直线的方程为，，则，将直线方程代入得，因为渐近线方程为，与渐近线不平行，.设点，，则，由韦达定理可得，，由N，S，P三点共线得，故，，即为定值且定值为2.15．（2023·全国·统考模拟预测）已知椭圆（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A，B，且，e是椭圆的离心率，点（e，）在椭圆上.（1）求椭圆的方程；（2）若P是椭圆上的动点，且P与A，B不重合，直线l垂直于x轴，l与直线AP，BP分别交于M，N两点，设直线AN，BM的斜率分别为k1，k2，证明：k1k2为定值.【解析】（1）由题意易知：，解得：椭圆方程为：（2）由（1）知，设直线，且设，由三点共线，有，即；同理可得，即.所以.而，所以为定值.16．（2023·内蒙古通辽·校考模拟预测）在平面直角坐标系中，设点，直线：，点在直线上移动，是线段与轴的交点，，．（1）求动点的轨迹的方程；（2）直线与曲线交于，两点，是否为定值，若是求出该定值，若不是说明【解析】（1）是线段与轴的交点，直线和轴平行，则是线段的中点，如图：又，于是是线段的中垂线，即得，而，动点到点的距离等于到直线的距离，动点的轨迹是开口向右的抛物线，是焦点，是准线，依题意动点不能与重合，故动点的轨迹的方程；（2）设，，，，由得，则，，则有，所以为定值．17．（2023·四川·校联考二模）已知点，直线，为轴右侧或轴上动点，且点到的距离比线段的长度大1，记点的轨迹为.（1）求曲线的方程；（2）已知直线交曲线于，两点（点在点的上方），，为曲线上两个动点，且，求证：直线的斜率为定值.【解析】（1）依题意，线段的长度等于到的距离，由抛物线定义知，点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，所以的方程为；（2）将代入得，则，，如图：设抛物线E上动点，显然直线AC，AD斜率存在，，同理，因为，则，，直线的斜率，即直线的斜率为定值-1.18．（2023·高二课时练习）如图所示，抛物线关于x轴对称，它的顶点为坐标原点，点P(1，2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上．（1）求抛物线的方程及其准线方程；（2）当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，证明：直线AB的斜率为定值．【解析】（1）由题意可设抛物线的方程为y2＝2px(p>0)，则由点P(1，2)在抛物线上，得22＝2p×1，解得p＝2，故所求抛物线的方程是y2＝4x，准线方程是x＝－1．（2）证明：因为PA与PB的斜率存在且倾斜角互补，所以kPA＝－kPB，即＝－．又A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上，所以x1＝，x2＝，从而有，即，得y1＋y2＝－4，故直线AB的斜率kAB＝．19．（2023·福建三明·校联考模拟预测）已知抛物线，过的直线与抛物线相交于两点.（1）若，求直线的方程；（2）求证：为定值，并求出该定值.【解析】（1）设过的直线为，，联立得，，得，因为为抛物线的焦点，所以，，即，所以，因此，直线的方程为：或；法二：当过点的直线与轴垂直时，与抛物线的交点坐标分别为，又，所以，不合题意舍去：当过点的直线斜率存在时，可设，联立得，所以，得，因此，直线的方程为：或.（2），所以定值为1.20．（2023·江西上饶·统考二模）已知椭圆C：的离心率，点，为椭圆C的左、右焦点且经过点的最短弦长为3．(1)求椭圆C的方程；(2)过点分别作两条互相垂直的直线，，且与椭圆交于不同两点A，B，与直线交于点P，若，且点Q满足，求的最小值．【解析】（1）由题意，，解得，，所以椭圆的方程为．（2）由（1）得，若直线的斜率为0，则为与直线无交点，不满足条件．设直线：，若，则则不满足，所以．设，，，由得：，，．因为，即，则，，所以，解得，则，即，直线：，联立，解得，∴，当且仅当或时等号成立∴的最小值为5．21．（2023·安徽亳州·高二安徽省涡阳第一中学校考期末）已知椭圆的焦距为2，离心率.(1)求的方程；(2)过点的直线与椭圆交于A，B两点，若，求的方程.【解析】（1）设椭圆的半焦距为，焦距为2，得，，离心率，，解得，，C的方程为.（2）设，，显然直线的斜率存在，设斜率为，则直线的方程为.由，得，，，，，即，，解得，故，解得，直线的方程为，即直线的方程为或.22．（2023·安徽阜阳·安徽省临泉第一中学校考三模）已知双曲线C：，直线l在x轴上方与x轴平行，交双曲线C于A，B两点，直线l交y轴于点D.当l经过C的焦点时，点A的坐标为.(1)求C的方程；(2)设OD的中点为M，是否存在定直线l，使得经过M的直线与C交于P，Q，与线段AB交于点N，，均成立；若存在，求出l的方程；若不存在，请说明理由.【解析】（1）由已知C：，点A的坐标为，得，焦点，，.所以，，故C：.（2）设l的方程为，则，故，由已知直线PQ斜率存在，设直线PQ的方程为，故.与双曲线方程联立得：，由已知得，，设，，则，①由，得：，，消去得：，即②由①②得：，由已知，故存在定直线l：满足条件.23．（2023·浙江杭州·高二杭州高级中学校考期末）已知双曲线C：的渐近线方程为，且过点．(1)求双曲线C的方程；(2)若F是双曲线的右焦点，Q是双曲线上的一点，过点F，Q的直线l与y轴交于点M，且，求直线l的斜率．【解析】（1）因为双曲线C：的渐近线方程为，所以，又因为双曲线C：过点，所以，解得，所以双曲线的方程为；（2）由（1）知：，则，由题意设直线方程为，令，得，则，设，则，因为，所以，则，解得，因为点Q在双曲线上，所以，解得，所以直线l的斜率为.24．（2023·广东深圳·高二统考期末）在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C：（，）的一条渐近线为，且点在C上．(1)求C的方程；(2)设C的上焦点为F，过F的直线l交C于A，B两点，且，求l的斜率．【解析】（1）由双曲线标准方程可知，其渐近线方程为，所以，可得，将代入可得，解得；所以双曲线C的方程为.（2）由（1）可知，上焦点，设直线l的斜率为，，则直线l的方程为，联立整理得；所以又，即，可得，所以，即，解得；所