2024年新高考数学一轮复习题型归类与强化测试（新高考专用）幂函数与二次函数 含解析

专题09累函数与二次函数

知考纲要求

识考点预测

梳常用结论

理方法技巧

题题型一：塞函数的图象与性质

题型二：求二次函数的解析式

型题型三：二次函数的图象问题

归题型四：二次函数的单调性与最值问题

题型五：二次方程根的分布问题

类

题型六：二次函数中的恒成立问题

题型七：二次函数的综合问题

训练一：

培训练二：

优训练三：

训训练四：

练训练五：

训练六：

强单选题：共8题

化多选题：共4题

测填空题：共4题

试解答题：共6题

一、【知识梳理】

【考纲要求】

11

1.了解嘉函数的概念；结合函数^=》，y=N,y=V,了=%，＞=■!■的图象，了解它们的变化情

zX

况；

2.理解二次函数的图象和性质，能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题.

【考点预测】

L鬲函数

(1)基函数的定义

一般地，函数"£叫做幕函数，其中x是自变量，a是常数.

(2)常见的五种幕函数的图象

⑶基函数的性质

①基函数在(0,+8)上都有定义；

②当a>0时，幕函数的图象都过点(1,1)和(0,0),且在(0,+8)上单调递增;

③当a<0时，事函数的图象都过点(1,1),且在(0,+8)上单调递减.

2.二次函数

(1)二次函数解析式的三种形式

一般式：/(x)=ax2+bx+c(aW0).

顶点式：/(x)=a(x—/H)2+〃(aW0),顶点坐标为(加，〃).

零点式：Xx)=a(x—xi)(x—X2)(aW0),xi,改为./(x)的零点.

(2)二次函数的图象和性质

y=ax2-^-bx+cy=ax2+bx+c

函数

(AO)("0)

图象

(抛物线)

定义域R

4ac-b2.1(4ac—b2

值域，+°°1—°°,

L4aJI4a」

b

对称轴x=­

-2a

顶点

坐标2广AaJ

奇偶性当6=0时是偶函数，当bWO时是非奇非偶函数

单调性f-co,—互］f-oo,-A

在I2a」上是减函数；在12a」上是埴函数；

在卜擀’+T上是增函数在］一套+T上是减函数

【常用结论】

1.二次函数的单调性、最值与抛物线的开口方向和对称轴及给定区间的范围有关.

2.若<x)=ax2+6x+c(aW0),则当时，恒有火x)>0；当时，恒有危)<0.

3.(1)嘉函数》=靖中，a的取值影响募函数的定义域、图象及性质；

(2)能函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限.

【方法技巧】

1.赛函数的形式是y=xa(adR),其中只有一个参数a,因此只需一个条件即可确定其解析式.

2.在区间(0,1)上，取函数中指数越大，函数图象越靠近x轴(简记为“指大图低”)，在区间(1,

+8)上，凝函数中指数越大，函数图象越远离x轴.

3.在比较赛值的大小时，必须结合暴值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准

确掌握各个幕函数的图象和性质是解题的关键.

4.研究二次函数图象应从''三点一线一开口”进行分析，“三点”中有一个点是顶点，另两个

点是图象上关于对称轴对称的两个点，常取与x轴的交点；“一线”是指对称轴这条直线；“一

开口”是指抛物线的开口方向.

5.求解与二次函数有关的不等式问题，可借助二次函数的图象特征，分析不等关系成立的条件.

6.闭区间上二次函数最值问题的解法：抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间两个端点和

中点，一轴指的是对称轴，结合图象，根据函数的单调性及分类讨论的思想求解.

7.不等式恒成立求参数范围，一般有两个解题思路：一是分离参数；二是不分离参数，直接借

助于函数图象求最值.这两个思路，最后都是转化为求函数的最值问题.

二、【题型归类】

【题型一】鬲函数的图象与性质

【典例11若事函数1与y=x"在第一象限内的图象如图所示，则加与〃的取值情

况为()

A.—1<W<0<«<1

B.—\<n<O<m<-

2

C.—1</M<O<M<—

2

D.—1<W<0<7M<1

【解析】嘉函数丁=",当a>0时，在（0,+8）上单调递增，且0<a<l时，图象上凸，

当a<0时，^=犬在（0,十8）上单调递减.

不妨令x=2,由图象得2'<2",则一

综上可知，-1<〃<0<加<1.

故选D.

【典例2】惠函数/（》）=（m2-3〃?+3）的的图象关于y轴对称，则实数加=.

【解析】由嘉函数定义，知加2—3加+3=1,

解得"2=1或"?=2,

当加=1时，/（x）=x的图象不关于y轴对称，舍去，

当m—2时，风。=/的图象关于y轴对称，

因此m=2.

1

【典例3】若基函数./（彳）=52-5&-5）%-尹在（0,十8）上单调递增，则。等于（）

A.1B.6C.2D.-1

【解析】因为函数加）=（。2-5。-5）//1是弓函数,

所以。2—5a—5=1,解得a=-1或a=6.

当a=-1时，

1

>（X）=疵在（0,+8）上单调递增；

当a=6时，

人口=/3在（0,+8）上单调递减，

所以。=—1.

【题型二】求二次函数的解析式

【典例1】已知二次函数y（x）满足火2）=-1,<-1）=-1,且人x）的最大值是8,试确定此二次

函数的解析式.

【解析】解法一：(利用一般式)

设_/(x)="2+bx+c(aW0),

Aa+2b+c=-\,

由题意得，"_b+c=_l'

4ac-b2„

一,---=8,

4。

a=-4,

解之得.b=4,

c=1.

.•.所求二次函数为y=-4x?+4x+7.

解法二：(利用顶点式)

设/(x)=a(x—7M)2+”(aW0),V/(2)=/(-1),

二.抛物线对称轴为x=2±-<~-

22

...加=今又根据题意，函数有最大值为8,

***77=8,

L-112

/.Xx)=al2j+8.

V/2)=-1,即』2T之+&=一1.解之得q=-4.

M2

.,./(%)=-<2)+8=-4x2+4x+7.

解法三：(利用零点式)

由已知於)+1=0的两根为xi=2,短=-1,即g(x)=/(x)+l的两个零点为2,-1,

故可设/(X)+1=a(x—2)(x+1)(aW0),

即儿0="2_办_2。_1.

又函数有最大值Vmax=8,即妞^———————=8,

4a

解之得a=-4f

J所求函数解析式为於)=-4x2+4x~2X(-4)-1

=-4x2+4x+7.

【典例2】已知夕=/(x)是二次函数，且卜刑=六川对xWR恒成立,J=49,方

程/(x)=0的两实根之差的绝对值等于7.求此二次函数的解析式.

【解析】由xdR,/H+H2［知，/(x)的对称轴为x=一：.又,［J=49,则二次函

数./(X)的顶点坐标为

故设大幻=。［2j+49(aW0).

解法一：设方程左)=1+1+49=0的两根为孙孙

,,9,49

XI十X2=—3,X1X2=--1,

4a

则|乃—X2|=A/(X14-X2)2—4x\X2=yj-^^=7,

M2

解得&=-4,所以./(x)=-4l2j+49,

即兀v)=14x2—12x+40.

解法二：设人幻=0的两根为XI,X2,且X1VX2,由两实根之差的绝对值为7得知=一：2一：7=一

T.7

5,X2=—j+j=2,将XI或X2代入於)=0得。=一4.从而得到/X)=-4X2—12X+40.

【典例3]若函数./(x)=(x+a)(bx+2a)(a,bGR)满足条件八一x)=/(x),定义域为R,值域为(一

8,4],则函数解析式/(x)=.

【解析】/(x)=(x+a)(/>x+2a)

=加+(2"+<7加+2层.

•/./(-x)=/(x),

2a+ab=0,

•\y(x)=bx2-+2a2.

•••/(x)的定义域为R,值域为(-8,4],

/.b<0,且2a2=4,

'.b——2,.\/(x)=-2x2-\-4.

【题型三】二次函数的图象问题

【典例1]在同一坐标系中，函数丁=0%2+反与歹=ax+6（abW0）的图象可能是（）

【解析】抛物线）=52+版过原点排除A,又直线y=ar+b与抛物线），=4,/十爪都过点Ia

排除B,C.故选D.

【典例2】设Mc>0,二次函数7（》）="2+必+。的图象可能是（）

【解析】因为析c>0,

二次函数.外）=加+员+。,那么可知，

在A中，a<0,b<0,c<0,不符合题意；

B中，a<0,b>0,c>0,不符合题意；

C中，a>0,c<0,b>0,不符合题意，故选D.

【典例3]一次函数y=ax+b（aWO）与二次函数夕=ax2+bx+c在同一坐标系中的图象大致是

（）

【解析】若。>0,则一次函数y=ax+b为增函数，二次函数y=ox2+bx+c的图象开口向上，

故可排除A；若a<0,一次函数y=ax+6为减函数，二次函数y=ax2+/?x+c的图象开口向下,

故可排除D；对于选项B,看直线可知AO,b>0,从而一）<0,而二次函数的对称轴在y轴

的右侧，故应排除B,故选C.

【题型四】二次函数的单调性与最值问题

【典例1】已知危)="2—2》+1.

(1)若/(X)在［0,1］上单调，求实数4的取值范围；

(2)若xe［0』］,求於)的最小值g(a).

【解析】⑴当a=0时，,/(x)=—2x+l单调递减；

当a>0时，/(x)的对称轴为x=L且1>0,

aa

即0<aWl；

a

当a<Q时，/(x)的对称轴为x=1且^<0,

aa

a<0符合题意.

综上有，

(2)①当。=0时，,/(x)=-2x+l在［0,1］上单调递减，

.\Ax)min=/U)=-L

②当。>0时，/(x)=Q2—2x+l的图象开口方向向上，且对称轴为x=l.

a

2

(i)当上1,gpa>\时，f［x)=ax-2x+\图象的对称轴在［0,1］内，

a

0-i1

・•・/&)在_，°」上单调递减，在」上单调递增.

—

/(X)min=f1=~~+1.

0—~a~a+a

(ii)当以,即0<忘1时，义x)在［0,1］上单调递减.

a

，义X)min=/(1)=4-1.

③当4Vo时，/(x)=ax2—2x+l的图象的开口方向向下，且对称轴1=上0,在y轴的左侧,

a

.VW=ax2-2x+1在［0,1］上单调递减.

a—1,aW1,

综上所述，g(a)='_l+］,a>i

a

【典例2】设函数兀0=——2%—1在区间［t,t+l］上有最小值g(f),求g⑺的解析式.

【解析】/U)=x2—2%—1=(x—1)2—2.

①当WlWf+1,即0WW1时，g(0=-2.

②当介1时，/(x)在区间上，f+1］上是增函数,则最小值g(f)=/(/)=P—2L1;

③当什1<1,即/<0时，危)在区间口，/+1］上是减函数，则最小值酚=附+］)=产-2.

t1—2,/V0,

•••g(f)=­2,0WW1,

Z>1.

【典例3】已知函数八x)=/+ox+b(a,b^R),记M(a,b)是|/(x)|在区间［一1,1］上的最大值.

(1)证明:当同22时,M(a,b)》2；

(2)当a,b满足M(a,b)W2时，求同十步|的最大值.

(.a)22

【解析】(1)证明：由火x)=C2j+b—彳，

得对称轴为直线x=-4.

2

由同22,得1-5l>i,故y(x)在［-1,1］上单调，

所以M(a，6)=max{1/(1)|,次一1)|}.

当时，由人1)一/(一1)=2。24,

得max{/(l),一大一1)}22,即M(。，6)22.

当aW—2时，由/(—1)—/(1)=-2a24,

得max{/(-D,一火1)}22,即M(a,6)22.

综上，当同22时，M(a,b)22.

(2)由M(a,b)W2得|l+a+b|=l/(D|W2,

|1—Q+6|=|/(一1)|W2,故|〃+b|W3,|a—b|W3,

\a+h\ab2O,

由同+血=•'9"八得回+|b|W3.

\a—b\,ab<0,

当。=2,6=—1时，同+|b|=3,且|/+2%—1|在［-1,1］上的最大值为2,即M(2,-1)=2.

所以同+向的最大值为3.

【题型五】二次方程根的分布问题

【典例1】(多选)已知函数/(x)=x2—2x+a有两个零点xi,也，以下结论正确的是()

A.a<\

B.若xi&WO,则」~+工=2

xiX2a

C.A-1)=X3)

D.函数y=/(|M)有四个零点

【解析】二次函数对应二次方程根的判别式/=(-2)2—4。=4-44>0,a<U故A正确;

由根与系数的关系得，XI+%2=2,x\X2=a,

j_+_L=生土模=2,故B正确；

X1X2X1X2a

因为Xx)的对称轴为x=l,点(一1,义—1)),(3,义3))关于对称轴对称，故C正确；

当a<0时，y=/(|M)只有两个零点，故D不正确.

故选ABC.

【典例2】已知二次函数/(x)=x2+2bx+c(b,cGR)满足/(1)=0,且关于x的方程/(x)+x+b

=0的两个实数根分别在区间(-3,-2),(0,1)内，求实数b的取值范围.

【解析】由题意知火l)=l+2b+c=0,

c=-1—2b,

记(工)=/(工)+1+/>=/+(2/?+l)x+6+c

=x2+(2/>+l)x-6—1,

g(-3)=5-7b>0,r?

即bet7]

则g(-2)=l-56<0,解得力

g(0)=-1—6V0,

b>~\,

g(1)=/>+1>0,

b>-\,

因此b的取值范围为IfJ.

【典例3］已知关于x的二次方程/+2m工+2加+1=0.

(1)若方程有两根，其中一根在区间(-1,0)内，另一根在区间(1,2)内，求机的取值范围;

(2)若方程两根均在区间(0,1)内，求加的取值范围.

【解析】⑴条件说明抛物线危)=/+2*+2加+1与x轴的交点分别在区间(一1,0)和(1,2)

内，作出函数/(X)的大致图象，得

f(0)=2m+l<0>

f(-1)=2>0,

/'(1)=4m+2<0,2

f(2)=6〃?+5>0

6

—<m<----.

62

f।5,,1

故”的取值范围为l।62j

(2)由抛物线与x轴交点落在区间(0,1)内，作出函数_/(x)的大致图象，得

yt

m>----,

f(0)=2m+l>0,2

f(1)=4w+2>0,心一；,-LmWl-也

22

4=(2m)2—4(2/M+1)20,

+/或mW1—

0<—m<l.

•-lv加<0.

m\—gvmW1一

故m的取值范围为

【题型六】二次函数中的恒成立问题

【典例1】已知二次函数/(X)满足/(x+1)—/(x)=2x,且/(0)=1,若不等式/(x)>2x+〃?在区间

［—1,1］上恒成立，则实数机的取值范围为.

【解析】设火x)=ax2+bx+c(aW0),由.40)=1,得c=l,又/(x+l)—/(x)=2x,得2at+a+b

=2x,所以a=l,b——1,所以/(x)=x2—x+1J(x)>2x+"z在区间［—1,1］上恒成立，即/—3x

一、M5

+1一加>0在［-1,1］上怛成立，令g(x)=x?—3x+1—//=12J2~~—m,xG［―1,1］,g(x)在［一

1,1］上单调递减，所以g(X)min=g(l)=l—3+1—加>0,所以相<一1.

【典例2】函数犬x)=a&+3a，-2(a>l),若在区间［-1,1］上Hx)W8恒成立，则。的最大值为

【解析】令av=f,因为a>l,xd[—1,1],所以‘WtWa,原函数化为g«)=f2+3f—2,,

a

1n

显然g(。在L?".上单调递增，所以危户8恒成立，即g«)max=g(a)W8恒成立，所以有4+3。

—2W8,解得一5WaW2,又a>l,所以a的最大值为2.

【典例3】已知函数火x)=/-2ax+2a+4的定义域为R,值域为[1,+8),则。的值为.

【解析】由于函数./(X)的值域为[1,+8),

所以/(x)min=1.又/(x)=(X—。)2—42+2a+4,

2

当xGR时，y(x)min=y(a)=-a+2a+4=1,

即序—2a—3=0,解得<7=3或。=—1.

【题型七】二次函数的综合问题

【典例1】设函数段)=/—2%+2,f+1],/GR,求函数/(x)的最小值.

【解析】/(x)=x2—2x+2=(x—1)2+1,%e[r,/+1],/eR,函数图象的对称轴为x=i.

当t+lWl,即W0时，函数图象如图(1)所示，函数/(x)在区间[f,/+1]上为减函数，

所以最小值为川+1)=好+1；

当/即0</<1时，函数图象如图(2)所示，在对称轴x=l处取得最小值，最小值为/(I)

当时，函数图象如图(3)所示，函数/(X)在区间[t,t+l]上为增函数，

所以最小值为/(/)=尸一2/+2.

产+1,/W0,

综上可知，/(x)min=.1,0</<1,

X2—2f+2,/2L

【典例2】已知函数y(x)=及，g(x)=(2—加：2—4x+l.若对于任一实数xo，函数值/(xo)与g(xo)

中至少有一个为正数，则实数，的取值范围是()

A.(一8,-2)U(0,2]

B.(-2,0)U(0,2]

C.(-2,2]

D.(0,+0°)

【解析】由题可知函数/(x)的图象过原点，g(x)的图象过定点(0,1).

①当f=0时，7U)恒为0,/=16—8>0,g(x)不恒为正，故不合题意；

②当/=2时，/(x)=2x,g(x)=-4x+l,显然符合题意；

2

③当/>2时，g(x)=(2-/)x2-4x4-l,4=4/+8>0,对称轴x=——<0,图象开口向下，作

2—f

出g(x)与府)的函数图象，由图可知存在xoVO使得g(xo)VO且«xo)VO,故不合题意；

2

④当0V/V2时，g(x)的图象开口向上，/>0,对称轴x=——>0,作出g(x)与/(X)的函数图

2—t

象，由图可知对任一xo£R,有g(xo)>O或加0)>0,故符合题意；

2

⑤当/V。时，g(x)的图象开口向上，4=4/+8,对称轴x=——>0,若/V0,即/V—2,则

2-t

g(x)恒为正，故符合题意；若420,即一2W/V0,则作出g(x)与_/(x)的函数图象，由图可知存

在xo>O,使得/(xo)VO且g(xo)WO,故不合题意.

另解：也可令/取特殊值，利用排除法解答.

综上可得实数f的取值范围为(一8,-2)U(0,2].故选A.

【典例3】已知/(x)=/w(x—2〃?)(x+加+3),g(x)=2x—2.若同时满足条件：

①VxeR,y(x)<0或g(x)<0；

(2)3xG(——4),/(x)g(x)<0.

求实数机的取值范围.

【解析】当x<l时，g(x)<0,当x>l时，g(x)>0,当x=l时，g(x)=O,故"?=0不符合要求；

当〃?>0时，根据函数./(X)和函数g(x)的单调性，一定存在区间口，+8)使/(x)2o且g(x)»o,

故，〃>0时不满足条件①；

当m<0时，如图所示，如果满足条件①，则函数/(x)的两个零点都小于1,如果满足条件②，

则函数;(X)至少有一个零点小于一4,问题等价于函数./(X)有两个不相等的零点，其中较大的零

点小于1,较小的零点小于一4.函数段)的两个零点是2TM,—(W+3),

w<0,p/<0,

故〃？满足功V-(〃?+3),或一(加+3)<2m,

2〃2V—4,2m<1,

.一(〃?+3)VI—(加+3)V—4,

由第一■个不等式组得一4<加<一2,第二个不等式组无解，故所求加的取值范围是（一4,-2）.

三、【培优训练】

【训练一】已知函数/（x）=（x2—2x—3）（》2+"+6）是偶函数，则/（X）的值域是

【解析】因为危）=（/一2工一3）（r+如+6）

=(x-3)(x+l)(x2+ax+b)是偶函数,

3)=/(3)=0,

所以有

也)=负一1)=0,

'9-3a+b=0,

代入得

,1+〃+b=0,

ci—2.9

解得

b=-3.

所以加)=(工2—2x—3)(x2+2x—3)

=(/-3)2—4/=工4—10x2+9

=(/_5)2_162_16.

【训练二】已知二次函数/（乃=/一2及+2什1,xe[-l,2].若.危）2—1恒成立，求，的取

值范围.

【解析】①若〈一1,要使人工）2—1恒成立，只需八-1）2—1,即4/+22—1,则

这与/<—1矛盾.

②若一1W/W2,要使.危）2—1恒成立，只需火/）2—1,即一及+2/+12—1,则

+\，3,1—\，3«2.

③若，>2,要使/（X）、一1恒成立，只需./（2）2一1,即一2/+52一1,：.2<t^3.

综上所述，/的取值范围是[1一\5,3]

【训练三】若函数9（X）=X2+〃?|X—1|在[0,+8）上单调递增，则实数机的取值范围是

【解析】当0Wx<l时，（p（x）=x2—mx+m,此时p（x）单调递增，则5<0,即加<0；

当xel时，（p（x）=x2-\-mx—m,此时s（x）单调递增，则一gWl,即"?》一2.

综上，实数〃，的取值范围是［-2,0］.

【训练四】.是否存在实数。昼［一2,1］,使函数的定义域为［一1,1］时，值域为

［—2,2］?若存在，求。的值；若不存在，请说明理由.

【解析】./(x)=(x—ap+a—

当一2—时,危)在上为增函数,

•••由•")'得4=—1(舍去)；

3)=2,

,电)=一2,

当一iWaWO时，由，得。=—1；

网)=2,

当0<aWl时，由F")—2，得。不存在；

k-i)=2,

综上可得，存在实数a满足题目条件，a=-\.

【训练五】已知二次函数_/(x)=ar2+bx+l(a,bGR且aWO),x£R.

(1)若函数/(x)的最小值为/(一1)=0,求/(x)的解析式，并写出单调区间；

(2)在(1)的条件下，./(x)>x+A在区间［-3,—1］上恒成立，试求人的取值范围.

a>0,

【解析】(1)由题意知•一?=一1，解得f=l'

2alb=2.

/'(—1)=a~b+1=0,

所以/(x)=x2+2x+1,

由/(x)=(x+l)2知，函数,危)的单调递增区间为［-1,+8),单调递减区间为(一8,-1］.

(2)由题意知，x2+2x+l>x+左在区间［―3,-1］上恒成立，即％<jf2+x+1在区间［―3,-1］上

恒成立，

令g(x)=x2+x+1，-3,11］,

由g(x)=［+j+［知g(x)在区间［—3,—1］上是减函数，则g(x)min=g(—1)=1,所以左<1,

故人的取值范围是(一8,1).

【训练六】已知a,b是常数且aWO,40="2+必且/2)=0,且使方程；(x)=x有等根.

(1)求/(x)的解析式；

⑵是否存在实数如〃(加<〃)，使得/(X)的定义域和值域分别为［加，〃］和［2用,2〃］?

【解析】⑴由危尸」+阮,且火2)=0,则4r+26=0,

又方程./（x）=x,即依2+（/5-1m=0有等根，得6=］,从而。=__3，所以/（X）=—$2+x.

（2）假定存在符合条件的加，〃，由（1）知/（x）=—¥+x=—g（x—ly+gw/

则有2〃楼，即问.又避幻图象的对称轴为直线x=l,则・危）在麻网上单调递增，

加〈/忘1,4

4

——nr+〃?=2m,

于是得即2

@）=2〃,----〃2+〃=2〃,

-2

解方程组得加=-2,〃=0,所以存在"?=-2,«=0,使函数./（X）在［-2,0］上的值域为［-4,0］.

四、【强化测试】

【单选题】

【解析】由函数图象上的特殊点（1」），可排除A,D；

2.若左）是嘉函数，且满足粤=3,则等于（

A.3B.-3C.~D.——

33

4«

【解析】设/（x）=x。，则工=2。=3,

故选C.

3.若言函数/（%）=（加2—4加+4）・/-6小8在。+8）上为增函数，则加的值为（）

A.1或3B.1C.3D.2

【解析】由题意得加2—4加+4=1,加2—6根+8>0,

解得加=1.故选B.

4.函数於在区间[-1,+8)上单调递减，则实数。的取值范围是()

A.[-3,0)B.(—8,-3]

C.[-2,0]D.[-3,0]

【解析】当。=0时，/(x)=-3x+l在[-1,+8)上单调递减，满足题意.

3—a

当。工0时，/(x)的对称轴为直线x=---,

2a

a<09

由7(x)在[-1,+8)上单调递减，知'3—]

.2a

解得一3W〃v0.

综上，〃的取值范围为[-3,0],故选D.

5.已知a,b,c£R,函数以尸”十/十。.若｛0)=/(4)》⑴，则()

A.4>0,4〃+6=0B.a<0,4a+b=0

C.〃>0,2a+/?=0D.。<0,2。+6=0

【解析】由/(0)=火4),得/(x)=ax2+bx+c图象的对称轴为直线x=—9=2,，4a+b=0,

又犬0)况D，火4)次1),

••./(X)先减后增，于是a>0,故选A.

6.若函数人x)=N+ax+b的图象与x轴的交点为(1,0)和(3,0),则函数兀7)

A.在(一8,2)上递减，在[2,+8)上递增

B.在(一8,3)上递增

C.在[1,3]上递增

D.单调性不能确定

【解析】由已知可得该函数图象的对称轴为x=2,又二次项系数为1>0,所以Hx)在(一8,2)

上是递减的，在[2,+8)上是递增的.故选A.

7.若函数/(x)=x2+0x|+2,x£R在区间[3,+°°)^[-2,-1]上均为增函数，则实数a的取

值范围是()

--11—3一

A.3」B.[-6,-4]

C.[13,-2仍]D.[—4,—3]

【解析】由于7U)为R上的偶函数，因此只需考虑函数7U)在(0,+8)上的单调性即可.由题

意知函数/(X)在［3,+8)上为增函数，在［1,2］上为减函数，故一：e［2,3］,即。6［—6,一

4］.

故选B.

8.已知函数—)=2办2—ax+l(a<0),若xi<X2,如+垃=0,则/(xi)与/(X2)的大小关系是()

A../(Xl)=/(X2)B./(Xl)>/(X2)

C.人为)</2)D.与X的值无关

【解析】由题知二次函数y(x)的图象开口向下，图象的对称轴为X=；,因为Xi+x2=0,所以直

线X=X1,X=X2关于直线X=0对称，由X1〈X2,结合二次函数的图象可知/(XI)勺(X2).

故选B.

【多选题】

9.已知函数/(x)=3/—2(TH+3)X+/M+3的值域为［0,+°°),则实数机的取值范围为()

A.0B.［-3,0］

C.3D.-3

【解析】依题意，得4=4(加+3)2—4X3(〃?+3)=0,

则加=0或"?=-3".实数机的取值范围是{0,-3}.

故选AD.

10.若二次函数歹="2—也+2在区间［1,2］上是单调递增函数，则实数A的取值可以是()

A.0B.1

C.2D.3

【解析】二次函数歹=依2—4x+2图象的对称轴为直线x=j,当4>0时，要使函数丁="2—以

+2在区间［1,2］上是增函数，只需看W1,解得左22；当左<0时，1<0,此时抛物线的对称轴在

区间［1,2］的左侧，则函数^="2一©+2在区间［1,2］上是减函数，不符合要求.综上可得实数

人的取值范围是［2,+8).故选CD.

11.由于被墨水污染，一道数学题仅能见到如下文字：已知二次函数》=仆2+云+。的图象过

点(1,0),…，求证：这个二次函数的图象关于直线x=2对称.根据现有信息，题中的二次函

数可能具有的性质是()

A.在x轴上截得的线段的长度是2

B.与丁轴交于点(0,3)

C.顶点是(一2,-2)

D.过点(3,0)

o+b+c=0

【解析】由已知得'_0=2解得b=—4a,c=3a,所以二次函数为丁=。(/—4x+3),其顶

2a'

点的横坐标为2,所以顶点一定不是(一2,-2),故选ABD.

12.设函数次x)=ax2+6x+c(aW0),对任意实数，都有成立，则函数值4一1),

/1),犬2),犬5)中，最小的可能是()

A../(-I)B./(I)

C.义2)D.胆)

【解析】因为对任意实数/都有人4+/)=贝一/)成立，所以函数./(x)=ax2+bx+c(aW0)的对称轴

是x=2,当a>0时,函数值,/(一1),./(I),/(2),/(5)中，最小的是/(2);当。<0时,函数值./(一

1).70)，火2)，火5)中，最小的是次—1)和火5).

故选ACD.

【填空题】

13.已知基函数(加，〃dR)的图象经过点(4，2)，则m-n=.

【解析】函数歹=mx"(m，〃WR)为幕函数,则m—1;又函数_)/=炉的图象经过点(4，2)，则4"

=2,解得〃=!.所以加一〃=1—1=’.

222

答案：:

2

14.二次函数y=ax2+bx+c(aW0)的图象如图所示，确定下列各式的正负：b0，

ac0-a-b+c0.(填“〉”“V”或“=”)

【解析】因为。<0'—~~>01c>0,所以b>0,ac<0.

2a

设y=/(x)=af+bx+c，

则a—Z)+c=/(—1)<0.

答案：><<

15.如果函数｛x)=N一分一。在区间［0，2］上的最大值为为1，那么实数。=.

【解析】因为函数儿*)=/一or—a的图象为开口向上的抛物线，所以函数的最大值在区间的端

点取得.

-a>4—3a，—aW4-3a，

因为/0)=一。，人2)=4—3a,所以或,解得a=L

~a=\4—3a=l1

答案：1

16.定义：如果在函数y=/(x)定义域内的给定区间［a，b］上存在xo(a<xo<b)，满足y(xo)=

L9二L®一,则称函数y=/(x)是口，切上的“平均值函数”，xo是它的一个均值点，如歹

h-a

=刀4是［―1，1］上的平均值函数>0就是它的均值点.现有函数7(x)=—N+wx+1是［―1，1］

上的平均值函数，则实数机的取值范围是.

【解析】因为函数/(x)=-x2+〃?x+1是［—1，1］上的平均值函数，

设X0为均值点，

“"⑴~f(—1)〃、

所以-------7--；---=/M=/(xo)，

1-(-1)

即关于X0的方程-x8+”?xo+1=，"在(一1，1)内有实数根1

解方程得xo=l或xo=加—1.

所以必有一1〈加一1<1>即0<加<2'

所以实数"？的取值范围是(0，2).

答案：(0,2)

【解答题】

17.已知函数<x)=x2+2ax+2>XG［-5，5］.

(1)当。=-1时，求函数火x)的最大值和最小值；

(2)求实数。的取值范围，使y=/(x)在区间［-5，5］上是单调函数.

【解析】⑴当a=~l时，火》)=/一2x+2=(x—l)2+l，%G［-5-5］-

所以当x=l时，川x)取得最小值1;

当》=一5时，/(x)取得最大值37.

(2)函数./(x)=(x+a)2+2一展的图象的对称轴为直线x=一“，

因为y=/(x)在区间[一5，5]上是单调函数，

所以一aW-5或一心5，即°<一5或.故实数a的取值范围是(一8，-5]U[5，+°°).

18.已知二次函数/(X)的二次项系数为小且不等式/(x)>—2x的解集为(1,3).若方程/(x)+

6。=0有两个相等的实根，求函数人x)的解析式.

【解析】依题意可设/(x)+2x=a(x—l)(x—3),且aVO.

于是./(x)=q(x—l)(x—3)—2x=ax2—(2+4a)x+3a.

由./(x)+6q=0,得a<2—(2+4a)x+94=0.

/=(2+4a)2—36屋=0=>5层一4。-1=0.

解之得a=1(舍)或a=~j-

八555

19.已知二次函数/(x)满足/(x)=/(—4—x)"(0)=3，若xi，也是/(x)的两个零点'K|xi—x2|=

2.

(1)求於)的解析式;

(2)若x>01求g(x)=7■六7的最大值.

/G)

【解析】(1)因为二次函数满足火幻=火一4一x)，

所以/(X)的图象的对称轴为直线x=-2.

因为Xi，X2是/(x)的两个零点，且|XLX2|=2.

XI=—3，.n=—11

所以或

X2=-]彳2=-3.

设人x)=a(x+3)(x+1)(X0).

由/(0)=3a=3得a=l，所以/(x)=f+4x+3.

xx1

(2)由(1)得g(x)=/1=，:—(x>°)，

f\x)£+4X+3'+±+4

x

因为x>0»所以\Wp=1---，当且仅当x=~,即x=3时等号成立.

x+-+44+2V32x

所以g(x)的最大值是1