工程力学应用基本理论-结构平衡计算（工程力学课件）

平衡方程的二矩式∑Fx=0∑Fy=0∑Mo

=0{（基本形式）

其中前两式称为投影方程，表示力系中所有各力在两个坐标轴上投影的代数和等于零；后一式称为力矩方程，表示力系中所有各力对平面上任一点之矩的代数和等于零。

计算图示简支梁的支座反力。1.取AB梁为研究对象，画受力图。2.建立坐标系3.列方程求解FRBFAXFAy∑FX

=0FAx+10×cos45°=0MB=0∑FRB=7.77kNFAx=-7.07kN()()-FAy×8+10×sin45°×6+2×4×2=0MA=0∑FAy=7.30kN()FRB×8-10×sin45°×2-2×4×6=04.校核Fy=

FAy+FRB-

10×cos45°-2×4∑可见FAy

、FRB

计算无误。=7.30+7.77

-

10×cos45°-2×4Fy=

FAy+FRB-

10×cos45°-2×4=0∑Fy=FAy

+FRB-

10×cos45°-2×4=0∑=0∑Fx=0∑MA=0∑MB

=0{

二矩式平衡方程是一个投影方程和两个力矩方程。其中矩心A、B的连线不能与x轴相垂直。（二矩式）3m1m3mM=3kN·mABF=5kN3kN·mFRBFAxFAyAB5kN

计算图示简支刚架的支座反力。1.取AB刚架为研究对象，画受力图。2.建立坐标系3.列方程求解∑FX

=0FAx+5=0FRB=-6kNFAx=-5kN()()MA=0∑-FRB×3-5×3-3=04.校核3kN·mFRBFAxFAyAB5kNMB=0∑FAy×3-5×3-3=0FAy=6kN()Fy=

FAy+FRB=6-6=0∑可见FAy

、FRB

计算无误。

利用二矩式方程计算约束反力的步骤和基本形式方程一样，但是结果算出之后可以利用相关方程校核计算结果是否正确。∑Fy

=0∑Fx=0∑MA=0∑MB

=0{（二矩式）平衡方程的二矩式∑Fx=0∑MA=0∑MB

=0{

二矩式平衡方程是一个投影方程和两个力矩方程。其中矩心A、B的连线不能与x轴相垂直。（二矩式）

计算图示外伸梁的支座反力。1.取AB梁为研究对象，画受力图。2.建立坐标系3.列方程求解FRBFAxFAy∑FX

=0MB=0∑FRB=15kNFAx=0()-FAy×4+10×2-4×2×1=0MA=0∑FAy=3kN()FRB×4-10×2-4×2×5=04.校核Fy=

FAy+FRB-

10-4×2∑可见FAy

、FRB

计算无误。=3+15

-

10-4×2=0

计算图示简支刚架的支座反力。1.取AB刚架为研究对象，画受力图。2.建立坐标系3.列方程求解FRBFAXFAY∑FX

=0FAx+3=0FRB=4.25kNFAx=-3kN()()MA=0∑FRB×4-3×3-1×4×2=04.校核MB=0∑-FAy×4-3×3+1×4×2=0FAy=-0.25kNFy=

FAy+FRB-1×4=-0.25+4.25-1×4∑可见FAy

、FRB

计算无误。()=0

利用二矩式方程计算出约束反力的步骤和基本形式方程一样，但是结果算出之后可以利用相关方程校核计算结果是否正确。∑Fy

=0二矩式最适合解简支和外伸结构。∑Fx=0∑MA=0∑MB

=0{（二矩式）平衡方程的二矩式∑Fx=0∑MA=0∑MB

=0{

二矩式平衡方程是一个投影方程和两个力矩方程。其中矩心A、B的连线不能与x轴相垂直。（二矩式）

计算图示外伸梁的支座反力。1.取外伸梁为研究对象，画受力图。2.建立坐标系3.列方程求解FRBFAXFAY∑FX

=0MB=0∑FRB=27kNFAx=0()-FAy×4+6×4×2-10×2=0MA=0∑FAy=7kN()FRB×4-6×4×2-10×6=04.校核Fy=

FAy+FRB-

10-6×4∑可见FAy

、FRB

计算无误。=7+27

-

10-6×4=0

计算图示简支梁的支座反力。1.取AB梁为研究对象，画受力图。2.建立坐标系3.列方程求解FRBFAXFAY∑FX

=0FRB=25kNFAx=0MA=0∑FRB×6-30×1-30×4=04.校核MB=0∑-FAy×6+30×5+30×2=0FAy=35kNFy=

FAy+FRB-30-30∑可见FAy

、FRB

计算无误。()()=35+25-30-30=0

利用二矩式方程计算出约束反力的步骤和基本形式方程一样，但是结果算出之后可以利用相关方程校核计算结果是否正确。∑Fy

=0二矩式最适合解简支和外伸结构。∑Fx=0∑MA=0∑MB

=0{（二矩式）平衡方程的基本形式

∑Fx=0∑Fy=0∑Mo

=0{

上式称为平面力系的平衡方程，是平衡方程的基本形式。其中前两式称为投影方程，表示力系中所有各力在两个坐标轴上投影的代数和等于零；后一式称为力矩方程，表示力系中所有各力对平面上任一点之矩的代数和等于零。（基本形式）

计算图示悬臂梁的支座反力。A2mBF=10kN45°1.取AB梁为研究对象，画受力图。FAyFAxBAMAF=10kN45°2.建立坐标系3.列方程求解∑FX

=0∑Fy=0FAx+10×cos45°=0FAy+10×sin45°=0MA=0∑FAy=-7.07kNMA=-14.14kNm()FAx=-7.07kN()()MA+10×sin45°×2

=0∑Fx=0∑Fy=0∑Mo

=0{

计算图示悬臂刚架的支座反力。1.取刚架整体为研究对象，画受力图。FAxMAFAy2.建立坐标系FAxMAFAy3.列方程求解∑FX

=0∑Fy=0FAx+4=0FAy-10×2=0MA=0∑FAy=20kNMA=36kNmFAx=-4kN()MA-4×1.5-10×2×1-10

=0()()

其中前两式称为投影方程，表示力系中所有各力在两个坐标轴上投影的代数和等于零；后一式称为力矩方程，表示力系中所有各力对平面上任一点之矩的代数和等于零。

平面力系平衡方程的基本形式最适合解悬臂结构。∑Fx=0∑Fy=0∑Mo

=0{力的平移定理F1F2Fn

O

力系中各力的作用线位于同一平面，但不全部汇交于一点也不全部互相平行，这样的力系称为平面一般力系或平面任意力系，简称平面力系。力的平移定理

作用于物体上的力，可以平移到物体内任一指定点，但必须同时附加一个力偶，此附加力偶的矩等于原力对指定点的矩。FFOOM

AA

A2mBF=10kN45°F=10kNA2mB45°M=10×sin45°×210×sin45°×2F0.4mFm=F·0.4

作用于物体上的力，可以平移到物体内任一指定点，但必须同时附加一个力偶，此附加力偶的矩等于原力对指定点的矩。平衡方程的三矩式∑Fx=0∑Fy=0∑Mo

=0{∑Fx=0∑MA=0∑MB

=0{（二矩式）（基本形式）如下图所示结构，计算绳子拉力和A支座反力。1.取AD杆为研究对象，画受力图。2.建立坐标系3.列方程求解FTBFAXFAYFTB=5.66kNMA=0∑FTB×sin45°×1-2×2=0MB=0∑-FAy×1-2×1=0CFAy=-2kN()MC=0∑FAx×1-2×2=0FAx=4kN()4.校核Fy=

FAy+FTB×sin45°-2∑可见计算无误。Fx=

FAx-FTB×cos45°∑FTBFAXFAY=4-5.66×cos45°=0=-2+5.66×sin45°-2=0∑Fx=

FAx-FTBcos45°=0∑Fy=

FAy+FTBsin45°-2=0

三矩式平衡方程是三个力矩方程，其中矩心A、B、C三点不能共线。∑MA=0∑MB

=0∑MC

=0{（三矩式）

三矩式最适合解三角形结构。平面汇交力系的平衡方程∑Fx=0∑Fy=0{

力系中所有各力在两个坐标轴中每一轴上的投影的代数和都等于零。

已知:F=80kN，求：AB、BC杆所受的力？1.取B结点为研究对象，画受力图。2.建立坐标系3.列方程求解ABC60。30。F

FFNBABFNBC60°∑Fy

=0-FNBC·sin60°-80=0FNBA=46.19kNFNBC=-92.38kN(拉

)(压

)∑FX

=0-FNBC·cos60°-FNBA=0

FFNBABFNBC60°利用平面汇交力系方程计算出约束反力的步骤和基本形式方程一样，取结点为研究对象，杆件所受到的力初步引出轴向拉压杆件的内力表达方式。平面力偶系的平衡方程

平面力偶系平衡方程只有一个独立的平衡方程，可以解出一个未知量。1.取AB梁为研究对象，画受力图。2.建立坐标系3.列方程求解FRBFRA∑

M=0-FRA×4+20=0FRA=5kN()FRB=FRA=5kN()平面力偶系平衡方程只有一个独立的平衡方程，可以解出一个未知量。平面平行力系的平衡方程

平面平行力系的平衡方程有两种形式，有两个独立的平衡方程，可以解出两个未知量。∑Fy=0∑Mo=0{∑MA=0∑MB=0{FRBFAXFAY∑FX

≡0（二矩式）（基本式）塔式起重机机身重G＝450kN（不包括平衡锤)，作用于C点，如图所示。最大起重量P=250kN。要使起重机安全正常地工作，平衡锤Q应为多少？1.取起重机整体为研究对象，画受力图。1m6m4m3mQPGCBAPQGCBAFNAFNBQPGCBAFNAFNB2.取两个最不利情况来分析：满载、空载∑MB(F)

=01）满载并且在临界状态MB(Q)+MB(G)+

MB(P)=0Q×7-450×1-250×7=0Q=314.28kNP=250kNFNA=02）空载并且在临界状态∑MA(F)

=0P=0FNB=03.综合分析，要使起重机安全正常地工作，平衡锤应为一个取值范围：314.28kN＜Q＜750kN

∑MA(F)

=0MA(FQ)+MA(G)=0Q×3-450×5=0Q=750kN平面平行力系的平衡方程有两种形式，有两个独立的平衡方程，可以解出两个未知量。物体系统平衡计算

研究物体系统的平衡问题，不仅需要求解支座反力，而且还需要计算系统内各物体之间的相互作用力。计算时先取受力简单的部分为研究对象，再取另一部分或整体为研究对象。多跨梁受力如图所示。已知F1=30kN,F2=20kN，试求支座A、B、D及铰C处的约束反力。1.先取CD段为研究对象，画受力图。F1ABCDF24m602m2m2m2mFRDFCxFCyCDF2∑FX

=0FCx=10kNFCx-20×cos60°=0()MD=0∑FRD=8.66kN()-FCy×4+20×sin60°×2=0MC=0∑FRD×4-20×sin60°×2=0FCy=8.66kN()60°校核:Fy=

FCy+FRD-20×sin60°∑可见FCy

、FRD

计算无误。2.再取AC段为研究对象，画受力图。F1FRBFAxFAyF’CyF’CxCAB∑Fx

=0FAx=10kN()MA=0∑FRB×6-30×2-8.66×8=0FRB=21.55kN()MB=0∑-FAy×6+30×4-8.66×2=0FAy=17.11kN()FAx-F’CX=0=8.66+8.66

-20×sin60°≈0校核：取整个组合梁Fy=

FAy+FRB+FRD-30-20×sin60°∑可见计算正确。FRBF1FAyDBCAFRDF260FAx

=17.11+21.55+8.66-30-20×sin60°≈0研究物体系统的平衡问题，不仅需要求解支座反力，而且还需要计算系统内各物体之间的相互作用力。计算时先取受力简单的部分为研究对象，再取另一部分或整体为研究对象。物体系统平衡计算

研究物体系统的平衡问题，不仅需要求解支座反力，而且还需要计算系统内各物体之间的相互作用力。计算时先取受力简单的部分为研究对象，再取另一部分或整体为研究对象。两跨梁的支承及荷载情况如下图所示。试求支座A、B、D及铰C处的约束反力。1.先取CD段为研究对象，画受力图。∑FX

=0FCx=5kN()MD=0∑FRD=4.33kN()MC=0∑FCy=4.33kN()FRDFCxFCyCD10kN60°FCx-10×cos60º=0FRD×4-10

×sin60°×2=0-FCy×4+10

×sin60°×2=0校核:Fy=

FCy+FRD-10×sin60°∑可见FCy

、FRD

计算无误。2.再取AC段为研究对象，画受力图。∑Fx

=0FAx=5kN()MA=0∑()MB=0∑()FAx-F’CX=0FRBFAxFAyF’CyF’CxCAB5kN/mFRB×6-5×6×3-4.33×8=0FRB=20.77kN-FAy×6+5×6×3-4.33×2=0FAy=13.56kN=4.33+4.33

-10×sin60°≈0校核：取整个组合梁Fy=

FAy+FRB+FRD-5×6-10×sin60°∑可见计算正确。F