2023-2024学年辽宁省大连市滨城高二年级下册期中数学模拟试题（含解析）

2023-2024学年辽宁省大连市滨城高二下学期期中数学模拟试题

一、单选题

1.两点分布也叫0-1分布，已知随机变量X服从参数为0.5的两点分布，则下列选项中不正确的是

()

A.P(X=O)=0.5B.P(X=I)=0.5C.E(X)=0.5D.O(X)=O.5

【正确答案】D

【分析】由两点分布的定义即可判断A、B选项；由期望和方差公式即可判断C、D选项.

【详解】由参数为0∙5的两点分布知P(X=O)=P(X=I)=O.5,故A、B正确；

E(X)=O.5×O+O.5×1=O.5,C正确；

Z)(X)=0.5×(O-O.5)2+0.5×(1-0.5)2=0.25,D错误.

故选：D.

2.用数学归纳法证明"1+g+g++“<〃(〃eN*,〃>1)”的过程中，从"=Z(%eN*,%>l)至IJ

〃=%+1时，左边增加的项数为()

A.2"B.2t-lC.2*τD.k

【正确答案】A

【分析】运用数学归纳法，分别给出〃=Z和〃=Z+1时的表达式，来确定增加的项数

【详解】解：〃=%时，可得：l+→→+“

.111..

〃=&+1时，可得：1+2+3++,=+]+

故增加了21一1一(2*-1)=2*项.

故选：A

3.有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同

排列方式共有()

A.12种B.24种C.36种D.48种

【正确答案】B

【分析】利用捆绑法处理丙丁，用插空法安排甲，利用排列组合与计数原理即可得解

【详解】因为丙丁要在一起，先把丙丁捆绑，看做一个元素，连同乙，戊看成三个元素排列,有3!种

排列方式；为使甲不在两端，必须且只需甲在此三个元素的中间两个位置任选一个位置插入，有2

种插空方式；注意到丙丁两人的顺序可交换，有2种排列方式，故安排这5名同学共有：3!×2×2=24

种不同的排列方式，

故选：B

4.己知等比数列｛《,｝的前3项和为168,a2-a5=42,则4=()

A.14B.12C.6D.3

【正确答案】D

【分析】设等比数列｛〃“｝的公比为g,g≠o,易得＜7≠ι,根据题意求出首项与公比，再根据等比数列

的通项即可得解.

【详解】解：设等比数列｛4｝的公比为4M≠0,

若9=1,则/-%=。，与题意矛盾,

所以4*1,

α(l-√)q=96

』l-----

q+4+%=^=168

则，解得1

q=3

a5=W4=42

所以4==3.

故选：D.

5.设等差数列｛%｝,间的前〃项和分别是S“，1,若＞型了，则A()

【正确答案】B

【分析】先由等差数列的前〃项和公式设出5,，T11,再按照?=未卷直接计算即可.

么T5-T4

【详解】由等差数列的前”项和公式满足A式+8"形式,设S,,=加(2〃)=2而，则

a2⅛×36-2⅛×2511

26_S(ISs_

Tn=kπ-(,3n+l)=3kn+7kn,故

⅛5T5-T43⅛×25+7Λ×5-3⅛×16-7⅛×417'

故选：B.

6.已知某地区7%的男性和0.49%的女性患色盲.假如男性、女性各占一半，从中随机选一人，则

此人恰是色盲的概率是()

A.0.01245B.0.05786C.0.02865D.0.03745

【正确答案】D

【分析】设出事件，利用全概率公式进行求解.

【详解】用事件4,B分别表示随机选1人为男性或女性，用事件C表示此人恰是色盲，则Ω=AB,

且4,B互斥,故P(C)=P(A)P(CI4)+P(8)P(C⑻=gχ7%+gx0.49%=0.03745

故选：D

7.某企业在2013年年初贷款M万元，年利率为〃?，从该年年末开始，每年偿还的金额都是4万元,

并恰好在IO年间还清，则“的值为()

M(I+??/)'0Mm++

ʌ(l+m)'0-l(1+∕M)'°，(l+w)'σ-1θ，0+∕∏yo+1

【正确答案】C

【分析】由已知条件和分期付款公式列方程求解即可

【详解】由已知条件和分期付款公式，可得

a[(l+nz)"+(l+∕n)s++(1+∕H)+1J=Λ/(1+〃？)'",

Λ∕MJ(1+∕M)1°

l0

(ι+w)-i-

故选：C

8.已知数列｛%｝的前〃项和为S“，数列中的每一项%可取1或2,且对取I和取2的概率均为

则Su能被3整除的概率为()

185341683

A.-B.C.—D.—

325610242048

【正确答案】C

【分析】法一、依题意可设匕为S,,被3整除的概率，所以勺(I-匕)，构造新数列求得通项公

式即可；

法二、按古典概型得出数列｛%｝(1≤“≤11)共有2"种情况，讨论S“能被3整除的4种情况计算即可.

【详解】5.被3除，有3种情况，分别为被3整除，余数为1,余数为2,

设匕为S,,被3整除的概率，

所以“J(T)，则%W(七),

又.4=0,则勺

12-g1是以-g为首项,

所以,以为公比的等比数列，有e―;

即一;

31024

法二：由古典概型可知，数列{a,,}(l≤"≤ll)共有2"种情况，

S“能被3整除，有以下4种情况：

①{%}中有10个1，1个2,有C：种情况；

②{%}中有7个1,4个2,有C1种情况；

③{4}中有4个1,7个2,有C：种情况；

④{%}中有1个1,10个2,有GI种情况,

所以，5“被3整除的概率为C：；±C：叶号工。；.L=ɪ

故选：C

二、多选题

9.下列命题正确的是()

A.若随机变量X3(100,p),且E(X)=20,则£＞［；X+1)=5

B.在一次随机试验中，彼此互斥的事件A、B、C、。发生的概率分别为。2、0.2、0.3、0.3,则

A与BC。是互斥事件，也是对立事件

C.一只袋内装有加个白球，”-切个黑球(加＞2,"＞w,m∕eN"),连续不放回地从袋中取球，直到

取出黑球为止，设此时取出了4个白球，P(J=2)=四二整A

D.由一组样本数据(Xr匕)、(%儿)、L、(%,%)得到回归直线方程R良+&,那么直线?=加+4

至少经过(西，匕)、(巧，几)、L、(XZl,%)中的一个点

【正确答案】BC

【分析】直接利用二项分布的期望与方差，互斥事件和对立事件的关系，排列组合，回归直线方程

等相关知识对四个命题的真假判断.

【详解】对于A：由XB(IOo且E(X)=20,可得IooP=20np=g,

所以D(X)=IoOXXl-#16,则呜X+1J=.(X)=4,故A错误；

对于B：因为事件A、B、C、。彼此互斥，所以P(8C.D)=0.2+0.3+0.3=0.8,

又P(A)=O.2,所以A与BC。是互斥事件，也是对立事件，故B正确；

对于C：依题意，J=2表示“一共取出了3个球，且前两次取出的都是白球，第三次取出的是黑球”.

LL…c/*八mm-∖n—m(〃一〃2)A：

所以尸(g=2)=-x--X--=i~ɪɪ,故C正确；

nn-∖n-2A：

对于D：回归直线方程一定过样本中心点(元刃，但是不一定经过样本数据中的点，故D错误.

故选：BC.

10.江先生每天9点上班，上班通常开私家车加步行或乘坐地铁加步行.私家车路程近一些，但路上

经常拥堵，所需时间(单位：分钟)服从正态分布N(38,7?),从停车场步行到单位要6分钟；江先

生从家到地铁站需要步行5分钟，乘坐地铁畅通，但路线长且乘客多，所需时间(单位：分钟)服

从正态分布N(44,22),下地铁后从地铁站步行到单位要5分钟.从统计的角度出发，下列说法中合理

的有()

参考数据：若P(ZN(μ,σ2),则

P(μ-σ<Z<μ+σ)=0.6826,

P(μ-2σ<Z<μ+2σ)=0.9544,

尸(〃一3<τ<Z≤〃+3b)=0.9974

A.若8:00出门,则开私家车不会迟到;

B.若8:02出门,则乘坐地铁上班不迟到的可能性更大;

C.若8:06出门,则开私家车上班不迟到的可能性更大;

D.若8:12出门,则乘坐地铁几乎不可能上班不迟到.

【正确答案】CD

【分析】对于A,由P(Z≥59)=Q0013即可判断；对于BC,分别计算开私家车及乘坐地铁不迟到的

概率即可判断；对于D,计算P(Z≤38)=0.0013即可判断

1-P(17<Z≤59)1-0,9974

【详解】解：对于A,由题意得，当满足P(Z≥59)==0,0013时，江先

22

生仍旧有可能迟到，只不过发生的概率较小，所以A错误;

对于B,若8:02出门，①江先生开私家车，由题意得，当满足

1-P(24<Z<52)

P(Z≤52)=+P(24<Z<52)=0.9772时，江先生开私家车不会迟到;

2

②江先生乘坐地铁，由题意得当满足

P(Z≤48)=’-H40<Z<48)+?何。<Z<48)=0.9772时，此时江先生乘坐地铁不会迟

2

到，此时两种方式，江先生不迟到的概率相当，所以B错误；

对于C,若8:06出门，①江先生开私家车，由题意得，当满足

尸(Z≤48)>P(Z<45)=I二"3：45)+p(31<z<45)=0.8413,此时江先生开私家车不会迟到；

②江先生乘坐地铁，由题意得，当满足P(ZM44)=g=0.5时，此时江先生乘坐地铁不会迟到，

此时两种方式，显然江先生开私家车不迟到的可能性更大，所以C正确；

对于D,若8:12出门，江先生乘坐地铁上班，由题意得，当满足

P(Z≤38)=/二'68；Z250)=000/3时，江先生乘坐地铁不会迟到，此时不迟到的可能性

极小，故江先生乘坐地铁几乎不可能上班不迟到，所以D正确

故选：CD

II.一口袋中有除颜色外完全相同的3个红球和2个白球，从中无放回的随机取两次，每次取1个

球，记事件A/：第一次取出的是红球；事件A2：第一次取出的是白球；事件&取出的两球同色；

事件C：取出的两球中至少有一个红球，则()

A.事件A，4为互斥事件B.事件从C为独立事件

7I

C.P(B)=MD.P(ClAJ=Wt

【正确答案】ACD

【分析】根据互斥事件、独立事件的定义判断AB,由组合知识求得P(B)判断C,根据条件概率的

定义求得P(CI&)判断D.

【详解】第一次取出的球是红球还是白球两个事件不可能同时发生，它们是互斥的，A正确；

由于是红球有3个，白球有2个，事件B发生时，两球同为白色或同为红色，

c∣

P(C)==事件8不发生，则两球一白一红，P(C)=I,BC不独立，B错；

P(B)C；+Cj4

P(θ)=S^S=∣,C正确；

Jɔ

事件4发生后，口袋中有3个红球1个白球，只有从中取出一个红球，事件C才发生，所以

P(C∣A)=∣,D正确.

故选：ACD.

12.已知离散型随机变量X服从二项分布3(〃,p),其中"wN,O<p<l,记X为奇数的概率为。，

X为偶数的概率为b,则下列说法正确的有()

A.«=Cj,p(l-p)"τ+C)3(i-p)∙-3+eV。_P)I+

B.P=；,且〃为偶数时，a<h

C.0<p<；时，“随着"的增大而增大

D.；<°<1时，”随着"的增大而减小

【正确答案】AC

【分析】根据二项分布的概率公式判断A、C、D,根据组合数公式判断B.

【详解】因为XB(%p),所以P(X=Z)=CA(I-P广*,A≤〃且ZeN,

对于A：由二项分布可知α=C,P(I-P)"-+C/(I-P)"3+C∕(l-p)7+,故A正确；

对于B,由0=；时，X贝IJP(X=&仕=0,1,2,3,,”)

所以”(J(C+C+C+)=(]x2"τ=}

b=(£|©+C+C：+)=(/x2"--g,

所以α=6,故B不正确，

对于c、D：,JO-P)+p”[(ι-∕>PrjTI-2”，

22

当0<p<:时，“J-5”,且)：为正项且单调递增的数列,

故。随着”的增大而增大，故C正确，

当!<p<l时，"=HP)”,且1-(1-2P)”为摆动数列,故D不正确.

222

故选：AC

三、填空题

13.己知数列-2,44,一8成等差数列，-2,々也也,-8成等比数列，则上浮的值为__________.

%

【正确答案】-/0.5

2

【分析】根据等差数列和等比数列的性质得到%-q=-2及仇=-4,求出答案.

【详解】由题意得%-q=弋刍=一2,

因为-2西也也,-8成等比数列，设公比为夕,

则W=-2X(-8)=16且4=-2/<O,

解得H=-4，

故！

14.现将5名志愿者全部分派到A,8,C三个居民小区参加普法知识宣传，要求每个小区至少分派1

人，并且志愿者甲必须安排到A小区，则不同的安排方法种数为.

【正确答案】50

【分析】分两种分组方式｛3,1,1｝、｛2,2,1｝讨论，各不同分组方式中讨论甲一人成组或与其它人成多

人组安排到A小区，再安排其它人，应用组合排列数即可求安排方法种数.

【详解】由题设，5名志愿者可有｛3,1,1｝、｛2,2,1｝两种分组方式，

对于｛3,1,1｝分组方式，

若甲一人成组安排到A小区，其它4人选出3人为一组，与剩余的一人成组安排到尻C小区，

所以共有CA：=8种;

若甲在3人组，4人选出2人与甲成3人组安排到A小区，剩余两人每个人为一组安排到B,C小区,

所以共有C；A；=12种；

对于｛2,2,1｝分组方式，

若甲一人成组安排到A小区，其它4人两两成组安排到B,C小区，

r,2r,2

所以帘'=6种；

若甲在2人组，4人选出1人与甲成2人组安排到A小区，从剩余3人选2人成组，与剩余的一人

成组安排到RC小区，

所以C；GA；=24种；

综上，共有∙8+12+6+24=50种.

故50

15.如图，在“杨辉三角”中，斜线AB的上方，从1开始箭头所指的数组成一个锯齿形数歹U：

1,2,3,3,6,4,10,5,,记其前n项和为S11,则542的值为.

1

B

【正确答案】2023

【分析】依题意可得%=(c；+c+c++Q)+(C+c"c;++c",根据组合数的性质计算

可得.

【详解】依题意可得S42=(c；+c"c：++Gj+(C+C+cj++⅛)

=(2+3+4++22)+(C；+C；+C；++C：J

=(2+3+4++22)+(C+Cj++Ct)

=(2+3+4++22)+(4+&)

21×(2+22),

=——1——'-+Cj3=252+1771=2023.

故2023

16.已知x,y,zeN*,且x+y+z=8,记随机变量X为x,y,Z中的最小值，则。(X)=.

【正确答案】襄

49

【分析】求出X可能取值为1和2,分别求出事件总情况及X=I与X=2的情况，求出相应的概率,

求出期望，利用D(X)=E(X2)-IE(X)J2计算出答案.

【详解】因为χ+y+z=8,所以随机变量X可能取值为1和2,

用隔板法可求得：事件总情况为C；种，

X=I时，分两种情况：

①三个数中只有一个1,有种;

②三个数中有两个1,有

rr,,l…c'∙c!+c'5

所以x=ι时，P1ɪɪʒ~-=-‹

C?7

X=2时，也分两种情况：

①三个数中只有一个2,有

②三个数中有两个2,有C；种，

所以X=2是，P2=¾^=∣.

C77

5?Q5?13

所以E(X)=IX二+2X-=N,E(X2)=1X-+4×-=-

777777

D(X)=E(X)TE(X)F=殍

,,10

故才

四、解答题

17.在下面两个条件中任选一个条件，补充在后面问题中的横线上，并完成解答.条件①：展开式前

三项的二项式系数的和等于46；条件②:第4项与第7项的二项式系数相等；问题：在二项式(l-2x)"

的展开式中，已知.

(1)求展开式中二项式系数最大的项；

⑵设(l-2x)"=%+叱+。/2++aπx",求q+/+%+的值；

(3)求(1-2x)5(1+3x)7的展开式中，按X的升募排列的前三项.

【正确答案】(I))=2016/、n=T032d

⑵-2

(3)1,2X,-26X2

【分析】(1)根据所选条件，应用组合数方程求得〃=9,由二项式的性质确定二项式系数最大的项

即可；

(2)赋值法分别求出4+q+G+/+,+%、4,即可求目标式的值；

(3)利用二项式展开式通项写出常数项、含X的项、含炉的项，即可得结果.

【详解】(1)选择①，因为C?+C,+C：=46,解得〃=9,

选择②，因为C=C：,解得〃=9,

展开式中二项式系数最大的项为7；=C；X户X(-2x)4=2016√和"=C；X「X(-2x)5=-4032√.

(2)由(1)知：令x=l,则%+4+a?+4++%=(1-2)9=-1,

令X=0,则旬=(I-O)9=1,

所以4+/+4++”“=-1-1=-2.

(3)在(l-2x)5(l+3x)4的展开式中：常数项C；xFx(-2x)°xC：xl4x(3x)°=l,

含X的项C；XFX(-2X)0×C>13×(3x)∣+C；×14×(-2x)'XcXrX(3x)°=2x,

含/的项：

C°×l5×(-2X)0×C;×12×(3X)2+C；X『X(-2X)∣×C>13×(3X)'+C^×13×(-2X)2×Cθ×l4×(3x)°=-26x2,

所以，在(l-2x)5(l+3x)4的展开式中，按X的升哥排列的前三项是.l,2x,-26/

18.己知正项数列｛叫满足4=1,前〃项和5“满足24—底=676≥2,"GN*).

(1)求数列｛%｝的通项公式;

(2)求数列」一的前n项和Tn.

IAa“+J

l,n=1

【正确答案】⑴4=∣2"+1

≥2

4

7L8

⑵T2/1+3

【分析】⑴先根据4=S,,-S,τ(〃22)求出数歹∣J｛底｝的通项公式，再根据、。求解

即可;

(2)利用裂项相消法求解即可.

【详解】(1)由2%-底=6;可得24=疯+瓦'，

即26-s,ι)=6>6L

因为。“>0,所以s“>o,则向+宿>0，

2(S+反)(庖-医；)=疯+点，

所以疯-卮=g,

又因为S=1,所以数列｛店｝是以1为首项，g为公差的等差数列,

・••凡WSL〃+1

当〃=1时，α1=S1=1,

2n+l

当〃22时，%=S“-S,一

4

l,n=1

所以。“={2〃+1c；

-----,n≥2

I4

-L.=-—=8P---M

(2)当〃≥2时,

anan+t(2n+l)(2∕ι+3)(2"+12n+3)

+11

"ala2a2a3a3a4α,,a,,.l5<57792π+l2〃+3

4,°C1128

5(52π+3j52/7+3

A108

又因为Z=?满足上式，所以(=甘-不三.

552〃+3

19.社区是社会的基本单元，是连接城市、小区、家庭的重要桥梁.从百姓的衣食住行到政府的公共服

务、社会治理，无不与社区的管理服务能力紧密相关.目前面临的问题是，粗放传统的社区管理服务

已远远不能适应数字经济时代人民群众日益增长的生产生活需要.打造智慧共享、和睦共治的新型智

慧社区，是提升社区居民的幸福感、提升城市管理水平、构建和谐宜居环境的必要途径.某社区为推进

智慧社区建设,给居民提供了一款手机APP构建智能化社区管理服务模式.为了解居民对使用该APP

的满意度，物业对小区居民开展了为期5个月的调查活动，统计数据如下：

月份X12345

不满意的人数)，1201051009580

(1)请利用所给的数据求不满意的人数y与月份X之间的回归直线方程5=菽+4,并预测该小区8月

份对这款APP不满意的人数；

(2)工作人员发现使用这款APP的居民的年龄4近似服从正态分布N(35,4)求P(27≤J≤47)的值;

(3)工作人员从这5个月内的调查表中随机抽查IOO人(其中女性人数占60%,女性中使用APP的人

数为48人，男性中使用AP尸的人数占男性人数的养），调查是否使用这款APP与性别的关系，请

填写下表：

使用APP不使用APP总计

女性人数

男性人数

总计

据此判断能否有99%的把握认为是否使用这款APP与性别有关.

Yjxiyi-rix-y

参考公式：b=^ι---------,a=y-bχ.

∑√-^2

附：随机变量4N出吟,则P(〃一cr≤J≤"+b)≈≈0.683,P(〃一2b≤J≤"+2b)

。.954,/＞（〃-3日空〃+3。卜。.997”=西谭盆尢两（其中，，=»+‘+八

2

a=P[χ≥k)0.10.050.010.0050.001

k2.7063.8416.6357.87910.828

【正确答案】（1）3=-9X+127,55人

（2）0.9755

（3）列联表见解析，有

【分析】（1）由表中数据计算几得出回归直线方程，由方程进行估计;

（2）由3b原则结合对称性计算概率;

（3）填写列联表，进行独立性检验即可.

1+2+3+4+5120+105+100+95+80…

【详解】（1）由表中的数据可知，%=3,γ=----------------------=IOO,

55

5Z

x,.χ=Ix120+2×105+3×100+4×95+5×80=1410

∕=5l

z

+52=55

∕=l

,1410-5×3×100_,ʌ

所以〃=---------；—=-9,故4力=》一版=IOo—(—9)x3=127,

55-5×32

所以，所求的回归直线方程为9=-9X+127,

令x=8,则9=-9χ8+127=55(A)

故预测该小区8月份对这款APP不满意的人数为55人.

(2)依题意得

0997-0954

P(27≤x≤47)=P(35-2×4≤x≤35+3×4)≈0.954÷=0.9755.

(3)2x2列联表如下:

使用APP不使用APP总计

女性人数481260

男性人数221840

总计7030100

100×(48×18-22×12)250

Z2≈7.143,

60×40×70×307

又因为1—99%=1%,而且查表可得p(χ2>0.01)=6.635,

由于7.143>6.635,所以有99%的把握认为是否使用这款APP与性别有关.

20.为营造浓厚的全国文明城市创建氛围，积极响应创建全国文明城市号召，提高对创城行动的责

任感和参与度，学校号召师生利用周末参与创城志愿活动.高二(1)班某小组有男生4人，女生2

人，现从中随机选取2人作为志愿者参加活动.

(1)求在有女生参加活动的条件下，恰有一名女生参加活动的概率；

(2)记参加活动的女生人数为X,求X的分布列及期望E(X)；

(3)若志愿活动共有卫生清洁员、交通文明监督员、科普宣传员三项可供选择.每名女生至多从中选择2

项活动，且选择参加1项或2项的可能性均为g；每名男生至少从中选择参加2项活动，且选择参

加2项或3项的可能性也均为2.每人每参加1项活动可获得3个工时，记随机选取的两人所得工时

之和为y,求y的期望E(y).

Q

【正确答案】(1),

7

(2)分布列见解析，E(X)=I

⑶E(y)=13

【分析】(I)根据条件概率公式可求出结果；

(2)根据超几何分布概率公式可求出结果；

(3)先求出一名女生和一名男生参加活动可获得工时的数学期望，再根据期望的性质可求出结果.

【详解】(1)设“有女生参加活动”为事件A,”恰有一名女生参加活动“为事件8.

则P(AB)=罟=2,P(A)=号G=∣,

y1ɔyɔ

ɪ

所以P(BM)=篇丐4

5

(2)依题意知X服从超几何分布，且P(X=A)=窄一(A:=0,1,2),

P(X=O)=Ii=1,P(X=I)=警$p(x=2)=Ilq，

所以X的分布列为:

X012

281

P

15

7Q1ɔ

E(X)=OX-+lχ2→2x-!-=-

v7515153

(3)设一名女生参加活动可获得工时数为X,一名男生参加活动可获得工时数为X?，

则X1的所有可能取值为3,6,X2的所有可能取值为6,9,

,11,19

尸(X=3)=P(X=6)=5，E(X,)=3×-+6×-=-,

P(X2=6)=P(X7=9)=iE(X,)=6x1+9x《T，

2222

有X名女生参加活动，则男生有2-X名参加活动.

o15

y=∙∣X+j(2-X)=15-3X,

2

所以E(y)=E(15-3X)=15—3E(X)=15—3x§=13.

即两人工时之和的期望为13个工时.

21.已知数列｛4｝的前"项和为S"，4=4,5,是”向与2〃-4的等差中项.

(1)求证：｛/-1｝是等比数列，并求｛%｝的通项公式；

(2)设仇=4"+(-l严口，若数列出｝是递增数列，求「的取值范围；

(3)设,”=―4，且数列匕｝的前n项和为Tn,求证.Tn<^-

『16

【正确答案】(1)证明见解析，氏=3"+l

⑵H(2?4’力6)

(3)证明见解析

/、S,H=I

【分析】⑴依题意可得2S,,=α向+2〃-4(〃21),再根据%=∖1C、.，作差得到

以一"1，"NZ

¾+l=3¾-2(n≥2),即可得到％-1=3(4-1)(〃22),再由02-1=3(«,-1),即可得证，从而求出

｛4,,｝的通项公式；

(2)由⑴可知4=3"+l,即可得到2=4"+(-1严«3"+1),依题意可得加-2>0,即可得到

3χ4"+(-l)"+2χfχ(4x3"+2)>0,再分〃为奇数、偶数两种情况讨论，参变分离，分别求出参数的取

值范围，即可得解；

(3)首先证明.age,,,即可证明当“≥2时，T„<cl+^Tl,,即可得证.

【详解】(1)证明：QS”是。,山与2”-4的等差中项，

∙∙∙2S,,=α,,+ι+2"-4("≥l)①，

于是有2S“T=a,,+2"-6("≥2)②，

.∙.①-②2an=aπ+i-an+2(n≥2),即a,,+l=3α,,-2(n≥2),

∙∙∙α,,+∣T=3(4T)("≥2),

,

又2S]=4-2,4=4,..a2=IO,

,

..α2—1=9,4—1=3,

.∙.α2-l=3(αl-l),即有¾+∣-1=3(α,,-1)(»≥1),

又,a,,-l≠O,S±LZ-=3(n>l),

an-1

・•・{4-1}是以3为首项，3为公比的等比数列,

所以α,,-l=3",."“=3"+1.

(2)由(1)可知，q,=3"+l,

nn+ln,,+n+2nt

.∙.⅛π=4+(-l)r(3+l),⅛,,+1=4'+(-l)r(3'+l)

+2

所以⅛+,-⅛=3×4"+(-l)"×Z×(4×3"+2),

QM｝是递增数列>0,∙∙.3χ4"+(T)"2χrχ(4χ3"+2)>0,

3

当〃是奇数时，3x4"τx(4x3"+2)>0,∕<言餐，即’(4x]J+2x(1J恒成立'

数列,nJ单调递增,•一<,

l4×ιJ+2×W

3

.、RXΛnt>----------------------------

当"是偶数时，3χ4"+rχ4χ3"+2>0,r>--丝」，即MYC■丫恒成立

，)4χ3"+24χ⑺+2X(/

数列―一k3—石〒单调递减，•一>—£24，

14×w÷2×y

综上，’的取值范围是卜得3).

I7,J_1γ-Lγ_1

c、Cn=——Γ.3+1J3=、3「3J

3"一3‘%3'"“

即%M<尹

当〃≥2时，

C+

τn=c1+c2÷c3++CH<C1+-C1÷~2+]%τ=qTVq+；1.

2.3T9

3n,8"16

39Q

当〃=1时，η=ς=-<-,综上所述，T<—.

oIollIo

22.为提高学生身体素质，丰富课余生活，营造良好的运动氛围，某校举办了“无‘羽'伦比"羽毛球比