浙江省丽水市2022-2023学年高一年级上册期末数学试题（含解析）

丽水市2022学年第一学期普通高中教学质量监控

高一数学试题卷

2023.1

本试题卷分选择题和非选择题两部分.全卷共5页，满分150分，考试时间120分钟.

注意事项：

1.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填在试题卷和答题

卷规定的位置上.

2.答题时，请按照答题卷上“注意事项”的要求，在答题卷相应的位置上规范作答，在本试题卷

上的作答一律无效.

一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的）

1已知全集"={1，2,3,4},74={1,2},6={2,3},则与（AB）（）

A,{1,3,4}B.{2,3}C.{3,4}D.{4}

【答案】D

【解析】

【分析】先求得再根据补集的定义，即可得答案.

【详解】由全集。={1,2,3,4},人={1,2},5={2,3},

可得A?3{1,2,3},故3（A3）={4},

故选：D

2.下列哪组中的两个函数是同一函数（）

A.y=（«）2与丁=%B.y=lg/与y=21gx

x

C.y=无」与y=x+lD.y=y=x+_L

龙Txx

【答案】D

【解析】

【分析】利用函数的定义判断.

【详解】A.y=（4）2的定义域为［0,+8）,丁=%的定义域为R,故错误；

B.丁=3/的定义域为（―8,0）一（0,+8）,丁=2炮》的定义域为（0,+8）,给错误;

c.、=匚1的定义域为(—,1)口(1,讨)，y=x+i的定义域为R,故错误;

X—1

X2+11y=x+』的定义域为(―8,0)(0,+8),故错误

D.y=-----=%+—的定义域为(一8,0)(0,+oo),

XXX

故选：D

3.设非空集合A,3满足3,则()

A.A,使得xo^BB.Vx^A,有

C.三%。£民使得xoeAD.\/x^B,有xGA

【答案】B

【解析】

【分析】A。3意味着集合A中的元素都是集合2中的元素，由此判断即可

【详解】根据A。3可知，VxGA,有无eg

故选：B

4「”>1”是“L<1”的()

x

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】首先解分式不等式，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可.

11—Y

【详解】解：因为一<1,所以——<0,

xx

x(l-x)<0,x(x-l)>0,

.,.x<0或x>l,

当x>l时，x<0或x>l一定成立，所以“尤>1”是“1<1”的充分条件；

X

当x<0或x>l时，尤>1不一定成立，所以“x>l”是“工<1”的不必要条件.

X

所以“x>1”是‘<1”的充分不必要条件.

X

故选：A

5.要得到函数y=sin12x+|J的图象，只需将函数y=sin12x—1的图象(

)

TT7[

A.向右平移一个单位B.向左平移一个单位

33

7T7T

C.向右平移一个单位D.向左平移一个单位

66

【答案】D

【解析】

【分析】直接利用三角函数图象的平移变换法则求解即可.

【详解】因为y=542%+引=5研工+图n，

12

y=2%一看)=sin2[xn

12

所以得到函数y=sin2x+乡的图象,

只需将函数y=Sin[2x-的图象向左平移:个单位,故选D.

【点睛】本题考查了三角函数的图象，重点考查学生对三角函数图象变换规律的理解与掌握，能否正确处

理先周期变换后相位变换这种情况下图象的平移问题，反映学生对所学知识理解的深度.

J372tanl2_/l-cos44°

6.设〃cos7°------sin7°，b=,C-则有（)

22-------------1+tan12°V2

A.c<a<bB.a<b<cC.a<c<bD.b<c<a

【答案】A

【解析】

【分析】先利用余弦差角和倍角公式，正弦的二倍角公式以及商数关系，对瓦c进行化简，再利用

y=sinx的性质即可得到结果.

【详解】B^9a=-cos7°--sin7°=cos60°cos7°-sin60°sin7°=cos67°=sin23°，

22

2sinl2°

2tanl2°cosi?02sinl2°cosl2°...o

1+tan212°sin，12。sin212°+cos212°

+COS212°

^1-COS44°=J-(J2si"22)=5^22。，由y=sinx的性质可知，c<a<b，

故选：A.

7.己知函数=+2依+4(0<。<3),其图象上两点的横坐标为，巧满足％<々，且

%1+X2=1-<2,则有()

A./(石)>/(%2)B./(%1)=/(%2)

C./(石)</(%)D./(西)，/(%)的大小不确定

【答案】C

【解析】

【分析】根据函数/(同=依2+2^+4(0<。<3),作差比较.

【详解】已知函数/(X)=依2+2or+4(0<a<3),

2

所以/(%)一/(%2)=g2+2ot]+4-(<XX2+2OV2+4),

=a(xj_/2)+24(西-x2),

=a(xl_/)(玉+/+2)=。(%-x2)(3-a),

因为Ov"3,<x2,

所以/(七)</(±)・

故选：C

【点睛】本题主要考查作差法比较函数值的大小，还考查了运算求解的能力，属于中档题.

c,1

2%—1,%<—

2

[2

8.已知f(x),g(x),/z(x)为一次函数，若对实数x满足/(x)+|g(x)|—风刈=<6工+1,-54_¥<],则/(X)

5,x>-

[3

的表达式为()

A./(%)=%-2B./(%)=%+2

C.f{x)=-x-2D./(%)=—%+2

【答案】B

【解析】

12

【分析】根据题意，由绝对值的意义分析可得函数g(x)=o和〃0)=0的根为X=-e和x=§,然后按

g(x),〃(x)的符号分4种情况讨论，求出入X)的解析式即可.

c,1

2x—1,%<—

2

1717

【详解】由/(%)+\g(x)\-\h(x)\=6x+l,--<x<-可知函数的分段点为—5和],

5,x>-

[3

12

而函数f(x),g(x),/z(x)为一次函数，所以可得函数g(x)=0和〃(x)=0的根为x=——和％=—,

23

1?

假设g(x)=0的根为x=-一，"(尤)=0的根为x=—，

23

分4种情况讨论：

12

(1)%<——时，g(x)<0,x<—时，h(x)<0,

23

当尤<一；时，/(%)+|g(x)|-|h(x)\=/(x)-g(x)+h(x)=2x-l,

当X2§时，/(x)+|g(x)|-|/z(x)|=/(x)+g(x)-/z(x)=5,

两式相加可得f(x)=x+2,

12

(2)x<——时，g(x)>0,x<—时，h(x)>0,

23

当尤<一；时，/(%)+|g(x)|-|h(x)\=/(x)+g(x)-"(x)=2x-l,

当X2§时，/(x)+|g(x)|-|/z(x)|=/(x)-g(x)+h(x)=5,

两式相加可得f(x)=x+2,

12

(3)x<——时，g(x)>0,x<—时，h(x)<0,

23

当尤<一；时，/(x)+|g(x)|-|/z(x)|=/(x)+g(x)+h(x)=2x-l,

当X2§时，/(x)+|g(x)|-|/z(x)|=/(x)-g(x)-h(x)=5,

两式相加可得f(x)=x+2,

12

(4)x<——时，g(%)<0,x<—时，h(x)>0,

23

当尤<一；时，/(x)+|g(x)|-|/z(x)|=/(x)-g(x)-/z(x)=2x-l,

当X2§时,/(x)+|g(x)|-|/z(x)|=/(x)+g(x)+/z(x)=5,

两式相加可得，(x)=x+2,

综上可得/(x)=x+2

故选：B

三、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共计20分.在每小题给出的四个选项中，有

多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分)

9.下列函数图象与无轴均有交点，其中不能用二分法求其零点的是()

(v”4

【答案】AC

【解析】

【分析】根据函数零点存在原理、二分法逐一判断即可.

【详解】由选项AC中函数图象可知这两个函数的函数值没有负实数,国在零点左右函数值不变号,

选项BD中的函数图象可知这两个函数的函数值有负实数,即在零点左右函数值变号,

因此不能用二分法求其零点的是AC,

故选：AC

10.已知正数。，匕满足a+b=l,则下列结论正确的是()

19

A.0<y[db<—B.-+->20

4ab

C.-Ja+yfb<>/2D.2"+2fe>2V2

【答案】CD

【解析】

1911

【分析】本题首先可根据a+A22j法判断出A,然后根据一+：=（a+3—+7判断出B,再然后根

abyab）

据G+G<（⑷+（网判断出c,最后根据2。+2,22万可判断出D.

2-V2

【详解】因为。、。是正实数，所以a+》22j茄，当且仅当。=匕时取等号.

因a+b=l,所以J拓故A不正确.

2

因为L2=(a+0)m=l+9+%与1。+2、呼=16.

abb)ab\ab

b9a13

当且仅当[=石’即a="b丁等号成立‘故B不正确.

交，当且仅当a=〃时取等号.

2

即JZ+JFw后，故C正确.

2a+2b>2也"-2"=2也"+"=272,当且仅当。=6时取等号，故D正确.

故选：CD.

11.设无，y,z为正实数，<iog2%=iog3j=iog5z>0,则■的大小关系可能是（）

xyzxyz

A.-<—<-B.—=—=—

235235

zyxyxz

C.-<^<-D.—<-<-

532325

【答案】ABC

【解析】

【分析】令f=log2X=log3y=log5Z〉0,3=2i,1=3i,g=5'T,讨论/=1/>1/<1根据y=x'T

的单调性确定大小关系.

【详解】令。=log2X=log3y=log5Z〉O,则x=2'，y=3',z=5'，

所以'=2'T,2=3'T,三=51,

235

xVz

当，=1时，一=—二—,故B正确；

235

当然1时，由函数y=X'T在（0,+”）上为增函数知2'T<3'T<5"i，所以■!<]<!■，故A正确；

当0</<1时，由函数y=X'T在（0,+“）上为减函数知5'T<3'T<2’T,所以!■<]<'，故C正确D不

正确；

故选：ABC

12.已知函数/(x)=e*+x—2(e=2.71828…为自然对数的底数)，g(x)=Inx+x—2,若/(a)=g(A)=0,

则下列结论正确的是()

22

A.a+b=2B.a+b<3

C.ea+lnZ?>2D.e"+lna>3

【答案】ABD

【解析】

【分析】由题意/(a)=/(ln»=O结合/(x)的单调性易得a=m〜，根据已知零点判断A、C；应用零点

存在性判断。的范围，由/+〃=/+(2一。)2求范围判断B；放缩法可得e〃+Ina>4.4—In3,作差法

比较4.4—In3,3的大小关系判断D.

【详解】由题意eO+a-ZueM'+ln>一2=0，即/(a)=/Qn，)=0,

而/(%)=1+%-2在定义域上递增，故a=lnb,

所以e"+lnb—2=a+b—2=0，即e"+lnb=a+b=2，A对，C错；

由(耳尸<e<(-)3,/(；)=祖—：<°5/(g)=e，—T>°，故零点x=a=InZ?e,

所以6?+/=4+(2—Q)2=24—4o+4=2(a—l)2+2<2x(g—1)2+2=号<3,B对；

由〃£(g,；),则eb+lna=e2~a+lntz>e2~a+lng〉e，+In=A/?-In3>A/20-ln3>4.4—ln3,

7

而4.4-ln3-3=1.4-ln3=ln巴显然e'与'，则”>3，故4.4一ln3-3>0,

3

综上，eb+lna>3>D对.

故选：ABD

【点睛】关键点点睛：注意函数形式得到/(a)=/(In。)=0,结合单调性得到a=ln~,进而有

e"+lnb=a+Z?=2关键.

三、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分

13.写出一个为奇函数的幕函数/(x)=.

【答案】答案不唯一，如：V=%丁=，1,丁=/

【解析】

【分析】根据奇函数的定义，可得答案.

【详解】对于定义域内任意尤，-X也在其定义域内，且"_力=一八％),则函数为奇函数.

故答案为：答案不唯一，如：y=x,y=x^,y=x3

14.若。=log23,则2。+2一"

【答案】—.

3

【解析】

【分析】

由对数式可容易求得2°，代值即可解得.

【详解】因为a=log23,故可得2〃=3,则2-〃=3=g,

故2“+2-"=3+--—.

33

故答案为：—.

3

【点睛】本题考查对数式和指数式的计算，属基础题.

兀53

15.若a,尸£(0,—)且cos。=一，sin/?=-,则sin(o+/?)=

2135

【答案】笑

65

【解析】

【分析】根据同角的三角函数关系式，结合两角和的正弦公式进行求解即可.

兀5__________

【详解】因为1e(0,,)且cos。=耳，所以sina=—cos?a二

7?3/--------

又因为尸e(0,5)且sin尸=-,所以cos/=Jl—sin?万=

1245—-

所以sin(a+尸)=sinacos°+cossin/?=一x—+一x—=一,

13513565

故答案为：—

65

16.己知函数/(x)=x2-依-l(a〉0),若/'(x)<0的解集中有且仅有两个整数，贝M的取值范围是

【答案】(0,|

【解析】

【分析】根据/(0)=T<0，7(x)<0的解集中有且仅有两个整数，得到两个整数为。和1求解.

【详解】解：因为/(0)=—1<0,且/'(x)<0的解集中有且仅有两个整数,

a>0

/(—l)=l+a—1203

所以《解得0<a<一,

/(l)=l-4Z-l<02

/(2)=4-2a-l>0

所以。的取值范围是1o,|

故答案为：fo,-

17.我们知道，函数>=/(元)的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y=/(x)为奇函数，有

同学发现可以将其推广为：函数y=f(x)的图象关于点尸(见。)成中心对称图形的充要条件是函数

y=f(x+a)-b为奇函数.根据这一结论，可以求出函数y(x)=x3-x2的对称中心是.

【答案】［得)

【解析】

【分析】设/(x)=x3-x2的对称中心是p(a,b),根据题中结论利用奇函数的定义可得

/(-x+a)+/(x+a)-26=0,化简整理即可求得。力，即得答案.

【详解】设/(尤)=>一炉的对称中心是pg,b),

则函数y=/(X+〃)一6为奇函数，即/(-x+d)-b=-/(x+d)+b,

故/(一九+a)+/Cx+a)—26=0,

所以(—1+〃)—(—％+〃)+(1+〃)—(％+〃)=2b，

整理得(6a-2)d+2a3—2a?=2b,

.12

则6a—2=0,2〃~—2a9—2b,a——,b-----

327

(12

故f(x)=x3-x2的对称中心是I1一力

故答案为：卜3

TTTTJT

18.已知函数/(x)=sin(@x+0)(ty＞O,0＜夕＜兀)，了⑺满足/"(x+?=/(耳―尤)，/(--)=0,且在区

间(2,0)上有且仅有一个%使/(%0)=1，则。的最大值为.

186

129

【答案】—

4

【解析】

7T

【分析】根据函数/(X)的对称轴以及/(-§)=0可求得0，。关于正整数k的表达式，根据"X)在区间

(2,四)上有且仅有一个与使/(%)=1,可确定正整数4的取值范围，分类讨论，即可确定答案.

186

【详解】因为/⑺满足/■(x+3=/(乌—X),/(--)=0,即元=三为/(乃的一条对称轴，

3333

7T7C7C.

故——G)-¥(p—k^n,且1口+0=冬兀+万，k、，22£Z,

则0=3(2：±1),9=?+：,其中左=&一匕，k'=k2+k1=k+2kl,

且太〃同为奇数或偶数;

7T7T

又了(%)在区间(一,一)上有且仅有一个不使/(%)=1,

186

故要求0的最大值，需使(乌，色)包含的周期应最多，

186

所以乌一乌=殳42T，得0＜。《36,即3。"十九36,...rw23.5,

61894

1413兀

当归=23时，co----,k'为奇数,。＜夕＜兀，则"二—

44

此时1二41x+二371e|4,当

441248

.14137i5-1-9兀1371rtr(\1人口工*

当-等于或--时，f(x0)=I,不合题思;

当左=22时，,k'为偶数,。＜。＜兀，则。=殳，

44

此时9x+臬1747

44

135jrSlTQjr

当个x°+：等于三或三时，/（*。）=1’不合题意；

1293九

当上=21时，（o----，左'为奇数，0＜。＜兀，则夕=—，

44

rr,1293兀6149

止匕时---XH-------E—兀,—兀

44248

当丁龙。+1等于万时，/伉）=1'合乎题意；

由于0=3（2"+1）,即。随着人的增大而增大，

4

129

故。的最大值为——，

4

129

故答案为：——

4

【点睛】难点点睛：本题是关于三角函数解析式的求解问题，要根据函数的性质求得解析式中得参数，难

点在于求得参数。的表达式之后，要能根据函数在区间（2,四）上有且仅有一个X。使/（%）=1,结合正弦

186

函数性质，分类讨论上的取值，确定。.

四.解答题（本大题共5小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

4

19.已知tana二一，且a是第一象限角.

3

/、八sina—cosaj/

（1）求-----------的值；

sin。+cosa

兀

（2）求2sincrcos（兀一a）-cos2（—+。）的值.

2

【答案】（1）-

7

⑵-§

5

【解析】

【分析】（1）先弦化切，再结合同角三角函数的基本关系式求得所求表达式的值.

（2）先应用诱导公式，再弦化切，最后结合同角三角函数的基本关系式求得所求表达式的值.

【小问1详解】

sina-cosa_tancr-1_3_1

sina+cosatana+147

3

【小问2详解】

2sinc•cos(71-6Z)-cos2-2sina•cosa-sin2c^

一2sinacosa-sin2a-2tana-tan26Z8

si.n?a+cos2atan26z+15

7T

20.已知函数/"(x)=sin(x——).

6

(1)求出/(x)的最小正周期及单调递增区间；

7T

(2)若g(x)=2/(x)cos(x+?,求使g(x)=0成立的x的取值集合.

兀2兀

【答案】(1)T=2兀；—耳+24兀,-^-+2E(keZ)

(2)sx|%=—+kn,keZ>

【解析】

【分析】(1)根据三角函数的最小正周期公式求得/(x)的最小正周期，利用整体代入法求得单调递增区间.

(2)由g(x)=0,根据三角恒等变换的知识求得x的取值集合.

【小问1详解】

2兀

的最小正周期T=—=2兀；

TTTT7T

由---b2k7i<x——<—+2hi,keZ,

262

7T2TT

可得——+2kn<x<----卜2kn,ksZ,

33

jr2兀

\龙)单调递增区间是—1+2左兀,-1+2左兀(％£Z).

【小问2详解】

兀兀)c.2(兀)

,cosx----1———2sinx—

I62)I6)

1。兀

1-cos2x——/、

=-2、x---------I--------3--J-=cos八2x兀——1-1

2I3

=cos[2x+-^--^-1-1=sin+-^-1-1=0,sin12x+煮1=1,

兀兀兀

/.2x+—=—+2E,左GZ,即x=—+左兀,左wZ.

626

,X的取值集合是Ix|x=3+kn,keZ

21.某厂家为增加某种商品的销售量，决定投入广告据市场调查，广告投入费用"X）（单位：万元）与增加

的销售量x（单位：千件）（0<x<16）满足下列数据:

增加的销售

01245

量X

广告投入费

0.0000.4520.8161.3281.500

用了（X）

为了描述广告投入费用/a）与增加的销售量x的关系，现有以下三种函数模型供选择：

32x

7（%）=ox+bx+ex,f（x）=0.5+a,f（x）=klogax+b（a,b,c,keR）

（1）选出你认为最符合题意的函数模型，并说明理由；

（2）根据你选择的函数模型，求出相应的函数解析式；你认为增加的销售量x为多少时，每千件的广告投

入费用最少？

【答案】⑴选择/（力=加+加+5是最合适的模型，理由见解析

（2）/（x）=0.002%3—0.05x2+0.5x（0<x<16）；12.5千件

【解析】

【分析】（1）可利用特殊点与单调性，排除不合适函数模型；

（2）可将表中数据代入（1）中所选函数模型，求出函数/。），则每件的广告费用为W（x）=J3,继而

求其最值即可.

【小问1详解】

f（%）=0.5x+a,在区间［0,16］上单调递减,

，与表中数据矛盾，该模型不合适,

f(x)=ldogax+b,则函数在x=0处无意义,

二与表中数据矛盾，该模型不合适,

故选择f(x)=ax3+bx+ex是最合适的模型.

【小问2详解】

将表中的数据(1,0.452),(2,0.816),(4,1.328)代入/(%)=ax3+bx2+ex可得,

〃+Z?+c=0.452a-0.002

8a+4b+2c=0.816解得<b=—0.05,

64〃+16/7+4。=1.328c—0.5

所以〃力=0.002%3-0.05%2+0.5x(0<x<16)；

设每千件的广告费用为W(x),

/、0.002%3-0.05%2+0.5x____c门匚

则nilTWT(7x)=----------------------------=0.002%22-0.05%+0.5

x

=0.002(x-12.5)2+0.1875,

所以当x=12.5时，W(x)最小值为0.1875,

故销售量增加达到12.5千件时，才能使每千件的广告投入费用最少.

22.已知函数/(X)=%-1———(aeR).

x-1

(1)若a=-l,判断函数在区间24］上的单调性并用定义证明；

(2)VXG(0,1),/(x)/(l—恒成立，求实数。的取值范围.

【答案】(1)单调递增，证明见解析

(2)aW-工或a之1.

4

【解析】

【分析】(1)先取值，再对函数值作差，变形后判断符号，从而可得结论；

(2)由/(x)/(l—x)21,得［a—(V—%］，—(/―x+i)］»0恒成立，从而可求出实数"的取值范围.

【小问1详解】

当Q=-1时，f(X)=X—Id------,

X-1

/(%)在区间［2,4］上单调递增.

证："，飞e[2,4],且看<%，则

/\

2<x<x<4,/.x-x>0,1-------------->0,

99(-1)

・••/(w)-，(％)>。,即/(%2)>/(%),

\/(x)在区间[2,4]上单调递增.

【小问2详解】

因为0<兄<1,所以有[。一(1一%)2](〃一]2"%(1-％)，

可得/-[J+(1-%)24Z+[%(1-X)]2-X(l-X)>0,

可得a?—(2%2—2x+l)a+(%2—%)(%2—%+>0,

可得_九)]_X+1)]20,

可得〃212-工+1或14%2一％，

因为-—x+l=[x—g]+；,工2一x=(x-；]—xe(0,l),

所以V_x+1的最大值为1,好_%的最小值为一1,

4

综上可知，。的取值范围是—或々N1.

4

23.新定义：若存在/满足/(/(%))=%,且则称与为函数/⑴的次不动点.已知函数

---x+1,04ci

a

/(x)=<，其中Ovavl.

1

(x-a),a<x<l

、1-。

(1)当。=工时，判断!是否为函数〃尤)的次不动点，并说明理由;

25

(2)求出了(/(x))的解析式，并求出函数〃x)在[0,0上的次不动点.

【答案】(1)g是函数/(%)的次不动点，理由见解析

1

x+l,0<x<t7-6z2

a?—a