2023年湖南省常德市高考数学模拟试卷及答案解析

2023年湖南省常德市高考数学模拟试卷

本试卷满分150分。共22道题。考试用时120分钟。

注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、考场号、座位号和考生号填

写在答题卡上。将条形码横贴在每张答题卡右上角“条形码粘贴处”。

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上将对应题目选项

的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不

能答在试卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目

指定区域内相应位置上；如需改动，先画掉原来的答案，然后再写上新答案;

不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。

4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分40分，共40分。在每小题给出的四个选项

中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分。

I.复数Z=ɪ是虚数单位）在复平面上对应的点位于（）

l-i

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

2.设集合N={x∣x<3},8=3(x-5)(X-2)≤0},则(CRN)∩5=()

A.(-8,2]B.[3,5]C.[2,3]D.[3,5)

3.在4/8C中，/8=60°,AB=6,BC=5,则标•阮=()

A.-15√3B.-30C.-15D.15

4.已知加，C为三条不同的直线，α,β,Y为三个不同的平面，则下列说法正确的是

)

A.若〃?〃a,〃ua,则〃

B.若mua,〃UB且（X"β,则〃

C.a∕∕βf〃?〃仇则

D.若a∩β=m,B∩γ=",Yna=C且〃则〃?〃C

5.如图，一半径为4.8〃?的筒车按逆时针方向转动，已知筒车圆心。距离水面2.4加，筒车

每60s转动一圈，如果当筒车上点P从水中浮现时（图中点Po）开始计时，则（）

第1页共22页

A.点P第一次到达最高点需要IOS

B.点P距离水面的高度人单位：加与时间“单位：s）的函数解析式为h=4.8sin（⅛t-

卷）+2.4

C.在筒车转动的一圈内，点尸距离水面的高度不低于4.8加共有IOS的时间

D.当筒车转动50s时，点P在水面下方.距离水面1.2〃？

6.函数/（x）=In（x+3）的图象与函数g（x）=∣x2-2|的图象的交点个数为（）

A.2B.3C.4D.0

7.演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始

评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分.7个有效评分与9个原始评分相

比，不变的数字特征是（）

A.中位数B.平均数C.方差D.极差

22

8.已知Q、尸2为双曲线C：=l（a>0,b〉0）的左、右焦点、以线段尸1死为

直径的圆与双曲线C的右支交于尸、0两点，若。尸，F1。，其中O为坐标原点，则C的

离心率为（）

A.6+]B.√3C.近+1D.√3+l

22

二、多项选择题：本题共4小题，每小题满分20分，共20分。在每小题给出的四个选项

中，有多项符合题目要求。全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分。

（多选）9.已知｛小｝为等差数列，其前〃项和S,,,若m>0,SIO=S20，贝IJ（）

A.公差d<0B.αi6<0

C.S"WS15D.当且仅当S,V0时，〃》32

（多选）10.习近平总书记指出：扶贫必扶智，扶智就是扶知识、扶技术、扶方法.某地响

应号召，建立农业科技图书馆，供农民免费借阅，收集了近5年的借阅数据如表：

年份20172018201920202021

年份代码X12345

年借阅量供万册）4.95.15.55.75.8

根据上表，可得y关于X的经验回归方程为y=o.24χ+a,则（）

第2页共22页

ʌ-a=4.68

B.近5年借阅量估计以0.24万册/年的速度增长

C.X与y的线性相关系数r>0

D.2022年的借阅量一定不少于6.12万册

(多选)11.已知函数f(χ)=Asin(3χ+0)(A>0,ω>0,O<。<手)的部分

r/兀、/兀、

B-f⅛÷x)=f⅛-x)

C.函数f(x)在味，冗]上单调递增

D.函数f(χ^)为奇函数

(多选)12.已知正四棱台NgCD-NiBiCiDi的上下底面边长分别为4,6,高为√],E是

A.正四棱台/3。-Z∣8ιC∣O∣的体积为於巨

3

B.平面SCL平面44ιCIC

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C./E〃平面8。。

D.正四棱台ABCD-A∖B∖C∖D∖的外接球的表面积为104π

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

14.在一次教学质量调研测试中，某学校高三有1200名学生，全部学生的数学成绩X服从

正态分布N(μ,。2),若尸(X,100)=O.5,且P(X2120)=0.2,则本次测试数学

成绩在80到120之间的学生约有人.

15.探照灯反射镜的纵断面是抛物线的一部分，光源在抛物线的焦点，已知灯口直径是60cm,

灯深40cm,则光源到反射镜顶点的距离是cm.

16.若函数f(χ)=eX4⅛[l,2]上单调递增，则实数α的取值范围是.

X

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(10分)已知正项等比数列｛α,,｝的前〃项和为Si,m=2,且及，G+2,双成等差数列.

(I)求数列｛〃”｝的通项公式；

(2)设数列｛加｝满足b=-i-+l0ga,求数列｛b｝的前N项和Tn

n；Nn

n

18.(12分)在a∕8C中，a,b,C是角4,B,C所对的边，“sinC=J5c∙cos”,有三个条

件：①COS8=N∙;②6+c=2√ξ:③a=娓,现从上面三个条件中选择两个条件，使

3

得三角形存在.

(1)两个条件中能有①吗？说明理由；

(2)请指出这两个条件，并求4/8C的面积.

19.(12分)如图，在直三棱柱N8C-Z∣8ι。中，NBAC=90°,AB=BBi=I,直线8∣C

与平面NBC所成角为30°.

(1)求证：平面8i/CJ_平面力8814；

(2)求二面角B-CBi-A的余弦值.

20.(12分)2019年4月，江苏省发布了高考综合改革实施方案，试行“3+1+2”高考新模

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式.为调研新高考模式下，某校学生选择物理或历史与性别是否有关，统计了该校高三

年级800名学生的选科情况，部分数据如表：

性别男生女生合计

科目

物理300

历史150

合计400800

(1)根据所给数据完成上述表格，并判断是否有99.9%的把握认为该校学生选择物理或

历史与性别有关；

(2)该校为了提高选择历史科目学生的数学学习兴趣，用分层抽样的方法从该类学生中

抽取5人，组成数学学习小组.一段时间后，从该小组中抽取3人汇报数学学习心得.记

3人中男生人数为X,求X的分布列和数学期望E(X).

附：K2=________n(ad-bc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P(^2≥⅛)0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

22

21.(12分)已知椭圆㊂+ɪ5=l(a>b>0)的左、右焦点分别为尸I、放，右顶点为4过

abz

右焦点且垂直于X轴的直线与椭圆相交于8、C两点，所得四边形48QC为菱形，且其

面积为丝.

3

(1)求椭圆的方程：

(2)过左焦点Q的直线/与椭圆交于E两点，试求三角形OEB面积的最大值.

22.(12分)已知函数/(x)-X2-2x+alnx(α>0).

(I)当a=2时，试求函数图象在点(1,/(1))处的切线方程；

(II)若函数/(X)有两个极值点XI、X2(X1<X2),且不等式/(Xl)、机X2恒成立，试

求实数"1的取值范围.

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2023年湖南省常德市高考数学模拟试卷

本试卷满分150分。共22道题。考试用时120分钟。

注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、考场号、座位号和考生号填

写在答题卡上。将条形码横贴在每张答题卡右上角“条形码粘贴处”。

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上将对应题目选项

的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不

能答在试卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目

指定区域内相应位置上；如需改动，先画掉原来的答案，然后再写上新答案；

不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。

4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

参考答案与试题解析

一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分40分，共40分。在每小题给出的四个选项

中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分。

1.复数Z=ɪ是虚数单位)在复平面上对应的点位于()

1-i

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

解：由题Z=ɪ=-------ɪiɪ---------=l4Λi,所以在复平面上对应的点位于第一象限.

l-i(1-i)(l+i)221

故选：A.

2.设集合4={x∣xV3},B={x∖(χ-5)(χ-2)≤0},则(CRZ)CB=()

A.(-8,2]B.[3,5]C.[2,3]D.[3,5)

解：：集合4={x∣χV3},B={x∖G-5)G-2)≤0}={x∣2≤x≤5},

・'・CR∕={X∣X23},

：•(CJu)∩5={x∣3≤x≤5},

故选：B.

3.在448C中，NB=60°,AB=6,SC=5,则屈•前=()

A.-15√3B.-30C.-15D.15

解：在△力8C中，N8=60°,/8=6,BC=5,

Oo

≡AB-EC=IABIIBCIcos(180-60)=6×5×(A)=-15,

故选：c.

4.已知加，n,C为三条不同的直线，α,0,Y为三个不同的平面，则下列说法正确的是

()

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A.若加〃ɑ,〃ua,则〃？〃“

B.若muα,且α“β,则〃?〃〃

C.α∕7β,m//β,则〃?〃a

D.若a∏β=m,βCγ=",γ∩a=c且〃2〃〃，则〃?〃C

解：对于4、若加〃a,〃ua,则加〃〃或〃?与〃异面，故4错误；

对于3、若mua,〃（=3且。〃3，则〃?〃〃或〃？与〃异面，故8错误；

对于C、若a“β,m∕∕βf则〃?〃a或阳Ua,故C错误；

对于£）、*.*nι∕∕n9〃uy,Inaγ,∙∙m∕∕y,

∙.∙γ∏a=c,muoc,.∙.∕π“c,故。正确.

故选：D.

5.如图，一半径为4.8〃?的筒车按逆时针方向转动，已知筒车圆心。距离水面2.4〃?，筒车

每60s转动一圈，如果当筒车上点尸从水中浮现时（图中点Po）开始计时，则（）

A.点P第一次到达最高点需要IoS

B.点P距离水面的高度从单位：加与时间“单位：6）的函数解析式为h=4.8sin%”

∣）+2∙4

C.在筒车转动的一圈内，点P距离水面的高度不低于48"共有IOs的时间

D.当筒车转动50s时，点P在水面下方.距离水面1.2〃？

解：设点P距离水面的高度力（米）与f（秒）的函数解析式为/（力=ZSin（ωz+φ）+B

（A>0,ω>0,∣φ∣<J）；

依题意可知/C）的最大值为7.2,最小为-2.4,

所以N+8=7∙2,-A+B^-2.4,解得/=4.8,2=2.4.

由T=寻=60,解得3=卷.

第7页共22页

Tr

所以/(f)—4.8sin(―∕÷φ)÷2.4,

1

当Z=O时，/(，)=0,得si∏(p=—2，

又∣φ∣可,所以φ=4

TTTT

所以所求函数的解析式为〃=/⑺=4.8sin(―/-≡)+2.4,选项8正确；

.TCTf

令4.8SinJT)+2.4=7.2,

306

TCTT

可得：sin(―Z-∙τ-)=1,

306

所以白LJ=冬解得尸20，

即点尸第一次到达最高点要20s,选项/错误；

令4.8Sin(―/—+2.424.8,得Sin(―/—≥

即系，解得10WK30；

所以在水轮转动的一圈内，有20秒的时间点P距离水面的高度不低于4.8米，选项C错

误；

.7ΓTrTlTT3兀

令f=50,得/⑺=4.8Sin(―Z-⅛)+2.4=4.8Sin(―×50-⅛)+2.4=4.8Sin丁+2.4=

j3063062

-2.4,所以。错误.

故选：B.

6.函数/(x)=In(x+3)的图象与函数g(x)=If-2|的图象的交点个数为()

A.2B.3C.4D.0

解：如图，

则函数/(x)—In(x+3)的图象与函数g(x)=|/-2|的图象的交点个数为4,

故选：C.

7.演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始

评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分.7个有效评分与9个原始评分相

第8页共22页

比，不变的数字特征是（）

A.中位数B.平均数C.方差D.极差

解：根据题意，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分,

7个有效评分与9个原始评分相比，最中间的一个数不变，即中位数不变，

故选：A.

22

8.已知乃、乃为双曲线C：2--E~=l（a>0,b〉0）的左、右焦点、以线段FlF2为

直径的圆与双曲线C的右支交于尸、。两点，若。尸，Q0,其中O为坐标原点，则C的

离心率为（）

A.F+1B.√3C.2ZΣ+1D.√3+l

22

解：如图，

由题意可知，△尸尸I。是等边三角形，则NPOF2=生，

3

r~22

P（S乂红），代入双曲线方程，可得-≤—_旦£一=1，

22

224a4b

22_

apɪ--—⅛--=1，整理得ezt-8e2+4=0,解得e2=4+2√^（4-2愿舍去）,

4a24（c2-a2）

Λe=√3+1（e>l）.

故选：D.

二、多项选择题：本题共4小题，每小题满分20分，共20分。在每小题给出的四个选项

中，有多项符合题目要求。全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分。

（多选）9.已知｛a,,｝为等差数列，其前"项和S,,,若“ι>0,SIO=S20，则（）

第9页共22页

A.公差d<0B.oi6<0

C.SIWSI5D.当且仅当S”<O时，〃》32

解：等差数列｛斯｝中，m>0,Slo=S20,

所以⅛o-SK）=αu+αi2+∙∙.+Q2θ=O,

所以。11+。20=〃12+。19=...=。15+。16=0，

所以4i5>0,ai6<0,选项8正确；

所以公差dV0,选项Z正确；

由题意知,S15最大，即S八≤S15,选项C正确;

30（a1÷ao∩）

由S30=----------————=15（αi5+αi6）=0，且公差d<0,

2

所以当S"<0时，〃，31,选项。错误.

故选：ABC.

（多选）10.习近平总书记指出：扶贫必扶智，扶智就是扶知识、扶技术、扶方法.某地响

应号召，建立农业科技图书馆，供农民免费借阅，收集了近5年的借阅数据如表:

年份20172018201920202021

年份代码X12345

年借阅量供万册）4.95.15.55.75.8

根据上表，可得y关于X的经验回归方程为y=o.24χ+a,则（）

a∙a=4.68

B.近5年借阅量估计以0.24万册/年的速度增长

C.X与y的线性相关系数r>0

D.2022年的借阅量一定不少于6.12万册

融.-1+2+3+4+5—4.9+5.1+5.5+5,7+5.8

肿.X=----z----=3,y=---------z---------=5.4，

DD

*AΛ

样本点的中心的坐标（3,5.4）,代入y=0.24x+a,得a=54-024X3=46E'故力正

确；

线性回归方程为y=0.24x+4.68,可知近5年借阅量估计以0.24万册/年的速度增长，故

B正确；

由年借阅量y随着年份X的增大而增大，则X与y正相关，线性相关系数r>0,故C正

第10页共22页

确；

取x=6,得y=o.24X6+4.68=6.1?可知2022年的借阅量估计为6.12万册,故。错

误.

故选：ABC.

(多选)11.已知函数f(χ)=Asin(3χ+0)(A>0,ω>0,的部分

图象如图所示，则下列结论中正确的是()

A.f(x)的最小正周期为π

/兀、/兀、

Bn∙f⅛÷x)=f⅛-χ)

C.函数f(x)在喙，冗］上单调递增

D.函数f(χ^)为奇函数

解：由图知，4=2,f(0)=√3.即2sinφ=√^,可得sinφ=近,

2

TT

又0Vφ<2

2

可得φ=2L∙

3

由五点作图法可得？%+N=n,

33

可得3=2,可得/(x)的最小正周期为T=等=n,故/正确；

所以/(x)=2Sin(2X+2L.),

第11页共22页

又/(三)=2,所以X=工为一条对称轴，故8正确；

1212

/(x)在［方-,需I上单调递减，在［需，ττ］上单调递增，故C错误：

/(χ-ɪ)=2sin［(2χ-ɪ)+JL］=2sin2x为奇函数，故。正确.

663

故选：ABD.

(多选)12.已知正四棱台NBCO-m8iCIol的上下底面边长分别为4,6,高为北,E是

小囱的中点，则()

B.平面SCI。，平面441ClC

C.ZE〃平面BCiD

D.正四棱台ABCD-小BIClDI的外接球的表面积为104π

解：对于/.正四棱台ABCD-AiBiCiDi的体积为

2故错误；

v4-(Sι+√S1S2+S2)h4-(16+√16×36+36)×√2=⅞^--

ððð

对于8,易知8DJ_/C,BDLcho2,又∕C∩OQ2=O2,

则8D，平面/U1C1C,又BoU平面BC∖D,所以平面8CiOJ_平面AA∖C∖C,故正确;

对于。，连接ZC、8。相交于。2,连接∕∣Cι,以。|相交于。”

第12页共22页

如果外接球的球心O在正四棱台ABCD-A∖B∖C∖D∖的内部，

则。在。1。2上，0102=√2'

因为上下底面边长分别为4,6,所以DlOI=^"B[D[=2∖历，Dc∣2寺B=3^，

2,

设外接球O的半径为R,所以JDlel2_D[0；+A∕DO-DO2=01o2

≡PVR½+7R¼8=√2）无解，所以外接球的球心。在正四棱台/88-出历GG

因为上下底面边长分别为4,6,所以DlOI=^∙B[D]=2λ历，DO2ς4^DB=3Λ∕0

设外接球O的半径为R,所以JDlcl2_D]0；-^DO2-DO2=OIo2'

即VR2-8-√R2-18=√2'解得肥=26，

所以正四棱台ABCD-A∖B∖C∖D∖的外接球的表面积为4πΛ2=104π,故。正确；

对于C,取。E的中点F,连接∕E,EF,A∖C↑ΠEF=G,连接ZG,

第13页共22页

所以。向〃EF,所以G是小。1的中点，因为AICl=4、历，所以GCI=3∙√5∙

X⅛Q2=3√2>所以GCI=NO2,又因为GC1〃4。2,所以四边形GCIoM是平行四边形,

所以G4〃ClO2G/C平面CiBO,。。2<=平面CI8。，所以G/〃平面Cl8。，

因为。曲〃BD,所以EF〃BD,

£7时平面CI8。，8。U平面Cl8。，所以EF〃平面。80,

因为EFC/G=G,所以平面CIBQ〃平面/ER

因为NGU平面4M,所以NE〃平面Ci8。，

故C正确：

故选：BCD.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.若tan。=-1，θ∈(-ɪ-,兀)，贝!]sinθ-cos。=_Λ∕?.

解：∙.∙tano=-ι,Qf(2L兀)，.∙.e=^2L,

L2)4

贝!]sinθ-cosθ=X-2-+Xɪ=Λ∕2'

22

故答案为：√2∙

14.在一次教学质量调研测试中，某学校高三有1200名学生，全部学生的数学成绩X服从

正态分布N（μ,。2）,若P（X》IOO）=0.5,且尸（X2120）=0.2,则本次测试数学

成绩在80到120之间的学生约有720人.

解：'：P（QIOo）=0.5,Λμ=100,

：.P(80<X<120)=1-2P(X2120)=1-2X0.2=0.6,

本次测试数学成绩在80到120之间的学生约有1200×0.6=720人，

故答案为：720.

15.探照灯反射镜的纵断面是抛物线的一部分,光源在抛物线的焦点，已知灯口直径是60cm,

第14页共22页

灯深40cm,则光源到反射镜顶点的距离是_至=cm.

8

解：设抛物线方程为产=2/(p>0),点(40,30)在抛物线/=2PX上,

Λ900=2p×40.

.・.P=45

28

因此，光源到反射镜顶点的距离为生<7".

S

16.若函数f(χ)=e'∙Λ在口，2］上单调递增，则实数α的取值范围是(-8,0.

X

解：∙∙'f(x)=e*e回，2］,

X

(x)=eγ-ɪ,

72

X

V/(x)在［1,2］单调递增，

：.f(x)》0在Xq1,2］恒成立,

即/-3-No恒成立，即αWx2",

2

X

令g(x)-x2ex,x∈［l,2］,

则g'(x)=(X2+2X)/>0在［1,2］上恒成立，

：.g(x)在口,2］上单调递增,

，g(X)mi”=g(1)=e,故“We,

故答案为：(-8,e］.

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(10分)已知正项等比数列｛“”｝的前〃项和为S”αι=2,且公，内+2,收成等差数列.

(1)求数列｛〃”｝的通项公式；

(2)设数列/,J满足b=-^+logoa，求数列他,｝的前〃项和T”

n2/n

n

解：(1)设正项等比数列｛〃“｝的公比为4,夕>0,

由0=2,且42，。3+2,44成等差数列，可得2(43+2)=42+。4，

即有2(2/+2)=2q+2∕,解得q=2,

则斯=2"；

⑵b-j-+l□ga=<⅜>"+I*"=(1)"+〃，

n2

anZn.22

第15页共22页

所以7〃=+(1+2+...+”)=----------------W(n+l)

n

242IA2

2

=1--ɪ-n-ɪ(«+w2).

2n2

18.(12分)在a/BC中，a,b,C是角4B,C所对的边，“sinC=√5c∙cos/,有三个条

件：①cos8=上；@b+c—2Λ∕3:(3)α=Vθ>现从上面三个条件中选择两个条件，使

3

得三角形存在.

(1)两个条件中能有①吗？说明理由；

(2)请指出这两个条件，并求a∕8C的面积.

解：(1)因为“sinC=J^c∙cos/,

所以由正弦定理可得SirL4sinC=J§sinCcos/,

因为sinC≠0,

所以sin/=JEcos/,可得tan/=J§,

因为ZE(0,n),

所以/=2匚

3

假设两个条件中有①，则会推出矛盾，过程如下：

因为COSfi=-—<-ɪ,

32

所以8£兀)，由于此时/+8+C>ττ,所以不能有①；

3

(2)只能选择②③，

因为4=2-,所以由余弦定理可得白2=62+o2_2bccosZ,即6=层+<?-be,

3

由于b+c=W§，所以bc=2,

此时俨=2解得∣b=√5+l,或［bS-l,所以C存在，

lb+c=2√3(c=√3-llc=√3+1

所以SA/BC=LCSirL4=工×o×^-=^-∙

2222

19.(12分)如图，在直三棱柱Z8C-∕∣8ιCι中，ZBAC=90a,AB=BB∖=∖,直线QC

与平面/8C所成角为30°.

(1)求证：平面8i/C_L平面月88M1；

(2)求二面角B-CB∖-A的余弦值.

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解：(1)证明：平面∕8C,/Cu平面/8C,得BBJ4C,

5LACYAB,ABCBBI=B,."C_L平面NBBMi,

：NCu平面AB∖C,；.平面BiNeLL平面ABB∖A∖↑

(2)由8例J_平面/BC,得NBiCB是直线BlC与平面ZBC所成的角，.∙.∕8ιC8=30°

∙.∙βfiι=ι,Λβ1c=2,BC=√3)

；/C_L平面∕B8Mι,ZBiu平面∕88Mι,：.ACLB\A,

过8作80,BlC于。点，过/作BlC于E点，

则<血，血>等于二面角8-C8ι-4的大小，

22

Rt△质C中,BD=.=VA,β.β=√BB1-BD=^

ACrBC2_卜针=瓜ABɪ=√22-(√2)2=V2>

...△/81C是等腰直角三角形，

：DE=X

ZE=斜C=l,B1E=CE=V''^^

7DE-DB=O,DE∙EA=O,BA=DE+EA-DB.

λBA2=(DE+EA-DB)2≈DE2+EA2+DB2-2DE∙DB^2EA,DB-

ʌ1=^~∙+l÷~∙-2×1×ɔɪ-cos<DB，EA>

解得cos<DB,EA>

二面角B-CBI-A的余弦值为亚■.

第17页共22页

20.（12分）2019年4月，江苏省发布了高考综合改革实施方案，试行“3+1+2”高考新模

式.为调研新高考模式下，某校学生选择物理或历史与性别是否有关，统计了该校高三

年级800名学生的选科情况，部分数据如表：

性别男生女生合计

科目

物理300

历史150

合计400800

（1）根据所给数据完成上述表格，并判断是否有99.9%的把握认为该校学生选择物理或

历史与性别有关；

（2）该校为了提高选择历史科目学生的数学学习兴趣，用分层抽样的方法从该类学生中

抽取5人，组成数学学习小组.一段时间后，从该小组中抽取3人汇报数学学习心得.记

3人中男生人数为X,求X的分布列和数学期望E（X）.

附：R=_______n(ad-bc)”

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P（烂2左）0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

解：（1）根据所给数据完成列联表:

性别男生女生合计

科目

物理300250550

历史100150250

合计400400800

第18页共22页

圣

2=800x(30OX150-250X100)2=(450-250)2=160>

’550×250×400×40055×25×2IF10-828

.∙.有99.9%的把握认为该校学生选择物理或历史与性别有关∙

(2)按照分层抽样的方法，抽取男生2人，女生3人,

随机变量X的所有可能取值为0,1,2,

pθ∩3

I

：.P(X=O)=/J=上

熄10

CjCqQ

p(X=I)=-A-≡-=Λ

C35

CoCiQ

P(X=2)=4.e=_j_

短1°

.∙.X的分布列为:

X012

P13_3

^10而

=0×⅛÷l×f÷2×⅛=∣

22

21.(12分)已知椭圆弓津亍=ι(a>b>0)的左、右焦点分别为Q、F2,右顶点为4过

「bz

右焦点且垂直于尤轴的直线与椭圆相交于8、C两点，所得四边形48AC为菱形，且其

面积为丝.

3

(1)求椭圆的方程；

(2)过左焦点a的直线/与椭圆交于。、E两点，试求三角形DEF2面积的最大值.

解：(1)如图，由椭圆的对称性及四边形为NBBC菱形知，IFlF2尸尸》|，

即2c=a-C1即a=3c,①

令X=C,得点8的纵坐标为y=上

Bð

由四边形ABFiC的面积为丝，

3

吗√a+c)X止・2号，

NaJ

即序=8,②

第19页共22页

又2=a1-P,③

联立①②③得：，a=9,

“2=8

22

故椭圆方程为江上=1；

98

（2）由（1）知：Fl（-1,O）,IElF2∣=2,

设直线/的方程为：X=1,

假设。（xi，y∖）,E（X2,户），

22

V4V=⅛:(kwi)22

由,+⅞