2023-2024学年山东省德州市奎台中学高一年级上册数学理期末试卷含解析

2023年山东省德州市奎台中学高一数学理期末试卷含

解析

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选

项中，只有是一个符合题目要求的

1.已知全集U={1,2,3,4},集合A={1,2},B={2},则?u(AUB)=()

A.{1,3,4}B.{3,4}C.{3}D.{4}

参考答案：

B

【考点】交、并、补集的混合运算.

【专题】计算题；集合思想；集合.

【分析】根据已知中集合U,A,B,结合集合的并集和补集运算的定义，可得答案.

【解答】解：•••集合A={1,2},B=⑵*

；.AUB={1,2],

又•.•全集U={1,2,3,4),

•,.?u(AUB)={3,4},

故选：B

【点评】本题考查的知识点是集合的交集，并集，补集运算，难度不大，属于基础题.

2.(5分)设集合p={x|x>l},Q={X|X2-X>0},则下列结论正确的是()

A.p=QB.p?QC.p?QD.Q?p

参考答案：

C

考点：集合的包含关系判断及应用.

专题：计算题；集合.

分析：首先化简(^=收|/-*>0}=收反>1或*<0},从而判断P、Q的关系.

解答：,.,Q={X|X；!-x>O}={x|x>l或x<0},

又：p={x|x>l},

.\p?Q.

故选C.

点评：本题考查了集合的化简与集合关系的判断，属于基础题.

3.若直线a与平面a不垂直，那么在平面a内与直线a垂直的直线（）

A.只有一条B.无数条

C.是平面a内的所有直线D.不存在

参考答案：

B

【考点】空间中直线与平面之间的位置关系.

【分析】若直线a与平面a不垂直，有三种情况：直线a〃平面a,直线a?平面a,直

线a与平面a相交但不垂直，分别研究这三种况下，在平面a内与直线a垂直的直线的

条数，能够得到结果.

【解答】解：若直线a与平面a不垂直，

当直线a〃平面a时，在平面a内有无数条直线与直线a是异面垂直直线；

当直线a?平面a时，在平面a内有无数条平行直线与直线a相交且垂直；

直线a与平面a相交但不垂直，在平面a内有无数条平行直线与直线a垂直.

若直线a与平面a不垂直，那么在平面a内与直线a垂直的直线有无数条.

故选B.

TT

4.设函数f（X）二乃cos⑵+©）+sin⑵+。）（|。|<工），且其图象关于直线

x=0对称，则（）

（0,—）

A.y=f（x）的最小正周期为口，且在2上为增函数

(0,—)

B.y=f(x)的最小正周期为Jt,且在2上为减函数

—(0,—)

C.y=f(x)的最小正周期为2,且在4上为增函数

—(0,—)

D.y=f(x)的最小正周期为2,且在4上为减函数

参考答案：

B

考点：两角和与差的正弦函数.

专题：计算题.

分析：将函数解析式提取2,利用两角和与差的余弦函数公式及特殊角的三角函数值化为

一个角的余弦函数，找出«的值，代入周期公式，求出函数的最小正周期，再由函数图

象关于直线x=0对称，将x=0代入函数解析式中的角度中，并令结果等于kn(kGZ),

再由6的范围，求出山的度数，代入确定出函数解析式，利用余弦函数的单调递减区间

KJT7T

确定出函数的得到递减区间为[km,kJI+2](keZ),可得出(0,2)?[kn,kn+2]

n

(kGZ),即可得到函数在(0,-2)上为减函数，进而得到正确的选项.

解答：解：f(x)=V3cos(2X+6)+sin(2x+6)

V31

=2[2cos(2x+6)+2sin(2x+6)]

71

=2cos(2x+6-6),

3=2,

2兀

.*.T=2,

又函数图象关于直线x=0对称，

兀兀

・・.6-军kn(kez),即6=kn+石(kez),

K

又161V2,

/.4>=6,

.*.f(x)=2cos2x,

n

令2k兀W2xW2k五+兀(keZ),解得：k^WxWk兀+2(keZ),

K

・・・函数的递减区间为[ku,kJi+T](kez),

K兀

又(0,-2)?[k兀，kii+T](kez),

K

・・・函数在(0,-2)上为减函数，

71

则尸f(x)的最小正周期为兀，且在(o,T)上为减函数.

故选B

点评：此题考查了三角函数的周期性及其求法，余弦函数的对称性，余弦函数的单调

性，以及两角和与差的余弦函数公式，其中将函数解析式化为一个角的余弦函数是本题的

突破点.

5.连续两次抛掷一枚质地均匀的硬币，出现正面向上与反面向上各一次的概率是()

1112

A.4B.3c.2D.3

参考答案：

c

【分析】

利用列举法求得基本事件的总数，利用古典概型的概率计算公式，即可求解.

【详解】由题意，连续两次抛掷一枚质地均匀的硬币，基本事件包含：（正面，正面），

（正面，反面），（反面，正面），（反面，反面），共有4中情况，

出现正面向上与反面向上各一次，包含基本事件：（正面，反面），（反面，正面），共

2种，

P„=­2=―1

所以的概率为42,故选C.

【点睛】本题主要考查了古典概型及其概率的计算问题，其中解答中熟练利用列举法求得

基本事件的总数是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.

-1_■1・

6.在平行四边形ABC。中，AB=A,ZD=3,若34,则/因=

)

32;21=43二=

AB^-ADAB^-AD

A.43B.32C.54

5―41▲二

D.43

参考答案:

A

7.直线x-y-1=0的倾斜角与其在y轴上的截距分别是（）

A.135°,1B.45°,-1C.45°,1D.135°,-1

参考答案:

【考点】直线的一般式方程.

【分析】根据题意，将直线的方程变形为斜截式方程，可得直线的斜率与其在y轴上的截

距，利用倾斜角与斜率的关系，可得其倾斜角，即可得答案.

【解答】解：根据题意，直线的方程为x-y-1=0,变形可得y=x-l,

则其斜率k=l,倾斜角0=45°,

在y轴上的截距为-1；

故选：B.

8.下列对象能构成集合的是（）

A.高一年级全体较胖的学生B.sin30°,sin45°,cos60°,1

C.全体很大的自然数D.平面内到△ABC三个顶点距离相等的

所有点

参考答案：

D

对于A,高一年级较胖的学生，因为较胖学生不确定，所以不满足集合元素的确定性，故

A错误；

・.1

sinSOcos60--

对于B,由于如2，不满足集合元素的互异性，故B错误；

对于C,全体很大的自然数，因为很大的自然数不确定，所以不满足集合元素的确定性，

故C猎误；

对于D,平面内到AABC三个顶点距离相等的所有点，可知这个点就是AABC外接圆的圆

心，满足集合的定义，D正确，故选D.

x^O

"°所表示的

平面区域内整点个数为（）个

A.4B.5C.6D.7

参考答案:

C

如图中的7

由图可知，在可行域内的整点有

(O.OX(O.I\(I.O),().1)42,O)L(3,O)

共有6个，故选C.

10.给出下列关系

①{a}C{a}②{1,2,3}={1,3,2}③①匚{0}④①e{0}⑤①={0}⑥0e{0}

⑦{1,2}E{1,2,3},其中正确的个数为()

A.2B.3C.4D.5

参考答案：

C

略

二、填空题:本大题共7小题,每小题4分，共28分

11.若“~a,则”的取值范围为—

参考答案：

0<<7<1

2n+n

12.(4分)若loga2=m,loga3=n,a=.

参考答案：

12

考点：对数的运算性质.

专题：计算题.

分析：由题设条件先求出a”=2,a"=3,再由2?4=(a)"a"能够导出a*的值.

解答：loga2=m,loga3=n,

a=.2,a°=3,

.,.a2m+n=(am)2?an=22?3=12.

故答案为：12.

点评：本题考查对数的运算法则和运算性质，解题时要认真审题，仔细解答.

13.用辗转相除法或更相减损术求459与357的最大公约数是.

参考答案：

51

【考点】用辗转相除计算最大公约数.

【分析】根据辗转相除法：用较大的数字除以较小的数字，得到商和余数，然后再用上一

式中的除数和得到的余数中较大的除以较小的，以此类推，当整除时，就得到要求的最大

公约数.

【解答】解：辗转相除法：・•・459=357x1+102,357=102x3+51,102=51x2

故459和357的最大公约数是51,

故答案为：51.

14.(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中，。为极点，直线过圆C：

p=--)

的圆心C,且与直线OC垂直，则直线的极坐标方程为.

参考答案:

Qcos6+Q$in6-2=0(或/一"

略

1-1

-9

15.(5分)(lg25-lg4)+100=.

参考答案：

20

考点：有理数指数幕的化简求值.

专题：函数的性质及应用.

分析：根据对数的运算法则和有理数的公式进行化简即可.

1-11

解答：(lg25-Igl)4-1002=(IglOO)X(1002)=2X10=20,

故答案为：20.

点评：本题主要考查有理数的化简，比较基础.

16.高一某班有学生45人，其中参加数学竞赛的有32人，参加物理竞赛的有28人，另

外有5人两项竞赛均不参加，则该班既参加数学竞赛又参加物理竞赛的有人.

参考答案：

20

17.已知集合=则下列式子：

①②③夕£工

④。-1)'=月,表示正确的有▲个.

参考答案:

3个

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算

步骤

18.已知函数〃x）=/$in（0x+协,xeK（其中'）的图象如

图所示.

（1）求-厂的解析式；

K

（2）将函数的图象向右平移否个单位后，再将得到的图象上各点的横

坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y=爪”的图象，求g（X）的对称轴

方程；

（3）当X，'5时，方程J'（x）=2fl-3有两个不等的实根毛，町，求实数点的

取值范围，并求此时内•。的值.

参考答案:

解：（1）由图知，工=2.-------1分

2富2n八

0二--S--S2

7=开，T7T----2分

2$m(2x—s25m(—1—+7=—I-2^/r.JtcZ

由6，即3/，故3*2，所

<p=—+2kjr,keZ

以6

<?€(0,—)(P--

又2’，所以6---3分

,,/(*)=2sm(2x+^)

故64分

（2）将/旧的图象向右平移石个单位后，得到」二一二的图象，再将

所得图象横坐标伸长到原来的4倍,

纵坐标不变，得到令的图象,

所以纲="1/2制2（L+R=2血5-5）

6

分

x开刀，，

一——=—+for

令2627分

x=——4不+Zbr

则3（上eZ）,所以gOO的对称轴方程为

4万

x=——+2Jbr

3-8分

八n,nIn.

X€[0，^]2x+-e一

(3)26669分

当方程力③=L-3有两个不等实根时，.y=j：x）的图象与直线

¥=2。-3有两个不同的交点

...l<2a-3<211分

2Sa<—

212分

x€[0,-]〃、〃、(2x.+-)+(2x+-)=.7r

(法一)当2时，/氏)=/(勺)，所以।636

n

M♦X,=一

所以】23

_,n.nkn

2x+—=—+kjrx——+—

(法二)令62，贝ij62,«eZ)

_7Tkn

所以/(X)的对称轴方程为“二不+»,

(kwZ)

Xj+x2_/r

X€[O,-]=

又226,

X]+X,=—

所以】23一14分

略

19.（本小题满分12分）在AABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且

cosBb

cosC2a+c.

(1)求角B的大小;

(2)若b=6^,a+c=4,求a的值.

参考答案：

(1)解法不由正弦定理•

sinAsinBsinC

得a=2RsinA,b=2RsinB,。

c=2RsinC,代入•___I，

cosC2a十c

sinB

cosC2sinA+sinC'

即2sinAcosB+sinCeosB+cosCsinB=0,

所以2sinAcosB+sin(B+C)=0.

又A+B+C—兀,

所以sin(B+C)=sinA.

所以2sinAcosB+sinA=0.

又sinAWO,所以cosB=-

9IF

织BR为三角形的内角，所以8=十.，

a:+c:—b2_a:+b:—c2

解法二由余弦定理位BcosC=----------，

a:+c:­b:

代入厚u=一力，仔♦

cosC2a十c家2ac■a二十b-c，2a十c

整理，得a:+c2—b：+ac=0,v

a-+c'-b'-ac1

所以它

区息B为三角形的内角，所以B=学.，

⑵将a+c=4,8=等代入余弦定理b—J+c。-2或■cosB,<

J

得13=a:+(4-a)2-,2a(4-a)•cgs^。

整理，得a2—4a+3=0,解得a=l或a=3.

20.(本小题满分12分)

如图所示，在直三棱柱ABC-AiBiCi中，AC±BC,AC=BC=CQ,M,N分别是A山,

BG的中点.

(1)求证：MN，平面A8C；

(2)求直线BCi和平面ALBC所成的角的大小.

参考答案：

⑴证明如图，由已知BCLAC,BC1CG,得BC1平面ACCiAy.连接AQ,则

BCYACi.

又侧面ACGAi是正方形，所以ACL4G.

又8CnAiC=C,所以AG_L平面4BC.

因为侧面是正方形，M是A出的中点，连接A8i,则点M是AS的中点.

又点N是BC的中点，则MN是△ABiG的中位线，所以MNWACi.故平面

AxBC...........6分

(2)解如图所示，因为AG1平面48C,设AG与AC相交于点O,

连接BD,贝ikC由。为直线BCr和平面48C所成的角.

6

设AC=5C=CG=。，