中考数学知识点与经典题型练习 相似三角形中的“8”字型相似模型(解析版)

专题10相似三角形中的“8”字型相似模型

【模型展示】

【模型证明】

【题型演练】

一、单选题

1.如图，正方形ABa）的对角线AC、8。相交于点。，E是BC的中点，DE交AC于点F,

A.3B.4C.6D.8

【答案】D

【分析】因为四边形ABCD是正方形，E是BC中点，所以CE=TAD,由相似三角形的判

定定理得出△CEFSZSADF,再根据相似三角形的对应边成比例可得出.

【详解】解：∙.∙四边形ABCD是正方形，E是BC中点，

；.CE=；AD,

VAD√BC,

ΛZADF=ZDEC,ZAFD=ZEFC,

ΔCEF^∆ADF,

.EFCE=\

ΛΛ~DF~~AD~2

.∖2-DF1

•∙—■

DF2

解得DF=8,

故选：D.

【点睛】本题考查的是相似三角形的判定与性质及正方形的性质，先根据题意判断出

ΔCEF-AADF,再根据相似三角形的对应边成比例进行解答是解答此题的关键.

2.如图，在AABC中，BC=6,,动点尸在射线EF上，BP交CE于点、D,ZCBP

EBrC

的平分线交CE于点Q,当CQ=^CE时，EP+BP的值为()

【答案】C

【分析】如图，延长EF交BQ的延长线于G.首先证明PB=PG,EP+PB=EG,由EG//BC,

推出总=42=3,即可求出EG解决问题•

CDvɛ

【详解】解：如图，延长E/交3。的延长线于G.

'~EB~~FC'

:,EG〃BC,

：.ZG=ZGBC9

♦：/GBC=NGBP,

：・/G=NPBG,

：・PB=PG,

，PE+PB=PE+PG=EG,

"."CQ=-EC,

.∖EQ=3CQ,

∖'EG∕∕BC,

.∖ΛEQG^∕∖CQB,

.EG_£2__

"'CB^QC~^,

•：BC=6,

.∙.EG=18,

，EP+PB=EG=18,

故选：C.

【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，等腰三角形的判定和

性质，正确的作出辅助线构造相似三角形是解题的关键.

3.如图，在平行四边形ABC。中，NABC的平分线交AC于点E,交AZ）于点R交CD的

RF

延长线于点G,若AF=2尸。，则R7的值为（）

【答案】C

【分析】由AF=2。6，可以假设OF=A:,W∣JAF=2k,AD=3k,证明AB=A尸=2%,DF=

DG=k,再利用平行线分线段成比例定理即可解决问题.

【详解】解：由AF=2。尸，可以假设。尸=鼠则A尸=2鼠AD=3k,

•••四边形ABCQ是平行四边形，

J.AD∕∕BC,AB∕∕CD,AB=CD,

：.NAFB=NFBC=NDFG,ZABF=ZG,

「BE平分NA8C,

NABF=NCBG,

：./ABF=NAFB=NDFG=ZG,

：.AB=CD=2k,DF=DG=k,

.∖CG=CD+DG=3k,

∖,AB∕∕DG,

/.XABESl∖CGE,

.BEAB2k2

•∙===--,

EGCG3k3

故选：C.

【点睛】本题考查了比例的性质、相似三角形的判定及性质、等腰三角形的性质、角平分线

的性质、平行四边形的性质、平行线分线段成比例定理,熟练掌握性质及定理是解题的关键.

4.如图，平行四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,CE平分/DCB交BD于点F,

且∕ABC=60°,AB=2BC,连接OE,下列结论：①∕ACD=30°;②S平行四成彩ABCD=ACBC.

③OE：AC=I:4；④SAoCF=2SAOEF.其中正确的有（）

AEB

A.1个B.2个

C.3个D.4个

【答案】C

【分析】由四边形ABCD是平行四边形，得到/ABC=NADC=60。，ZBAD=120°,根据角

平分线的定义得到∕DCE=∕BCE=60。推出ACBE是等边三角形，证得/ACB=90。，求出

NACD=/CAB=30。，故①正确；

由AC_LBC,得至IJSnABCD=AC∙BC,故②正确；

根据直角三角形的性质得到AC=GBC,根据三角形的中位线的性质得到OE=/BC,于是

得到OE：AC=舟6,故③错误：

由三角形的中位线可得BC〃OE,可判断△OEFsaBCF,根据相似三角形的性质得到

07="F=2,求得S∆OCF=2S∆OEF;故④正确.

EFOE

【详解】解：Y四边形ABCD是平行四边形，

,NABC=NADC=60。，ZBCD=120°,

VCE平分NBCD交AB于点E,

.・・NDCE=NBCE=60。

Λ∆CBE是等边三角形,

ABE=BC=CE,

VAB=2BC,

/.AE=BC=CE,

，ZACB=90o,

,NACD=NCAB=30。，故①正确;

VACɪBC,

，S口ABCD=AC∙BC,故②正确，

在RtAACB中，ZACB=90o,NCAB=30°,

二AC=GBC,

VAO=OC,AE=BE,

.∙.OE=∣BC,

ΛOE:AC=√3:6；故③错误；

VAO=OC,AE=BE,

；.OE〃BC,

ΛΔOEF^∆BCF,

.CFBC

••------=---------2

EFOE

CF

∙*∙S∆OCF：S∆OEF=二777=2,

EF

∙*∙S∆0CF=2SΔOEF；故④正确.

故选C.

【点睛】本题考查了平行四边形的性质、三角形中位线、相似三角形的性质，熟练掌握并灵

活运用是解题的关键.

5.如图，在平行四边形ABCQ中，点E是AQ上一点，AE=2ED,连接BE交AC于点G,

延长BE交CD的延长线于点F,则的值为（）

CJF

【答案】A

【分析】先根据平行四边形的性质得到AB〃CZ）,则可判断AABGSACFG,δABESADFE,

于是根据相似三角形的性质和AE=2ED即可得结果.

【详解】解：四边形ABC。为平行四边形，

：.AB//CD,

：.∕∖ABGsdCFG,

GFCF

△ABEs∕∖DFE,

.AEAB

^~DE~~DFt

・；AE=2ED,

：.AB=2DF,

.AB_2

•,3二晨

.BG2

•∙**—.

GF3

故选：A.

【点睛】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握

相似三角形的判定和性质进行解题.

6.如图，在。ABC。中，E为CQ的中点，连接AE、BD,且AE、BD交于点F,则S：

S四边形£刑C为()

A.1：5B.4：25C.4：31D.4：35

【答案】A

【分析】根据平行四边形对边互相平行可得A3〃£>E,然后求出所和4A4尸相似，再

根据相似三角形面积的比等于相似比的平方求出两三角形的面积的比为1：4,设SoEF=S,

SBAF=45,再根据等高的三角形的面积的比等于底边的比求出S.ADF=2S,然后表示出SABD

的面积，再根据平行四边形的性质可得SOBC=Sabd，然后相比计算即可得解.

【详解】解：四边形A8C。是平行四边形，

.∙.AB∕∕DE,AB=CD

为Co的中点，

：.DE：CD=L2

'."AB∕∕DE

;._DEFs△BAF,

2

Sdef：SRAF=(DE:AB)=l:4,EF:A尸=1:2

设Sdef—S,则Sbaf=4S,

EF-.AF=I:2,

--Sdef:SADF=EF：AF=L2,

∙'∙Sλdi--=2S,

'''SABD=S.BAF+Sadf=4S+2S=6S，

Q8。是平行四边形ABCD的对角线，

SDBC=Sabd，

SDBC=6S，

SDEF:S四边形WBC=S：55=1：5.

故选A∙

【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，熟练掌握相似三角形的

判定以及相似三角形面积的比等于相似比的平方是解题的关键，不容易考虑到的是等高的三

角形的面积的比等于底边的比的应用.

7.如图，在平行四边形A3C。中，E为边的中点，连接AC,BE交于点F.若AAEF的

面积为2,则4ABC的面积为()

A.8B.10C.12D.14

【答案】C

【分析】先利用平行四边形的性质得A3C,AD=BC,由人后〃8。可判断4AEFSACBF,

根据相似三角形的性质得铠=券=般=：,然后根据三角形面积公式得沁=；,,则

BFCFBC2∙>ΔABCO

sʌABC=6SΔAEF=I2.

【详解】Y平行四边形ABCQ

ΛAD//BC.AD=BC

・・,£为边4。的中点

：.BC=IAE

YAE//BC

：.ZEAC=ZBCA

又•：4EFA=/BFC

：.ΛAEACBF

如图，过点F作FHLAD于点H,"GJ_BC于点G,

EFAFAEHF1

则πl---=---=---=---=-，

BFCFBCFG2

DC

cLAEFH-BCFH1

・'∆AEF_2__________2_____2.

∙∙S^BC-LBCHG-BCSFH^6

2

「△AEB的面积为2

∙,∙SMJC=6SΛΛM=6x2=12

故选C.

【点睛】本题考查了相似三角形的性质，属于同步基础题.

8.如图，AB//CD,AE//FD,AE,FQ分别交BC于点G,H,则下列结论中错误的是（）

CGCAFHGFHBF

C.=

~CBCECG~AG~~FA

【答案】D

【分析】根据平行线分线段成比例和相似三角形的性质与判定，进行逐一判断即小

【详解】解：:AB/CO,

.DHCH

*~FH~~BHy

∙・A选项正确，不符合题目要求;

:AE〃DF,

∖ZCGE=ZCHD,ZCEG=ZD,

,・ACEGsACDH,

.GE二CG

'~DH~~CH'

.EGDH

a~CG~~CH'

：AB/7CD,

.CHDH

*CB^DF,

DHDF

~CH~CB'

.GEDF

**CG-cF,

.GECG

βt~DF~~CB1

，B选项正确，不符合题目要求；

・：AB〃CD,AE〃DF,

：.四边形Aa/是平行四边形，

IAF=DE,

•；AE〃DF,

.DEGH

aβ~CE~~GC9

.AFHG

,9'CE~~CGi

・,・C选项正确，不符合题目要求；

•：AE〃DF,

・•.△BFHsABAG,

.FHBF

∙*AG^Aδ,

u

∖AB>FAf

.FHBF

^^^AG≠~FA

・,.D选项不正确，符合题目要求.

故选D.

【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，相似三角形的性质和判定的应用，能根据定

理得111比例式是解此题的关键.

二、填空题

9.如图，G为A3C的重心，AG=I2,则AD=

BDC

【答案】18

【分析】连接CG并延长交48于点E,连接QE,根据题意，可以得到。E时ZABC的中位

线，从而可以得到£>E〃AC且DE=TAC,然后即可得到△OEGS∕∖ACG,由相似三角形的

性质得到。G和4G的比值，求出然后。G,即可得到结果.

【详解】解：如图，连接CG并延长交AB于点E,连接。E,

；点G是AABC的重心，

点E和点D分别是AB和BC的中点，

.∙.0E是A48C的中位线，

.∖DE∕∕AC3,DE=^AC,

'XDEGs丛ACG,

.DEDG1

•・---=----=一,

ACAG2

VAG=12,

/.DG=6,

.∖AD=AG+GD=∖S.

故答案为：18.

【点睛】本题考查三角形的重心、三角形的中位线、三角形相似，解答本题的关键是明确题

意，利用数形结合的思想解答.

10.如图在平行四边形ABCD中，E是CQ的中点,「是AE的中点,CF交3E于点G,若防=8,

则GE=—,

【答案】2

【分析】延长CEBA交于M,根据已知条件得出EF=4F,CE=DC,根据平行四边形

的性质得出Z)C〃4B,DC=AB,根据全等三角形的判定得出ACEF丝zλM4F,根据全等三

角形的性质得出CE=AM,求出8Λ∕=3CE,根据相似三角形的判定得出△CEGsZ∖M8G,

根据相似三角形的性质得出比例式，再求出答案即可.

【详解】解：延长。尸、84交于M,

YE是CO的中点，尸是AE的中点，

：.EF=AFfCE=DC,

Y四边形ABCD是平行四边形，

J.DC∕∕AB,DC=AB,

：.CE=ABfNECF=NM,

在^CE尸和△MA厂中

NEFC=/AMF

NECF=/M,

EF=AF

Λ∆CEF^∆Λ∕AF(AAS),

：.CE=AM,

•：CE=；AB,

：・BM=3CE,

'JDC∕∕AB,

JdCEGsAMBG,

.CEEG=I

V/JE=8,

.GE

•.=1,

8-G£3

解得：GE=2,

故答案为：2.

【点睛】本题考查J'平行线的性质，平行四边形的性质，全等三角形的性质和判定，相似三

角形的性质和判定等知识点，能综合运用知识点进行推理和计算是解此题的关键.

11.如图，在正方形ABa)中，点E在BC边上，连接AE,ND4E的平分线AG与C。边

交于点G,与BC的延长线交于点F.设=λ(λ>0).

(I)若AB=2,λ=l,求线段C尸的长为；

(2)连接EG,若EGLAF,则λ的值为.

【分析1(1)根据AB=2,λ=l,可以得到BE、CE的长，然后根据正方形的性质，可以得

到AE的长，再根据平行线的性质和角平分线的性质，可以得到E尸的长，从而可以得到线

段CF的长；

(2)证明△AOG∙ZXFGC,得出点G为CC边的中点，根据三角形相似，可以得到CE和

E8的比值，从而可以得到λ的值.

【详解】解：(1)；在正方形ABC。中，AD//BC,

INDAG=ZF,

又平分ND4E,

NDAG=ZEAG,

：.ΛEAG=AF,

：.EA=EF,

∖'AB=2,NB=90°,点E为BC的中点,

,BE=EC=L

'.AE--JAB-+BE2=√5,

：.EF=后,

：.CF=EF-EC=亚-1：

故答案为：ʌ/ʒ-1;

(2)证明：'：EA=EF,EG_LAR

.∙.AG=FG,

在△4。6和4FCG中

No=NGCF

-ZAGD=NFGC,

AG=FG

：./XADG妾AFCG(Λ4S),

：.DG=CG9

设CD=2a,则CG=a,

CF=DA=2a,

VEG±AF,ZGCF=90o,

.β.ZEGC+ZCGF=90o,ZF+ZCGF=90o,ZECG=ZGCF=90°,

；・/EGC=NF,

：AEGCsAGFC,

.ECGC

t,~GC~~FC1

YGC=a,FC=2a,

.GC1

•・----=—,

FC2

・EC1

••__——^，

GC2

1EC=ga,BE=BC-EC=2a-gι=∣∙4,

1

..CE2a1

•∙λ==-Z-=~;

EBIa3

2

故答案为：—.

【点睛】本题考查正方形的性质、相似二角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾

股定理，解答本题的关键是明确题意，熟练运用相关性质进行推理解答.

12.如图，在RtZVLSC中，AB=BC,NABC=90。，点。是AB的中点，连结C£>,过点8作

BGJLCD,分别交CO、C4于点E、F,与过点A且垂直于A3的直线相交于点G,连结

OF.给出以下五个结论：①翌=鲁；②ADF=NCDB；③点F是GE的中点；④

ABFB

AF=-AB;⑤SAA=5S6BR.其中正确结论的序号是.

3BC

【答案】①②④

【分析】根据题意证明AΛFOACFB,进而可确定①；由AAFGgaAFD,可得G尸=如

由此＞＞EE,进而判断结论②，AFGgZ∖AFE＞可得AG=JA8='BC,进而由

22

AΓ1Af71

_AFGSCFB可得——即可判断③’根据二=3'以及。是■的中点即可判断⑤.

AC3

【详解】依题意得，ZABC=90。，GAlAB.

∙∙∙BCHAG，

.∙.Z∖AFG^∆CFB,

.AGFG

,BC^FB,

又AB=BC,

.AGFG

*AB-7F,

故①正确；

如图，标记如下角，

BG工CD,ZABC=90。，

・•.Zl+Z3=90o,Zl+Z4=90°,

.∙.N3=N4,

在445G与ABCQ中,

'N3=N4

AB=BC

ZBAG=ZCBD=90°

ABGWABCD(ASA),

.*.AG=BD,

又点。是AB的中点，

•••BD=AD,

AG=ADt

o

AB=BC,ZABC=90t

/.ZZMF=45°,

-ZGAB=90°,

.∙.ZGAF=45o,

.∙.ZGAF=ZDAF,

在，AFGIJΔAFDΨ-

AG=AD

-ZFAG=Z.FAD

AF=AF

：.AFG^∕∖AFD(SAS),

.∙.∠5=Z2,

Z5+N3=N1+N3=9O。，

.∙.Z5=Z1,

.∙.Z1=Z2.

即ZADF=ZCDB,

故②正确；

,AFG四△AFD，

.-.FG=FD,

..FOE是直角三角形，

FD>FE,

.∙.FG>FE,

即点F不是线段EG的中点，

故③不正确；

ABC是等腰直角三角形，

.∙,AC=^AB1+BC2=五AB，

AFG/XAFD>

:.AG=AD=-AB=-CB,

22

AFG^.CFB.

AGAF

-----=------,

BCFC

.∖FC=2AF,

.∙.AF=-AC=-AB,

33

故④正确：

AF=—AC,

3

∙*∙SABF=个abc,

点。是43的中点,

,∙SABDF=5SAABF,

.c-LS

JABC

•∙QBDF_6U，

即Sabc=6SBDF，

故⑤错误.

综上所述，①②④正确.

故答案为：①②④.

【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判

定，勾股定理，三角形中线的性质，证明AΛFG0∕∖"D和aAFg.bB是解题的关键.

13.如图，在正方形月BCQ中，点E为BC边上一点，且CE=28E,点尸为对角线8£）上一

点，SLBF=IDF,连接AE交友）于点G,过点F作EH_LAE于点H,若HG=2cm,则正

方形ABCZ）的边长为cm.

【分析】如图，过尸作/7L3C于/点，连接FE和欣，得到，8/尸BCD,设

BE=EI=IC=acm,CE=FI=Iracm,AB=3ocm,求出FE,AH,AG,证明.BEGDAG,得

至I]GE=LAG=J—«+2cm,GE=HE-GH=（-a-2）cm,最后求值即可.

3312J2

【详解】如图，过b作了/点，连接bE和项，

.FIlBC,四边形ABCo为正方形,

/.FI∕∕CD,

:.BIFBCD,

BF=2DF,

BIBF2

BCBD3

:.1为BC的三等分点,

CE=2BE,

:∙E为BC的三等分点，

BE=EI=IC,

工设BE=EI=IC=acm,

∙,∙AB=BC=3acm,

口BFl为等腰直角三角形，

Bl=FI=2acm,

22

・•.FE=y∣a+(2a)=FC=FA=与Cm,

:.H为AE的中点，

AE=yjAB2+BE2=旧+(3〃丫=Macm,

:.AH=HE=-AE=—acm,

.∖AG=AH+GH=(ɪa+2)cm,

四边形ABCO为正方形，

∙∙BE//AD,

:.BEGDAG,

.GEBET

'AG^AD^3,

/.GE=-AG=-[^^-a+2∖cfn,

3312J

GE=HE-GH=(ɪa-2)cmf

，4叵。+2]=(叵。-2)加，

/.AB=2>acm=--------cm,

5

故答案为：等

【点睛】本题属于四边形综合题，是填空题压轴题，考查了正方形的性质，相似三角形的判

定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理，解决本题的关键是CE=2BE,8尸=2。口的利用

以及这些性质的熟记∙

三、解答题

14.如图，E为平行四边形43CD的边CO延长线上的一点，连接8E.交AC于。，交AO

于F∙

求证：BO2=OE.OF.

【答案】见解析.

【分析】根据A。〃BC,↑⅜ΔΛOF∞∆COB,由AB〃£)C,得△A0Bs∕∖C0E,再根据相似

三角形对应变成比例即可.

【详解】证明：IAB〃一C,

XAOBs[∖COE

•OEOC

"'~OB~~OA

∖,AD∕∕BC,

：.XkOFsXCOB

.OBOC

,"^OF~^OA

‘M=黑，GPBO2=OE-OF.

(JBOr

【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，熟练应用相似三角形的性质与判定，找到两

组对应边的比例相等是解决本题的关键.

15.己知：如图，四边形ABC。是平行四边形，在边AB的延长线上截取BE=AB,点尸在

AE的延长线上，CE和。尸交于点M,BC和。P交于点N,联结8D

(1)求证：4BNDsACNM；

(2)如果AD2=4B∙AF,求证：CM∙AB=DM∙CN.

【答案】（1）见解析；（2）见解析

【分析】（1）利用平行四边形的性质得Ag=C£>,AB//CD,再证明四边形BEC。为平行四

边形得到B£>〃CE,根据相似三角形的判定方法，山CM〃/）8可判断△8NoS∕∖CNM;

（2）先利用Af>2=A8∙AF可证明QBS∕∖AFD,则/1=/凡再根据平行线的性质得∕F=∕4,

N2=∕3,所以∕3=N4,加上/NMC=/CMD,于是可判断△MNCS∕∖Λ∕CO,所以MC：

MD=CN:CD,然后利用8=45和比例的性质即可得到结论.

【详解】证明：（1）•；四边形ABCO是平行四边形，

：.AB=CD,AB//CD.

而BE=AB,

：.BE=CD,

而BE//CD,

四边形8项为为平行四边形，

.∖BD∕∕CE,

∖"CM∕∕DB,

：.4BNDs∕∖CNM∙,

（2）∖'AD2^AB∙AF,

ΛAD:AB=AF:AD,

而∕OAB=∕∕¾O,

XADBSXAFD,

ΛZl=ZF,

∖"CD∕∕AF,BD//CE,

ΛZF=Z4,Z2=Z3,

ΛZ3=Z4,

而/MWC=NCM。，

.∙.∕∖MNC<^∆MCD,

：.MC：MD=CN：CD,

；.MC∙CD=MD*CN,

而CD=AB,

C.CM∙AB=DM∙CN.

【点睛】本题考查了三角形相似的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形

中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般

方法是通过作平行线构造相似三角形.在运用相似三角形的性质时主要利用相似比计算线段

的长.也考查了平行四边形的判定与性质.

16.如图1,在正方形ABCz）中，点E是CC上一点（不与C,。两点重合），连接BE,过

点C作CHLBE于点凡交对角线Bo于点G,交AQ边于点”，连接GE.

（1）求证：CH=BE;

（2）如图2,若点E是CZ）的中点，当BE=I2时，求线段GE的长；

（3）设正方形ABCz）的面积为S/,四边形OEG”的面积为S2,点E将CD分成1：2两部

【答案】（1）见解析（2）4（3）5或8.

【分析】（1）可得∕C"D=∕8EC,根据A4S可证明△DHC丝Z∖CEB,即可求解；

Γ∖JJ「H1

（2）由三角形全等与平行线的性质，可得受=£=：.则GC=2G”,可求出GH的长，

CnCG2

故可得到GE的长；

CF1CF2

（3）点E将CD分成I：2两部分得至IJ①若=:，②景=《，再分别得到S/和S2的关系

进行求解.

【详解】解：（1）・・・四边形ABCO是正方形，

：.CD=BC9NHDC=NBCE=90°,

：.NOHC+NOCH=90°,

•：CHLBE,

.'.ZEFC=90o,

ΛZECF+ZBEC=90o,

：.ZCHD=ΛBEC,

：・/\DHgACEB(AAS),

：・CH=BE；

(2)V∆DHC^ΔCEθ,

：・CH=BE,DH=CE,

YCE=DE=3CD,CD=CB,

：・DH=；BC,

Λ

∖DH∕∕BC9

∖VoGHSVBGe

.DHGH1

,,~CB~~CG~29

:∙GC=2GH,

设G”=x,则，则CG=2κ,

Λ3x=12,

Λx=4.

即GH=4

o

YDH=DE,ZHDG=ZEDG=45fDG=DG

：.∆WDG^∆EDG(SAS)

：.GE=GH=4；

（3）点E将。Q分成1：2两部分

则①晋j②更=2

CD3

当C匕E=L1时,

CD3

•：DH=CE,DC=BC,

.DH1

・•---=一，

BC3

9

∖DH//BC1

∖VOGHSVBGC

.DHGHI

••---=----=一,

BCCG3

.UqDGH_ʌ1“qDGH

β,

°VBCG_97'QSDCG

设SzOG"=",则Sz8CG=94,SzlDCG3a,

.∖SΔBCD=9a+3a=∖2af

.∖SI=2SΔBCD=24a,

∖,SΔDEG：SΔCEG=2:1,

∙*∙SZIDEG=∙2cι,

∙*∙S2=2a~∖~cι~-3cι.

S∣:S2=24α:3ι=8.

当翁加

•；DH=CE,DC=BC,

・DH2

•∙——，

BC3

λ

∖DH//BC9

\7DGHEBGC,

.DHGH2

,'~BC~~CG~3f

,UqDGH_二4USDGH_土?

Sbcc9SDCC3

设5AOG"=4",则SABCG=9α,SΔDCG=6af

.∖SΔBCD=9a+6a=∖5af

.∖SI=2SΔBCD=30a,

U

∖SΔDEG：SΔCEG=∖:2,

：.SADEG=2a,

∙*∙S224+44=6。.

∙'∙S∣tS2=3θa:6a=5.

故S”S2=5或8.

【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，平行线

分线段成比例定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用参数解决

问题.

17.如图，在平行四边形ABC。中，E为。C边的中点，连接AE,若AE的延长线和BC的

延长线相交于点F.

B

DE

(1)求证：BC=CF；

(2)连接AC和相交于点为G,若GEC的面积为2,求平行四边形ABa)的面积.

【答案】(1)证明见解析；(2)24.

【分析】(I)根据E是边。C的中点，可以得到。E=CE,再根据四边形48CD是平行四边

形，可以得到NADE=NEe尸，再根据/MD=NCEF,即可得到"">Eg.EC「，则答案可

证；

ΛΓ1AH1

(2)先证明,C石GABG,根据相似三角形的性质得出S.G=8,-=—=进而得

GCCE2

出S8GC=4,由SA8C=SASG+S.SCG得S△ASC=12,则答案IJJ解.

【详解】(1)证明：•・•四边形ABCD是平行四边形，

/.AD∕∕BC,AD=BC,

：.ZADE=ZECF,

•・・点E为。。的中点，

/.DE=CEf

在VAr)E和△£1C户中

ZADE=ZECF

<DE=CE

ZAED=ZCEF

ADE^ECF(ASA),

・•・AD=CFf

JBC=CF；

(2)・・•四边形ABC。是平行四边形，点E为。。的中点，

/.ABHDC,AB=IfEC,

：.ZGEC=ZABG,ZGCE=ZGAB,

.*∙tCEGABG,

∙.ZGEC的面积为2,

.S!’即S.="血=4χ2=8,

"'s

,：CEGABG

,AGAB\

"^GC~^CE~2

∙^∙ssec=gsA%=gx8=4'

•∙SABC=SABC+SBCG=8+4=12,

∙,∙SABCD=2Sabc=2×12=24.

【点睛】本题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定和性质，

解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答.

18.综合与实践：

数学活动课上，老师让同学们根据下面情境提出问题并解答.

问题情境：在OXBCD中，点尸是边上一点.将aPDC沿直线PC折叠，点。的对应

点为E.

“兴趣小组'’提出的问题是：如图1,若点P与点A重合，过点E作所〃A£>,与PC交于点

F,连接。F,则四边形AEFD是菱形.

(1)数学思考：请你证明“兴趣小组'’提出的问题；

(2)拓展探究：“智慧小组''提出的问题是：如图2,当点尸为Ao的中点时，延长CE交AB于

点F,连接PF∙试判断PF与PC的位置关系，并说明理由.

请你帮助他们解决此问题.

(3)问题解决：“创新小组’'在前两个小组的启发下，提出的问题是：如图3,当点E恰好落在

A3边上时，AP=3,PD=4,OC=Io.则4E的长为.(直接写出结果)

【答案】(1)见解析

(2)PF±PC,理由见解析

呜

【分析】(1)先证明"7∕ΛE,得到两组对边分别平行，再用邻边相等的平行四边形是菱

形判定，也可以用四条边相等的四边形是菱形进行判断；

(2)证明△出尸gZ∖PER得到NAPF=NPPE,再由折叠得到NoPe=NEPC,从而证明

NFPC=90。；

(3)延长A4、C尸相交于点?得AAFPsADCP,再证Er=CE即可求出结果.

(1)

证法一：山折叠得，AD=AE,NDAF=NEAF,ZDFA=ZEFA

•・•EF//AD

：.ZDAF=ZEFA

:.ZDFA=ΛEAF

：・DF//AE

・・・四边形AEED是平行四边形

YAD=AE

・・・四边形AEFD是菱形.

证法二：

证明：由折叠得，AD=AE,DF=EF,ZDAF=ZEAF

VEF//AD

ZDAF=ZEFA

：•ZEFA=ZEAF

：,EA=EF

AD=DF=EF=AE

・・・四边形AEFO是菱形.

(2)

解：PFLPC.

连接AE

由折叠可得PD=尸石，∕PEC=∕PDC,/DPC=NEPC

V四边形ABCQ是平行四边形

・•・ZADC+ZDAB=ISOo

又:NPEC+NPEF=180。

:.ZDAB=ZPEF

•・・点尸是Ao的中点

：・PA=PD

ZJPAE=ZJPEA

・•・ZDAB-ZPAE=ZPEF-ZPEA

ZAEF=AEAF

：•AF=EF

ΔΛ4F^APEF(SSS)

，ZAPF=AEPF

又YZDPC+ZCPE÷ZEPF+ZAPF=180o,即2NCPE+2∠77石=180。

/.ZFPC=90°

・・・PFLPC.

(3)

解：延长区4、。尸相交于点R

.AFAP日rlAF3

DCDP104

.∙.AF=-

2

∙/ZDCP=ZECP,ZDCP=ZF

：.ZF=ZECP

.".EF=EC=DC=IO

：.AE=IO--=-.

22

故答案为∣∙∙

【点睛】本题考查折叠、平行四边形、相似、菱形的判定等，属于综合性题目，解题关键在

了灵活运用几何知识，构造常见的模型.

19.如图，在等边：ΛBC边长为6,。是中心；在即ZXADE中，ZADE=90°,NZM£=60。，

AD=2.将VADE绕点A按顺时针方向旋转一周.

图1图2备用图1备用图2

(1)当A。、AE分别在AC、AB边上，连结。£＞、OE,求0。E的面积;

(2)设OE所在直线与CABC的边A8或AC交于点尸，当。、D、E三点在一条直线上，求AF

的长；

(3)连结CE,取CE中点M,连结DW,Z5M的取值范围为.

【答案】(1)2石

(2)12-4√6

(3)1<DΛ∕<5

【分析】(I)由。是等边三角形的中心，可知。M=:阳=：的，进而得到坐=&,从而

22BEOM

EO//BM,所以可得OD=ɪEN,SA(W=SA网产ɪSI^即可求解；

AFAFEF

(2)易证AAE尸SaoBF,得到生=竺="，设A尸=%OF=y,求解即可；

OBOFBF

(3)取AE的中点N,连接MN,DN,由3、N在。A上，可知即MN-DNq)MWDN+MN,

易知MN是AAEC的中位线，从而求得.

(I)

连接40,并延长交8C于M,连接OB

•；。是等边^ABC的中心

.,.ZOBM=30o,BM=MC,AMLBC

OMOB=IOA=6

・些二”二2

''~BE~7)M~

：・E0〃BM

延长EO交AC于M则AAEN为等边三角形

•：E0〃BM

.AE_AN_4OE_AO_ON

：・ON=OE,CN=DN=AD=2

.∖OD=^EN=2

∙'∙Snr=SAgγ=—SAnz=—×2×ΛΛ

△∖fOfDEΔC⅛3Λ,2ΔΛε,V2∕5'=2∕5^

(2)

：。是等边4A8C的中心

.∙.NOBA=30°,OA=OB=2拒

∙'∙OD=>!OAi-AD2=如厨_*=2如

∙/NoAE=30°

.∙.AE=4,DE=2√3

在AAE/和△08尸中

ABO=/AED=30。，NAFE=NBFO

.,.ΛAEF^AOBF(AA)

.AE_AF_Ef

''~OB~~OF~^F

设AF=X,OF=y,贝UT==2=瓯述N

2√3Y6-x

解得X=I2-4次，y=6-6√2.

所以"∙=12-4指

(3)

取AE的中点M连接MMDN,

：£),N在。A的圆上

当。、M、N三点共线时，OM最大或最小,

即MN-DNwDMWDN+MN,

：.MN-2<DM<MN+2

当。、M,N三点共线如图1时，

△ANQ为等边三角形,

△ANO为等边三角形，

?.NNDA=NBAC=NCAE=60°,

：.MN〃AC

N为中点

，MN=LC=3

2

.∖DM<5

故答案为：1SDM05

【点睛】本题主要考查了正三角形的中心的概念，三角形的中位线，直角三角形的性质，勾

股定理，平行线分线段成比例的性质与判定，相似三角形的判定与性质及方程思想，综合运

用相关性质和判定是解题关键.

20.如图1,448C中，AB=AC,点。在BA的延长线上，点E在BC上，QE=OC,点F是

OE与AC的交点.

(1)求证：ZBDE=ZACD;

(2)若DE=2DF,过点E作EGHAC交AB于点G,求证：AB=IAG↑

(3)将“点。在8A的延长线上，点E在BC上”改为“点。在AB上，点E在CB的延长线

上”，“点尸是OE与AC的交点”改为“点F是E。的延长线与4C的交点”，其它条件不变，

如图2.

①求证：ABBE=ADIiC;

【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3)①见解析；②16:15.

【分析】(1)运用等腰三角形的性质及三角形的外角性质就可解决问题.

(2)如图1,证明△DCA^^EDG{AAS),得AC=EG,根据等腰三角形的判定得：DG=AB,

由平行线分线段成比例定理得：空=罢=2,由此可得结论；

DFAD

(3)①如图2,作辅助线，构建三角形全等，证明△丝ZXEDG(AA5),得D4=EG,再

证明AACBsaGEB,列比例式可得结论；

∆pΛΓ)1

②如图3,作辅助线，构建AABC和△力CE的高线，先得M=黑=：,设AF=α,则

EGDG4

EG=zAD=4a,DG-16a,根据A”〃P。，得===2,设PD=3h,AH=4h,根据

AHAB16a4

RrRF4/7L1

EG∕∕AC9同理得失=GG=7=T,设3E=y,BC=4yt利用三角形面积公式代入可得结

ABBC16。4

论.

【详解】(1)证明：IAC=AB,

：・ZACB=ZB1

'.9DC=DE,

:∙ZDCE=ZDECf

：.ZACD+ZACB=ZB+ZBDE,

：.NBDE=NACD；

(2)证明：如图1,

uCEG//AC,

ΛZDAC=ZDGEfNBEG=NACB,

由(1)知：/DCA=NBDE,

∖'DC=DE9

：.ADCA^AEDG(AA5),

：.AD=EG,

Y∕B=∕ACB=∕BEG,

：.EG=BG=AD,

：.DG=AB,

♦：DE=2DF,AF//EG,

.DEDGɔ

DFAD

：.DG=IAD=ZAG,

.∖AB=DG=2AG↑

(3)解：①如图2,过点E作EG〃AC,交AB的延长线于点G,

则有NA=NG,

,

∖AB=ACfCD=DE,

：.ZACB=ZABC1ZDCE=ZDECf

：.NACD+NDCE=NEDG+/DEC,

：.ZACD=ZEDGf

在^OCA和AEQGLP,

ZACD=ZEDG

ZA=ZG

CD=DE

.∖ΛDCA^∆EDG(Λ45).

：.DA=EG,

∖9AC∕∕EG,

J∕∖ACBS∕∖GEB,

.ACBC

Λ,~EG~~BE"

'：EG=AD,AC=ABf

.∖AB∙BE=AD-BC;

②如图3,过A作A”J_3C于H,过。作OPJ于P,则A”〃尸

`:AF//EG,

,AFAD_DF

•・法一丽-5P

YDE=4DF,

.AFAD

"EG-DG-4,

设AF=。，则EG=AD=4mDG=16«,

∙.∙ZACB=ZABC9

：.ZGBE=ZBEGf

.∙.BG=EG=4a,

.∖BD=↑2a,

Λ

∖AH∕∕PD1

.PDBDUa_3

**TF-AB^16∑^4,

设PD=3h,AH=4hf

uJEG//AC,

.BGBE

"AB-BC^16α^4,

⅛BE=yfBC=4yf

・cNRrλnrΛu4y?h16)%Q.

・・SΔABC=-BC∙AH=---=---=8vΛ,

Cnrr1rrDΓ>Sy?h15

SΔDCE--CE∙PD----=—yh,

.∖SABC:SDEC=Svh:—y⅛=16:15.

ΔΔ2'

【点睛】本题是三角形的综合题，考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性

质、平行线分线段成比例、等腰三角形的性质和判定等知识，第三问有难度，利用参数表示

各线段的长是本题的关键，综合性较强.

(1)如图①，若点C的横坐标为5,求点8的坐标；

(2)如图②，若X轴恰好平分N84C,8C交X轴于点M,过点C作CDLX轴于点。，求

R的值；

AM

(3)如图③，若点A的坐标为(Y,0),点8在y轴的正半轴上运动时，分别以08、AB为

边在第一、第二象限中作等腰心OBF,等腰RtABE,连接E尸交丫轴于点P,当点8在>

轴上移动时，户8的长度是否发生改变？若不变求心的值；若变化，求M的取值范围.

【答案】(1)(0,5)(2)ɪ(3)不变，等于2.

【分析】(1)作COLBO,易证AABO丝Z∖8CO,根据全等三角形对应边相等的性质即可解

题；

(2)设A8=8C=0,根据勾股定理求出AC=夜”,根据AM(即X轴)平分NBAC,得到

tl

竺^∙=4^∙=变，求得BM=(应T)a,MC=(2-y∣2)a,AM=^4-2^2>再证明

MCAC2Yv

RtAABMsR仙CDM,得至IJ丝=3.，即CD=ABc例，即可解答，

CDCMAM

(3)作EG_Ly轴，易证△8Aog△£»G和△EGPgZ∖EBP,可得BG=A。和PB=PG,即

可求得PB=TA。，即可解题.

【详解】解：(1)如图1,作CD-L80于3,

,/ZCBD+∕A8O=90°,ZABO+∕BAO=90°,

：.ZCBD=ZBAO,

ZBOA=ZBDC=90o

在△A30和△Z?Co中，∖ΛCBD=^BAO

AB=BC

：・AABO学ABCD(AAS),

：・CD=Bo=5,

・・・8点坐标(0,5)；

(2)设AB=8C=α,

则AC=Oa,

∖ΛMA(即大轴)平分NBAG

.BMABM

■•---=---=—,

MCAC2

即MC=√2BM,

∖,BC=BM+MC=a.