山西省2023-2024高三数学上学期10月联考试题

山西省2023〜2024高三上学期10月月考（总第四次）

数学试题

考查时间：120分钟满分：150分考查内容：高考综合

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只

有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.

1.若复数Z满足（l+2i）2=l,则Z的共钝复数是（）

12.c12.「12.^12.

AA.——+-iB.-------—।C.-+—1D.--------1

55555555

2.若集合/={x|2<x<3},B={x\x>b,6eR},则,4=5的充要条件是（）

A.b>3B.2<b<3C.b<2D.b<2

3.二项式［x-展开式的常数项为（）

A.-160B.60C.120D.240

4.某玻璃制品厂需要生产一种如图1所示的玻璃杯，该玻璃杯造型可以近似看成是一个

圆柱挖去一个圆台得到，其近似模型的直观图如图2所示（图中数据单位为cm）,则该

玻璃杯所用玻璃的体积（单位：end）为（）

图

43兀-47兀51K55兀

A.——B.——C.—D.—-

6666

5.若e"=-1口%°一'=lnb,e—‘=-lng则（）

A.<b<cB.*<c<bC.b<c<9D.b<•<c

6.有6名选手（含选手甲、乙）参加了男子100米赛跑决赛（无并列名次），则在甲比

乙快的条件下，甲、乙两人名次相邻的概率为（）

7.已知S,,是等比数列{凡}的前几项和，且S〃=2〃+】+a,则］。2+。24+…+4。%=（）

223—82,3-8225-8

A.B.D.

333

8.设椭圆C:与+（4>6>0）的右焦点为F,椭圆C上的两点A、B关于原点对称,

ab

且满足成.丽=0,|凡8以月则椭圆C的离心率的取值范围是（）

试卷第1页，共4页

A.怜11B.C.冬痒1D.［A/3-1,1）

二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分.每小题给出的四个选项中，有

多项符合题目要求，全部选对得5分，选对但不全得2分，有选错得0分.

9.两名同学在■次用频率估计概率的试验中统计了某一结果出现的频率，绘制出统计图

如图所示，则不符合这一结果的试验是（）

A.抛一枚硬币，正面朝上的概率

B.掷一枚正六面体的骰子，出现1点的概率

C.转动如图所示的转盘，转到数字为奇数的概率

D.从装有2个红球和1个蓝球的口袋中任取一个球恰好是蓝球的概率

10,函数〃%）=」板11（01+。）［/＞0,。＞0,。＜夕＜3的部分图象如图所示，将的图

象向左平移$个单位长度得函数g（x）的图象，则（）

6

A.0=2B.g（x）的图象关于点（-兀,0）对称

C.g（x）在（事,充）上单调递增D.g（x）在（0,兀）上有两个极值点

11.函数〃X）的定义域为,其导函数为/（X）,若［x+〃x）］sinx=7''（x）cosx,

且/'（0）=0,则（）

A.〃x）是减函数B.〃x）是增函数

C.〃x）有最大值D.没有极值

12.已知三棱锥N-BCD的棱长均为6,其内有〃个小球，球Q与三棱锥的四个

面都相切，球Q与三棱锥的三个面和球a都相切，如此类推，….，球。与三棱

锥N-8C。的三个面和球0,_都相切（*22,且"eN"）,球。“的表面积为体积为

%则（）

试卷第2页，共4页

A.V.=B.S——

1838

C.数列｛噌是公比为:的等比数列D.数列｛，｝的前n项和为8兀

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分.

13.已知向量；、石满足R=M叩叫，则)+否与；的夹角是.

14.在。中，角48,。所对的边为。也c,且sihB+si忆+sin5sin€sin2A

a=7,b=5,贝ijc=.

15.若正实数满足。+方=1,则£+金的最小值为___.

Q+16+2

16.新冠病毒肺炎疫情防控难度极大，某地防疫防控部门决定进行全面入户排查4类人

员：新冠患者、疑似患者、普通感冒发热者和新冠密切接触者，过程中排查到一户6口

之家被确认为新冠肺炎密切接触者，按要求进一步对该6名成员逐一进行核糖核酸检测,

若出现阳性，则该家庭定义为“感染高危户”，设该家庭每个成员检测呈阳性的概率相同

均为p(o＜p＜］),且相互独立，该家庭至少检测r5人才能确定为“感染高危户”的概率

为〃P),当夕="＞时，"P)最大，此时［=.

四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.(10分)等差数列｛%｝的前〃项和为S,,数列｛〃,｝是等比数列，满足％=3,

4=1,%+$2=10，a5—2b2=a3.

⑴求数列｛2｝和｛〃,｝的通项公式;

I—〃为奇数

(2)令c“='设数列｛c〃｝的前"项和为？；，求百.

鼠，〃为偶数，

18.(12分)信用是指依附在人之间、单位之间和商品交易之间形成的一•种相互信任的生

产关系和社会关系,良好的信用对个人和社会的发展有着重要的作用.某地推行信用积分

制度，将信用积分从高到低分为五档，其中信用积分超过150分为信用极好；信用积分

在(120,150］内为信用优秀；信用积分在(100,120］内为信用良好；信用积分在(80,100］内

为轻微失信；信用积分不超过80分的信用较差.该地推行信用积分制度一段时间后，为了

解信用积分制度推行的效果，该地政府从该地居民中随机抽取200名居民，并得到他们

的信用积分数据，如下表所示.___________________________________

信用等级信用极好信用优秀信用良好轻微失信信用较差

人数2560653515

(1)从这200名居民中随机抽取2人，求这2人都是信用极好的概率.

(2)为巩固信用积分制度，该地政府对信用极好的居民发放100元电子消费金；对信用优

秀或信用良好的居民发放50元消费金对轻微失信或信用较差的居民不发放消费金.若以

表中各信用等级的频率视为相应信用等级的概率，现从该地居民中随机抽取2人，记这2

人获得的消费金总额为X元，求X的分布列与期望.

试卷第3页，共4页

19.(12分)长方形48co中，48=2NO=2j5,点£为。。中点(如图1),将点。绕/E

旋转至点尸处，使平面平面(如图2).

(I)求证：P八PB；

■7T

⑵点尸在线段抬上，当二面角尸”"大小为评，求四棱锥…回£的体积.

20.(12分)已知函数/(x)=21nx-x2+办(。GH).

(1)当。=0时，求/(x)的单调区间；

(2)若函数g(x)=/(x)-ax+加在-,e上有两个零点，求实数用的取值范围.

e

21.(12分)已知平面四边形/8DC中，对角线C8为钝角//CO的平分线，CB与AD

相交于点O,NC=5,AD=7,cosZ^CD=-l.

(1)求CO的长；

(2)若BC=BD,求△45。的面积.

22.(12分)已知函数/(x)=ae'T-Inx+lna.

(1)当a=e时，求曲线y=/(x)在点(1,7(1))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积

(2)若不等式/'(x)21恒成立，求a的取值范围.

试卷第4页，共4页

考查时闻嘲系誓鬻整葱考邕靠高考综合

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计4Q分.每小题给出的四个选项中，只

有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.

1.若复数Z满足（l+2i）z=l,则Z的共辄复数是（）

12.12.12

A.---f—iB.------1C.—I—

555555

【答案】C

所以〒=:+9，

故选：C

2,若集合2={x[2<x<3},B={x'x>b,beR},则N=8的充要条件是（）

A.b>3B.2<b<3C.b<2D.b<2

【答案】D

【详解】因为集合，4={X［2<X<3},B={x\x>b,beR},

若4=利用数轴，可求6W2,

故选：D.

3.二项式展开式的常数项为（）

A.-160B.60C.120D.240

【答案】B

【详解】展开式的通项为:

"a.广［一亡］=或'下，（-1广/材,

3

令6——r=0得：厂=4,

2

所以展开式的常数项为《X22X（T）"=60,

故选：B.

4.某玻璃制品厂需要生产一种如图1所示的玻璃杯，该玻璃杯造型可以近似看成是一个

圆柱挖去一个圆台得到，其近似模型的直观图如图2所示（图中数据单位为cm）,则该

玻璃杯所用玻璃的体积（单位：cn?）为（）

试卷第1页，共16页

下

2

1

图2

图1

5171

47兀

43兀

55兀

——

B.

D.

——

A.

6

6

】A

【答案

等.

乂4=

+白

lxg

gy+

x兀x[

x6-；

x（$2

积为兀

璃的体

所用玻

玻璃杯

意，该

】依题

【详解

：A

故选

（）

nc,则

=—I

e—c

n6,

=l

na,""

=-I

若e"

5.

<c

b<a

D.

<a

<c

C<b

b

<c<

B.a

c

<b<

A.a

】B

【答案

x

x

:

的图象

Inx

y=-

Inx.

.y=

=e~

e.y

y二

作出

系中

坐标

直角

同一

】在

【详解

：B

故选

在甲比

），则

名次

并列

赛（无

跑决

0米赛

子10

了男

参加

乙）

甲、

选手

手（含

名选

有6

6.

）

为（

概率

邻的

次相

人名

乙两

甲、

下，

的条件

乙快

1

1

1

.1

D.一

C.—

B4—

A.—

4

3

6

2

】C

【答案

页

共16

页，

第2

试卷

【详解】甲的名次比乙高，

当甲第一名时，乙有5种位置，其中甲乙相邻有1种情况，

当甲第二名时，乙有4种位置，其中甲乙相邻有1种情况，

当甲第三名时，乙有3种位置，其中甲乙相邻有1种情况，

当甲第四名时，乙有2种位置，其中甲乙相邻有1种情况，

当甲第五名时，乙有1种位置，其中甲乙相邻有1种情况，

所以甲的名次比乙高共有5+4+3+2+1=15种情况，

甲的名次比乙高且甲乙相邻有5种情况，

所以在甲的名次比乙高的条件下，甲、乙两人名次相邻的概率为2=；.

故选：C.

7.己知凡是等比数列｛凡｝的前力项和，且£=2用+。，则/&+%/+~+=（）

A223-8R2,3-8c220-1口

3''3'3

【答案】A

2

【详解】因为邑=2"-a,所以q=B=4+a,az=Sz-S,+a）-[2+a）=4,

a3=S3-S]=（24+a）—（23+a）=8,

又｛%｝是等比数列，所以噌=4.,即42=8（4+。），解得°=_2,所以\=2田-2.

当力22时，为=凡一凡一=（2回一2）-（2"-2）=2\又4=2满足4=2",

所以，仰%^=吐=军=4,故数列｛。用凡｝是公比为4,首项为%%=2x4=8的等

an+\an2

比数列，

、8（1一410）^23-8

所以4%+。2。3+…+"1M1==

故选：A.

22

8.设椭圆。:斗+二=1（a>b>0）的右焦点为凡椭圆C上的两点月、8关于原点对称,

ab2

且满足无.砺=0,师归照归邛啊，则椭圆C的离心率的取值范围是（）

【答案】B

【详解】如图所示:

设椭圆的左焦点尸'，由椭圆的对称性可知，四边形NRB尸'为平行四边形,

试卷第3页，共16页

又说.丽=0,则E此R8,所以平行四边形/尸8户为矩形，故闺=|即[=2c,

^.\AF'\=n,\AF\=m,则即|=〃,

在直角△>!曲，m+〃=2“m,2+n2=

所以2机次("?+力j-(〃/+*)=47_勘2=观)2,则小力策12,

2.2c2

,mnm+n2c

所cr以xl一+—=------=—,

nmmn%

令”=，得"1=2c

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^\FB\<\FA\<3\FBL得缶=,£[L引

nLJ

因为对勾函数y=r1+］在Ql上单调递增，所以1c10

=1+-E2,—,