2022年普通高等学校招生全国统一考试新高考卷数学模拟测试(一) 答案解析(附后)

2022年普通高等学校招生全国统一考试新高考卷数学模拟测

试（一）

1.（I二利二（）

A.3：»B.3AiC.I3/D.1+3，

2.已知集合M,N是全集U的两个非空子集，且\I£C「N,贝M）

A.MCN=0B.MCNC.NCMD.NUCjA/=U

3.椭圆〃,/+/=1的焦点在y轴上，短轴长与焦距相等，则实数m的值为（）

A.2B.1C.4D.y/2

4.若某圆台的上底面半径为2,下底面半径为4,高为3,则该圆台的体积为.（）

A287r-…、

A.—-—B.2（）7rC.287rD.327r

•5

亡r卜,sin2a.、

5.已知lane=3,则——=（）

sinn

Q9I

A.B.-C.-D.6

/LI

6.在1859年的时候，德国数学家黎曼向科学院提交了题目为《论小于某值的素数个数》

的论文并提出了一个命题，也就是著名的黎曼猜想.在此之前，著名数学家欧拉也曾研究过

这个问题，并得到小于数字x的素数个数可以表示为Mr）七丁匚的结论.若根据欧拉得出的

结论，估计1（户以内的素数的个数为（素数即质数，lgev0,343,计算结果取整数，（）

A.2172B.4343C.869D.8686

7.一展开式中常数项是（）

A.56B,-56C.70D.-70

8.已知函数/（」•）=hir-1,直线i/=mr+n是曲线v=/（.r）的一条切线，则m+2”的

X

取值范围是（）

A.[―3.+oo）B.[-2In2—4.+oc）

e-35

C.（-oc,—^―]D,[In2-+oo）

9.为了庆祝中国共产党成立100周年，讴歌中华民族实现伟大复兴的奋斗历程，增进全体

党员干部职工对党史的了解，某单位组织开展党史知识竞赛活动，将本单位全体党员党史知

识竞赛的成绩（均位于阿）.1（）。]之内）整理，得到如图所示的频率分布直方图.根据此频率分布

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直方图，下列结论正确的是（）

A.本次成绩不低于80分的人数的占比为75%

B.本次成绩低于70分的人数的占比为5%

C.估计本次成绩的平均分不高于85分

D.本次成绩位于「0.90）的人数是其他人数的3倍

10.如图所示，四棱锥S-的底面为正方形，S/）_L底面A8CD,SD=AB,则下

列选项中两异面直线所成夹角大于15的是（）

A.BC与SDB.AB与SCC.SB与ADD.AC与SB

11.已知函数/（工）=486（21+夕）-1（4>0,0</<二），若函数y=|/（工）|的部分图象

如图所示，函数g（f）=.4si】i（Ar-r）,则下列结论不正确的是（）

4P

7F

A.函数g（.r）的图象关于直线丁=一日对称

B.函数g"）的图象关于点（：.（））对称

C.将函数“=/（1）+1的图象向左平移个单位长度可得到函数3,）的图象

D.函数川.r）在区间0,^上的单调递减区间为0.；

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12.阿基米德(公元前287年-公元前212年)是古希腊伟大的物理学家、数学家、天文学

家，不仅在物理学方面贡献巨大，还享有“数学之神”的称号，抛物线上任意两点A、8处

的切线交于点P,称为“阿基米德三角形”.已知抛物线C：1=8?/的焦点为F,

过A、B两点的直线的方程为4/一3//+6=0,关于“阿基米德三角形"△「小，，下列结

论正确的是()

39

A.\AB\=—B.PALPB

C.点、P的坐标为D.PFLAB

13.在正项等比数列｛”“｝中，若"/川=4,则1(岖2。2+log2aio=.

14.写出一个同时满足下列条件①0的向量IT.①01=1;②向量才与

了=(1,-1)的夹角。€(0-j)-

15.已知/(工)=工+片里"，则函数/")的极小值为.

16.已知在正四面体「-.43C中，48=3,记以力为直径的球为球。，则平面A8C截

球。所得截面的面积为.

17.如图，在梯形A8CD中，A/3〃C。，点E在边CD上，NC=12(),3。=24，

Z.CEB=45°.

⑵若AB=7,求sinN4E8.

18.已知数列｛%｝满足支+%+,••+,=亍?

(1)求数列｛明｝的通项公式；

⑵对任意的令“，=|：：'"?’；：?，求数列｛鼠｝的前2n项和民”.

I2"",n为偶数

19.如图，在长方体ABC。一小场中，点E,F分别在44，8场上,

A\D\=A\B\=A\E=BF=1,AAi=3.

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⑴证明：4F〃平面EBQi.

⑵求二面角8-4的余弦值.

20.《中共中央国务院关于实现巩固拓展脱贫攻坚成果同乡村振兴有效衔接的意见》明确提

出，支持脱贫地区乡村特色产业发展壮大，加快脱贫地区农产品和食品仓储保鲜、冷链物流

设施建设，支持农产品流通企业、电商、批发市场与区域特色产业精准对接.当前脱贫地区相

关设施建设情况如何？怎样实现精准对接？未来如何进一步补齐发展短板？针对上述问题，

假定有A、B、C三个解决方案，通过调查发现有:的受调查者赞成方案A,有:的受调查者

赞成方案B,有:的受调查者赞成方案C,现有甲、乙、丙三人独立参加投票(以频率作为概

率).

(1)求甲、乙两人投票方案不同的概率；

(2)若某人选择方案A或方案8,则对应方案可获得2票；选择方案C,则方案C获得1票.

设X是甲、乙、丙三人投票后三个方案获得票数之和，求X的分布列和数学期望.

22

21.已知双曲线C：二_5=1(0>0,6>0)的渐近线方程为“=±8工，过双曲线C的

a2g

右焦点尸(2.())的直线人与双曲线C分别交于左、右两支上的人、8两点.

(1)求双曲线C的方程.

(2)过原点O作直线％,使得/“//】，且与双曲线C分别交于左、右两支上的点M、N.是否

存在定值入，使得•瓦N=A血？若存在，请求出A的值；若不存在，请说明理由.

22.已知函数/(1)=ar-sinr.

(1)若函数/")为增函数，求实数a的取值范围；

(2)证明：当J〉。时，>2sinj-.

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答案和解析

1.【答案】D

【解析】【分析】

本题考查复数的代数形式的乘除运算，属于基础题.

根据复数的乘除法直接运算即可.

【解答】

解：复数空霓=("4即=—3,—4户=-+3,

i产-1

故选：D.

2.【答案】2

【解析】【分析】

本题考查了全集、补集和子集的定义与应用问题，属于基础题.

根据全集、补集和子集的定义，即可得出M、N之间的关系，从而作出正确的判断.

【解答】

解：全集U,M,N是U的非空子集，且.UGGN,

所以MDN=0.

故选：A

3.【答案】A

【解析】【分析】

本题考查椭圆的几何性质，涉及椭圆的标准方程，注意椭圆的焦点的位置.

根据题意，分析可得椭圆的标准方程为：“，分析可得a、b、c的值，结合题意可得

m

=解可得m的值，即可得答案.

【解答】

解：根据题意，椭圆小/+/=1的焦点在y轴上，

■>X2

则标准方程为："+T=1,

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解可得m=2,

故选：4

4.【答案】C

【解析】【分析】

本题考查圆台的体积，考查直观想象与数学运算的数学素养，属于基础题.

根据圆台的体积公式计算即可.

【解答】

22

解：由题意，得圆台的体积为V=；(s'+\^S+S)h=37r-2+公22.丁.42+,r-4)x3=2&r.

J<5

故选：c.

5.【答案】8

【解析】【分析】

本题考查了同角三角函数的基本关系，二倍角公式，属于基础题.

先化简，再分子分母同时除以code,转化为正切计算即可.

【解答】

解：由tana=3,

sin2n_2sinacosn_2tana_2x3_2

sin2asin2atan2a323'

故选：B.

6.【答案】D

【解析】【分析】

本题考查了对数的运算及阅读能力及进行简单的推理，属于基础题.

由对数的运算得：1"10=卷，再结合题意及进行简单的合情推理得：

5

MlO)*:inJ=2x10*xlne,即可得解.

''In10,

【解答】

A”,1051052X10'

解：由通意可知："(10')"iw=riin=1in，

''In10"5hi10In10

由对数的性质可得：In10=J,

Ige

日口/S八1051052x104

即"(1°)"调=而旷Fib

=2x10*xhie«2x101x0.4343=2x4343=8686.

故选。.

7.【答案】A

【解析】【分析】

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本题考查二项展开式的特定项，属于基础题.

由一10+：—2,=一如生E,再利用(工-1)'展开式的通项公式即可求解.

【解答】

(7一1)8展开式的通项为。+1=(-1)‘仁工''(r=0.1,2,..・，8),

令8-r=3,得，，=5,(—1)5方=一56,

所以展开式中常数项是56.

8.【答案】B

【解析】【分析】

本题考查导数的几何意义和利用导数求最值，属于一般题.

1Q

设切点、为P(t」⑴),利用导数的几何意义求出切线方程，得，"+2”=9+211“一；一2,构造

13

g(t)=^+2\nt---2,利用导数即可求解.

【解答】

解：设切点为口匕/⑴)，ra)=；+(，

曲线"=/(X)在切点尸⑴)处的切线的斜率为；+，，切线方程为y-f(t)=r(f)(T-t),

整理得V=(-+”)上+h"-工-1,

i3

所以in4-2〃=产+2In/—y—2.

令。⑴=三+21n，一7—2,则"⑺=2'十?——?.

tt

当0<f<］时，g'(t)<0,g«)单调递减，

当f>g时，ff'(t)>(),g«)单调递增・

故。⑴min=9(；)=-21n2-4，

则m+2，，的取值范围［-2In2-4,+oo),

故选B

9.【答案】ABC

【解析】【分析】

本题考查频率分布直方图，考查获取信息解决实际问题，考查数据分析，属基础题.

根据频率分布直方图解得a,逐项分析即可.

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【解答】

解：本次成绩不低于80分的人数占比为(0.050+0.025)x10=0.75=75%,故A正确；

因为10(a+0.020+0.050+0.025)=1,所以"=0.005,

即本次成绩低于70分的人数的占比为1(M=5%,故8正确；

本次成绩的平均分为10x(0.005x65+0.02x75+0.05x85+0.025x95)=84.5,故C正确;

成绩位于「0.90)的频率为(0.020+0.050)x10=0.7,因为0.7＜0.3x3,故。错误.

故选ABC.

10.【答案】ACD

【解析】【分析】

本题主要考查了异面直线的夹角，通过平移的方法求异面直线的夹角及利用判定定理证明异面直

线垂直的应用，

根据已知及线面垂直的判定，异面直线所成角的计算，可知正确是哪几个

【解答】

解：对于A,因为SOI底面八BCD,平面A8CO,

所以则8c与5。所成角的大小为乂)，故A正确，

对于8,因为底面么8CD是正方形，所以48〃C7),

则AB与5c所成的角为NSCO-45'，故B错误，

对于C,因为.4。〃“。.所以58与4。所成的角为乙SBC,

sc

由题知tanNSZ?C=衍=伍＞1,所以NS8C＞』5’,故C正确，

对于。，因为S"_L底面A8CD,.4CU平面A8CD,

所以SOIAC,因为A8CD是正方形，所以

因为sonBOI),S75u平面SB。，平面S8D所以AC'L平面S8D,

所以.4C.S/?,则AC与58所成角的大小为W,故。正确.

1L【答案】A8D

【解析】【分析】

本题考查三角函数的图象与性质，要求考生了解函数图象的变换，了解函数

)=/1＜,0«(3l+6+3中各参数对图象的影响，理解正弦函数与余弦函数的单调性与对称性

【解答】

解：根据“=1/")|的图象可知.4=2,当r=0时，满足/(0)=-2,

则2cos3-]=-2,即cos胃=,

27r

因为()＜，＜?r,所以杉=可，gQ)=2sin

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7T

对于A项，当工二一不时，-1,故9（.r）的图象不关于直线丁=一力对称，A项错误;

对于8项，当/=；时，g瓜、故9"）的图象不关于点看0）对称，8项错误;

对于C项，因为V=/")+1=2cos(21+寺)=2sinp2x27万r、3TF1、.

+W)-7T=2sm

32

2(+)-=2sin2x-

将其图象向左平移12个单位长度可得函数"2sin[I^T](T)的图象,

故c项正确;

八27r27r7T27r2TT7T

对于。项，因为。彳,所以当2l一二e

,所以21一w€T3T,-2，

即工€0展时，川，）单调递减，。项错误.

12.【答案】ABD

【解析】【分析】

本题考查直线与抛物线的位置关系，要求考生了解抛物线的定义，几何图形和标准方程，知道它

的简单几何性质.

联立抛物线与双曲线方程利用根与系数的关系可求得八〃的值可判断A；求得直线PA和P8的

斜率可得到直线PA和PB的方程可判断B；联立两直线方程可得到点P的坐标可判断C；由点P

和点F坐标可得到直线PF的斜率，由点八和点B坐标可得到直线A8的斜率，可判断/）.

x2=_

【解答】解：设八出,加），/>'/」用，联立《4f+6=。,可得3/一83-48=。，

解得T=或工=—,不妨设TO=——»则〃】=6，Z/2=Q，

33d

（4《+色色尸+（6一2）?=?，A项正确;

333

又因为”所以//=；［故直线PA的斜率为±@=逐,

814

直线PA的方程为〃一6>/3(J-iv^i),

即“=卤工一6,同理可得直线P8的方程为v:—熠一

3

/n

A-/-=-^xA/3=-1.所以P4_LPB,8项正确;

J

y=\/3x—6_4A/3

联立<瓜工21可得，3，故点P的坐标为-2,C项错误;

y33!/=-2

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易知点F的坐标为(0,2),4\/3,LAB=—x—1.所以

0~~3-3

PF1AB,D项正确.

13.【答案】2

【解析】【分析】

本题考查等比数列性质的应用，属于基础题.

由等比数列的性质可得"Wx=oxno=4,由对数的运算可得要求的式子=log2fl2flln,代入计算

对数的值即可.

【解答】

解：由题意可得log2a2+log.aio=I<»R2(«2«IO)=1唯(四你)=log24=2.

故答案为：2.

6+v/14VTI-6

14.【答案】H=(答案不唯一)

1()1()

【解析】【分析】

本题考查向量的夹角，向量的坐标运算，属于基础题.

设才=(rV),得到C08O=三蟆I,令一片:求解即可,

【解答】

X-W

解：设a=(Z,'),得到cosa=-^-=1,

人6

令J-!/=W,

5

6-v/n

10

联立＜

6+\/14，

『-W-

取万=

15.【答案】一

【解析】【分析】

本题考查函数的极值，要求考生会用导数求函数的极小值.

对/")求导，根据单调性判断极小值即可.

【解答】

解：由/")=丁+”°1+15,得/'(r)=Z+”?+3/，令/=(),

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得/0)=/'(，+3解得八())=3,所以〃工)=(l+2卜‘，/'")="+3)e。

令/'(1)=0,得r=-3,

则函数/")在(-8,-3)上单调递减，在(-3,+oo)上单调递增，

所以当r=-3时，/(丁)取得极小值，且极小值为〃-3)=—。

16.【答案】1

【解析】【分析】

本题考查平面与球的截面问题，要求考生了解正四面体与球的特征，会根据空间中的垂直关系求

出截面圆的直径.

根据题目条件得到截面为圆，并得到直径AE的大小即可求解.

【解答】

解：如图，取BC的中点D,连接AD,过点P作PK1平面A8C于点E,

由正四面体。一.48「的特征可知，点E为人。上靠近点。的三等分点.

因为PA为球。的直径，QZ•，平面A8C,ZAEP9(),

所以平面A8C截球。所得截面的直径为

因为48=3,所以4E=2A0=2X这=e，

332

故平面ABC截以PA为直径的球所得截面面积为7Fx

17.【答案】解：（1）在aCEB中，

一,0CBEB

由正弦定理可付7,定石=[71，

smZCEBsmZc

26_EB

sin45°sin120°,

BE=3y/2,

由余弦定理可得EB2=EC'2+CB1-2ECCH-cos120°,

解得CE=3-瓜

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(2)VAB//CD,

：./CEB=/.ABE=45°,

又因为工8=7,BE=3>/2.

在AAEB中，由余弦定理可得

EA1=EB24-AB2-2EBABcos45。

=(3>/2)2+72-2X3\/2

=25,

所以£4=5,

_25+18-49__\/2

~2x5x3A/2-一而‘

又因为sin2Z.AEB+cos2/.AEB=1,

所以sinN.4E8=92.

【解析】本题考查正弦定理和余弦定理.

(1)在中，由正弦定理可解得BE,再根据余弦定理解得CE；

(2)根据4B〃C。可得NCEB=/ABE,在A4EB中，用余弦定理解得EA,再根据余弦定理

可解得cos乙4EB=-4，根据31?/4£3+862/4七8=1,得出sin/AEB的结果.

18.【答案】解：(1)当"=1时，"I=1:

,,、,一(12ar»-iri-1

当"》2时，可付5+%+—.+布=不：7r

71—12-n

当〃=1时，川=2-1=1也符合，故"”=2-"；

2—n.〃为奇数

⑵由⑴知b"=,

22-n,n为偶数

22

S2M=[1+(-1)+(-3)+…+2-(2n-1)]+(2°+2-2+…+2-")

(1+3—2n)n1\4/

=(2-n)n+

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【解析】本题考查数列的通项与求和，要求考生掌握求常见数列的通项的方法，能根据数列征选

取恰当的方法求和，属于常考题.

(1)分”=1和〃》2两种情况求解即可；

(2)利用奇偶并项求和法求和即可.

19.【答案】解：(1)证明：因为4E=3F=1,

所以AE=BiF=2,

因为.4E〃F8i,所以四边形.4尸场E为平行四边形，

所以

因为平面EBiOi,平面E310,

所以AF〃平面E31"；

(2)以。为坐标原点，DA,DC,所在的直线分别为x,y,z轴，

建立空间直角坐标系O-J7/2,

则E(l,0.2),4(1,0,3),9(0,0,3),01(1,1,3),

D^=(l.().-1),7^=(1.1.0).

设平面EBiQ的法向量为M=(T,弘z),

InlAJD\S(x—z=0(x=z

令J=l,得1/=一1，2=1,所以"=(1.一1.1).

易知W=(0,1,0)为平面的一个法向量

TT"亓-16

cos<m.n>=—Iii=，=一一，

阿卜|殖瓜3

由图可知，二面角为锐角，

故二面角的余弦值为

3

【解析】本题考查线面平行的判定，空间向量与二面角等基础知识，考查空间想象能力，推理论

证能力，运算求解能力，数形结合思想等，属于中档题.

(1)证出4F〃/31,根据线面平行的判定定理即可证出结论；

(2)以。为坐标原点建立空间直角坐标系。一”/z,进而得到平面向。1E的一个法向量为后，平

面。1ED的一个法向量为词即可,通过法向量求出二面角的余弦值.

20.【答案】解：(1)因为甲、乙两人投票方案相同的概率为+=

2233bbio

所以甲、乙两人投票方案不相同的概率为1-1=2.

Io1O

(2)X的所有可能取值为3、4、5、6,则

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P(X=3)=铲=奈，P(X=4)=Cix(l)2(l-l)=^=A,

P(X=5)=C；x如一,端璃，Q(X=6)=C；(「》3嗡,

所以X的分布列为:

X3456

1525125

P

216727221()

故E(X)=3x[+44+5嚼+6乂熊=/

【解析】本题考查离散型随机变量的分布列与均值、相互独立事件的概率乘法公式、对立事件的

概率公式，属于中档题.

(1)先求出甲乙投票方案相同的概率，再利用对立事件的概率公式即可求出不相同的概率.

(2)确定X的所有可能的取值，求出X的所有可能的取值概率，得到分布列，由此即可求出X的

数学期望.

!8，解得

21.【答案】解：(1)由题意得

bi2+a2=4

所以双曲线C的方程为12一(

(2)存在定值小，使得.而^=》血,

•.•J7N与加同向，.•.A=雪1,

I福

F(2,0),易知人的斜率不为0,设h：/=句+2,

工=fy+2

由(消去x整理得：(3产-1/+皿+9=。,

3

由交双曲线C左右两支于八、B两点,

3»-1和

有《(⑵户一36(3产—I)=36(产+1)>0，

X\X2<0

3产-1/0

即c、，C、-(3^+4)c，则3i一1>0,