辽宁省辽东南协作体2023-2024学年高三下学期开学考试数学试题

2024年春开学考试高三数学时间：90分钟满分：120分本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分.考试时间为120分钟.第Ⅰ卷(选择题，共58分)一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知集合，，则（）A． B． C． D．2．复数的虚部为（）A．﹣2 B．2 C．1 D．﹣13．双曲线的渐近线方程为（）A． B． C． D．4．已知，，则（）A． B． C． D．5．已知点M是边长为2的正方形ABCD的内切圆内(含边界)一动点，则的取值范围是（）A． B． C． D．6．《张丘建算经》是我国北魏时期大数学家张丘建所著，约成书于公元466﹣485年间．其中记载着这么一道“女子织布”问题：某女子善于织布，一天比一天织得快，且每日增加的数量相同。已知第一日织布5尺，30日共织布390尺，则该女子织布每日增加（）尺A． B． C． D．7．将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有（）A．12种 B．10种 C．9种 D．8种8．已知椭圆()的离心率为，直线与圆相切，则实数m的值是（）A．±1 B．±2 C．±4 D．±8二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分。9．已知函数，则下列结论正确的是（）A．的最小正周期为πB．函数在上单调递增C．将函数图像的横坐标缩短为原来的一半，再向左平移个单位后关于y轴对称D．函数在上的最小值为10．已知正方体的棱长为a，点E，F，G分别棱AB，，的中点，下列结论正确的是（）A．平面 B．四面体的体积等于C．FG与平面ABCD所成角的正切值为 D．平面EFG11．已知函数是R上的奇函数，对于任意，都有成立，当时，则下列结论中正确的是（）A． B．函数在上单调递增C．函数在上有3个零点 D．点是函数的图象的一个对称中心第Ⅱ卷(非选择题，共92分)三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分。12．据统计，某段时间内由内地前往香港的老、中、青年旅客的比例依次为5：2：3，现使用分层抽样的方法从这些旅客中随机抽取n人，若青年旅客抽到60人，则n＝_______；13．已知直三棱柱的6个顶点都在球O的球面上，若，，，，则球O的表面积为_______；14．已知函数．若，且，则的取值范围是_______．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．(本小题满分13分)已知函数，(1)当时，求曲线在点处的切线的方程(2)若曲线与x轴有且只有一个交点，求a的取值范围．16．(本小题满分15分)某校积极响应习近平总书记关于共建学习型社会的号召，开展了“学党史，强信仰，跟党走”的主题学习活动．在一次“党史”知识竞赛活动中，给出了A、B、C三道题，答对A、B、C分别得2分、2分、4分，答错不得分．已知甲同学答对问题A、B、C的概率分别为、、，乙同学答对问题A、B、C的概率均为，甲、乙两位同学都需回答这三道题，且各题回答正确与否相互独立。(1)求甲同学至少有一道题不能答对的概率；(2)请结合统计的知识判断甲、乙两人在本次“党史”知识竞赛中，哪位同学得分高．17．(本小题满分15分)如图，在四棱锥P﹣ACBD中，底面ABCD为矩形，底面ABCD，，点E是棱PB的中点．(1)证明：平面平面PBC．(2)若BC＝3，求二面角A﹣CE﹣D的余弦值．18．(本小题满分17分)已知抛物线C：上的点到其焦点的距离为2．(1)求点P的坐标及抛物线C的方程；(2)若点M、N在抛物线C上，且，求证：直线MN过定点．19．(本小题满分17分)对于给定的正整数m和实数a，若数列满足如下两个性质：①；②对任意的，，则称数列具有性质．(Ⅰ)若数列具有性质，求数列的前10项和；(Ⅱ)对于给定的正奇数t，若数列同时具有性质和，求数列的通项式；(Ⅲ)若数列具有性质，求证：存在自然数N，对任意的正整数k，不等式均成立．高三数学答案一．选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。二．选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分。题号1234567891011答案CDADCBABABABCAD三．填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分。12．200 13．14．(3，＋∞)四．解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．（本小题满分13分）解：（1）当时，，，∴，∴曲线y＝f（x）在点(0，f(0))处的切线的方程为．………………4分（2）由得，，当时，，函数在R上单调递增，此时，所以当时，曲线y＝f（x）与x轴有且只有一个交点；………………8分当时，令得，，∴单调递增，单调递减，∴当时，函数有极大值，若曲线y＝f（x）与x轴有且只有一个交点，则，解得，综上所述，当或时，曲线y＝f（x）与x轴有且只有一个交点．………………13分16．（本小题满分15分）解：（1）设甲同学三道题都答对的事件为，则，所以甲同学至少有一道题不能答对的概率为．………………5分（2）设甲同学本次竞赛中得分为，则的可能取值为分，则，，，所以的概率分布列为：所以（分）………………9分设乙同学本次竞赛中得分为，由的可能取值为分，，，所以的概率分布列为：所以………………13分由于，所以乙同学的得分高．………………15分17．（本小题满分15分）证明：因为底面，平面，所以．四边形为矩形，所以，因为，所以平面．从而，因为，点是棱的中点﹐所以．因为，所以平面．又因为平面，所以平面平面．………………6分解：以为坐标原点，分别以的方向为轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示，依题意可得，设平面的法向量为，由，得不妨令可得．………………9分设平面的法向量为，由，得不妨令，可得．………………12分易知二面角为锐角，，所以二面角的余弦值为．………………15分18．（本小题满分17分）解：（1）抛物线的焦点，准线为，因为点到其焦点的距离为2，所以，解得，………………2分所以抛物线的方程为，………………4分因为点在抛物线上，所以，解得，所以，综上，P点坐标为，抛物线的方程为．………………8分（2）证明：设直线MN的方程为，，，联立，得，所以，，所以，………………10分同理可得，………………12分因，所以，所以，所以，即（满足），直线MN的方程为，所以直线MN过定点．………………17分19．（本小题满分17分）解：（Ⅰ）依题意，且，所以数列的前10项和为5．