难点详解华东师大版八年级数学下册第十九章矩形、菱形与正方形专项练习练习题（无超纲）

八年级数学下册第十九章矩形、菱形与正方形专项练习考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。第I卷（选择题30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、将一长方形纸条按如图所示折叠，，则（）A．55° B．70° C．110° D．60°2、下列命题正确的是（）A．若，则 B．四条边相等的四边形是正四边形C．有一组邻边相等的平行四边形是矩形 D．如果，则3、如图菱形ABCD，对角线AC，BD相交于点O，若BD＝8，AC＝6，则AB的长是（）A．5 B．6 C．8 D．104、如图是用若干个全等的等腰梯形拼成的图形，下列说法错误的是（）A．梯形的下底是上底的两倍 B．梯形最大角是C．梯形的腰与上底相等 D．梯形的底角是5、如图，矩形OABC的边OA长为2，边AB长为1，OA在数轴上，以原点O为圆心，对角线OB的长为半径画弧，交正半轴于一点，则这个点表示的实数是（）A．2.5 B．2 C． D．6、如图，在菱形中，P是对角线上一动点，过点P作于点E．于点F．若菱形的周长为24，面积为24，则的值为（）A．4 B． C．6 D．7、下列说法正确的是（）A．平行四边形的对角线互相平分且相等 B．矩形的对角线相等且互相平分C．菱形的对角线互相垂直且相等 D．正方形的对角线是正方形的对称轴8、已知，四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O．设有以下条件：①AB＝AD；②AC＝BD；③AO＝CO，BO＝DO；④四边形ABCD是矩形；⑤四边形ABCD是菱形；⑥四边形ABCD是正方形．那么，下列推理不成立的是（）A．①④⇒⑥ B．①③⇒⑤ C．①②⇒⑥ D．②③⇒④9、如图，在长方形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点E是BC边上一点，将△ABE沿AE折叠，使点B落在点F处，连接CF，当△CEF为直角三角形时，则BE的长是（）A．4 B．3 C．4或8 D．3或610、下列测量方案中，能确定四边形门框为矩形的是（）A．测量对角线是否互相平分 B．测量两组对边是否分别相等C．测量对角线是否相等 D．测量对角线交点到四个顶点的距离是否都相等第Ⅱ卷（非选择题70分）二、填空题（10小题，每小题4分，共计40分）1、如图，在长方形ABCD中，，，点E是BC边上一点，连接AE，把沿AE折叠，使点B落在点处．当为直角三角形时，BE的长为______．2、如图，在长方形ABCD中，．在DC上找一点E，沿直线AE把折叠，使D点恰好落在BC上，设这一点为F，若的面积是54，则的面积=______________．3、有一个角是直角的平行四边形叫做______．矩形是______图形，它有______条对称轴．对称轴分别是经过两组对边______的两条直线．4、如图，在菱形ABCD中，，，为等边三角形，点E，F分别在菱形的边BC，CD上滑动，且E，F不与B，C，D重合，则四边形AECF的面积是______．5、如图，AC为正方形ABCD的对角线，E为AC上一点，连接EB，ED，当时，的度数为______．6、如图，已知正方形ABCD的边长为12，BE＝EC，将正方形边CD沿DE折叠到DF，延长EF交AB于G，连接DG，现在有如下3个结论：①△ADG≌△FDG；②GB＝2AG；③S△BEF＝．在以上3个结论中，正确的有______．（填序号）7、在平面直角坐标系中，将一点的横坐标与纵坐标互换后得到的点称为它的“互换点”，点M和A为函数的图象第一象限上的一组互换点（M点在A点的左侧）．直线AM分别交x轴、y轴于C、D两点，连接AO交双曲线另一支于点B，连接BM分别交x轴、y轴于点E，F．则下列结论正确的是______．（写出所有正确结论的序号）①；②；③若，则；④若，M点的横坐标为1，则8、如图，在矩形中，，，将矩形翻折，使得点落在边上的点处，折痕交于点，则______9、如图，正方形中，点E为边的中点，点P为边上一个动点，连接，以为对称轴折叠得到，点B的对应点为点F，若，当射线经过正方形边的中点（不包括点E）时，的长为_____________．10、有一组邻边相等的平行四边形是____________菱形是特殊的____________，因此它具有平行四边形的所有性质，但它也有自己独特的性质．三、解答题（5小题，每小题6分，共计30分）1、如图，在平行四边形ABCD中，E为BC的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F，连接BF，AC，且AD＝AF．（1）判断四边形ABFC的形状并证明；（2）若AB＝3，∠ABC＝60°，求EF的长．2、如图，将▱ABCD的边AB延长到点E，使BE＝AB，连接DE，交边BC于点F．（1）求证：△BEF≌△CDF．（2）连接BD，CE，若∠BFD＝2∠A，求证四边形BECD是矩形．3、已知四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，且AB>CE．（1）如图1，连接BG、DE．求证：BG=DE（2）如图2，如果将正方形CEFG绕着点C旋转到某一位置时恰好使得，BG=BD．求的度数4、菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点B作BE⊥AB交AC于点E．已知点F是AB边上一点，且BF＝BE，过点F作PF⊥AB交BD延长线于点P，交AD于点Q．(1)如图（1），若F是AB的中点，且BE＝2，求PD的长；(2)如图（2），求证：AQ＝BE+PQ；(3)如图（3），在菱形ABCD中，已知∠BAD＝60°，AB＝6．点P是对角线上的动点，过点B作BM垂直直线AP于点M．点N是CD边上的动点，请直接写出+MN的最小值．5、“三等分一个任意角”是数学史上一个著名问题．今天人们已经知道，仅用圆规和直尺是不可能作出的．有人曾利用如图所示的图形进行探索，其中ABCD是长方形，F是DA延长线上一点，G是CF上一点，且∠ACG＝∠AGC，∠GAF＝∠F．请写出∠ECB和∠ACB的数量关系，并说明理由．-参考答案-一、单选题1、B【解析】【分析】从折叠图形的性质入手，结合平行线的性质求解．【详解】解：由折叠图形的性质结合平行线同位角相等可知，，，．故选：B．【点睛】本题考查折叠的性质及平行线的性质，解题的关键是结合图形灵活解决问题．2、A【解析】【分析】利用等式的性质以及矩形、正方形、菱形的判定方法分别判断后即可确定正确的选项．【详解】解：A、若，则，故此命题正确；B、四条边相等的四边形是菱形，故原命题不正确；C、有一组邻边相等的平行四边形是菱形，故原命题不正确；D、如果，a≠0时，则，若时，此命题不正确，故选：A．【点睛】本题考查了命题与定理以及等式的性质等知识，解题的关键是了解矩形及菱形的判定方法．3、A【解析】【分析】由菱形的性质可得OA=OC=3，OB=OD=4，AO⊥BO，由勾股定理求出AB．【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，AC=6，BD=8，∴OA=OC=3，OB=OD=4，AO⊥BO，在Rt△AOB中，由勾股定理得：，故选：A．【点睛】本题考查了菱形的性质、勾股定理等知识；熟练掌握菱形对角线互相垂直且平分的性质是解题的关键．4、D【解析】【分析】如图（见解析），先根据平角的定义可得，再根据可求出，由此可判断选项；先根据等边三角形的判定与性质可得，再根据平行四边形的判定可得四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质可得，然后根据菱形的判定可得四边形是菱形，根据菱形的性质可得，最后根据线段的和差、等量代换可得，由此可判断选项．【详解】解：如图，，，，，梯形是等腰梯形，，则梯形最大角是，选项B正确；没有指明哪个角是底角，梯形的底角是或，选项D错误；如图，连接，，是等边三角形，，，点共线，，，，四边形是平行四边形，，，，，，四边形是菱形，，，，选项A、C正确；故选：D．【点睛】本题考查了等腰梯形、菱形的判定与性质、等边三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握各判定与性质是解题关键．5、D【解析】【分析】利用矩形的性质，求证明，进而在中利用勾股定理求出的长度，弧长就是的长度，利用数轴上的点表示，求出弧与数轴交点表示的实数即可．【详解】解：四边形OABC是矩形，，在中，由勾股定理可知：，，弧长为，故在数轴上表示的数为，故选：．【点睛】本题主要是考查了矩形的性质、勾股定理解三角形以及数轴上的点的表示，熟练利用矩形性质，得到直角三角形，然后通过勾股定理求边长，是解决该类问题的关键．6、A【解析】【分析】连接BP，通过菱形的周长为24，求出边长，菱形面积为24，求出的面积，然后利用面积法，，即可求出的值．【详解】解：如图所示，连接BP，∵菱形ABCD的周长为24，∴，又∵菱形ABCD的面积为24，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴，故选：A．【点睛】本题主要考查菱形的性质，解题关键在于添加辅助线，通过面积法得出等量关系．7、B【解析】【分析】根据平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质定理判断即可．【详解】解：平行四边形的对角线互相平分，不一定相等，A错误；矩形的对角线相等且互相平分，B正确；菱形的对角线互相垂直，不一定相等，C错误；正方形的对角线所在的直线是正方形的对称轴，D错误；故选：B．【点睛】本题考查了命题的真假判断，掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质是解题的关键．8、C【解析】【分析】根据已知条件以及正方形、菱形、矩形、平行四边形的判定条件，对选项进行分析判断即可．【详解】解：A、①④可以说明，一组邻边相等的矩形是正方形，故A正确．B、③可以说明四边形是平行四边形，再由①，一组临边相等的平行四边形是菱形，故B正确．C、①②，只能说明两组邻边分别相等，可能是菱形，但菱形不一定是正方形，故C错误．D、③可以说明四边形是平行四边形，再由②可得：对角线相等的平行四边形为矩形，故D正确．故选：C．【点睛】本题主要是考查了特殊四边形的判定，熟练掌握各类四边形的判定条件，是解决本题的关键．9、D【解析】【分析】当为直角三角形时，有两种情况：①当点F落在矩形内部时连接，先利用勾股定理计算出，根据折叠的性质得，而当为直角三角形时，只能得到，所以点A、F、C共线，即沿折叠，使点B落在对角线上的点F处，则，，可计算出然后利用勾股定理求解即可；②当点F落在边上时．此时为正方形，由此即可得到答案．【详解】解：当为直角三角形时，有两种情况：①当点F落在矩形内部时，如图所示．连接，在中，，，∴，∵△ABE沿折叠，使点B落在点F处，∴，BE=EF，当为直角三角形时，只能得到，∴∴点A、F、C共线，即△ABE沿折叠，使点B落在对角线上的点F处，∴，∴，设BE=EF=x，则EC=BC-BE=8-x，∵，∴，解得，∴BE=3；②当点F落在边上时，如图所示，由折叠的性质可知AB=AF，BE=EF，∠AEF=∠B=90°，∠FEC=90°，∴为正方形，∴，综上所述，BE的长为3或6．故选D．【点睛】本题考查折叠问题：折叠前后两图形全等，即对应线段相等；对应角相等．也考查了矩形的性质，正方形的性质与判定以及勾股定理．解题的关键是要注意本题有两种情况，需要分类讨论，避免漏解．10、D【解析】【分析】由平行四边形的判定与性质、矩形的判定分别对各个选项进行判断即可．【详解】解：A、∵对角线互相平分的四边形是平行四边形，∴对角线互相平分且相等的四边形才是矩形，∴选项A不符合题意；B、∵两组对边分别相等是平行四边形，∴选项B不符合题意；C、∵对角线互相平分且相等的四边形才是矩形，∴对角线相等的四边形不是矩形，∴选项C不符合题意；D、∵对角线交点到四个顶点的距离都相等，∴对角线互相平分且相等，∵对角线互相平分且相等的四边形是矩形，∴选项D符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质、解题的关键是熟记矩形的判定定理．二、填空题1、或3【解析】【分析】分两种情形：如图1中，当，，共线时，．如图2中，当点落在上时，，分别求解即可．【详解】解：如图1中，当，，共线时，．四边形是矩形，，，，，设，则，在中，，，，如图2中，当点落在上时，，此时四边形是正方形，，综上所述，满足条件的的值为或3．故答案是：或3．【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题．2、6【解析】【分析】根据三角形的面积求出BF，利用勾股定理列式求出AF，再根据翻折变换的性质可得AD=AF，然后求出CF，设DE=x，表示出EF、EC，然后在Rt△CEF中，利用勾股定理列方程求解和三角形的面积公式解答即可．【详解】解：∵四边形ABCD是矩形∴AB=CD=9，BC=AD∵•AB•BF＝54，∴BF=12．在Rt△ABF中，AB=9，BF=12，由勾股定理得，．∴BC=AD=AF=15，∴CF=BC-BF=15-12=3．设DE=x，则CE=9-x，EF=DE=x．则x2=（9-x）2+32，解得，x=5．∴DE=5．∴EC=DC-DE=9-5=4．∴△FCE的面积=×4×3=6．【点睛】本题考查了翻折变换的性质，矩形的性质，三角形的面积，勾股定理，熟记各性质并利用勾股定理列出方程是解题的关键．3、矩形轴对称两中点【解析】略4、【解析】【分析】连接AC，根据菱形的性质及等边三角形的性质证明△ABE≌△ACF（ASA），得到S△ABE=S△ACF，进而得到四边形AECF的面积=S△ABC，过点A作AH⊥BC于H，由勾股定理求出AH，再利用三角形面积公式计算即可．【详解】解：连接AC，∵四边形ABCD为菱形，∠BAD=120°，∴∠1+∠EAC=60°，∵为等边三角形，∴∠3+∠EAC=60°，∴∠1=∠3，∵∠BAD=120°，∴∠ABC=60°，∴△ABC和△ACD为等边三角形，∴∠4=60°，AC=AB，∴△ABE≌△ACF（ASA），∴S△ABE=S△ACF，∴四边形AECF的面积=S△ABC，过点A作AH⊥BC于H，则∠BAH=30°，∴，∴，∴四边形AECF的面积=S△ABC=，故答案为：．【点睛】此题考查了菱形的性质，等边三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定及性质，熟记菱形的性质及全等三角形的判定是解题的关键．5、18°##18度【解析】【分析】由“SAS”可证△DCE≌△BCE，可得∠CED=∠CEB=∠BED=63°，由三角形的外角的性质可求解．【详解】证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AD=CD=BC=AB，∠DAE=∠BAE=∠DCA=∠BCA=45°，在△DCE和△BCE中，，∴△DCE≌△BCE（SAS），∴∠CED=∠CEB=∠BED=63°，∵∠CED=∠CAD+∠ADE，∴∠ADE=63°-45°=18°，故答案为：18°．【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，证明△DCE≌△BCE是本题的关键．6、①②③【解析】【分析】根据正方形的性质和折叠的性质可得，，于是根据“”判定，再由，，为直角三角形，可通过勾股定理列方程求出，，进而求出的面积．【详解】解：由折叠可知，，，，，在和中，，，故①正确；，正方形边长是12，，设，则，，由勾股定理得：，即：，解得：，，，故②正确；，，故③正确；故答案为：①②③．【点睛】本题考查了翻折变换，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是灵活运用这些性质解决问题．7、①③④【解析】【分析】设点A（m，n），则M（n，m），求出直线AM的解析式，得到OC=OD，∠ODC=∠OCD=45°，作AP⊥x轴于P，MQ⊥y轴于Q，证明△OAP≌△OMQ，得到∠AOP=∠MOQ，由此判断①正确；过O作OH⊥MA于H，得到DH=CH，结合，得到MH=AH，但是DM与MH不一定相等，故②错误；作，连接FR，求出直线BM的解析式为，得到OF=OE=m-n，证明△BOE≌△AOR，判定四边形AMFR是矩形，得到AR=MF，AM=FR，设MF=2x，则MB=7x，证明△BOE≌△MOF，求出EF=3x，由DM=AC=2x，故③正确；过H作HG⊥x轴于G，AN⊥HG于N，设AH=a，证明△AOM是等边三角形，得到∠AOH=30°，∠HOG=∠OHG=∠AHN=45°，，，得到，求出a，得到A（，1），故④正确．【详解】解：设点A（m，n），则M（n，m），∴直线AM的解析式为，∴D（0，m+n），C（m+n，0），∴OC=OD，∴∠ODC=∠OCD=45°，作AP⊥x轴于P，MQ⊥y轴于Q，∴∠OQM=∠OPA=90°，QM=AP=n，OQ=OP=m，∴△OAP≌△OMQ，∴∠AOP=∠MOQ，∴，故①正确；过O作OH⊥MA于H，∵OC=OD，∴DH=CH，∵，∴DM=AC，∴MH=AH，但是DM与MH不一定相等，故不一定成立，故②错误；如图，作，连接FR，则∠BEO=∠ARO，∵连接AO交双曲线另一支于点B，点A（m，n），∴B（-m，-n），OA=OB，∵点M（n，m），∴直线BM的解析式为，∴F（0，m-n），E（n-m，0），∴OF=OE=m-n，∵∠BOE=∠AOR，∴△BOE≌△AOR，∴OR=OE=OF，∴∠OFR=∠ORF=45°，∵∠ARC=∠MEC=∠ACE=45°，∴∠EFR=∠ARF=∠RAC=90°，∴四边形AMFR是矩形，∴AR=MF，AM=FR，设MF=2x，则MB=7x，∴AC=AR=2x，BF=5x，∵OE=OF，OA=OM=OB，∠BOE=∠AOR=∠MOE，∴△BOE≌△MOF，∴BE=MF=2x，∴EF=3x，∵∠FER=∠FRE=45°，∴FR=EF=3x，∴AM=3x，∵DM=AC=2x，∴，故③正确；过H作HG⊥x轴于G，AN⊥HG于N，设AH=a，∵，OA=OM，∴△AOM是等边三角形，∴∠AOM=∠OAM=60°，∵OH⊥MA，∴∠AOH=30°，∴∠AOC=15°，∴∠HOG=∠OHG=∠AHN=45°，∵AH=a，∴，∴，∵M点的横坐标为1，∴QM=AP=GN=1，∴，得，∴，∴A（，1），∴，故④正确；故答案为：①③④．【点睛】此题考查了反比例函数与一次函数的综合知识，反比例函数的轴对称性，求一次函数的解析式，全等三角形的判定及性质，矩形的判定及性质，等边三角形的判定及性质，正确掌握各知识点并熟练应用解决问题是解题的关键．8、【解析】【分析】在Rt△ADE中，AD2+DE2=AE2，可得DE=3，CE=CD-DE=2，设FC=x，则EF=BC-FC=4-x，在Rt△ECF中，EF2=EC2+FC2，可得（4-x）2=22+x2，解方程即可．【详解】解∵△ABF≌△AEF，∴AE=AB=5，在矩形ABCD中，AD=BC=4，在Rt△ADE中，AD2+DE2=AE2，∴DE=3，CE=CD-DE=2，设FC=x，则EF=BC-FC=4-x，在Rt△ECF中，EF2=EC2+FC2，即（4-x）2=22+x2，8x=12，x=，∴FC=．故此答案为．【点睛】本题考查翻折变换、矩形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．9、1或【解析】【分析】分EF经过正方形ABCD另三边三种情况求解即可【详解】解：①EF经过CD边中点O时，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD=DA，，∵点O是CD边中点，点E是BC边中点，∴．∵CE=CO=1，∴，由折叠得，∴．∴，作FG⊥AB于G，作EH⊥FG于H，如图，设FH=x，则BG=EH=FH=x，∵，∴PG＝FG=x+1，∴BP=2x+1，由勾股定理得，由折叠得PB=PF，∴，解得．∴，∴点P在AB外，不符合题意；②EF经过AD边中点，如图，此时，，∴BP=BE=1；③EF经过AB中点，如图，∵B=BE，∴．由折叠得，设PF=x，则，∴，∴x=，即BP=，综上，BP的长为1或，故答案为：1或．【点睛】此题考查了正方形的性质，折叠的性质，勾股定理，灵活运用分类讨论思想是解答本题的关键．10、菱形平行四边形【解析】略三、解答题1、（1）矩形，见解析；（2）3【解析】【分析】（1）利用AAS判定△ABE≌△FCE，从而得到AB＝CF；由已知可得四边形ABFC是平行四边形，BC＝AF，根据对角线相等的平行四边形是矩形，可得到四边形ABFC是矩形；（2）先证△ABE是等边三角形，可得AB＝AE＝EF＝3．【详解】解：（1）四边形ABFC是矩形，理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥∴∠BAE＝∠CFE，∠ABE＝∠FCE，∵E为BC的中点，∴EB＝EC，在△ABE和△FCE中，∠BAE=∠CFE∠ABE=∠FCE∴△ABE≌△FCE（AAS），∴AB＝CF．∵AB∥∴四边形ABFC是平行四边形，∵AD＝BC，AD＝AF，∴BC＝AF，∴四边形ABFC是矩形．（2）∵四边形ABFC是矩形，∴BC＝AF，AE＝EF，BE＝CE，∴AE＝BE，∵∠ABC＝60°，∴△ABE是等边三角形，∴AB＝AE＝3，∴EF＝3．【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，矩形的判定，三角形全等的性质与判定，等边三角形的性质与判定，掌握以上性质定理是解题的关键．2、（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质可得ABCD且AB=CD，进而证明∠BEF=∠FDC,∠FBE=∠FCD,ASA证明△BEF≌△CDF.（2）根据等边对等角证明FD=FC，进而证明BC=DE，根据对角线相等的平行四边形是矩形即可证明【详解】(1)∵四边形ABCD为平行四边形,∴ABCD且AB=CD.∵BE=AB,∴BECD且BE=CD.∴∠BEF=∠FDC,∠FBE=∠FCD,∴△BEF≌△CDF.(2)∵BECD且BE=CD.∴四边形BECD为平行四边形,∴DF=DE,CF=BC,∵四边形ABCD为平行四边形,∴∠FCD=∠A,∵∠BFD=∠FCD+∠FDC,∠BFD=2∠A,∴∠FDC=∠FCD,∴FD=FC.又DF=DE,CF=BC,∴BC=DE,∴▱BECD是矩形.【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，矩形的判定，三角形全等的性质与判定，掌握平行四边形的性质与判定是解题的关键．3、（1）见解析；（2）∠BDE=60°【解析】【分析】（1）先证明∠BCG=∠DCE，再证明△BCG≌△DCE（SAS），从而可得结论；（2）连接BE，证明∠BCG=∠BCE，再证明△BCG≌△BCE（SAS），可得BD=BE=DE，从而可得结论.【详解】（1）证明：∵四边形ABCD和CEFG为正方形，∴BC=DC，CG=CE，∠BCD=∠GCE=90°∴∠BCD+∠DCG=∠GCE+∠DCG，∴∠BCG=∠DCE，在△BCG和△DCE中，{∴△BCG≌△DCE（SAS）∴BG=DE；（2）连接BE由（1）可知：BG=DE∵CG∴∠DCG=