《一元二次方程的概念》公开课教学课件

义务教育课程标准实验教科书21.1一元二次方程的概念

要设计一座2m高的人体雕像，使雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，可以增加视觉美感，按此比例雕像的下部应设计为多高？雕像上部的高度AC，下部的高度BC应有如下关系：设雕像下部高xm，于是得方程整理,得x2＋2x－4=01你发现这个方程与以前学习过的一次一次方程不同？2方程中未知数x的最高次数是几？3如何解决这样的方程从而得到实际问题的答案呢？x2=2(2－x)ACB2m

引言AB:BC=BC:2BC2=2AC建模思想引言中的方程

有一个未知数x，x的最高次数是2，像这样的方程有广泛的应用，请看下面的问题．x2＋2x－4=0①

创设情景引出概念问题1

：如图，有一块矩形铁皮，长100cm，宽50cm，在它的四角各切一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒，如果要制作的无盖方盒的底面积为3600cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？

（100－2x）（50－2x）=3600.整理，得4x2－300x+1400=0

化简，得

x2－75x+350=0②x2

要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？列方程，得化简，得x2-x-56=0

③

x(x-1)=56思考

方程①②③有什么特点？

类比一元一次程有哪些相同点和不同点？1方程的两边都是整式2方程中只含有一个未知数3未知数的最高次数是2.

像这样的等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程.x2-x-56=0③

x2-75x+350=0②x2＋2x-4=0①类比学习剖析概念类比思想这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项．

1.一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0(a≠0bc为常数）2.使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解.

一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根.

类比学习剖析概念类比思想想一想：

a为什么不等以0?1下列方程中是一元二次方程的是（）

Ax2+2x-3=x2

Bx-2

+x-1=0

C3x2+y+1=0D√3x-3=√2x2

2如果关于x的方程mx2-2x+m=0是一元二次方程那么m___辨析概念感悟内涵3如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有一个根为1，那么a+b+c=__.如果a-b+c=0那么方程的另一个根是___.D≠00x=-1例

将方程3x(x-1)=5(x+2)化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数，一次项系数及常数项．

3x2-3x=5x+10.

移项，合并同类项，得一元二次方程的一般形式：3x2-8x-10=0.其中二次项系数为3，一次项系数为-8，常数项为-10.

解：去括号，得辨析概念感悟内涵1.将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数，一次项系数及常数项：解：一般式5x2-4x-1=0二次项系数为５，一次项系数为-4，常数项为-1.解：一般式

4x2-81=0二次项系数为4，一次项系数为0，常数项为-81.应用概念解决疑难二次项系数为4，一次项系数为8，常数项为-25.二次项系数为3，一次项系数为-7，常数项为1.解：一般式

4x2+8x-25=0解：一般式3x2-7x+1=02.根据下列问题，列出关于x的方程，并将其化成一元二次方程的一般形式：（1）4个完全相同的正方形的面积之和是25，求正方形的边长x；（2）一个矩形的长比宽多2，面积是100，求矩形的长x；（3）把长为1的木条分成两段，使较短一段的长与全长的积，等于较长一段的长的平方，求较短一段的长x；（4）一个直角三角形的斜边长为10，两条直角边相差2，求较长的直角边长x．应用概念解决疑难具体作答过程见黑板板书1.方程2x-4=0的解也是关于方程x2+mx+2=0的解,则m=___.

2.关于x

的方程（k-1)x│k│+1-x-2=0是一元二次方程，求

k的值。

展翅高飞拓展概念具体作答过程见黑板板书回忆概念善于反思1.本节课你收获了哪些知识？2.本节课包含了哪些数学思想？一元二次方程的概念以及根的定义

一元二次方程的ax2+bx+c=0其中

a≠0bc为常数建模思想转化思想类比思想黄金比例黄金分割律据传，这是公元前六世纪古希腊数学家毕达哥拉斯的徒弟希伯斯所发现，后来古希腊哲学家柏拉图将此称为黄金分割。这其实是一个数字的比例关系，即把一条线分为两部分，此时长段与短段之比恰恰等于整条线与长段之比，其数值比为1.618：1或1：0.618，也就是说长段的平方等于全长与短段的乘积。0.618，以严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值。为什么人们对这样的比例，会本能地感到美的存在？其实这与人类的演化和人体正常发育密切相关。据研究，从猿到人的进化过程中，骨骼方面以头骨和腿骨变化最大，躯体外形由于近似黄金而矩形变化最小，人体结构中有许多比例关系接近0.618，从而使人体美在几十万年的历史积淀中固定下来。人类最熟悉自己，势必将人体美作为最高的审美标准，由物及人，由人及物，推而广之，凡是与人体相似的物体就喜欢它，就觉得美。于是