2024年中考数学复习（全国版）专题04 二次根式【八大题型】（举一反三）（解析版）

专题04二次根式【八大题型】TOC\o"1-3"\h\u【题型1二次根式有意义的条件】 1【题型2二次根式的乘除及化简】 3【题型3应用乘法公式计算二次根式的值】 5【题型4二次根式的混合运算】 8【题型5二次根式的估值】 10【题型6二次根式中的开放性试题】 12【题型7二次根式中的规律探究】 13【题型8与二次根式有关的新定义问题】 16【知识点二次根式】1.二次根式的定义一般地，形如(a≥0)的式子叫做二次根式。2.二次根式的基本性质①(a≥0)；②(a≥0)；③(a取全体实数)。3.二次根式的乘除(1)二次根式的乘法：①；②(a≥0，b≥0)。(2)二次根式的除法：①；②(a≥0，b＞0)。4.最简二次根式最简二次根式满足的条件：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。5.二次根式的加减二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。【题型1二次根式有意义的条件】【规律方法】此类问题的解决方法：先根据被开方数（式）大于等于零，列出关于字母的不等式（组），然后求出不等式（组）的解集，即字母的取值范围，若分母中有字母，还要考虑分母不能为零。【例1】（2023·湖南·统考中考真题）使代数式−x2+2x−1有意义的x的取值范围是．【答案】x=1【分析】二次根式a（a≥0），据此即可计算．【详解】解：由题意得，−x∴−x−1∴x−12∴x=1，故答案为：x=1．【点睛】本题主要考查了求含有二次根式的函数的自变量取值范围，掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．【变式1-1】（2023·辽宁·统考中考真题）若1x−3有意义，则实数x的取值范围是【答案】x>3【分析】根据分式有意义的条件，二次根式有意义的条件计算即可．【详解】∵1x−3∴x−3≥0，且解得x＞故答案为：x＞【点睛】本题考查了分式有意义的条件，二次根式有意义的条件，熟练掌握分式有意义的条件，二次根式有意义的条件是解题的关键．【变式1-2】（2023·黑龙江绥化·统考二模）在函数y=1x+3+A．x≥−3 B．x>−3 C．x≠3 D．x>−3且x≠3【答案】D【分析】根据二次根式的被开方数的非负性、分式的分母不能为0、0的0次方没有意义即可得．【详解】由二次根式的被开方数的非负性、分式的分母不能为0、0的0次方没有意义得：x+3>0解得x>−3即自变量x的取值范围是x>−3且x≠3故选：D．【点睛】本题考查了二次根式的被开方数的非负性、分式的分母不能为0、零指数幂的定义，掌握各性质和定义是解题关键．【变式1-3】（2023·广东茂名·校考一模）式子2x+tan45°x−tan45°A．x≥−12且x≠1 B．x≠1 C．x≥−12 【答案】A【分析】先将tan45°【详解】解：∵tan45°=1∴2x+tan∵式子2x+tan∴2x+1≥0x−1≠0解得：x≥−12且故选：A．【点睛】本题主要考查了特殊角度的三角函数值，分式有意义的条件，二次根式有意义的条件，解题的关键是掌握tan45°=1【题型2二次根式的乘除及化简】【例2】（2023·湖南常德·统考模拟预测）计算18÷34A．32 B．43 C．42【答案】C【分析】根据二次根式的乘除法则计算即可．【详解】解：原式=18×故选：C．【点睛】本题考查了二次根式的乘除运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．【变式2-1】（2023·辽宁·统考中考真题）若a=2，b=7，则14【答案】2【分析】本题主要考查了二次根式的性质、二次根式运算等知识，首先根据题意可得a=2>0，【详解】解：∵a=2>0，∴14a故答案为：2．【变式2-2】（2023下·江苏·八年级专题练习）计算ab÷abA．1ab2ab B．1abab【答案】A【分析】本题考查了二次根式的混合运算，利用二次根式的性质进行化简，正确化简二次根式是解题关键．直接利用二次根式的混合运算法则，计算化简即可．【详解】解：a===1故选：A．【变式2-3】（2023·山东潍坊·统考中考真题）从−2、3，6中任意选择两个数，分别填在算式□+○2÷【答案】522−23（或【分析】先利用完全平方公式计算二次根式的乘法，再计算二次根式的除法即可得．【详解】解：①选择−2和3则−==5÷=5②选择−2和6则−==8÷=42③选择3和6，则3==9÷=9故答案为：522−23（或【题型3应用乘法公式计算二次根式的值】【例3】（2023·吉林·统考中考真题）下面是小文同学进行二次根式混合运算的过程，请认真阅读，完成相应的任务：解：3=3−26=5−26=25−12

…第3步=13.

…第4步任务：(1)上述解答过程中，第1步依据的乘法公式为（用字母表示）；(2)上述解答过程，从第步开始出错，具体的错误是；(3)计算的正确结果为．【答案】(1)a±b(2)3，26(3)1【分析】（1）根据完全平方公式即可解答；（2）根据二次根式混合运算的运算顺序和运算法则，逐步进行计算，即可解答；（3）根据二次根式混合运算的运算顺序和运算法则，逐步进行计算，即可解答．【详解】（1）解：第1步依据的乘法公式为a±b2故答案为：a±b2（2）解：3==5−2=25−24，∴第3步计算错误，262=24≠12故答案为：3，26（3）解：解：3==5−2=25−24=1．【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式混合运算的运算顺序和运算法则，以及完全平方公式a±b2=a【变式3-1】（2023·天津·统考中考真题）计算7+67【答案】1【分析】根据平方差公式，二次根式的性质及运算法则处理．【详解】解：7故答案为：1【点睛】本题考查平方差公式、二次根式性质及运算，熟练掌握平方差公式是解题的关键．【变式3-2】（2023·天津河北·统考一模）计算2+322−32【答案】−14【分析】根据平方差公式进行计算即可求解．【详解】解：2+3=4−18=−14．故答案为：−14．【点睛】本题考查了二次根式的乘法，熟练掌握平方差公式是解题的关键．【变式3-3】（2023·四川·统考中考真题）我们知道：乘法公式：a2+2ab+b2=a±b2，则有a2±2ab+b2=a±b，那么我们如何把双重二次根式a±2ba>0，例如：化简3+22∵3=1+2，∴3+22∴3+22=|1+2|=1+2，由此对于任意一个双重二次根式，只要可以化成a±2b的形式且能找到两个数m，nm>0，n>0使得(1)填空：5+26=________；(2)化简：16−415(3)计算：3−5【答案】(1)3+2(2)10(3)3【分析】（1）将被开方数利用完全平方公式变形成完全平方式，利用二次根式化简，即可求得答案；（2）将原式转成16−260，再将16−2（3）将原式化简成6−25【详解】（1）解：5+2612−235故答案为：3+2；（2）解：16−4===10（3）解：3−===3【点睛】本题考查二次根式的计算，考查二次根式的化简，考查计算能力，属于中档题．【题型4二次根式的混合运算】【例4】（2023·甘肃武威·统考中考真题）计算：27÷【答案】6【分析】利用二次根式的混合运算法则计算即可．【详解】解：27=3=12=62【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的混合运算法则是解答本题的关键．【变式4-1】（2023·山东聊城·统考中考真题）计算：48−31【答案】3【分析】先利用二次根式的性质化简，再计算括号内的减法，然后计算二次根式的除法即可．【详解】解：48===3=3故答案为：3．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质和运算法则是解题的关键．【变式4-2】（2023·上海·统考中考真题）计算：3【答案】−6【分析】根据立方根、负整数指数幂及二次根式的运算可进行求解．【详解】解：原式=2+=−6．【点睛】本题主要考查立方根、负整数指数幂及二次根式的运算，熟练掌握立方根、负整数指数幂及二次根式的运算是解题的关键．【变式4-3】（2023·陕西西安·西安市第六中学校考模拟预测）计算：(1)6(2)|−(3)2(4)24【答案】(1)65(2)−(3)5+3(4)47【分析】（1）根据二次根式的混合运算法则求解即可；（2）首先计算立方根和算术平方根，然后计算加减；（3）根据二次根式的混合运算法则和零指数幂运算法则求解即可；（4）根据二次根式的混合运算法则求解即可．【详解】（1）6=3=3=65（2）|−=2−=−1（3）2=6+=5+3（4）24===47【点睛】此题考查了二次根式的混合运算，零指数幂运算，解题的关键是熟练掌握以上运算法则．【题型5二次根式的估值】【例5】（2023·山东临沂·统考中考真题）设m=515−45，则实数A．m<−5 B．−5<m<−4 C．−4<m<−3 D．m>−3【答案】B【分析】根据二次根式的加减运算进行计算，然后估算即可求解．【详解】解：m=515−45∵25=∴−5<−25即−5<m<−4，故选：B．【点睛】本题考查了二次根式的加减运算，无理数的估算，正确的计算是解题的关键．【变式5-1】（2023·山东济南·校考三模）估计43+32×1【答案】67【分析】先利用二次根式的运算法则将原式化简，再对无理数进行估算．【详解】解：43∵4<6<9，∴4<∴2<6∴6<4+6∴估计43故答案为：6，7．【点睛】本题考查二次根式的混合运算，无理数的估算，解题的关键是熟练掌握二次根式的运算法则．【变式5-2】（2023·湖北荆州·统考中考真题）已知k=25+A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】根据二次根式的混合运算进行计算，进而估算无理数的大小即可求解．【详解】解：k=25∵2.52=∴52∴与k最接近的整数为3，故选：B．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，无理数的估算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键．【变式5-3】（2023·河北邯郸·统考三模）如图，数轴上有O，A，B，C，D四点，根据图中各点表示的数，表示数2×12−2

A．点O和A之间 B．点A和B之间 C．点B和C之间 D．点C和D之间【答案】B【分析】根据2×12−2=24−2【详解】解：2×∵16<24<25，∴16<24<∴4−2<24−2<5−2，即∴表示数2×12−2的点会落在点A故选：B．【点睛】本题考查了二次根式的乘法，无理数的估算，实数与数轴等知识，准确的计算并掌握无理数估算的方法是解决本题的关键．【题型6二次根式中的开放性试题】【例6】（2023·湖北黄冈·统考中考真题）请写出一个正整数m的值使得8m是整数；m=．【答案】8【分析】要使8m是整数，则8m要是完全平方数，据此求解即可【详解】解：∵8m是整数，∴8m要是完全平方数，∴正整数m的值可以为8，即8m=64，即8m=故答案为：8（答案不唯一）．【点睛】本题主要考查了二次根式的化简，正确理解题意得到8m要是完全平方数是解题的关键．【变式6-1】（2023·湖南永州·统考中考真题）已知x为正整数，写出一个使x−3在实数的范围内没有意义的x值是．【答案】1（答案不唯一）【分析】根据二次根式有意义的条件，可得当x−3<0时，x−3没有意义，解不等式，即可解答．【详解】解：当x−3<0时，x−3没有意义，解得x<3，∵x为正整数，∴x可取1，2，故答案为：1．【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，熟知根号下的式子小于零时，二次根式无意义，是解题的关键．【变式6-2】（2023·河南南阳·统考二模）写出一个实数x，使x−3是最简二次根式，则x可以是．【答案】5（答案不唯一）【分析】本题主要考查了最简二次根式的定义．【详解】解：x=5时，x−3=5−3=∴x的值可以是5．故答案为：5．（答案不唯一）【点睛】本题主要考查了最简二次根式的定义，解题的关键是熟练掌握最简二次根式的条件，最简二次根式的条件是（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式．【变式6-3】（2023·山东·统考中考真题）如果一个无理数a与8的积是一个有理数，写出a的一个值是．【答案】2（答案不唯一）【分析】8=22，一个无理数a与22的积是有理数，那么即可判断a与2【详解】解：∵8=2∴由题意得一个无理数a与22∴a与2是同类二次根式，答案不唯一．故答案为：2（答案不唯一）【点睛】本题主要考查实数的性质以及同类二次根式的性质，解题的关键是掌握有理数和无理数的基本定义以及同类二次根式的积为有理数即可．【题型7二次根式中的规律探究】【例7】（2023下·安徽·九年级模拟预测）观察下列各式：①1×2×3×4+1=5②2×3×4×5+1=11③3×4×5×6+1=19…(1)观察①②③等式，那么第⑤个等式为；(2)根据上述规律，猜测写出n×n+1n+2n+3+1【答案】(1)5×6×7×8+1(2)n2【分析】（1）根据①②③等式的结果找到规律，再根据规律解答；（2）根据多项式乘多项式的运算法则、完全平方公式解答即可．【详解】（1）（1）因为①1×2×3×4+1=②2×3×4×5+1=③3×4×5×6+1=所以第⑤个等式为：5×6×7×8+1=故答案为：5×6×7×8+1=41（2）nn+1证明如下：n(n+1)(n+2)(n+3)+1=(==(∴nn+1故答案为：n2【点睛】本题考查的是数字的变化规律，掌握完全平方公式是解题的关键．【变式7-1】（2023·湖北黄冈·统考模拟预测）观察下列等式：第1个等式：a1第2个等式：a2第3个等式：a3…根据以上等式给出的规律，计算：a1+a2+【答案】25−1【分析】直接仿照前面三个等式，即可写出第n个等式，根据前面已知a1，a2，a3【详解】解：第n个等式：an∴a==−1+=2【点睛】本题考查了二次根式的分母有理化，发现规律，根据已知等式，找出数字变换规律是解题的关键．【变式7-2】（2023·四川·统考中考真题）观察下列各式及其验证过程：2+23=223（1）按照上述两个等式及其验证过程，猜想4+4（2）针对上述各式反映的规律，直接写出用a（a≥2的整数）表示的等式．【答案】（1）4415；（2）【分析】（1）通过观察，不难发现：等式的变形过程利用了二次根式的性质a=a2（2）根据上述变形过程的规律，即可推广到一般，表示左边的式子时，注意根号外的和根号内的分子、分母之间的关系：根号外的和根号内的分子相同，根号内的分子是分母的平方减去1．【详解】解：（1）4+验证：4+（2）a+aa【点睛】本题从最简单的二次根式的变形入手，层层递进，经过归纳，猜想出n次根式变形的结论，考查了我们探索规律的能力，掌握验证从特殊到一般的学习方法．【变式7-3】（2023·内蒙古·统考中考真题）观察下列各式：S1=1+11请利用你所发现的规律，计算：S1+【答案】505051【分析】直接根据已知数据变化规律进而将原式变形求出答案．【详解】S=1+=50+(1−=5050故答案为：5050【点睛】本题考查数字变化规律，正确将原式变形是解题的关键．【题型8与二次根式有关的新定义问题】【例8】（2023·湖南娄底·统考一模）定义一种运算：cosα+β=cosαcosβ−sinαsinβ，A．6+24 B．6−24【答案】B【分析】根据cosα+β=cos【详解】解：由题意可得，cos75°=cos=cos=3=6=6故选：B．【点睛】本题考查解直角三