2024年中考数学复习（全国版）专题03 分式【八大题型】（举一反三）（解析版）

专题03分式【八大题型】【人教版】TOC\o"1-3"\h\u【题型1分式有、无意义的条件】 2【题型2分式的值为0的条件】 4【题型3分式的基本性质的运用】 5【题型4分式的运算】 6【题型5分式的化简求值】 8【题型6分式运算的实际应用】 10【题型7分式中的规律探究】 14【题型8与分式运算有关的新定义问题探究】 17【知识点分式】1.分式的定义一般地，如果A.B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子AB注：A.B都是整式，B中含有字母，且B≠0。2.分式的基本性质分式的分子与分母乘(或除以)同一个不等于0的整式，分式的值不变。；（C≠0）。3.分式的约分和通分定义1：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。定义2：分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式。定义3：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分。定义4：各分母的所有因式的最高次幂的积叫做最简公分母。4.分式的乘除①乘法法则：。分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。②除法法则：。分式除以分式，把除式的分子.分母颠倒位置后，与被除式相乘。③分式的乘方：。分式乘方要把分子.分母分别乘方。④整数负指数幂：。5.分式的加减同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减；异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减。①同分母分式的加减：；②异分母分式的加法：。注：不论是分式的哪种运算，都要先进行因式分解。【题型1分式有、无意义的条件】【例1】（2023·吉林·统考中考真题）若代数式1x−2在实数范围内有意义，则x的取值范围是（

）A．x≤2 B．x>2 C．x≥2 D．x<2【答案】B【分析】根据二次根式和分式有意义的条件即可求得答案．【详解】解：由题意可得x−2>0，解得：x>2，故选：B．【点睛】本题考查二次根式及分式有意义的条件，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．【变式1-1】（2023·湖北·统考中考真题）若x=−1使某个分式无意义，则这个分式可以是（

）A．x−12x+1 B．2x+1x+1 C．2x−1x−1【答案】B【分析】根据分式无意义分母为零即可判断．【详解】A、当x＝−1时，分母2x＋1＝−1≠0，所以分式x−12x+1B、当x＝−1时，分母x＋1＝0，所以分式2x+1x+1C、当x＝−1时，分母x-1=-2≠0，所以分式2x−1x−1D、当x＝−1时，分母2x+1＝-1≠0，所以分式x+12x+1故选：B．【点睛】本题考查了分式有(无)意义的条件．从以下三个方面透彻理解分式的概念：（1）分式无意义⇔分母为零；（2）分式有意义⇔分母不为零；（3）分式值为零⇔分子为零且分母不为零．【变式1-2】（2023·黑龙江绥化·统考中考真题）若式子x+5x有意义，则x的取值范围是【答案】x≥−5且x≠0/x≠0且x≥−5【分析】根据分母不为零，二次根式的被开方数是非负数，列出不等式计算即可．【详解】∵式子x+5x∴x+5≥0且x≠0，∴x≥−5且x≠0，故答案为：x≥−5且x≠0．【点睛】本题考查了分母不为零，二次根式的被开方数是非负数，熟练掌握二次根式和分式有意义的条件是解题的关键．【变式1-3】（2023·四川·统考中考真题）使式子1x+3+4−3x在实数范围内有意义的整数xA．5个 B．3个 C．4个 D．2个【答案】C【详解】∵式子1x+3∴x+3>0，4−3x≥0，解得：−3<x≤又∵x要取整数值，∴x的值为：-2、-1、0、1.即符合条件的x的值有4个.故选C.【题型2分式的值为0的条件】【例2】（2023·四川凉山·统考中考真题）分式x2−xx−1的值为0，则xA．0 B．−1 C．1 D．0或1【答案】A【分析】根据分式值为0的条件进行求解即可．【详解】解：∵分式x2∴x2解得x=0，故选A．【点睛】本题主要考查了分式值为0的条件，熟知分式值为0的条件是分子为0，分母不为0是解题的关键．【变式2-1】（2023·浙江湖州·统考中考真题）若分式x−13x+1的值为0，则x的值是（

A．1 B．0 C．−1 D．−3【答案】A【分析】分式的值等于零时，分子等于零，且分母不等于零．【详解】解：依题意得：x−1=0且3x+1≠0，解得x=1．故选：A．【点睛】本题考查了分式的值为零的条件．分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．【变式2-2】（2023·浙江金华·统考一模）已知分式满足条件“只含有字母x，且当x=0时分式的值为0”，请写出一个这样的分式．【答案】xx+1【分析】根据分式值为0的条件：分子=0，分母≠0；即可进行解答．【详解】解：“只含有字母x，且当x=0时分式的值为0”的分式为xx+1故答案为：xx+1【点睛】本题主要考查了分式值为0的条件，解题的关键是掌握分式值为0的条件：分子=0，分母≠0．【变式2-3】（2023·山东枣庄·校考一模）若分式x−3x2−x−6的值为0，则A．3 B．−3 C．±3 D．3或−2【答案】B【分析】根据分式的值为0，得出分子为0，分母不为0，即可求解．【详解】解：∵分式x−3x∴x−3=0，且x解得：x=±3，当x=3时，x2当x=−3时，x2∴x=−3，故选：B．【点睛】本题考查了分式的值为0的条件，熟练掌握分式的值为0的条件是解题的关键．【题型3分式的基本性质的运用】【规律方法】分式化简的方法：寻找分子、分母的最大公因式；根据分式的基本性质，分子、分母同时乘以（或除以）最大公因式，分式的值不变。【例3】（2023·河北·统考中考真题）若a≠b，则下列分式化简正确的是（

）A．a+2b+2=ab B．a−2b−2=【答案】D【分析】根据a≠b，可以判断各个选项中的式子是否正确，从而可以解答本题．【详解】∵a≠b，∴a+2b+2a−2b−2a212故选：D．【点睛】本题考查分式的基本性质，解答本题的关键是明确分式基本性质．【变式3-1】（2023·湖南·中考真题）若aa−a2=1A．a>0且a≠1 B．a≤0 C．a≠0且a≠1 D．a<0【答案】D【分析】直接利用分式与绝对值的基本性质，结合化简后结果得出a的取值范围．【详解】解：∵|a|a−∴|a|a−∴a<0，故选：D．【点睛】此题主要考查了分式的基本性质，正确结合最后结果得出a的符号是解题关键．【变式3-2】（2023·山东济南·中考真题）若x，y的值均扩大为原来的3倍，则下列分式的值保持不变的是（）A．2+xx−y B．2yx2 C．2【答案】D【分析】根据分式的基本性质，x，y的值均扩大为原来的3倍，求出每个式子的结果，看结果等于原式的即是答案．【详解】根据分式的基本性质，可知若x，y的值均扩大为原来的3倍，A、2+3x3x−3yB、6y9C、54yD、18y故选：D．【点睛】本题考查的是分式的基本性质，熟记分式的基本性质是解题的关键.【变式3-3】（2023·安徽芜湖·统考二模）化简：a2−2a+11−【答案】1−a【分析】根据完全平方公式、平方差公式把分式的分子、分母因式分解，再约分即可．【详解】解：原式==1−a故答案为：1−a1+a【点睛】本题考查的是分式的约分，约分时，分子与分母都必须是乘积式，如果是多项式的，必须先分解因式．【题型4分式的运算】【例4】（2023·内蒙古赤峰·统考中考真题）化简4x+2+x−2的结果是（A．1 B．x2x2−4 C．【答案】D【分析】根据分式的加减混合运算法则即可求出答案．【详解】解：4==x故选D．【点睛】本题考查了分式的化简，解题的关键在于熟练掌握分式加减混合运算法则．【变式4-1】（2023·贵州·统考中考真题）化简a+1a−1A．1 B．a C．1a D．【答案】A【分析】根据同分母分式加减运算法则进行计算即可．【详解】解：a+1a故选：A．【点睛】本题主要考查了分式加减，解题的关键是熟练掌握同分母分式加减运算法则，准确计算．【变式4-2】（2023·黑龙江绥化·统考中考真题）化简：x+2x2【答案】1x−2/【分析】先根据分式的加减计算括号内的，同时将除法转化为乘法，再根据分式的性质化简即可求解．【详解】解：x+2===1故答案为：1x−2【点睛】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键．【变式4-3】（2023·湖北·统考中考真题）关于式子x2−9xA．当x=3时，其值为0 B．当x=−3时，其值为C．当0<x<3时，其值为正数 D．当x<0时，其值为负数【答案】A【分析】根据分式的乘除法法则.平方差公式.完全平方公式对分式进行化简，再根据化简后的分式对选项一一进行分析，即可得出答案．【详解】解：x==x−3A.当x=3时，原式=B.当x=−3时，分母x+3=−3+3=0，原式没有意义，不能计算求值，故该说法不正确，不符合题意；C.当0<x<3时，则x−3<0，∴x−3xD.当x<0时，则x−3<−3，∴x−3x故选：A【点睛】本题考查了分式有意义的条件.分式的乘除法.平方差公式.完全平方公式，解本题的关键在正确对分式进行化简．分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作积的分子，分母的积作积的分母；分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子.分母颠倒位置后，与被除式相乘．【题型5分式的化简求值】【例5】（2023·福建·统考中考真题）已知1a+2b=1，且a≠−b【答案】1【分析】根据1a+2b=1可得b+2a=ab，即ab−a=b+a【详解】解：∵1∴b+2aab∴b+2a=ab，即ab−a=b+a．∴ab−aa+b【点睛】本题主要考查了分式的加减运算，根据分式的加减运算法则得到ab−a=b+a是解答本题的关键．【变式5-1】（2023·山东烟台·统考中考真题）先化简，再求值：a2−6a+9a−2÷a+2+【答案】a−3a+3；【分析】先根据分式混合运算法则进行化简，然后求出不等式的解集，得出正整数a的值，再代入数据计算即可．【详解】解：a====a−3解不等式a−12≤1得：∵a为正整数，∴a=1，2，3，∵要使分式有意义a−2≠0，∴a≠2，∵当a=3时，a+2+5∴a≠3，∴把a=1代入得：原式=1−3【点睛】本题主要考查了分式化简求作，分式有意义的条件，解不等式，解题的关键是熟练掌握分式混合运算法则，准确计算．【变式5-2】（2023·四川攀枝花·统考中考真题）已知x−yy=2，求【答案】1【分析】由x−yy=2可知【详解】解：由x−yy=2可知∴1=====1．【点睛】本题主要考查分式的化简求值，熟练掌握分式的运算是解题的关键．【变式5-3】（2023·四川成都·统考中考真题）若3ab−3b2−2=0，则代数式1−【答案】2【分析】根据分式的化简法则，将代数式化简可得ab−b2，再将【详解】解：1−2ab−=a=a−b=ab−b∵3ab−3b∴3ab−3b∴ab−b故原式的值为23故答案为：23【点睛】本题考查了分式的化简法则，整式的整体代入，熟练对代数式进行化简是解题的关键．【题型6分式运算的实际应用】【例6】（2023·河北廊坊·统考二模）a克糖放入水中，得到b克糖水，此时糖水的浓度为是ab(1)再往杯中加入mm>0(2)请证明（1）中的数学关系式．【答案】(1)m+a(2)见解析【分析】（1）先表示出入mm>0克糖后，糖水的浓度为：m+am+b，根据糖水变甜，浓度变大，得出（2）理由作差法进行证明即可．【详解】（1）解：再往杯中加入mm>0克糖后，糖水的浓度为：m+a∵糖水变甜了，即糖水的浓度变大了，∴m+am+b故答案为：m+am+b（2）证明：m+a===m∵b>a>0，m>0，∴mb−a>0，∴mb−a∴m+am+b【点睛】本题主要考查了列代数式，分式加减的应用，解题的关键是熟练掌握分式混合运算法则，准确计算．【变式6-1】（2023·福建福州·校考模拟预测）福州的市花是茉莉花．“飘香1号”茉莉花实验种植基地是边长为a米(a>1)的正方形去掉一块边长为1米的正方形蓄水池后余下的部分，“飘香2号”茉莉花实验种植基地是边长为a−1米的正方形，两块实验种植基地的茉莉花都收获了300千克．请说明哪种茉莉花的单位面积产量更高？【答案】“飘香2号”茉莉花单位面积产量更高，见解析【分析】先表示出两种茉莉花的单位面积产量，利用求差法比较大小即可．．【详解】根据题意，“飘香1号”茉莉花单位面积产量为300a2−∵300∴“飘香2号”茉莉花单位面积产量更高．【点睛】本题考查了分式的混合运算：先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的．【变式6-2】（2023·江苏·统考中考真题）小王和小张的加油习惯不同，小王每次加油都说“师傅，给我加300元的油”（油箱未加满）．而小张则说：“师傅，帮我把油箱加满！”，现实生活中油价常有变动，现以两次加油为例来研究，谁的两次加油平均单价低，谁的加油方式就省钱．设小王和小张第一次加油油价为x元/升，第二次加油油价为y元/升．(1)用含x，y的代数式表示分别表示小王和小张两次所加油的平均单价；(2)小王和小张的两种加油方式中，谁的加油方式更省钱？用所学数学知识说明理由，【答案】(1)小王两次所加油的平均单价为2xyx+y元/升；小张两次加油的平均单价为x+y(2)小王的加油方式更省钱，见详解；【分析】（1）根据加油量=费用÷油的单价，平均单价=两次加油花的钱÷两次加油的总量列代数式即可；（2）用小王的平均油价减去小张的平均油价，如果大于0则小张的省钱，如果小于0则小王的省钱，等于0则费用一样；【详解】（1）解：小王两次所加油的平均单价为：300+300300设小张油箱加满能加a升．小张两次加油的平均单价为ax+aya+a（2）解：2xyx+y∵2x+y>0，∴当x=y时，−x−y22两种加油方式的平均单价相同；当x≠y时，即−x−y22小王加油的平均单价低，小王的加油方式更省钱．【点睛】本题考查分式方程的实际应用；作差法比较两个实数的大小：对于任意两个实数a，b，若a－b＞0则a＞b；若a－b=0则a=b；若a－b＜0则a＜b．【变式6-3】（2023·浙江杭州·模拟预测）甲､乙两人同时从A地出发到B地，距离为100千米．（1）若甲从A地出发，先以20千米/小时的速度到达中点，再以25千米/小时的速度到达B地，求走完全程所用的时间．（2）若甲从A地出发，先以12V千米/小时的速度到达中点，再以2V千米/小时的速度到达B地．乙从A地出发到B地的速度始终保持V千米/小时不变，请问甲､乙谁先到达（3）若甲以a千米/时的速度行走x小时，乙以b千米/时的速度行走x小时，此时甲距离终点为100−ax千米，乙距离终点为100−bx千米．分式100−ax100−bx对一切有意义的x值都有相同的值，请探索a，b【答案】（1）4.5小时；（2）乙先到；（3）a，b应满足的条件是a=b．【分析】（1）根据“时间=路程÷速度”分别求出两段路程的时间，再求和即可得；（2）根据“时间=路程÷速度”分别求出甲、乙走完全程所用的时间，再比较大小即可得；（3）设100−ax100−bx=k，从而可得【详解】（1）由题意得：t=100=2.5+2，=4.5（小时），答：走完全程所用的时间为4.5小时；（2）甲走完全程所用的时间为1002乙走完全程所用的时间为100V因为100V所以乙先到；（3）设100−ax100−bx=k，则整理得：100−100k+(kb−a)x=0，∵分式100−ax100−bx对一切有意义的x∴k的值与x的取值无关，∴kb−a=0，即a=kb，∴100−100k=0，解得k=1，∴a=b，故a，b应满足的条件是a=b．【点睛】本题考查了分式加减的应用等知识点，依据题意，正确列出各运算式子是解题关键．【题型7分式中的规律探究】【例7】（2023·安徽·中考真题）观察以下等式：第1个等式：11第2个等式：12第3个等式：13第4个等式：14第5个等式：15……按照以上规律，解决下列问题：（1）写出第6个等式：__________；（2）写出你猜想的第n个等式：___________(用含n的等式表示)，并证明．【答案】（1）16+5【分析】（1）根据观察到的规律写出第6个等式即可；（2）根据观察到的规律写出第n个等式，然后根据分式的运算对等式的左边进行化简即可得证．【详解】（1）观察可知第6个等式为：16故答案为：16（2）猜想：1n证明：左边=1n+n−1n+1+右边=1，∴左边=右边，∴原等式成立，∴第n个等式为：1n故答案为1n【点睛】本题考查了规律题，通过观察、归纳、抽象出等式的规律与序号的关系是解题的关键．【变式7-1】（2023·山东·中考真题）观察下列各式：a1=23【答案】n【分析】观察发现，每一项都是一个分数，分母依次为3、5、7，…，那么第n项的分母是2n+1；分子依次为2，3，10，15，26，…，变化规律为：奇数项的分子是n2+1，偶数项的分子是n2-1，即第n项的分子是n2+（-1）n+1；依此即可求解．【详解】解：由分析得an故答案为：a【点睛】本题考查学生通过观察、归纳、抽象出数列的规律的能力，要求学生首先分析题意，找到规律，并进行推导得出答案．【变式7-2】（2023·湖北恩施·统考一模）对于正数x，规定fx=x1+x，例如：f2=21+2=2【答案】4045【分析】根据fx=x【详解】解：∵fx∴fx+f1∴f+f2022故答案为：40452【点睛】本题考查分式化简求值及规律，解题的关键是得到fx【变式7-3】（2023·安徽合肥·合肥市第四十二中学校考模拟预测）观察下列各式：①12+22+③32+42+……

……；按照以上规律，解决下列问题：(1)写出第6个等式：________；(2)写出你猜想的第n个等式：________（用含n的等式表示），并证明.【答案】(1)6(2)n2【分析】（1）观察每个式子右边都等于2，左边分子、分母共有三项相加，第n个式子的前两项是n2，n+12，分子第三项是2n+12（2）根据解析（1）发现的规律写出第n个式子即可；根据分式性质化简分式即可．【详解】（1）解：第6个等式为62故答案为：62（2）解：第n个等式为n2左边====2=右边．故答案为：n2【点睛】本题是一道找规律的题，主要考查了分式的化简，用代数式表示数字规律，解题的关键是如何用一个统一的式子表示出分式的规律．【题型8与分式运算有关的新定义问题探究】【例8】（2023·浙江杭州·模拟预测）规定一种新的运算“x→+∞JXAB”，其中A和B是关于x的多项式，当A的次数小于B的次数时．x→+∞JXAB=0；当A的次数等于B的次数时，x→+∞JXAB的值为A、B的最高次项的系数的商，当A的次数大于B的次数时，x→+∞JX【答案】1【分析】根据已知条件，化简分式即可求出答案．【详解】解：∵A=(=(=x+1∵A的次数等于B的次数，∴JXx→+∞故答案为：12【点睛】本题考查了分式的混合运算，熟练分解因式是解题的关键．【变式8-1】（2023·河北·统考二模）对于代数式a，b，c，d规定一种运算：abcd=aA．x2 B．x+1x C．x+1【答案】D【分析】根据题目规定的运算法则来进行计算，然后化简即可．【详解】解：∵∴故选：D．【点睛】本题考查了新定义运算，充分理解题目规定的运算法则来进行计算是解此题的关键．【变式8-2】（2023·江苏盐城·统考一模）定义：若两个分式的和为n（n为正整数），则称这两个分式互为“N⊕分式”．例如.分式3x+1与3x(1)分式12+x3+2x(2)若分式aa+4b2与2ba2+2b互为“一⊕分式