2024年中考数学复习（全国版）第13讲 二次函数图象与性质（讲义）（解析版）

第13讲二次函数的图象与性质目录TOC\o"1-3"\n\h\z\u一、考情分析二、知识建构考点一二次函数的相关概念题型01判断函数类型题型02判断二次函数题型03已知二次函数的概念求参数值题型04利用待定系数法求二次函数的解析式类型一一般式类型二顶点式类型三交点式考点二二次函数的图象与性质题型01根据二次函数解析式判断其性质题型02将二次函数的一般式化为顶点式题型03二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质题型04利用五点法绘二次函数图象题型05二次函数平移变换问题题型06已知抛物线对称的两点求对称轴题型07根据二次函数的对称性求函数值题型08根据二次函数的性质求最值题型09根据二次函数的对称性求字母的取值范围题型10根据二次函数的最值求字母的取值范围题型11根据规定范围二次函数自变量的情况求函数值的取值范围题型12根据二次函数的增减性求字母的取值范围考点三二次函数与各项系数之间的关系题型01根据二次函数图象判断式子符号题型02二次函数图象与各项系数符号题型03二次函数、一次函数综合题型04二次函数、一次函数、反比例函数图象综合题型05两个二次函数图象综合考点四二次函数与方程、不等式题型01求二次函数与坐标轴交点坐标题型02求二次函数与坐标轴交点个数题型03抛物线与x轴交点问题题型04根据二次函数图象确定相应方程根的情况题型05图象法确定一元二次方程的近似根题型06求x轴与抛物线的截线长题型07图象法解一元二次不等式题型08根据交点确定不等式的解集题型09二次函数与斜三角形相结合的应用方法

考点要求新课标要求命题预测二次函数的相关概念通过对实际问题的分析，体会二次函数的意义.二次函数作为初中三大函数中考点最多，出题最多，难度最大的函数，一直都是各地中考数学中最重要的考点，年年都会考查，总分值为15-20分，预计2024年各地中考还会考.而对于二次函数图象和性质的考察，也主要集中在二次函数的图象、图象与系数的关系、与方程及不等式的关系、图象上点的坐标特征等几大方面.题型变化较多，考生复习时需要熟练掌握相关知识，熟悉相关题型，认真对待该考点的复习.二次函数的图象与性质能画二次函数的图象，通过图象了解二次函数的性质，知道二次函数系数与图象形状和对称轴的关系.会求二次函数的最大值或最小值，并能确定相应自变量的值，能解决相应的实际问题.二次函数与各项系数的关系理解二次函数与各项系数的关系.二次函数与方程、不等式知道二次函数和一元二次方程之间的关系，会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解.考点一二次函数的相关概念二次函数的概念：一般地，形如y=ax²+bx+c(其中a、b、c是常数，a≠0)的函数叫做二次函数.其中，x是自变量，a、b、c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项.二次函数的结构特征：1）函数关系式是整式；2）自变量的最高次数是2；3）二次项系数a≠0，而QUOTEb ，  cb，c根据实际问题列二次函数关系式的方法：1）先找出题目中有关两个变量之间的等量关系；2）然后用题设的变量或数值表示这个等量关系；3）列出相应二次函数的关系式.二次函数的常见表达式：名称解析式前提条件一般式y=ax²+bx+c(a≠0)当已知抛物线上的无规律的三个点的坐标时,常用一般式求其表达式.顶点式y＝a(x–h)²＋k（a，h，k为常数，a≠0），顶点坐标是（h，k）当已知抛物线的顶点坐标(或者是对称轴)时，常用顶点式求其表达式.交点式y＝a（x–x1）（x–x2）(a≠0)其中x1，x2是二次函数与x轴的交点的横坐标，若题目已知抛物线与x轴两交点坐标时，常用交点式求其表达式.相互联系1）以上三种表达式是二次函数的常见表达式，它们之间可以互相转化.2)一般式化为顶点式、交点式，主要运用配方法、因式分解等方法.二次函数的特殊形式：二次函数的特殊形式：1)当b＝0时，y＝ax²＋c（a≠0）2)当c＝0时，y＝ax²＋bx（a≠0）3)当b＝0，c＝0时，y＝ax²（a≠0）题型01判断函数类型【例1】（2022·北京·统考一模）线段AB=5．动点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿线段AB运动至点B，以线段AP为边作正方形APCD，线段PB长为半径作圆．设点的运动时间为t，正方形APCD周长为y，⊙B的面积为S，则y与t，S与t满足的函数关系分别是（

）A．正比例函数关系，一次函数关系 B．一次函数关系，正比例函数关系C．正比例函数关系，二次函数关系 D．反比例函数关系，二次函数关系【答案】C【分析】根据题意分别列出与，与的函数关系，进而进行判断即可．【详解】解：依题意：AP=t，BP=5-t,故y=4t，S=（5-t）2故选择：C【点睛】本题考查了列函数表达式，正比例函数与二次函数的识别，根据题意列出函数表达式是解题的关键．【变式1-1】（2021上·北京海淀·九年级统考期中）如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=5，BC=10，动点M、N分别从A、C两点同时出发，点M从点A开始沿边AC向点C以每秒1个单位长的速度移动，点N从点C开始沿CB向点B以每秒2个单位长的速度移动．设运动的时间为t，点M、C之间的距离为y，△MCN的面积为S，则y与t，S与A．正比例函数关系，一次函数关系 B．正比例函数关系，二次函数关系C．一次函数关系，正比例函数关系 D．一次函数关系，二次函数关系【答案】D【分析】求出y与t，S与t满足的函数关系式，再根据函数的类型进行判断即可．【详解】解：由题意得，AM＝t，CN＝2t，∴MC＝AC−AM＝5−t，即y＝5−t，∴S＝12MC•CN＝5t−t2因此y是t的一次函数，S是t的二次函数，故选：D．【点睛】本题考查一次函数、二次函数，理解一次函数、二次函数的意义是正确解答的前提，求出y与t，S与t的函数关系式是正确判断的关键．【变式1-2】（2023·北京·统考二模）如图，某小区有一块三角形绿地ABC，其中∠B=90°，AB=BC．计划在绿地上建造一个矩形的休闲书吧PMBN，使点P，M，N分别在边AC，BC，AB上．记PM=xm，PN=ym，图中阴影部分的面积为Sm2．当x在一定范围内变化时，y和S都随

A．一次函数关系，二次函数关系 B．一次函数关系，反比例函数关系C．二次函数关系，一次函数关系 D．反比例函数关系，二次函数关系【答案】A【分析】先求出∠A=∠C=45°，再证明△PCM、△APN都是等腰直角三角形，从而推出y=−x+BC，S=1【详解】解：∵∠B=90°，∴∠A=∠C=45°，∵四边形PMBN是矩形，∴∠PMB=∠PMC=∠PNB=∠PNA=90°，PN=BM，∴△PCM、△APN都是等腰直角三角形，∴CM=PM，∴PM+PM=CM+BM=BC，即x+y=BC，∴y=−x+BC，S=∴S=1∴y与x，S与x满足的函数关系分别是一次函数关系，二次函数关系，故选A．【点睛】本题主要考查了矩形的性质，等腰直角三角形的性质与判定，列函数关系式，二次函数的定义等等，正确求出对应的函数关系式是解题的关键．题型02判断二次函数【例2】（2023·山东济宁·校联考三模）以下函数式二次函数的是（

）A．y=ax2+bx+c B．C．y=ax2【答案】D【分析】根据二次函数的定义：一般地，形如y=ax2+bx+c（a、b、c【详解】解：A、当a=0时，y=axB、由y=2x−12−4C、该等式的右边是分式，不是整式，不符合二次函数的定义，故本选项错误；D、由原函数解析式得到y=x应选：D．【点睛】此题考查了二次函数的定义，掌握定义，会根据定义进行判断是解题的关键．【变式2-1】（2023·辽宁鞍山·统考一模）下列函数是二次函数的是（

）A．y=x+13 B．y=ax2+bx+c 【答案】C【分析】二次函数的解析式必须是含自变量的整式，二次项系数不为0．【详解】解：A、y=x+1B、y=ax2+bx+cC、y=3x−1D、y=3x是正比例函数，故本选项不符合题意；故选：C．【点睛】解题关键是掌握二次函数的定义及条件：二次函数y=ax2+bx+c的定义条件是：a、b、c【变式2-2】（2023·广东云浮·校考一模）关于x的函数y=a−bx2A．a≠b B．a=b C．b=0 D．a=0【答案】A【分析】根据二次函数的定义，直接求解即可得到答案；【详解】解：∵y=a−b∴a−b≠0，解得：a≠b，故选A．【点睛】本题考查二次函数的条件，二次函数二次项系数不为0．判断一个函数是不是二次函数的方法：在关系式是整式的前提下，如果把关系式化简、整理(去括号、合并同类项)后，能写成y=ax²+bx+c(a≠0)的形式，那么这个函数就是二次函数，否则,它就不是二次函数.题型03已知二次函数的概念求参数值【例3】（2022·山东济南·模拟预测）若y=m2+mxmA．−1 B．0 C．2 D．−1或2【答案】C【分析】根据二次函数的定义求解即可，形如y=ax【详解】解：y=m2+mx由m2−m=2可得m=2或由m2+m≠0可得m≠0，综上m=2故答案为：C【点睛】此题考查了二次函数的定义，涉及了一元二次方程的求解，解题的关键是掌握二次函数的定义．题型04利用待定系数法求二次函数的解析式类型一一般式【例4】（2023·陕西西安·高新一中校考三模）二次函数=ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）中x与yx−1013y−1353①ac<0②当x>1时，y的值随x值的增大而减小；③4是方程ax④当−1<x<3时，aA．4个 B．3个 C．2个 D．1个【答案】B【分析】利用待定系数法先求解抛物线的解析式为：y=−x2+3x+3；可得ac<0，可判①；根据函数的对称轴为直线x=32，函数图象开口向下，可得当x≥32时，y的值随x值的增大而减小；可得②不符合题意；由ax2+b−2x+c+9=0可化为x2−x−12=0，可判断【详解】解：当x=0时，y=3，则c=3；当x=−1时，y=−1；当x=1则有a−b+3=−1a+b+3=5∴a=−1∴y=−x①ac<0，故①符合题意；②函数的对称轴为直线x=3∴当x≥32时，y的值随x值的增大而减小；故③ax2+∴x=4或x=−3；故③符合题意；④ax∴x=3或x=∴当−1<x<3时，ax2+故选：B．【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数的图象与性质，熟练的掌握二次函数的图象与性质进而作出准确的判断是解本题的关键．【变式4-1】（2023·天津河北·统考三模）二次函数y=ax2+bx+c（a，b，cx…−2−1012…y=a…1m−2−2n…且当x=−12时，与其对应的函数值y>0，有下列结论：①abc<0；②−2和3是关于x的方程ax²+bx+c=1的两个根，A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【分析】①用待定系数法求出函数解析式，得出a、b、c的值，即可判定①；②把x=−2，x=3代入ax²+bx+c=1，看左右两边是否相等，可判定②；③把x=−1，y=m，x=2，y=n，代入y=12x2−12x−2，求出【详解】解：由表格可知：x=−2，y=1，x=0，y=−2，x=1，y=−2，分别代入y=ax4a−2b+c=1c=−2a+b+c=−2，解得：∴y=1∴abc=1故①错误；把x=−2代入方程12左边=12×∴左边=右边把x=3代入方程12左边=12×∴左边=右边∴−2和3是关于x的方程ax故②正确；把x=−1，y=m，代入y=1m=1把x=2，y=n，代入n=1n=∴m+n=0−2=−2<0，故③错误；故选：B．【点睛】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数图象上点的特征，能够从表格中获取信息确定出对称轴是解题的关键．【变式4-2】（2023·浙江·一模）已知二次方程x2+bx+c=0的两根为−1和5，则对于二次函数y=xA．当x=2时，函数的最大值是9． B．当x=−2时，函数的最大值是9．C．当x=2时，函数的最小值是−9． D．当x=−2时，函数的最小值是−9．【答案】C【分析】根据二次方程x2+bx+c=0的两根为−1和5，求出b，【详解】解：∵二次方程x2+bx+c=0的两根为∴1−b+c=025+5b+c=0解得b=−4c=−5∴二次函数y=x∵1>0，∴当x=2时，y有最小值，最小值为−9，故选：C．【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点，二次函数的最值，关键是求函数解析式．类型二顶点式【例5】（2023·江西抚州·金溪一中校考模拟预测）一个二次函数的图象与抛物线y=3x2的形状相同，且顶点为1，【答案】y=3x2【分析】根据题意，可设该二次函数的解析式为y=±3x−ℎ2+k【详解】解：∵一个二次函数的图象与抛物线y=3x∴可设该二次函数的解析式为y=±3x−ℎ∵该二次函数的顶点为1，∴该二次函数的解析式为y=±3x−1∴该二次函数的解析式为y=3x2−6x+7故答案为：y=3x2−6x+7【点睛】本题考查了利用待定系数法求函数解析式，理解图象形状相同的两个二次函数其二次项系数的绝对值相等是解题关键．【变式5-1】（2022上·江苏南京·九年级统考期末）已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像的顶点坐标为（1，m），与y轴的交点为（0，m－2），则a的值为．【答案】－2【分析】利用待定系数法求解函数解析式即可求解．【详解】解：根据题意，设该二次函数的解析式为y=a(x－1)2+m，将（0，m－2）代入得：a+m=m－2，解得：a=－2，故答案为：－2．【点睛】本题考查待定系数法求解二次函数解析式，熟练掌握待定系数法求解函数解析式的方法步骤，设为顶点式求解是解答的关键．类型三交点式【例6】（2023·江苏扬州·统考二模）已知：二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点−1,0、3,0和0,3，当x=2时，y【答案】3【分析】根据题意可得交点式y=ax−3x+1，然后把0,3代入求出【详解】解：∵二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点∴抛物线的解析式为y=ax−3把0,3代入得：−3a=3，解得：a=−1，∴函数的解析式为y=−x−3即y=−x∴当x=2时，y=−2故答案为：3．【点睛】本题考查了求二次函数解析式，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题关键．【变式6-1】（2022·安徽宿州·校考模拟预测）已知抛物线y=ax2+bx+ca<0与x轴交于点A−1,0和B3,0，与（1）抛物线的顶点坐标为．（2）点M，N是抛物线上的两个动点，且这两个点之间的水平距离为定值s1≤s≤2，设h为点M，N的纵坐标之和的最大值，则h的最大值为【答案】1,47.5/15【分析】（1）先用待定系数法求得抛物线的解析式，然后化成顶点式，即可写出抛物线的顶点坐标．（2）先设出点M、N的横坐标，然后表示出两点纵坐标之和，再求二次函数的最值，并结合s的取值范围即可确定h的最大值．【详解】（1）解：∵抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点∴设y=a(x+1)(x−3)，将点C(0,3)代入得：3=a(0+1)(0−3)解得：a=−1∴函数的表达式是：y=−(x+1)(x−3)=−化为顶点式：y=−∴抛物线的顶点坐标为1,4故答案为：1,4（2）如图．

依据题意，点M、点N均在抛物线y=−x故设点M则：ℎ=−整理成关于t为自变量的二次函数得：ℎ=−2当t=2−s2时，ℎ∵1≤s≤2，∴s=1时，h最大，此时ℎ此时t=2−s2故答案为：7.5【点睛】本题考查了求二次函数的解析式、顶点坐标、最大值，解题的关键是熟练掌握二次函数的最大值求法．求二次函数解析式的一般方法：1）一般式y=ax2+bx+c.代入三个点的坐标列出关于a,b,c的方程组，并求出a,b,c，就可以写出二次函数的解析式.2）顶点式y=a(x-h)2+k.根据顶坐标点（h,k)，可设顶点式y=a(x-h)2+k,再将另一点的坐标代入，即可求出a的值，从而写出二次函数的解析式.3）交点式y=a(x-x1)(x-x2).当抛物线与x轴的两个交点为(x1,0)、(x2,0)时，可设y=a(x-x1)(x-x2)，再将另一点的坐标代入即可求出a的值，从而写出二次函数的解析式.考点二二次函数的图象与性质一、二次函数的图象与性质图象特征二次函数的图象是一条关于某条直线对称的曲线，这条曲线叫抛物线，该直线叫做抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点.基本形式y=ax2y=ax2+ky=a(x-h)2y=a(x-h)2+ky=ax2+bx+c图象a>0a<0对称轴y轴y轴x=hx=hx=−顶点坐标(0，0)(0，k)(h，0)(h，k)(−b2a，最值a>0开口向上，顶点是最低点，此时y有最小值；a<0开口向下，顶点是最高点，此时y有最大值.【小结】二次函数最小值(或最大值)为0（k或4ac−增

减

性a>0在对称轴的左边y随x的增大而减小，在对称轴的右边y随x的增大而增大.a<0在对称轴的左边y随x的增大而增大，在对称轴的右边y随x的增大而减小.二、二次函数的图象变换1）二次函数的平移变换平移方式（n＞0)一般式y=ax2+bx+c顶点式y＝a(x–h)2＋k平移口诀向左平移n个单位y=a(x+n)2+b(x+n)+cy=a(x-h+n)2+k左加向右平移n个单位y=a(x-n)2+b(x-n)+cy=a(x-h-n)2+k右减向上平移n个单位y=ax2+bx+c+ny=a(x-h)2+k+n上加向下平移n个单位y=ax2+bx+c-ny=a(x-h)2+k-n下减2）二次函数图象的翻折与旋转变换前变换方式变换后口诀y=a(x-h)²+k绕顶点旋转180°y=-a(x-h)²+ka变号，h、k均不变绕原点旋转180°y=-a(x+h)²-ka、h、k均变号沿x轴翻折y=-a(x-h)²-ka、k变号，h不变沿y轴翻折y=a(x+h)²+ka、h不变，h变号三、二次函数的对称性问题抛物线的对称性的应用，主要体现在：1）求一个点关于对称轴对称的点的坐标；2）已知抛物线上两个点关于对称轴对称，求其对称轴.解此类题的主要根据：若抛物线上两个关于对称轴对称的点的坐标分别为(x1，y)，(x2，y)，则抛物线的对称轴可表示为直线x=x1解题技巧：1.抛物线上两点若关于直线，则这两点的纵坐标相同，横坐标与x=−b2若二次函数与x轴有两个交点，则这两个交点关于直线x=−b3二次函数y=ax2+bx+c与y=ax2-bx+c的图象关于y轴对称；二次函数y=ax2+bx+c与y=-ax2-bx-c的图象于x轴对称.四、二次函数的最值问题自变量取值范围图象最大值最小值全体实数a>0当x=−b2aa<0当x=−b2ax1≤x≤x2a>0当x=x2时，二次函数取得最大值y2当x=−b2a当x=x1时，二次函数取得最大值y1当x=−b2a当x=x2时，二次函数取得最大值y2当x=x1时，二次函数取得最小值y1备注：自变量的取值为x1≤x≤x2时，且二次项系数a<0的最值情况请自行推导.11.抛物线的增减性问题，由a的正负和对称轴同时确定，单一的直接说，y随x的增大而增大(或减小)是不对的，必须附加一定的自变量x取值范围.2.抛物线在平移的过程中，a的值不发生变化，变化的只是顶点的位置，且与平移方向有关.3.涉及抛物线的平移时，首先将表达式转化为顶点式y=a(x-h)2+k的形式，因为二次函数平移遵循“上加下减，左加右减”的原则，因此可以直接由解析式中常数的加或减求出变化后的解析式.题型01根据二次函数解析式判断其性质【例1】（2022·广东江门·鹤山市沙坪中学校考模拟预测）关于二次函数y=xA．图象的对称轴在y轴的右侧B．图象与y轴的交点坐标为0C．图象与x轴的交点坐标为−2,0和4,0D．y的最小值为−9【答案】D【分析】把二次函数的解析式化成顶点式和交点式，再利用二次函数的性质就可以判断各个选项中的结论是否正确，从而可以解答本题．【详解】解：∵二次函数y=x∴该函数的对称轴是直线x=−1，在y轴的左侧，故选项A错误；当x=0时，y=−8，即该函数与y轴交于点0，当y=0时，x=2或x=−4，即图象与x轴的交点坐标为2,0和−4,0，故选项C错误；当x=−1时，该函数取得最小值y=−9，故选项D正确．故选：D【点睛】此题考查了二次函数的图象和性质，把二次函数解析式化为顶点式和交点式是解题的关键．【变式1-1】（2022·福建龙岩·校考模拟预测）若A−6,y1，B−3,y2，C1,y3为二次函数y=A．y3<y2<y1 B．【答案】A【分析】根据抛物线的对称轴为y轴，根据对称性可得x=−1时的函数值与x=1时的函数值相等，等于y3，由解析式可知a=1>0开口向上，则x<0时，y随x的增大而减小，即可判断y1，y【详解】解：由二次函数y=x2−m可得a=1>0即x=−1时的函数值与x=1时的函数值相等，等于y当x<0时，y随x的增大而减小，∵−6<−3<−1，∴y3故选：A．【点睛】本题考查了二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键．【变式1-2】（2023·四川成都·统考一模）下列关于抛物线y=x2+4x−5①开口方向向上；②对称轴是直线x=−4；③当x<−2时，y随x的增大而减小；④当x<−5或x>1时，y>0．A．①③ B．①④ C．①③④ D．①②③④【答案】C【分析】将解析式化为顶点式，进而判断①②③，令y=0，得出与x轴的交点，根据函数图象即可判断④，即可求解．【详解】解：∵y=x2+4x−5=∴抛物线开口向上，对称轴为直线x=−2，当x<−2时，y随x的增大而减小；故①正确，②错误，③正确；令y=0，即x2解得：x1=1，∴抛物线开口向上，与x轴交于1,0，−5,0，∴当x<−5或x>1时，y>0，故④正确，综上所述，正确的有：①③④，故选：C．【点睛】本题考查了二次函数图象的性质，抛物线与x轴的交点，解题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．【变式1-3】（2022·湖北武汉·校考三模）抛物线y=ax−ℎ2+k（a、h、k是常数，a<0，0<ℎ<12）过点A−1,0．下列四个结论：①k<0；②该抛物线经过点2ℎ+1,0；③一元二次方程ax−ℎ2+k=0的一个根在1和2之间；④点【答案】②③④【分析】根据题意，画出二次函数的图象，采用数形结合思想求解．【详解】解：根据题意，抛物线抛物线y=ax−ℎ对称轴是直线x=ℎ，过点A−1,0

①：根据图象可知：k>②：根据抛物线的对称性可知，抛物线也过点2ℎ+1,0，所以②是正确的；③：一元二次方程ax−ℎ2+k=0的根就是抛物线y=a根据题意和图象可知，有一个交点在1和2之间．所以③是正确的；④：根据图象可知，y1∴y所以④是正确的．故正确结论为：②③④．【点睛】掌握二次函数的性质，结合数形结合思想是解题的关键．【变式1-4】（2023·江苏南京·校考三模）已知整式M=a2−2a①M的值可能为4；②当a>1时，M的值随a的增大而增大；③当a为小于0的实数时，M的值大于0；④不存在这样的实数a，使得M的值小于−1．其中所有正确结论的序号是（

）A．①③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④【答案】D【分析】根据一元二次方程的知识，二次函数的图象和性质，依次判断，即可．【详解】①当M=4，∴M=a解得：a1=1+5∴M的值可能为4，∴①正确；②设函数的解析式为：M=a2∴对称轴为：x=−b∴当a>1，函数M随a的增大而增大，∴②正确；③同理，当x<1，函数M随a的增大而减小，∴当a<0时，函数M在y轴是上方，即M>0，∴③正确；④设函数的解析式为：M=a2∴当a=1时，函数M有最小值，最小值为：−1∴无论a取任何数，M≥−1∴④正确；综上所述：正确的为：①②③④故选：D．【点睛】本题考查一元二次方程，二次函数的图象和性质，解题的关键是掌握解一元二次方程，二次函数图象和性质，实数的性质．题型02将二次函数的一般式化为顶点式【例2】（2022·广东湛江·统考一模）将二次函数y=x2+4x−7A．y=x+42−7C．y=x+22−7【答案】B【分析】用配方法将抛物线的一般式转化为顶点式，即得答案．【详解】解：y=y=y=故选：B．【点睛】本题考查了抛物线的一般式y=ax【变式2-1】（2023·湖南长沙·长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校校考三模）关于二次函数y=−x2+2x+2A．最小值为1 B．最小值为2 C．最大值为3 D．最大值为−1【答案】C【分析】将二次函数解析式一般式化为顶点式即y=−x【详解】解：∵二次函数的解析式为y=−x∴y=−x∵a=−1<0，∴y=−x2+2x+2故选C．【点睛】本题考查了二次函数的顶点式，二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键．【变式2-2】（2023·浙江温州·校考三模）抛物线y=x2−2ax+b的顶点落在一次函数y=−2x+4的图象上，则b【答案】3【分析】首先求出抛物线y=x2−2ax+b【详解】解：y=x∴顶点坐标为a,−a∵抛物线y=x2−2ax+b∴a,−a2+b∴−∴b=∵1>0，∴抛物线开口向上，∴当a=1时，b有最小值3．故答案为：3．【点睛】此题考查了二次函数的最值，二次函数的顶点式，解题的关键是熟练掌握以上知识点．【变式2-3】（2023·江苏南通·统考二模）若抛物线y=−x2+4x−n的顶点在x轴的下方，则实数n【答案】n>4/4<n【分析】先将抛物线解析式化为顶点式，再利用顶点在x轴下方，即可求出n的范围．【详解】解：y=−x化为顶点式为：y=−x−2∵4−n<0，∴n>4，故答案为：n>4．【点睛】本题考查了抛物线的顶点式解析式，解题关键是理解当顶点纵坐标小于0时，顶点位于x轴下方．【变式2-4】（2024·上海杨浦·统考一模）已知二次函数y=(1)用配方法将函数y=−x(2)设该函数的图像与x轴交于点A、B，点A在点B左侧，与y轴交于点C，顶点记作D，求四边形ADBC的面积．【答案】(1)y=−x−22+1，对称轴为直线x=2(2)4．【分析】（1）利用配方法把二次函数的一般形式改写成顶点式，即可得到函数图象的对称轴和顶点坐标；（2）令x=0求出与y轴交点坐标，令y=0求出与x轴交点坐标，然后求面积即可；本题考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握配方法和顶点式的相关性质是解题的关键．【详解】（1）解：由题意得：y=−x∴对称轴为直线x=2，顶点坐标2,1；（2）根据题意画图，令x=0，则y=−3，∴点C0,−3，则OC=3令y=0，则−x2+4x−3=0，解得x∴A1,0，B∴AB=2，由（1）得：D2,1∴S四边形=1=4．题型03二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质【例3】（2022·福建龙岩·统考模拟预测）若二次函数y=a2x2+bx−c的图象过不同的六点A−1,n，B5,n−1，C6,n+1，D4,y1，EA．y2<y1<y3 B．【答案】B【分析】由二次项系数可知，抛物线开口向上，由点A的对称点A'x1,n的横坐标x1须满足5<x1<6得到y2>y【详解】由二次项系数可知，抛物线开口向上，∵A−1,n，B5,n−1，∴点A的对称点A'x1,n∴抛物线对称轴x=x0须满足∴y2又点E到对称轴距离小于52−2<1.5，点∴y1从而y1故选B．【点睛】本题主要考查二次函数的图像与性质，熟练掌握函数的性质是解题的关键．【变式3-1】（2023·浙江·模拟预测）已知a、b(0<a<b)为抛物线y=(x−c)(x−c−d)−2与x轴交点的横坐标，则|a−c|+|c−b|的值是（

）A．b−a B．a−b C．a−b或b−a D．0【答案】A【分析】由题意可作二次函数图象，当x=c时，y=−2<0，由图象可得a<c<b，进而可化简绝对值．【详解】解：由题意可作如图：

当x=c时，y=−2<0，由图可知：a<c<b，则|a−c|+|c−b|=c−a+b−c=b−a，则|a−c|+|c−b|的值是b−a，故选A．【点睛】本题考查了二次函数的图象及性质、化简绝对值，根据题意，利用数形结合的思想解决问题是解题的关键．【变式3-2】（2022·陕西西安·校考模拟预测）已知二次函数y=mx2+(1−m)x+2−m(mA．当m=1时，函数图象的对称轴是y轴B．当m=2时，函数图象过原点C．当m>0时，函数有最小值D．如果m<0，当x>12时，y随【答案】D【分析】A、把m=1代入解析式，判断即可；B、把m=2代入解析式，判断即可；C、当m>0时，开口向上，判断最值即可；D、当m<0时，可知对称轴在y轴右侧，但与12【详解】解：A、m=1时，y=x2+1B、m=2时，y=2x2−x，x=0时，y=0C、m>0时，即二次函数开口向上，所以有最小值，故C选项正确，不符合题意；D、m<0时，对称轴为直线x=−1−m2m>0，即对称轴在y轴右侧，但无法判断−故选：D．【点睛】本题考查了二次函数的图象，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质．【变式3-3】（2023·浙江杭州·校考二模）已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过不同的两点A(2−m,n)A．若m>2时都有n>c，则a<0B．若m>1时都有n<c，则a<0C．若m<0时都有n>c，则a>0D．若m<0时都有n<c，则a>0【答案】C【分析】根据A、B两点的纵坐标相同，可求得抛物线的对称轴为直线【详解】解：∵抛物线y=ax2+bx+c经过A(2−m,n)∴抛物线的对称轴为直线x=2−m+m对于A选项，若m>2时，∴2−m<0<1．又n>c，∴此时，y随x的增大而减小．∴抛物线开口向上．∴a>0，故A不符合题意；对于B选项，若m>1时，∴0<1<m．此时0,c关于对称轴对称的点为2,c，若n<c，∴a>0或a<0．∴选项B不符合题意．若m<0时，∴m<0<1．又n>c，∴此时，y随x的增大而减小．∴抛物线开口向上．∴a>0，故C符合题意．若m<0时，∴m<0<1．又n<c，∴此时，y随x的增大而增大．∴抛物线开口向下．∴a<0，故D不符合题意．故选：C．【点睛】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题时需要熟练掌握并灵活运用．【变式3-4】（2022·福建福州·统考一模）已知点Ax1,y1，Bx2,yA．若x1−xB．若x1−C．若y1>yD．若y1>【答案】D【分析】先将抛物线的解析式化为顶点式，然后得到函数的顶点即为点B，再由a的正负分情况讨论，得到y之间的大小关系．【详解】解：∵y=−a∴函数的顶点坐标为(3,32a+c)当a>0时，抛物线开口向下，则当x越靠近3时，y的值越大，∴当|x1−当|x1−当a<0时，抛物线开口向上，则当x越靠近3时，y的值越小，∴当|x1−故选项A，B无法确定，不符合题意；当y1>y3≥y2时，y2是最小值，此时∴|x1−x2故选D【点睛】本题主要考查二次函数的性质，熟知由抛物线的开口方向和点到对称轴的距离大小决定对应y值的大小是解题关键．题型04利用五点法绘二次函数图象【例4】（2023·广东深圳·校考模拟预测）请结合图像完成下列问题：(1)请在图中画出函数：y=x

(2)结合图像直接写出方程：x+4=−x+6(3)在图中画出函数y=x2−2x+4

【答案】(1)作图见解析(2)x=1(3)x=0或x=−3或x=5，作图见解析【分析】（1）先列表、然后描点、再连线即可得出函数图象；（2）作出一次函数y=−x+6的函数图象，然后根据函数图象得出方程：x+4=−x+6（3）先列表、然后描点、再连线即可得出函数图象；方程x2−4x+3=x+3可以变为x2【详解】（1）解：列表：x…−10−50510…y=…1494914…描点，连线，如图所示：

（2）解：如图，一次函数y=−x+6与函数y=x+4的交点的横坐标为∴方程x+4=−x+6的解为x=1故答案为：x=1．

（3）解：列表：x…−3−2−10123…y=…7434347…描点，连线：

方程x2−4x如图，函数y=x2−2x+4的图象与函数y=2x+x+4∴方程x2−2x+4=2x+x+4的解为即方程x2−4x+3=x+3的解为x=0或

【点睛】本题主要考查了用描点法作函数图象，根据函数图象求方程的解，解题的关键是熟练掌握函数图象的作图方法，数形结合．【变式4-1】（2023·广东深圳·校考模拟预测）已知，抛物线y=2x(1)列表，描点，在平面直角坐标系中画出y=2x

(2)将y=2x【答案】(1)见解析(2)y=2【分析】（1）采用“五点作图”法即可求解；（2）左右平移改变自变量的值：左加右减；上下平移改变因变量的值：上加下减．据此即可求解．【详解】（1）解：列表如下：−2−10124−2−4−24图象如图所示：

（2）解：将y=2x可得：y=2即：y=2【点睛】本题考查二次函数的图象及平移．掌握二次函数的平移规律是关键．【变式4-2】（2023·广东深圳·统考模拟预测）在初中函数学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，结合图象研究函数性质并对其性质进行应用的过程．小丽同学学习二次函数后，对函数y=x2−2(1)作图探究：①下表是y与x的几组对应值：x…−4−3−2−101234…y…830m0−10n8…m=___________，n=___________；②在平面直角坐标系xOy中，描出表中各组对应值为坐标的点，并根据描出的点，画出该函数的图象：

(2)深入思考：根据所作图象，回答下列问题：①方程x2②如果y=x2−2x的图象与直线(3)延伸思考：将函数y=x2−2【答案】(1)①−1；3；②图见解析(2)①x=−2或x=0或x=2；②

−1<k<0(3)将函数y=x2−2【分析】（1）①把x=−1（2）①根据函数图象与x轴交点的横坐标即可得到答案；②根据函数图象可得答案；（3）根据函数图象的平移规则：左加右减，上加下减，可得答案.【详解】（1）解：①当x=−1当x=3时，n=x答案为：−1；3；②描点，连线，该函数的图象如图，

（2）①由函数图象可得方程x2−2|x|=0的解是x=−2或x=0或②根据y=x2−2x的图象与直线y=k有4个交点，则答案为：①x=−2或x=0或x=2；②−1<k<0；（3）根据函数图象的平移规则可得：将函数y=x2−2【点睛】本题考查的是求解函数的函数值，画二次函数的图象，二次函数与x轴的交点坐标，二次函数图象的平移，熟练的利用数形结合的方法解题是关键.题型05二次函数平移变换问题【例5】（2022·上海崇明·统考二模）将抛物线y=2x2向右平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得新抛物线和原抛物线相比，不变的是（A．对称轴 B．开口方向 C．和y轴的交点 D．顶点．【答案】B【分析】求出平移后的抛物线，再比较对称轴，顶点，开口方向，与y轴交点，进而求解．【详解】y=2x2的对称轴为y轴，开口向上，与将抛物线y=2x2∴平移后对称轴为x=1，开口向上，与y轴交点（0，4），顶点（1,2）∴开口方向不变故选：B【点睛】本题考查二次函数图象与几何变换，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数图象平移的规律．【变式5-1】（2021·浙江宁波·统考一模）将抛物线y=x2−4x+5A．向左平移3个单位长度B．向右平移3个单位长度C．先向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度D．先向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度【答案】D【分析】抛物线y=x2−4x+5可化为y=【详解】解：抛物线y=x2−4x+5可化为y=①顶点2,1向左平移3个单位长度得到点−1,1，故A错误．②顶点2,1向右平移3个单位长度得到点5,1，故B错误．③顶点2,1先向左平移3个单位长度再向上平移1个单位长度得到点−1,2，故C错误．④顶点2,1先向右平移3个单位长度再向下平移1个单位长度得到点5,0，故D正确．【点睛】主要考查了二次函数图象与几何变换，求得平移后的顶点坐标是解题的关键．【变式5-2】（2023·陕西西安·西安市曲江第一中学校考模拟预测）在平面直角坐标系中将抛物线y=ax2−4ax+4a−4沿y轴平移后的顶点恰好落在了xA．将抛物线向上平移2个单位 B．将抛物线向下平移2个单位C．将抛物线向上平移4个单位 D．将抛物线向下平移4个单位【答案】C【分析】根据解析式求得原抛物线的顶点坐标为−2,−4，根据题意可得将原抛物线的顶点−2,−4向上平移4个单位即可使得平移后的抛物线的顶点−2,0恰好落在x轴上，即可求解．【详解】∵抛物线y=ax∴原抛物线的顶点坐标为−2,−4．∵将抛物线沿y轴平移，平移后的抛物线的顶点恰好落在x轴上，∴平移后抛物线的纵坐标为0，∴将原抛物线的顶点−2,−4向上平移4个单位即可使得平移后的抛物线的顶点−2,0恰好落在x轴上，∴平移方式为将抛物线向上平移4个单位．故选：C．【点睛】本题考查了二次函数的平移，熟练掌握二次函数的平移规律是解题的关键．【变式5-3】（2023·安徽合肥·合肥市第四十五中学校考一模）将抛物线y=−x2+A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】A【分析】根据平移规律得到平移后抛物线的顶点坐标，然后结合a的取值范围判断新抛物线的顶点所在的象限即可．【详解】解：∵y=−x∴该抛物线顶点坐标是a+12将其向下平移2个单位，得到的抛物线的顶点坐标是a+12∵a>1，∴a+1>2，a+3>4则a+12a+a+1∴平移后抛物线的顶点坐标是a+12故选：A．【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质、平移的性质、抛物线的顶点坐标等知识；熟练掌握二次函数的图象和性质，求出抛物线的顶点坐标是解题的关键．【变式5-4】（2022·湖北省直辖县级单位·统考模拟预测）将抛物线y=ax2−2ax+1平移，使得平移后的抛物线与x轴相交于A、BA．向上平移2个单位 B．向下平移2个单位C．向上平移1个单位 D．向下平移1个单位【答案】D【分析】设平移方式为向上平移c个单位，平移后的抛物线解析式为y=ax2−2ax+1+c，设交点A为x1,0，交点B为x2,0，则x1，x2为a【详解】解：设平移方式为向上平移c个单位，若解得c为负值，则为向下平移−c个单位，平移后的抛物线解析式为y=ax设交点A为x1,0，交点B为则x1，x2为∴x1+x则AB=x即：22∴1+ca∴c=−1，即：向下平移1个单位，故选：D．【点睛】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，一元二次方程根与系数的关系，熟知“上加下减，左加右减”的法则是解答此题的关键．题型06已知抛物线对称的两点求对称轴【例6】（2023·陕西西安·交大附中分校校考模拟预测）已知二次函数y=ax−ℎ2+ka>0，其图象过点A．6 B．5 C．4 D．3【答案】C【分析】根据抛物线的顶点式得到抛物线的对称轴为直线x=ℎ,由于A、B的纵坐标都是2，求得对称轴为直线x=4，即可得出ℎ=4．【详解】由解析式可知抛物线的对称轴为直线x=ℎ,∵点A0，∴对称轴为直线x=0+8∴ℎ=4．故选：C．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．解题的关键是利用对应值确定对称轴，再利用二次函数的性质求解．【变式6-1】（2022·广东江门·鹤山市沙坪中学校考模拟预测）如果抛物线y=ax2+bx+c经过(−6【答案】直线x【分析】二次函数y=ax2+bx+c图象是轴对称图形，经过(−6【详解】解：由抛物线y=ax2+bx+c经过(−6,−3)、(4,−3)，得(−6,−3)故答案为：直线x=【点睛】本题考查二次函数图象的轴对称性质，中点坐标公式，理解二次函数的轴对称性是解题的关键．【变式6-2】（2023·福建福州·校考三模）在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c过点m+1,m，3−m,m，直线y=x+3与抛物线交于A，B两点，取AB中点C，则C【答案】2.5【分析】根据二次函数的对称性求出对称轴，可得一次项系数，联立两个函数解析式得到一个一元二次方程，根据中点公式与根与系数的关系直接求解即可．【详解】∵二次函数y=x2+bx+c过点m+1,m∴对称轴x=m+1+3−m解得b=−4，则y=x∵直线y=x+3与抛物线交于A，B两点，∴y=x2−4x+c∵取AB中点C，∴C的横坐标为x1故答案为：2.5【点睛】此题考查二次函数的性质和中点坐标公式以及一元二次方程的根与系数的关系，解题关键是先通过对称性求出对称轴，然后通过联立两函数解析式求交点坐标，最终通过中点公式求出中点横坐标．题型07根据二次函数的对称性求函数值【例7】（2023·上海普陀·统考二模）在平面直角坐标系xOy中，点A1,4关于抛物线y=a(x+2)2的对称轴对称的点的坐标是【答案】−5,4【分析】先求出抛物线的对称轴，再根据轴对称的性质求解．【详解】解：∵y=a(x+2)2的对称轴为直线∴A关于x=−2的对称点为：−5,4，故答案为：−5,4．【点睛】本题考查了二次函数的性质，掌握轴对称的性质是解题的关键．【变式7-1】（2023·湖南衡阳·统考一模）如果三点P1(1,y1)，P2(3,y2)和P3(4,y【答案】y2>【分析】先求出抛物线的对称轴和开口方向，根据二次函数的性质比较即可．【详解】解：∵抛物线y=−x2+6x+c∴当x>3时，y随x的增大而减小，P1(1,y1)∵3<4<5，∴y故答案为：y2【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质，能熟记二次函数的性质是解此题的关键．【变式7-2】（2023·江苏南通·统考一模）抛物线y=ax2+bx+c经过点−3,y1和5,y2，顶点坐标为m,nA．m<−3 B．m<1 C．m>1 D．m>5【答案】C【分析】根据二次函数的性质及二次函数图像上点的坐标特征得出m的取值范围．【详解】解：∵抛物线顶点坐标为m,n，∴抛物线对称轴为x=m，∵抛物线y=ax2+bx+c经过点−3,y1∴−3+5∴m>1，故选：C．【点睛】本题考查二次函数的性质及二次函数图像上点的坐标特征，准确找到对称轴，利用对称轴表示出−3+52【变式7-3】（2023·浙江宁波·校考二模）已知点Ax1，y1，Bx2，y2在抛物线A．y1>y2>m B．y2【答案】C【分析】根据二次函数的性质得到抛物线y=−(x−4)2+m的开口向下，有最大值为m，对称轴为直线x=4，根据x1<4<x2，x1+x2>8，设Ax【详解】解：∵y=−x−4∴a=−1<0，∴当x=4时，有最大值为y=m，∴抛物线开口向下，∵抛物线y=−x−42+m设Ax1,y1∴x1∴x1∵x1∴x1∴x2∴4<x∴m>y故选：C．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象为抛物线，则抛物线上的点的坐标满足其解析式；当a<0，抛物线开口向下；对称轴为直线x=−b2a，在对称轴左侧，y【变式7-4】（2023·浙江·统考二模）二次函数y=ax2+bx+1(a，b是常数，a≠0)的图象过点5,6A．若对称轴为直线x=1，则a<0 B．若对称轴为直线x=2，则C．若对称轴为直线x=3，则a<0 D．若对称轴为直线x=4，则【答案】C【分析】先求得抛物线与y轴交于0,1，然后根据抛物线的对称轴求得对称点，根据抛物线对称轴的右侧的增减性即可求解．【详解】解：由y=ax2+bx+1，当x=0时，y=1，即抛物线与若对称轴为直线x=1，则0,1关于x=1对称的点为2,1，又二次函数y=ax2+bx+1(a，b是常数，a≠0在对称轴的右侧，y随x的增大而增大，∴抛物线开口向上，即a>0，故A错误若对称轴为直线x=2，则0,1关于x=2对称的点为4,1，又二次函数y=ax2+bx+1(a，b是常数，a≠0在对称轴的右侧，y随x的增大而增大，∴抛物线开口向上，即a>0，故B错误若对称轴为直线x=3，则0,1关于x=3对称的点为6,1，又二次函数y=ax2+bx+1(a，b是常数，a≠0在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，∴抛物线开口向下，即a<0，故C正确若对称轴为直线x=4，则0,1关于x=4对称的点为8，又二次函数y=ax2+bx+1(a，b是常数，a≠0在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，∴抛物线开口向下，即a<0，故D错误故选：C．【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．题型08根据二次函数的性质求最值【例8】（2023·陕西西安·校考模拟预测）已知函数y=x2−2x+3，当0≤x≤4时，y有最大值a，最小值b，则a+bA．13 B．5 C．11 D．14【答案】A【分析】直接利用配方法求出二次函数最小值b，进而利用二次函数增减性得出a的值，即可得出答案．【详解】解：y=整理得：y=故当x=1时，y有最小值b为2；当x=4时，y有最大值a为11；故a+b=11+2=13；故选：A．【点睛】此题主要考查了二次函数的最值，利用二次函数增减性得出其最值是解题的关键．【变式8-1】（2023·河南周口·统考一模）我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为a，b，c，记p=a+b+c2，则其面积S=pp−ap−bA．3 B．152 C．15 【答案】C【分析】将p=5，c=2代入p=a+b+c2，求出b=8−a，利用海伦公式，得到S=55−a5−b【详解】解：将p=5，c=2代入p=a+b+c2，得∴a+b=8，∴b=8−a．三角形的面积S=5设y=5−aa−3=−它是a的二次函数，开口向下，当a=−8−2=4此时，面积S取最大值为15．故选C．【点睛】本题考查二次函数的性质，解题的关键是理解并掌握海伦公式，将面积的最大值转化为二次函数求最值．【变式8-2】（2023·安徽六安·统考一模）若a≥0，b≥0，且2a+b=2，2a2−4b的最小值为m，最大值为n，则m+n=A．−14 B．−6 C．−8 D．2【答案】B【分析】先用a表示b，然后代入2a2−4b中，利用配方法进行配方，再根据a≥0，b≥0确定a的取值范围，根据二次函数的增减性确定m【详解】解：∵2a+b=2，∴b=2−2a，设y=2=2=2=2(=2(=2[(a+2=2(a+2)∵a≥0，b≥0，∴a≥0解得：0≤a≤1，∵2>0，∴抛物线开口向上，对称轴为a=−2，当a>−2时，y随a的增大而增大，当a=0时，y最小，即m=2×2当a=1时，y最大，即n=2×3∴m+n=−8+2=−6．故选：B．【点睛】本题主要考查了二次函数的最值问题，用a表示b，转化为关于a的二次函数，根据a的取值范围确定最大值和最小值是解题的关键．【变式8-3】（2023·河北保定·统考模拟预测）对于二次函数y=−x−m2+1，已知m>3①若y的最大值为−8，则m=4②若y的最小值为−8，则m=6③若m=5，则y的最大值为−3．则上达说法（）A．只有①正确 B．只有②正确 C．只有③正确 D．均不正确【答案】C【分析】根据二次函数y=−x−m2+1可得对称轴为直线x=m，由a=−1<0，可得抛物线开口向下，再由m>3，所以当−1≤x≤3时，抛物线单调递增，从而可得x=3时，y有最大值，x=−1时，y有最小值，把x=3、y=−8和x=−1、y=−8分别代入解析式求得m的值，再根据m的取值范围进行判断①②即可；把x=3、m=5【详解】解：二次函数y=−x−m2+1∵a=−1<0，∴抛物线开口向下，因为m>3，所以当−1≤x≤3时，函数y=−x−m若y的最大值为−8，则−3−m2+1=−8，解得若y的最小值为−8，则−−1−m2+1=−8，解得m=2或若m=5，则y=−x−52+1，所以y故选C．【点睛】本题考查二次函数的图象与性质、二次函数最值，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．题型09根据二次函数的对称性求字母的取值范围【例9】（2023·江苏常州·常州市第二十四中学校考一模）已知抛物线y=x2+bx+c（c为常数）经过点p,m、q,m、4,c，当1≤q−p<6时，mA．c−154≤m<c+5 B．c<m≤c+5 D．c−3≤m<c+4【答案】A【分析】根据题意求得抛物线的对称轴为直线x=−b2=0+42=2，进而得到抛物线为y=x2−4x+c，根据抛物线的对称性得出p+q=4【详解】解：∵抛物线y=x2+bx+c(c为常数）经过点(0,c)∴抛物线的对称轴为直线x=−b∴b=−4，∴抛物线为y=x∵抛物线y=x2+bx+c(c为常数）经过点(p,m)∴p+q2∴p+q=4，∴p=4−q，∵1≤q−4+q<6，∴2.5≤q<5，∵m=q∴−15故选：A．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的图象和性质，熟知二次函数的对称性是解题的关键．【变式9-1】（2022·浙江杭州·校考二模）若二次函数的解析式为y=x−mx−11≤m≤5．若函数过p,q点和p+5,q点，则qA．94≤q≤254 B．−4≤q≤−94【答案】A【分析】根据二次函数的解析式为y=x−mx−11≤m≤5，可以得到该函数的对称轴，再根据函数过p,q点和p+5,q点，可以得到p+p+52=m+12，然后即可用含m的代数式表示出p，然后根据p,q【详解】解：∵二次函数的解析式为y=x−m∴该函数的对称轴为直线x=−−∵函数过p,q点和p+5,q点，∴p+p+52∴p=m−4∴q=m−4∴当m≥1时，q随m的增大而减小，∵1≤m≤5，∴当m=1时，q取得最大值254；当m=5时，q取得最小值9∴q的取值范围是94故选：A．【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，得到q和m的函数解析式，利用二次函数的性质求最值．题型10根据二次函数的最值求字母的取值范围【例10】（2023·浙江绍兴·校联考三模）二次函数y=−x2+bx+c的图象经过点(1,0),(2,3)，在a≤x≤6范围内有最大值为4，最小值为−5，则aA．a≥6 B．3≤a≤6 C．0≤a≤3 D．a≤0【答案】C【分析】先利用待定系数法求出抛物线的解析式，进而得到抛物线的顶点坐标为3,4，由于当x=6时，y=−5，根据抛物线的对称性可得：a的取值范围是0≤a≤3.【详解】解：∵二次函数y=−x2+bx+c的图象经过点(1,0)∴−1+b+c=0−4+2b+c=3解得b=6c=−5∴抛物线的解析式是y=−x∴抛物线的顶点坐标为3,4，∴当x=3时，抛物线有最大值4，由于当x=6时，y=−6−32+4=−5，且在a≤x≤6∴根据抛物线的对称性可得：a的取值范围是0≤a≤3；故选：C.【点睛】本题考查了利用待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的图象与性质，正确理解题意、熟练掌握抛物线的相关知识是解题关键.【变式10-1】（2022·河北石家庄·石家庄市第四十一中学校考模拟预测）已知二次函数y=−x2+4x+c的图象与直线y=x有且只有一个公共点，且当0≤x≤m时，函数y=−x2A．−1≤m≤0 B．2≤m<72 C．2≤m≤4 【答案】C【分析】由二次函数与直线只有一个交点，可以构成一元二次方程得到Δ=0，求出c的值，然后画出y=−【详解】解：令−x2+4x+c=x由题意，Δ=32故函数y=−x如图，该函数图象顶点为（2，1），与y轴交点为（0，－3），由对称性，该函数图象也经过点（4，－3）．由于函数图象在对称轴x=2左侧y随x的增大而增大，在对称轴右侧y随x的增大而减小，又因为当0≤x≤m时，函数y=−x所以2≤m≤4，故选C．【点睛】本题考查了函数图象交点问题，综合了函数与方程的关系和二次函数图象增减性和最值问题．理解二次函数与方程的联系，二次函数图象，数形结合的思想方法是解题的关键．【变式10-2】（2022·四川泸州·二模）已知函数fx=x2−2ax+7，当x≤3时，函数值随x增大而减小，且对任意的1≤x1≤a+2和1≤x2≤a+2，x1，A．−3≤a≤4 B．−2≤a≤4 C．−3≤a≤3 D．3≤a≤4【答案】D【分析】对任意的1⩽x1⩽a+2和1⩽x2⩽a+2，x1，x【详解】解：函数的对称轴为x=a，而x⩽3时，函数值随x增大而减小，故a⩾3；∵1⩽x1⩽a+2∴x=a时，函数的最小值=7−a故函数的最大值在x=1和x=a+2中产生，则x=1，x=a+2中，哪个距x=a越远，函数值越大，∵a⩾3，∴a−1⩾2，而a+2−a=2，∴1距离a更远，∴x=1时，函数取得最大值为：8−2a，∵对任意的1⩽x1⩽a+2和1⩽x2⩽a+2，x1，x只需最大值与最小值的差小于等于9即可，∴8−2a−(7−aa2解得−2⩽a⩽4，而a⩾3，∴3⩽a⩽4，故选：D．【点睛】本题考查的是二次函数图象与系数的关系，解题的关键是将|y题型11根据规定范围二次函数自变量的情况求函数值的取值范围【例11】（2022·河南南阳·统考一模）已知二次函数y=−2x2+4x+3，当−1≤x≤2时，yA．y≤5 B．y≤3 C．−3≤y≤3 D．−3≤y≤5【答案】D【分析】先求出二次函数的对称轴为直线x=1，然后根据x的取值范围求出y的最大值和最小值，即可得出y的取值范围．【详解】解：∵y=−2x∴二次函数的对称轴为直线x=1，∵a=−2＜∴当x=1时，函数取最大值，且最大值为y=5，∵在−1≤x≤2的范围内，x=−1时，距离对称轴最远，∴x=−1时，函数取最小值，且最小值为：y=−2×−1−1∴y的取值范围是：−3≤y≤5，故D正确．故选：D．【点睛】本题主要考查二次函数的性质，根据二次函数的性质求出函数的最大值5，最小值-3，是解题的关键．【变式11-1】（2023·浙江金华·统考一模）已知二次函数y=x2+bx+5的图象经过点1,0，则当2≤x≤6时，yA．−5≤y≤5 B．−4≤y≤5 C．−3≤y≤5 D．0≤y≤5【答案】B【分析】先将点1,0代入y=x2+bx+5【详解】解：将点1,0代入y=x2+bx+5解得：b=−6，∴该二次函数的表达式为：y=x∴该函数的对称轴为直线x=−−6∵a=1>0，∴该二次函数图象开口向上，离对称轴越远函数值越大，∵6−3>3−2，∴再2≤x≤6之间，当x=6时，函数有最大值y=6当x=3时，函数有最小值y=3∴当2≤x≤6时，y的取值范围是−4≤y≤5．故选：B．【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握a>0时，函数开口向上，在对称轴左边，y随x的增大而减小，在对称轴右边，y随x的增大而增大，a<0时，函数开口向下，在对称轴左边，y随x的增大而增大，在对称轴右边，y随x的增大而减小．【变式11-2】（2023上·陕西西安·九年级陕西师大附中统考期末）已知二次函数y=ax2+bx+c，函数yx…−1013…y…−2366…当0<x<4时，y的取值范围是（

）A．3<y≤6 B．3<y≤7 C．y<7 D．y>3【答案】B【分析】利用待定系数法求函数解析式，即可求得开口方向，对称轴，函数的最值，然后根据二次函数的性质，可以得到当0<x<4时，y的取值范围．【详解】解：将点(−1,−2)，(0,3)，(1,6)代入y=axa−b+c=−2c=3a+b+c=6，解得∴y=−x∴该函数图象开口向下，对称轴为直线x=2，函数有最大值7，∴x=0和x=4时的函数值相等，则0<x<4时，y的取值范围是：3<y≤7，故选：B．【点睛】本题考查求二次函数的解析式，二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．题型12根据二次函数的增减性求字母的取值范围【例12】（2023·陕西西安·校考一模）已知点A(m，y1)、B(m+2，y2)、C(x0，A．m<−3 B．m>−3 C．m<−2 D．m>−2【答案】A【分析】先求出抛物线的对称轴x=−4a2a=−2，再根据二次函数的性质，当点A(m，y1)和B(m+2，y2)在直线x=−2的左侧时，则m<−4【详解】解：抛物线y=ax2+4ax+c(a≠0)∵C为抛物线的顶点，∴x0∵y0∴抛物线开口向下，∵y0∴当点A(m，y1)和B(m+2，y2当点A(m，y1)和B(m+2，y2)在直线x=−2的两侧，m+2−(−2)<−2−m，解得m<−3；且点A(m，综上所述，m的范围为m<−3．故选：A．【点睛】本题考查了二次函数图像上点的坐标特征，二次函数的性质：熟练掌握二次函数图像上点的坐标满足其解析式的性质是解题的关键．【变式12-1】（2023·陕西西安·校考模拟预测）已知二次函数y=x2−2ax+a2−2a−6（a为常数）的图象与x轴有交点，当x>4时，yA．a≥−3 B．−3≤a<4 C．a<4 D．−3≤a≤4【答案】D【分析】根据图象与x轴有交点，得出判别式△≥0，从而解得a≥−3，然后求出抛物线的对称轴，结合抛物线开口向上，且当x>4时，y随x的增大而增大，可得a≤4【详解】解：y=∵图象与x轴有交点，∴△=−2a解得a≥−3；∵抛物线的对称轴为直线x=−抛物线开口向上，且当x>4时，y随x的增大而增大，∴a≤4，∴实数a的取值范围是−3≤a≤4．故选：D．【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点，明确抛物线与x轴的交点个数与判别式的关系及二次函数的性质是解题的关键．【变式12-2】（2023·四川资阳·统考二模）已知抛物线y=ax2−2x+c，当x≤1时，y随x的增大而减小，则aA．−1<a<0 B．−1≤a<0 C．0<a<1 D．0<a≤1【答案】D【分析】分a>0，a<0两种情况讨论求解即可．【详解】解：①当a>0时，抛物线开口向上，∵当x≤1时，y随x的增大而减小，∴−−2解得，a≤1，∴0<a≤1；②当a<0时，抛物线开口向下，∵当x≤1时，y随x的增大而减小，∴−−2解得，a≤−1，∴a≤−1,∴0<a≤1符合题意,故选：D．【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．【变式12-3】（2023·山东济南·统考三模）若点An+1,y1,Bn−2,y2在抛物线y=aA．n≥3 B．n>32 C．0<n<3 【答案】B【分析】先根据抛物线的解析式确定其对称轴，结合抛物线的对称性，开口方向，函数的增减性和两个点的坐标即可确定n的取值范围．【详解】抛物线y=ax2−2ax+当点An+1,y1,Bn−2,解得n=3∴当n=32时，∵a<0，抛物线开口向下，点An+1,y1∴当n>32时故选B．【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，二次函数图象上点的坐标特征，利用抛物线的对称性和函数的增减性确定n的取值范围是解题的难点．考点三二次函数与各项系数之间的关系一、二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象与a，b，c的关系符号图象特征备注aa>0开口向上a的正负决定开口方向，a的大小决定开口的大小(|a|越大，抛物线的开口小)．a<0开口向下bb=0坐标轴是y轴ab>0(a，b同号)对称轴在y轴左侧左同右异ab<0((a，b异号))对称轴在y轴右侧cc=0图象过原点c决定了抛物线与y轴交点的位置．c>0与y轴正半轴相交c<0与y轴负半轴相交二、二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的常见结论自变量x的值函数值图象上对应点的位置结论-24a-2b+cx轴的上方4a-2b+c>0x轴上4a-2b+c=0x轴的下方4a-2b+c<0-1a-b+cx轴的上方a-b+c>0x轴上a-b+c=0x轴的下方a-b+c<01a+b+cx轴的上方a+b+c>0x轴上a+b+c=0x轴的下方a+b+c<024a+2b+cx轴的上方4a+2b+c>0x轴上4a+2b+c=0x轴的下方4a+2b+c<0题型01根据二次函数图象判断式子符号【例1】（2023·广东湛江·校考一模）在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)（1）a<0,b<0,c>0；（2）−b2b=1；（3）a+b+c<0；（4）关于xA．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】根据二次函数的性质一一判断即可．【详解】解：（1）错误．∵开口向下，∴a<0，−b2a>0,∵抛物线交y轴的负半轴，∴c<0．（2）错误．根据图象可知：−（3）错误．根据图象，当x=1时，y=a+b+c=0．（4）正确．观察图象可知抛物线y=ax2+bx+c与直线y=−1有两个交点，所以关于x所以错误的有3个，故选：C．【点睛】本题考查二次函数的性质和图象、二次函数与x轴的交点等知识．关键在于结合图象利用二次函数的性质解题．【变式1-1】（2022·黑龙江齐齐哈尔·校考三模）如图，抛物线y=ax2+bx+ca≠0交x轴于点A−1，0，对称轴为x=1，与x轴的另一个交点为B，点C为抛物线顶点.下列结论：①abc<0；②4a+2b+c>0；③3a+b>0；④c<4b

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【答案】B【分析】根据图示，对称轴，可以判断a，b，c的正负关系，并确定b=−2a，由此即可求解．【详解】解：由函数图象可知，a<0，b>0，c>0∴abc<0，故∵抛物线对称轴为直线x=1，A−1，0∴B的坐标为3，∴当x=2时，函数值y>0，即：4a+2b+c>0，故②正确；∵对称轴为直线x=1，∴−b2a=1∴3a+b=3a−2a=a<0，故③错误；由A点坐标可得：a−b+c=0，将b=−2a代入可得：c=−3a，∴c−4b=−3a−4−2a即：c<4b，故④正确；由题意，A、B是关于对称轴对称的，C为顶点，∴△ABC始终为等腰三角形，无论a取何值，也不会影响△ABC是等腰三角形的结论，∴△ABC为等腰三角形时，不一定只能推出a=12，也可能是其他结果，故∴正确的有：①②④，故选：B．【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系，能够准确根据图像信息分析出基本式子的结果，并灵活变形是解题关键．【变式1-2】（2022·广东深圳·统考模拟预测）已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，有下列4个结论：①abc>0；②b2<4ac；③2c<3b；④a+b>m(am+b)

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【分析】由抛物线开口方向、对称轴位置、抛物线与y轴交点位置，可判断a,b,c的符号及a与b的数量关系，从而判断①；由抛物线与x轴有两个交点可判断②；由x=−1时，y<0，可判断③；由x=1时，y取最大值判断④；【详解】∵抛物线开口向下，∴a<0，∵抛物线对称轴为直线x=1，∴−b∴b=−2a>0，∵抛物线与y轴交点在x轴上方，∴c>0，∴abc<0，①错误；∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2∴b2>4ac，∵b=−2a，∴a=−b由图象可得：x=−1时，y<0，∴a−b+c=−3∴2c<3b，③正确；∵x=1时，函数取最大值，∴a+b+c≥am∴a+b≥m(am+b)，④正确；故选B【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数的性质掌握二次函数与方程及不等式的关系【变式1-3】（2023·浙江·模拟预测）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论：①b>0，②c<0，③b2−4ac>0，④a+b+c>0，

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【答案】C【分析】观察图象得：抛物线开口向下，与y轴交于负半轴，且对称轴为直线x=1，与x轴有2个交点，可得a<0，c<0，−b2a=1，b2−4ac>0，故②③正确；从而得到b=−2a>0，故①正确；再由当x=1时，y>0，可得a+b+c>0，故④正确；然后根据二次函数图像的对称性可得当x=2时，y<0【详解】解：观察图象得：抛物线开口向下，与y轴交于负半轴，且对称轴为直线x=1，与x轴有2个交点，∴a<0，c<0，−b2a=1，b∴b=−2a>0，故①正确；当x=1时，y>0，∴a+b+c>0，故④正确；∵当x=0时，y=c<0，且对称轴为直线x=1，∴当x=2时，y<0，∴4a+2b+c<0，故⑤错误；综上所述，正确的有4个，故选：C．【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，利用数形结合思想解答是解题的关键．【变式1-4】（2023·辽宁鞍山·校考一模）如图是二次函数y=ax2+bx+ca≠0在平面直角坐标系中的图象，根据图象判断：①c<0；②a−c>0；③a−b+c>0；④2a−3b=0；⑤

A．①③④⑤ B．①②③⑤ C．①②③④ D．①②④⑤【答案】B【分析】抛物线与y轴交点的位置判断①；开口方向结合c的符号，判断②，特殊点和对称轴，判断③④⑤．