2024年中考数学复习（全国版）第23讲 特殊四边形-矩形（讲义）（原卷版）

第23讲特殊四边形-矩形目录TOC\o"1-3"\n\h\z\u一、考情分析二、知识建构考点一矩形的性质与判定题型01利用矩形的性质求角度题型02利用矩形的性质求线段长题型03利用矩形的性质求面积题型04求矩形在坐标系中的坐标题型05根据矩形的性质证明题型06矩形的判定定理的理解题型07添加一个条件使四边形是矩形题型08证明四边形是矩形题型09根据矩形的性质与判定求角度题型10根据矩形的性质与判定求线段长题型11根据矩形的性质与判定求面积题型12根据矩形的性质与判定解决多结论问题题型13与矩形有关的新定义问题题型14与矩形有关的规律探究问题题型15与矩形有关的动点问题题型16矩形与一次函数综合题型17矩形与反比例函数综合题型18矩形与二次函数综合考点二矩形的折叠问题题型01与矩形有关的折叠问题类型一沿对角线翻折（模型一）类型二将矩形短边顶点翻折到对角线上（模型二）类型三将矩形短边顶点翻折到长边上（模型三）类型四矩形短边沿折痕翻折（模型四）类型五通过翻折将矩形两个顶点重合（模型五）类型六将矩形短边顶点翻折到对称轴上（模型六）类型七将矩形翻折使其一个顶点落在一边上（模型七）类型八其它

考点要求新课标要求命题预测矩形的性质与判定探索并证明矩形的性质定理.探索并证明矩形的判定定理.矩形是特殊平行四边形中比较重要的图形，也是几何图形中难度比较大的几个图形之一，年年都会考查，预计2024年各地中考还将出现.其中，矩形还经常成为综合压轴题的问题背景来考察，而矩形其他出题类型还有选择、填空题的压轴题，难度都比较大，需要加以重视.解答题中考查特殊四边形的性质和判定，一般和三角形全等、解直角三角形、二次函数、动态问题综合应用的可能性比较大．矩形的折叠问题考点一矩形的性质与判定矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.矩形的性质：1）矩形具有平行四边形的所有性质；2）矩形的四个角都是直角；3）对角线互相平分且相等；4）矩形既是中心对称图形，也是轴对称图形.矩形的对称中心是矩形对角线的交点；矩形有两条对称轴，矩形的对称轴是过矩形对边中点的直线；矩形的对称轴过矩形的对称中心.【推论】1）在直角三角形中斜边的中线，等于斜边的一半.2）直角三角形中，30度角所对应的直角边等于斜边的一半.矩形的判定：1)有一个角是直角的平行四边形是矩形；

2）对角线相等的平行四边形是矩形；3）有三个角是直角的四边形是矩形.【解题思路】要证明一个四边形是矩形，首先要判断四边形是否为平行四边形，若是，则需要再证明对角线相等或有一个角是直角；若不易判断，则可通过证明有三个角是直角来直接证明．1.对于矩形的定义要注意两点1.对于矩形的定义要注意两点:a.是平行四边形;b.有一个角是直角.2.定义说有一个角是直角的平行四边形才是矩形,不要错误地理解为有一个角是直角的四边形是矩形.题型01利用矩形的性质求角度【例1】（2023·广东江门·统考二模）如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，已知∠BAC=35°，则∠BOCA．65° B．70° C．75° D．80°【变式1-1】（2022·安徽安庆·安庆市第二中学校考三模）如图，O是矩形ABCD的对角线交点，AE平分∠BAD，∠AOD=120°，∠

A．10° B．15° C．25° D．30°【变式1-2】（2023·山西大同·统考模拟预测）翻花绳是中国民间流传的儿童游戏，在中国不同的地域，有不同的称法，如线翻花、翻花鼓、挑绷绷、解股等等，如图1是翻花绳的一种图案，可以抽象成如右图，在矩形ABCD中，IJ∥KL,EF∥GH，

A．30° B．45° C．50° D．60°【变式1-3】（2023·重庆渝中·重庆巴蜀中学校考三模）如图，矩形ABCD中，点E为CD边的中点，连接AE，过E作EF⊥AE交BC于点F，连接AF，若∠BAF=α

A．α B．45°+α2 C．45°-α【变式1-4】（2023·安徽合肥·校考三模）如图，a∥b，矩形ABCD的顶点B在直线a上，若∠1=34°，则∠2的度数为（

A．34° B．46° C．56° D．66°题型02利用矩形的性质求线段长【例2】（2022·安徽·合肥38中校考模拟预测）如图，矩形ABCD的对角线交于点O，EF经过点O且EF⊥BD，EF分别与AD，BC交于点E，F，若AB=2，BC=4，则

A．32 B．2 C．52 D【变式2-1】（2023·广西南宁·校考二模）在矩形ABCD中，AB=3，将AB绕点B顺时针旋转α（0°＜α＜90°）得到BE，连接DE，若DE的最小值为2

【变式2-2】（2023·海南儋州·海南华侨中学校联考模拟预测）如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，点E为对角线BD上一点，连接AE，过点E作EF⊥AE交BC于点F．连接AF交BE于点O，若AB=AE，则线段AF与

【变式2-3】（2023·浙江宁波·校考一模）如图，矩形ABCD的两条对角线AC，BD相交于点O，OE⊥AB，垂足为E，F是OC的中点，连接EF交OB于点P，那么OP

【变式2-4】（2022·陕西西安·高新一中校考模拟预测）如图，在矩形ABCD中，AB=5，BC=4，E、F分别是AD、BC的中点，点P、Q在EF上．且满足PQ=2

题型03利用矩形的性质求面积【例3】（2023·福建泉州·统考模拟预测）如图，矩形ABCD中，E，F，G，H分别在AB，BC，CD，DA上，且AE=13AB，BF=13BC，CG=13CD

A．3 B．4 C．5 D．6【变式3-1】（2023·陕西渭南·统考二模）如图，AC是矩形ABCD的对角线，延长AB至E，使得ABBE=56，连接CE，若矩形ABCD的面积为20，则

A．16 B．14 C．12 D．10【变式3-2】（2023·山西太原·统考二模）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A和C分别落在y轴与x轴的正半轴上，OA=6，OC=8．若直线y=2x+

A．5 B．2 C．-2 D．【变式3-3】（2023·江苏常州·校考一模）如图，现将四根木条钉成的矩形框ABCD变形为平行四边形木框A'B'C'D'，且A'D'与CD相交于CD边的中点E，若AB【变式3-4】（2023·湖南湘西·模拟预测）如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，P是对角线AC上一点，AP=2，连接BD

题型04求矩形在坐标系中的坐标【例4】（2023·河南驻马店·驻马店市第二初级中学校考二模）如图，矩形ABCD的顶点A，B分别在x轴、y轴上，OB=4，OA=3，AD=10，将矩形ABCD绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，则第2023次旋转结束时，点DA．(6,5) B．(5,6) C．(-6,-5) D．(-5,-6)【变式4-1】（2023·天津河东·统考二模）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A在第一象限，B，D分别在y轴上，O是BD的中点.若AB=OB=23，则点

A．（3，3） B．-3,-3 C．(3，【变式4-2】（2022·山东聊城·校联考一模）如图，已知矩形AOBC的顶点O在坐标原点，点A的坐标是（－2，1），点B的纵坐标是3，则点C的坐标是（

）A．-12,4 B．-23,4【变式4-3】（2021·湖南株洲·统考一模）如图，在平面直角坐标系中，将矩形AOCD沿直线AE折叠，折叠后顶点D恰好落在边OC上的点F处．若点D的坐标为10,8，则点E的坐标为（）A．10,3 B．10,5 C．6,3 D．4,3【变式4-4】（2023·江西萍乡·统考模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线y=-12x+2分别与x轴、y轴交于点A、B，点M在坐标轴上，点N在坐标平面内，若以A、B、M、N为顶点的四边形为矩形，则点

题型05根据矩形的性质证明【例5】（2023·湖南娄底·统考一模）如图，已知四边形ABCD是矩形，BE⊥AC于E，DF⊥AC于F，连接(1)求证：四边形BEDF是平行四边形；(2)若AB=3，BC=4，求(3)求证：BE【变式5-1】（2023·江西吉安·校考模拟预测）如图，在矩形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，E是OA上一点，连接BE并延长至点F，使得∠ADF

(1)求证：DF∥(2)若OE=1，求DF【变式5-2】（2023·黑龙江哈尔滨·统考模拟预测）已知，矩形ABCD中，E、F为对角线AC上两点，连接BE、DF，且BE⊥AC于E，

(1)如图1，求证：AE=(2)如图2，连接DE、BF，当∠ACD=2∠ABE【变式5-3】（2023·安徽·统考模拟预测）如图，在矩形ABCD中，点E是AD的中点，连接EC，EB，过点B作EC的垂线交CD，CE于点F，G．设ADDC

(1)求证：△BGC(2)如图1，连接AG，若∠GAB=30°，求(3)如图2，若AG平分∠DAB，过点D作AG的垂线交EC，EB及CB的延长线分别于点P，H，M．若DH⋅CB题型06矩形的判定定理的理解【例6】（2023·河北沧州·模拟预测）如图为小亮在家找到的一块木板，他想检验这块木板的表面是不是矩形，但仅有一根足够长的细绳，现提供了如下两种检验方法：下列说法正确的是（

）A．方法一可行，方法二不可行 B．方法一不可行，方法二可行 C．方法一、二都可行 D．方法一、二都不可行【变式6-1】（2023·河北保定·统考一模）下列图形一定为矩形的是（

）A．B．C． D．【变式6-2】（2022·江苏南京·统考一模）要判断一个四边形的窗框是否为矩形，可行的测量方案是（）A．测量两组对边是否相等B．测量对角线是否相等C．测量对角线是否互相平分D．测量对角线交点到四个顶点的距离是否都相等【变式6-3】（2023·河北邯郸·统考一模）如图，在四边形ABCD中，给出部分数据，若添加一个数据后，四边形ABCD是矩形，则添加的数据是（

）A．CD=4 B．CD=2 C．OD=2题型07添加一个条件使四边形是矩形【例7】（2023·湖南常德·统考模拟预测）如图，在▱ABCD中，M、N是BD上的两点，BM=DN，连接AM、MC、CN、NA．请你添加一个条件

【变式7-1】（2022·黑龙江佳木斯·统考一模）如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，请你添加一个条件使▱

【变式7-2】（2023·山西晋城·统考一模）如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F在AC上，且AE=CF，连接BE，ED，DF，FB．若添加一个条件使四边形BEDF

题型08证明四边形是矩形【例8】（2023·广东梅州·统考一模）如图，四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AO=OC，BO=

(1)求证：四边形ABCD是矩形；(2)若∠AOB:∠ODC【变式8-1】（2022·山东滨州·校考一模）如图，点C是BE的中点，四边形ABCD是平行四边形．（1）求证：四边形ACED是平行四边形；（2）如果AB=AE，求证：四边形【变式8-2】（2022·广东深圳·统考一模）如图，等腰△ABC中，AB=AC，AD⊥BC交BC于D点，E点是AB的中点，分别过D，E两点作线段AC的垂线，垂足分别为(1)求证：四边形DEFG为矩形；(2)若AB=10，EF=4，求题型09根据矩形的性质与判定求角度【例9】（2021·河北唐山·统考二模）将矩形ABCD绕点A顺时针旋转α0°<α<360°，得到矩形AEFG．当GC=GBA．60°或300° B．60°或330° C．30° D．60°【变式9-1】（2020·福建龙岩·统考模拟预测）如图，∠MON＝90°，动点A、B分别位于射线OM、ON上，矩形ABCD的边AB＝6，BC＝4，则线段OC长的最大值是（）A．10 B．8 C．6 D．5【变式9-2】（2022·河北·一模）如图，四边形ABCD为矩形，依据尺规作图的痕迹，∠α与∠β的度数之间的关系为(

)A．β=180-α B．β=180°-12α C．β=90°-α D．【变式9-3】（2023·河南新乡·统考一模）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2，∠B=30°，点D、E分别在边BC、AB上，BD=2，DE∥AC，将△BDE绕点B旋转，点D、E旋转后的对应点分别是D'、题型10根据矩形的性质与判定求线段长【例10】（2023·山东枣庄·统考三模）如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=2，G是AD的中点，线段EF在边AB上左右滑动；若EF=1【变式10-1】（2021·广东中山·校联考一模）九年级融融陪同父母选购家装木地板，她感觉某品牌木地板拼接图（如实物图）比较美观，通过手绘（如图）、测量、计算发现点E是AD的黄金分割点，即DE≈0.618AD．延长HF与AD相交于点G，则EG≈DE.

【变式10-2】（2022·广东广州·统考一模）如图，在矩形ABCD中，AB=6，AD=8，点E是CD边上的一个动点（点E不与点C重合），延长DC到点F，使EC=2CF，且AF与BE交于点G.(1)当EC=4时，求线段BG的长:(2)设CF=x，△GEF的面积为y，求y与x的关系式，并求出y的最大值:(3)连接DG，求线段DG的最小值.题型11根据矩形的性质与判定求面积【例11】（2023·甘肃白银·统考一模）在矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，若△AOB的面积为2，则矩形ABCD的面积为（

A．4 B．6 C．8 D．10【变式11-1】（2022·内蒙古赤峰·统考模拟预测）如图，在Rt△ABC中，点D，E，F分别是边AB，AC，BC的中点，AC＝8，BC＝6，则四边形CEDF的面积是（）A．6 B．12 C．24 D．48【变式11-2】（2020·山东济宁·统考模拟预测）矩形ABCD的边BC上有一动点E，连接AE、DE，以AE、DE为边作平行四边形AEDF．在点E从点B移动到点C的过程中，平行四边形AEDF的面积（

）A．先变大后变小 B．先变小后变大 C．一直变大 D．保持不变【变式11-3】（2020·河北石家庄·统考模拟预测）如图，有一块四边形的铁板余料ABCD．经测量，AB＝50cm，BC=108cm，CD＝60cm，tanB＝tanC＝43，M、N边BC上，顶点P在CD上，顶点Q在AB上，且面积最大的矩形PQMN面积为cm2．【变式11-4】（2022·江苏无锡·统考二模）矩形ABCD中，AB=m，AD=n，连接BD，点P在线段BD上，连接AP过点P作PE⊥AP，交直线BC于点E，连接AE、PC．(1)若m=6，n=63；①当点E与点B重合时，求线段DP的长；②当EB=EP时，求线段BP的长；(2)若m=6，n=8，△PEC面积的最大值为(直接写出答案)．题型12根据矩形的性质与判定解决多结论问题【例12】（2023·河北·统考二模）如图，在四边形ABCD中，∠A=∠B=90°，AD=8cm，BC=6cm，点P从点D出发，以1cm/s的速度向点A运动，点M从点B同时出发，以相同的速度向点C

A．当t=3s时，四边形ABMP为矩形 B．当t=4C．当CD=PM时，t=3s D．当CD【变式12-1】（2022·湖南娄底·统考模拟预测）如图，在矩形ABCD中，DE平分∠ADC交BC于点E，点F是CD边上一点（不与点D重合）．点P为DE上一动点，PE<PD，将∠DPF绕点P逆时针旋转90°后，角的两边交射线DA于H，G两点，有下列结论：①DH=DE；②DP=DG；A．①② B．②③ C．①④ D．③④【变式12-2】（2023·山东临沂·统考二模）如图，在矩形ABCD中，AB=32,AD=6，点E，F分别是边AB，BC上的动点，点E不与A，B重合，且EF=AB，G是五边形AEFCD内满足GE=GF且∠EGF=90°的点，现给出以下结论：①∠AEG与∠GFB一定相等；②点G到边AB，BC的距离一定相等；③点G到边AD

【变式12-3】（2022·内蒙古赤峰·模拟预测）如图，在矩形ABCD中，AB=4cm，AD=12cm，P点在AD边上以每秒1cm的速度从A向D运动，点Q在BC边上，以每秒4cm的速度从C点出发，在C、B①该过程中，会出现4次PQ∥②该过程中，会出现3次四边形ABQP和四边形PQCD同时为矩形的时刻；③该过程中，当：t=5时，四边形ABQP和四边形PQCD的面积比为6∶5④该过程中，矩形ABQP和PQCD面积比的最大值为4∶3．上述说法正确的是（填序号）．【变式12-4】（2022·山东泰安·统考二模）如图，矩形ABCD中，O为AC中点，过点O的直线分别与AB、CD交于点E、F，连结BF交AC于点M，连结DE、BO．若∠COB＝60°，FO＝FC，则下列结论：①FB垂直平分OC；②△EOB≌△CMB；③DE＝EF；④S△AOE:

题型13与矩形有关的新定义问题【例13】（2023·浙江宁波·统考一模）定义：若一个矩形中，一组对边的两个三等分点在同一个反比例函数y=kx的图像上，则称这个矩形为“奇特矩形”．如图，在直角坐标系中，矩形ABCD是第一象限内的一个“奇特矩形”．且点A4,1，B7,1【变式13-1】（2023·广西南宁·广西大学附属中学校联考一模）我们给出如下定义：在平面内，点到图形的距离是指这个点到图形上所有点的距离的最小值．在平面内有一个矩形ABCD,AB=4,AD=2，中心为O，在矩形外有一点P，OP=3，当矩形绕着点O旋转时，则点【变式13-2】（2021·江西·校联考模拟预测）定义：有一组邻边相等，并且它们的夹角是直角的凸四边形叫做等腰直角四边形．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝9，P是对角线AC上一点，且AP：PC＝2：3，过点P作直线分别交边AD，BC于点E，F，使四边形ABFP是等腰直角四边形，则AE的长是．题型14与矩形有关的规律探究问题【例14】（2022·广东中山·统考三模）如图，在矩形ABCD中，AB=1，BC=2，连接AC，以对角线AC为边，按逆时针方向作矩形ACC1B1，使矩形ACC1B1∽矩形ADCB；再连接AC1，以对角线AA．5×522022 B．2×52【变式14-1】（2023·黑龙江鸡西·校考三模）如图，△ABC中，∠B=90°，BC=3，BC边上的高AB=1，点P1、Q1、H1分别在边AB、AC、BC上，且四边形P1Q1H1B为矩形，P1Q1:P1B=2:3，点

【变式14-2】（2019·辽宁·一模）在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点B3,4，A在x轴上，C在y轴上，对角线AC、OB交于C1，以OA、OC1为邻边作▱OAB1C1，对角线AC1、OB1交于C2，以OA、OC2为邻边作▱OAB2C2，对角线AC2

题型15与矩形有关的动点问题【例15】（2023·新疆乌鲁木齐·统考模拟预测）如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=5，点P是BC边上的一个动点（点P与点B,C都不重合），现将△PCD沿直线PD折叠，使点C落到点F处；过点P作∠BPF的角平分线交AB于点E．设BP=x，A．B．C．D．【变式15-1】（2023·广东潮州·二模）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°,∠A=30°，AB的长为a，动点D在AB边上从点A向点B运动，过点D作DE⊥AC,DF⊥BC，垂足分别为E，F，设AD的长为x，矩形CEDF的面积为y，A．2 B．4 C．6 D．8【变式15-2】（2023·广东清远·统考二模）如图，已知四边形ABCD为矩形，AB=8,AD=6,F是BC边上一动点，O是AC的中点，OE⊥OF交AB于E，连接EF、OB．若OB将【变式15-3】（2023·广东茂名·统考二模）如图，在矩形ABCD中，已知AB=122，BC=162，点P是边BC上一动点（点P不与点B，C重合），连接AP，作点B关于直线AP的对称点M，连接MP，作∠MPC的角平分线交边CD于点N【变式15-4】（2024·上海普陀·统考一模）如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，E是边BC延长线上一点，过点B作BM⊥DE，垂足为点M，联结(1)求证∶△DCE(2)∠CME的大小是否是一个确定的值？如果是，求出．∠CME的正切值；如果不是，那么用含字母a的代数式表示∠(3)P是边AD上一动点(不与点A、D重合)，联结PB、PM．随着点P位置的变化，在△PBM中除∠BPM外的两个内角是否会有与∠CME相等的角，如果有，请用含字母a题型16矩形与一次函数综合【例16】（2022·陕西西安·校考模拟预测）如图，一次函数y=-2x+6的图象交x轴于点A，交y轴于点B，点P在线段AB上(不与点A，B重合)，过点P分别作OA和OB的垂线，垂足为C，D．当矩形OCPD的面积为4时，点P的坐标为

A．(2，2) B．12，5 C．(1，4)或12，5 D．(1，【变式16-1】（2018·江苏盐城·校联考二模）已知平面上四点A（0，0）、B（10，0）、C（10，6）、D（0，6），一次函数y＝kx﹣1的图象将四边形ABCD分成面积相等的两部分，则k的值为．【变式16-2】（2022·广东深圳·模拟预测）如图，ABCD是一矩形纸片，E是AB上的一点，且BE:EA=5:3，EC=155，把ΔBCE沿折痕EC向上翻折，若点B恰好落在AD边上，设这个点是F，以点A为原点，以直线AD为x轴，以直线BA为y轴，则过点题型17矩形与反比例函数综合【例17】（2023·江苏泰州·校考三模）如图，已知矩形ABCD的对角线BD中点E与点B、F都在反比例函数y=kx

A．14 B．13 C．12【变式17-1】（2023·辽宁锦州·统考一模）如图，矩形OABC的顶点A，C分别在x轴，y轴的正半轴上，点B在第一象限，反比例函数y=kx(x>0)的图象交矩形的对角线OB于点D，分别交BC，AB于点E，F，连接DE，DF．若OD

【变式17-2】（2021·广东深圳·深圳市宝安中学（集团）校考二模）如图，在平面直角坐标系中，C，A分别为x轴、y轴正半轴上的点，以OA，OC为边，在第一象限内作矩形OABC，且S矩形OABC=82，将矩形OABC翻折，使点B与原点重合，折痕为MN，点C的对应点C'落在第四象限，过M点的反比例函数y=kx

【变式17-3】（2023·河南安阳·统考模拟预测）如图，矩形AOBC中，OB=3，点D，E分别在AC，BC上，且CD=CE=2，反比例函数y=

(1)请用含k的式子表示点D，C，E的坐标：点D________，点C________，点E________；(2)利用（1）的结论，求反比例函数的解析式；(3)连接OD，OE，DE，求△ODE【变式17-4】（2023·山东济南·统考二模）如图，一次函数y=12x+a的图象与反比例函数y=

(1)求a，k的值；(2)点C在反比例函数图象上，直线CA与x轴交于点D，AC=AD，连接CB，求(3)点E在x轴上，点F是坐标系内一点，当四边形AEBF为矩形时，求点E的坐标．【变式17-5】（2023·河南南阳·校考三模）如图，平面直角坐标系中，某图形W由线段AB，BC，DE，EF，AF和反比例函数图象的一段CD构成，其中，A-4,0，B4,0，∠FAB=∠CBA=90°，DE=3，AF=BC=1，DE∥x轴且点E的纵坐标为4，设直线EF的解析式为y=ax+b，双曲线CD的解析式为y=kx．点P为双曲线CD上一个动点，过点(1)求直线EF和双曲线CD的解析式；(2)若GO分矩形PQNM的面积比为2：1，求出点P的坐标．题型18矩形与二次函数综合【例18】（2023·江苏无锡·统考一模）如图，已知二次函数y=x2+mx+8的图像交y轴于点A，作AB平行于x轴，交函数图像于另一点B（点B在第一象限）．作BC垂直于x轴，垂足为C，点D在BC上，且CD=13BD．点E是线段(1)当∠BED=60°时，若点B'到y(2)若点E在AB上有且只有一个位置，使得点B'到x轴的距离为3，求m【变式18-1】（2023·安徽黄山·校考模拟预测）如图，若二次函数y=ax2+bx+4的图象与x轴交于点A-1，(1)求该二次函数的解析式；(2)若点Q是抛物线上一动点，在平面内是否存在点K，使以点B、C、Q、K为顶点，BC为边的四边形是矩形？若存在请求出点K的坐标；若不存在，请说明理由．【变式18-2】（2021·吉林延边·校考一模）如图，二次函数y=-x2+2x+m的图象与x轴的一个交点为A(3，0)，另一个交点为B．且与y轴交于点C．（1）求m的值；（2）求点B的坐标；（3）该二次函数图象上有一点D(x，y)(其中x>0，y>0)，且S△ABD=（4）若点P在直线AC上，点Q是平面内一点，是否存在点Q，使以点A、B、P、Q为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【变式18-3】（2021·江苏苏州·统考一模）对于二次函数y=x2-3x+2和一次函数y=-2x+4，把y=tx2-【尝试】判断点A是否在抛物线E上．【发现】对于t取任何不为零的实数，抛物线E总过定点，坐标为_______．【应用】以AB为边作矩形ABCD，使得其中一个顶点落在y轴上：若抛物线E经过A，B，C，D其中的三点，求出所有符合条件的t的值．考点二矩形的折叠问题矩形的折叠问题的常用解题思路：1）对折叠前后的图形进行细致分析，折叠后的图形与原图形全等，对应边、对应角分别相等，找出各相等的边或角；2）折痕可看作角平分线（对称线段所在的直线与折痕的夹角相等）．3)折痕可看作垂直平分线（互相重合的两点之间的连线被折痕垂直平分）.4）选择一个直角三角形(不找以折痕为边长的直角三角形)，利用未知数表示其它直角三角形三边，通过勾股定理/相似三角形知识求解.模型一：思路：模型二：思路：模型三：思路：尝试借助一线三垂直知识利用相似的方法求解模型四：思路：模型五：思路：模型六：点M,点N分别为DC，AB中点思路：模型七：点A’为BC中点思路：过点F作FH⊥AE，垂足为点H设AE=A’E=x，则BE=8-x由勾股定理解得x=174∴BE=由于△EBA’∽△A’CG∽△FD’G∴A’G=3415CG=1615DF=D’F=AH=134题型01与矩形有关的折叠问题类型一沿对角线翻折（模型一）【例1】（2023·陕西·模拟预测）如图，在矩形纸片ABCD中，AB=5，BC=3，将△BCD沿BD折叠到△BED位置，DE交AB于点F，则cosA．817 B．715 C．1517【变式1-1】（2023·山东淄博·统考一模）如图，将矩形ABCD沿对角线AC折叠，点B的对应点为E，AE与CD交于点F．(1)求证：△DAF(2)若∠FCE=40°，求【变式1-2】（2018·广东河源·校考一模）如图，将矩形ABCD沿对角线AC翻折，点B落在点E处，FC交AD于F．（1）求证：△AFE≌△CDF；（2）若AB=4，BC=8，求图中阴影部分的面积．

类型二将矩形短边顶点翻折到对角线上（模型二）【例2】（2023·山东青岛·青岛大学附属中学校考二模）如图，已知BD是矩形ABCD的对角线，AB＝6，BC＝8，点E，F分别在边AD，BC上，连结BE，DF．将△ABE沿BE翻折，将△DCF沿DF翻折，若翻折后，点A，C分别落在对角线BD上的点G，H处，连结GF．则下列结论不正确的是（

）A．BD＝10 B．HG＝2 C．EG∥FH D．GF【变式2-1】（2021·浙江衢州·校考一模）如图是一张矩形纸片，点E在AB边上，把△BCE沿直线CE对折，使点B落在对角线AC上的点F处，连接DF．若点E，F，D在同一条直线上，AE＝2，则DF＝，BE＝【变式2-2】（2018·湖南娄底·统考一模）如图，在矩形纸片ABCD中，AB=12，BC=5，点E在AB上，将△DAE沿DE折叠，使点A落在对角线BD上的点A'处，则AE的长为

【变式2-3】（2019·湖南株洲·统考一模）如图，矩形纸片ABCD中，已知AD=8，折叠纸片使AB边与对角线AC重合，点B落在点F处，折痕为AE，且EF=3，则AB的长为．类型三将矩形短边顶点翻折到长边上（模型三）【例3】（2023·河北石家庄·校联考一模）如图，在矩形ABCD中，点M在AB边上，把△BCM沿直线CM折叠，使点B落在AD边上的点E处，连接EC，过点B作BF⊥EC，垂足为F，若CD=1,CF=2A．5-2 B．3-1 C．【变式3-1】（2020·河南·模拟预测）如图，在矩形ABCD中，点E在DC上，将矩形沿AE折叠，使点D落在BC边上的点F处．若AB＝3，BC＝5，则tan∠DAE的值为（

）A．12 B．920 C．25【变式3-2】（2022·四川达州·统考一模）如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝3，点E为BC上一点，把△CDE沿DE翻折，点C恰好落在AB边上的F处，则CE的长是（

）A．1 B．43 C．32 D【变式3-3】（2021·四川广安·校考二模）在矩形ABCD的CD边上取一点E，将ΔBCE沿BE翻折，使点C恰好落在AD边上点F处．（1）如图1，若BC=2BA，求（2）如图2，当AB=5，且AF⋅FD（3）如图3，延长EF，与∠ABF的角平分线交于点M，BM交AD于点N，当NF=AN类型四矩形短边沿折痕翻折（模型四）【例4】（2021·山东聊城·统考一模）如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝6，点M，N分别在AD，BC上，且AM＝BN，AD＝3AM，E为BC边上一动点，连接DE，将△DCE沿DE所在直线折叠得到△DC′E，当C′点恰好落在线段MN上时，CE的长为（

）A．52或2 B．52 C．32或2【变式4-1】（2023·广西·模拟预测）如图，在矩形纸片ABCD中，点E在BC边上，将△CDE沿DE翻折得到△FDE，点F落在AE上．若CE=3cm，AF=2【变式4-2】（2019·黑龙江大庆·中考模拟）如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=2，点E为线段AB上的动点，将△CBE沿CE折叠，使点B落在矩形内点F处，则AF的最小值为．【变式4-3】（2021·黑龙江佳木斯·统考二模）矩形纸片ABCD，长AD=8cm，宽AB=4cm，折叠纸片，使折痕经过点B，交AD边于点E，点A落在点A'处，展平后得到折痕BE，同时得到线段BA'，E类型五通过翻折将矩形两个顶点重合（模型五）【例5】（2022·江苏无锡·校联考一模）如图，在平面直角坐标系中，C，A分别为x轴、y轴正半轴上的点，以OA，OC为边，在第一象限内作矩形OABC，且S矩形OABC＝22，将矩形OABC翻折，使点B与原点O重合，折痕为MN，点C的对应点C'落在第四象限，过M点的反比例函数y＝kx（k≠0）的图象恰好过MN的中点，则k的值为，点C'的坐标为．【变式5-1】（2023·江苏徐州·统考一模）如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点B与点D重合，点A落在点P处，折痕为EF．(1)求证：△PDE(2)若CD=4cm,【变式5-2】（2022·江苏徐州·模拟预测）如图，将一张长方形纸片ABCD沿E折叠，使C,A两点重合．点D落在点G处．已知AB=4（1）求证：ΔAEF是等腰三角形；（2）求线段FD的长．类型六将矩形短边顶点翻折到对称轴上（模型六）【例6】（2023·河南信阳·校考三模）如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=10，将矩形翻折，使边AD与边BC重合，展开后得到折痕MN，E是AD的中点，动点F从点D出发，沿D→C→B的方向在DC和CB上运动，将矩形沿EF翻折，点D的对应点为G，点C的对应点为C'，当点G恰好落在

【变式6-1】（2022·福建福州·福建省福州屏东中学校考一模）如图，在矩形ABCD中，E、F分别为AD、BC的中点，将△ADM沿AM所在直线折叠，使点D落到EF上点G处，已知BC＝4，则线段EG的长度为．【变式6-2】（2023·河南南阳·校联考一模）【初步探究】（1）把矩形纸片ABCD如图①折叠，当点B的对应点B'在MN的中点时，填空：△EB'M△B'AN（【类比探究】（2）如图②，当点B的对应点B'为MN上的任意一点时，请判断（1【问题解决】（3）在矩形ABCD中，AB=4,BC=6，点E为BC中点，点P为线段AB上一个动点，连接EP，将△BPE沿PE折叠得到△B'PE，连接DE【变式6-3】（2021·甘肃兰州·统考模拟预测）[问题解决]（1）如图①，在矩形纸片ABCD中，E是BC边的中点，将△ABE沿AE折叠得到△AFE，点B的对应点F恰好落在AD边上，请你判断四边形ABEF的形状，并说明理由；[问题探索]（2）如图②，在矩形纸片ABCD中，E是BC边的中点，将△ABE沿AE折叠得到△AFE，点B的对应点F在矩形纸片ABCD的内部，延长AF交CD于点G，求证：FG＝CG；[拓展应用]（3）如图③，在正方形纸片ABCD中，E是BC边的中点，将△ABE沿AE折叠得到△