质点力学中的守恒定律

关于质点力学中的守恒定律国际单位：焦耳（J

）N·m质点由a点沿曲线运动到b点的过程中，变力所作的功。元功：第2页,共85页，2024年2月25日，星期天合力的功：结论：合力对质点所作的功等于每个分力对质点作功之代数和。第3页,共85页，2024年2月25日，星期天在直角坐标系Oxyz中第4页,共85页，2024年2月25日，星期天功率是反映作功快慢程度的物理量。功率：单位时间内所作的功。平均功率：瞬时功率：瓦特（W）=（J/s）第5页,共85页，2024年2月25日，星期天例1、设作用在质量为2kg的物体上的力F=6tN。如果物体由静止出发沿直线运动，在头2（s）内这力作了多少功？解：两边积分：第6页,共85页，2024年2月25日，星期天§2-2动能和动能定理动能：质点因有速度而具有的作功本领。单位：（J）设质点m在力的作用下沿曲线从a点移动到b点元功：

1．质点动能定理第7页,共85页，2024年2月25日，星期天总功：质点的动能定理：合外力对质点所做的功等于质点动能的增量。第8页,共85页，2024年2月25日，星期天§2-3势能机械能守恒定律一.保守力做功1.重力做功初始位置末了位置第9页,共85页，2024年2月25日，星期天重力做功仅取决于质点的始、末位置za和zb，与质点经过的具体路径无关。2.万有引力作功设质量为M的质点固定，另一质量为m的质点在M的引力场中从a点运动到b点。

cMab第10页,共85页，2024年2月25日，星期天万有引力作功只与质点的始、末位置有关，而与具体路径无关。3.弹性力的功xbboxamxamFx由胡克定律：第11页,共85页，2024年2月25日，星期天弹性力作功只与弹簧的起始和终了位置有关，而与弹性变形的过程无关。4.保守力：作功与路径无关，只与始末位置有关的力。第12页,共85页，2024年2月25日，星期天保守力的特点：保守力沿任何闭合路径作功等于零。证明：设保守力沿闭合路径acbda作功abcd按保守力的特点：因为：所以：证毕第13页,共85页，2024年2月25日，星期天1.保守力的功与势能的关系：物体在保守力场中a、b两点的势能Epa与

Epb之差，等于质点由a点移动到b点过程中保守力所做的功Wab。保守力做功在数值上等于系统势能增量的负值。二.势能由物体的相对位置所确定的系统能量称为势能第14页,共85页，2024年2月25日，星期天说明：（1）势能是一个系统的属性。势能的大小只有相对的意义，相对于势能的零点而言。（2）（3）势能的零点可以任意选取。设空间r0点为势能的零点，则空间任意一点r的势能为：结论：空间某点的势能Ep在数值上等于质点从该点移动到势能零点时保守力做的功。第15页,共85页，2024年2月25日，星期天2.重力势能：（地面（h=0）为势能零点）（弹簧平衡位置处为势能零点）引力势能：（无限远处为势能零点）弹性势能：第16页,共85页，2024年2月25日，星期天保守力与势能的积分关系：保守力与势能的微分关系：因为：第17页,共85页，2024年2月25日，星期天所以：保守力的矢量式：保守力沿各坐标方向的分量，在数值上等于系统的势能沿相应方向的空间变化率的负值，其方向指向势能降低的方向。结论：第18页,共85页，2024年2月25日，星期天三．质点系的动能定理i一个由n个质点组成的质点系，考察第i个质点。质点的动能定理：

对系统内所有质点求和第19页,共85页，2024年2月25日，星期天质点系动能的增量等于作用于系统的所有外力和内力作功之代数和。质点系的动能定理：内力做功可以改变系统的总动能。值得注意：第20页,共85页，2024年2月25日，星期天机械能守恒定律质点系的动能定理：其中第21页,共85页，2024年2月25日，星期天机械能质点系机械能的增量等于所有外力和所有非保守内力所作功的代数和。质点系的功能原理如果，机械能守恒第22页,共85页，2024年2月25日，星期天当系统只受保守内力作功时，质点系的总机械能保持不变。机械能守恒定律注意：（1）机械能守恒定律只适用于惯性系，不适合于非惯性系。这是因为惯性力可能作功。（2）在某一惯性系中机械能守恒，但在另一惯性系中机械能不一定守恒。这是因为外力的功与参考系的选择有关。对一个参考系外力功为零，但在另一参考系中外力功也许不为零。第23页,共85页，2024年2月25日，星期天例3.传送带沿斜面向上运行速度为v=1m/s，设物料无初速地每秒钟落到传送带下端的质量为M=50kg/s，并被输送到高度h=5m处，求配置的电动机所需功率。（忽略一切由于摩擦和碰撞造成的能量损失）解：在Δt时间内，质量为MΔt的物料落到皮带上，并获得速度v。Δt内系统动能的增量：重力做功：第24页,共85页，2024年2月25日，星期天电动机对系统做的功：由动能定理：第25页,共85页，2024年2月25日，星期天例4.一长度为2l的均质链条，平衡地悬挂在一光滑圆柱形木钉上。若从静止开始而滑动，求当链条离开木钉时的速率（木钉的直径可以忽略）解设单位长度的质量为λ始末两态的中心分别为c和c′机械能守恒：解得第26页,共85页，2024年2月25日，星期天例5.计算第一，第二宇宙速度1.第一宇宙速度已知：地球半径为R，质量为M，卫星质量为m。要使卫星在距地面h高度绕地球作匀速圆周运动，求其发射速度。解：设发射速度为v1，绕地球的运动速度为v。机械能守恒：RMm第27页,共85页，2024年2月25日，星期天由万有引力定律和牛顿定律：解方程组，得：代入上式，得：第28页,共85页，2024年2月25日，星期天2.第二宇宙速度宇宙飞船脱离地球引力而必须具有的发射速度（1）脱离地球引力时，飞船的动能必须大于或至少等于零。由机械能守恒定律：解得：（2）脱离地球引力处，飞船的引力势能为零。第29页,共85页，2024年2月25日，星期天例2如图所示，用质量为M的铁锤把质量为m的钉子敲入木板。设木板对钉子的阻力与钉子进入木板的深度成正比。在铁锤敲打第一次时，能够把钉子敲入1cm深，若铁锤第二次敲钉子的速度情况与第一次完全相同，问第二次能把钉子敲入多深？解设铁锤敲打钉子前的速度为v0，敲打后两者的共同速度为v。第30页,共85页，2024年2月25日，星期天铁锤第一次敲打时，克服阻力做功，设钉子所受阻力大小为：由动能定理，有：设铁锤第二次敲打时能敲入的深度为ΔS，则有第31页,共85页，2024年2月25日，星期天化简后第二次能敲入的深度为：第32页,共85页，2024年2月25日，星期天§2-5动量守恒定律一.动量车辆超载容易引发交通事故车辆超速容易引发交通事故第33页,共85页，2024年2月25日，星期天结论：物体的运动状态不仅取决于速度，而且与物体的质量有关。动量：运动质点的质量与速度的乘积。单位：kg·m·s-1由n个质点所构成的质点系的动量：第34页,共85页，2024年2月25日，星期天二.动量定理1．质点的动量定理

运动员在投掷标枪时，伸直手臂，尽可能的延长手对标枪的作用时间，以提高标枪出手时的速度。

冲量是反映力对时间的累积效应。冲量：作用力与作用时间的乘积。恒力的冲量：第35页,共85页，2024年2月25日，星期天变力的冲量：单位：N·s牛顿运动定律：动量定理的微分式：如果力的作用时间从，质点动量从第36页,共85页，2024年2月25日，星期天质点动量定理：质点在运动过程中，所受合外力的冲量等于质点动量的增量。说明：（1）冲量的方向与动量增量的方向一致。动量定理中的动量和冲量都是矢量，符合矢量叠加原理。因此在计算时可采用平行四边形法则。或把动量和冲量投影在坐标轴上以分量形式进行计算。（2）第37页,共85页，2024年2月25日，星期天平均冲力：第38页,共85页，2024年2月25日，星期天结论：物体动量变化一定的情况下，作用时间越长，物体受到的平均冲力越小；反之则越大。

海绵垫子可以延长运动员下落时与其接触的时间，这样就减小了地面对人的冲击力。

第39页,共85页，2024年2月25日，星期天2．质点系的动量定理设有n个质点构成一个系统第i个质点：外力内力初速度末速度质量由质点动量定理：i第40页,共85页，2024年2月25日，星期天F1f12m1m2f21F2其中：系统总末动量：系统总初动量：合外力的冲量：系统总末动量：系统总初动量：第41页,共85页，2024年2月25日，星期天质点系的动量定理：微分式：质点系统所受合外力的冲量等于系统总动量的增量。注意：系统的内力不能改变整个系统的总动量。

第42页,共85页，2024年2月25日，星期天例1、质量m=1kg的质点从o点开始沿半径R=2m的圆周运动。以o点为自然坐标原点。已知质点的运动方程为m。试求从s到s这段时间内质点所受合外力的冲量。解：mv2mv1o第43页,共85页，2024年2月25日，星期天

第44页,共85页，2024年2月25日，星期天例5.一颗子弹在枪筒里前进时所受的合力大小为F=400-4105t/3，子弹从枪口射出时的速率为300m/s。设子弹离开枪口处合力刚好为零。求：（1）子弹走完枪筒全长所用的时间t。（2）子弹在枪筒中所受力的冲量I。（3）子弹的质量。解：（1）（2）（3）第45页,共85页，2024年2月25日，星期天三.动量守恒定律质点系的动量定：当时，有系统所受合外力为零时，系统的总动量保持不变。条件：动量守恒定律：第46页,共85页，2024年2月25日，星期天说明：（1）系统的总动量守恒并不意味着系统内各个质点的动量不变，而是指系统动量总和不变。（2）当外力作用远小于内力作用时，可近似认为系统的总动量守恒。（如：碰撞，打击等）动量守恒的分量式：动量守恒定律是物理学中最重要、最普遍的规律之一，它不仅适合宏观物体，同样也适合微观领域。第47页,共85页，2024年2月25日，星期天2-7碰撞两个或两个以上的物体在运动中发生极其短暂的相互作用，使物体的运动状态发生急剧变化，这一过程称为碰撞。第48页,共85页，2024年2月25日，星期天动量守恒完全弹性碰撞：碰撞后物体系统的机械能没有损失。非弹性碰撞：碰撞后物体系统的机械能有损失。完全非弹性碰撞：碰撞后物体系统的机械能有损失，且碰撞后物体以同一速度运动。第49页,共85页，2024年2月25日，星期天1.完全弹性碰撞(1)

如果m1=

m2

，则v1=

v20，v2=v10，即两物体在碰撞时速度发生了交换。(2)

如果v20=0

,且m2

>>

m1,则v1=

-

v10,

v2=

0第50页,共85页，2024年2月25日，星期天2．完全非弹性碰撞

由动量守恒定律完全非弹性碰撞中动能的损失

第51页,共85页，2024年2月25日，星期天牛顿的碰撞定律：在一维对心碰撞中，碰撞后两物体的分离速度v2-v1与碰撞前两物体的接近速度v10-v20

成正比，比值由两物体的材料性质决定。3．非弹性碰撞

e为恢复系数

e

=

0，则v2

=v1，为完全非弹性碰撞。e=1，则分离速度等于接近速度，为完全弹性碰撞。一般非弹性碰撞碰撞：0

<

e<

1

第52页,共85页，2024年2月25日，星期天§2-8角动量守恒定律设：t时刻质点的位矢质点的动量运动质点相对于参考原点O的角动量定义为：单位：Kg·m2·s-1一.质点的角动量第53页,共85页，2024年2月25日，星期天角动量大小：角动量的方向：

矢经和动量的矢积方向如果质点绕参考点O作圆周运动角动量与所取的惯性系有关；角动量与参考点O的位置有关。注意：第54页,共85页，2024年2月25日，星期天质点对参考点的角动量在通过点的任意轴线上的投影，称为质点对轴线的角动量。质点系的角动量设各质点对O点的位矢分别为动量分别为第55页,共85页，2024年2月25日，星期天二.力矩质点的角动量

随时间的变化率为1．力对参考点的力矩式中第56页,共85页，2024年2月25日，星期天质点角动量的改变不仅与所受的作用力有关，而且与参考点O到质点的位矢有关。定义：外力对参考点O的力矩：力矩的大小：力矩的方向由右手螺旋关系确定，垂直于和确定的平面。第57页,共85页，2024年2月25日，星期天设作用于质点系的作用力分别为：作用点相对于参考点O的位矢分别为：相对于参考点O的合力矩为：第58页,共85页，2024年2月25日，星期天三.角动量定理角动量守恒定律质点的角动量定理：质点对某一参考点的角动量随时间的变化率等于质点所受的合外力对同一参考点的力矩。角动量定理的积分式：称为“冲量矩”第59页,共85页，2024年2月25日，星期天质点系的角动量：两边对时间求导：上式中上式中∴合内力矩为零第60页,共85页，2024年2月25日，星期天质点系对某一参考点的角动量随时间的变化率等于系统所受各个外力对同一参考点力矩之矢量和。质点系角动量定理：第61页,共85页，2024年2月25日，星期天质点系角动量定理的积分式：作用于质点系的冲量矩等于质点系在作用时间内的角动量的增量。如果则质点或质点系的角动量守恒定律：当系统所受外力对某参考点的力矩之矢量和始终为零时，质点系对该点的角动量保持不变。第62页,共85页，2024年2月25日，星期天质点系对z轴的角动量守恒定律：系统所受外力对z轴力矩的代数和等于零，则质点系对该轴的角动量守恒。角动量守恒定律是自然界的一条普遍定律，它有着广泛的应用。第63页,共85页，2024年2月25日，星期天证明开普勒第二定律：行星和太阳之间的连线在相等时间内扫过的椭圆面积相等

。有心力作用下角动量守恒证毕证第64页,共85页，2024年2月25日，星期天§2-5守恒定律和对称性第65页,共85页，2024年2月25日，星期天例3、火箭以2.5103m/s的速率水平飞行，由控制器使火箭分离。头部仓m1=100kg，相对于火箭的平均速率为103m/s

。火箭容器仓质量m2=200kg。求容器仓和头部仓相对于地面的速率。解：v=2.5103m/svr=103m/s设：头部仓速率为v1，容器仓速率为v2第66页,共85页，2024年2月25日，星期天例4.宇宙飞船在宇宙尘埃中飞行，尘埃密度为。如果质量为mo的飞船以初速vo穿过尘埃，由于尘埃粘在飞船上，致使飞船速度发生变化。求飞船的速度与其在尘埃中飞行的时间的关系。（设飞船为横截面面积为S的圆柱体）解：某时刻飞船速度：v，质量：m动量守恒：质量增量：mv第67页,共85页，2024年2月25日，星期天第68页,共85页，2024年2月25日，星期天2-2-4火箭飞行原理设：

t时刻：火箭的质量为M，速度为v；t+dt时刻：火箭的质量为M+dM速度为v+dv喷出气体的质量为-dM

相对于火箭的速度为ur第69页,共85页，2024年2月25日，星期天略去二阶无穷小量设：初始火箭总质量M0，壳体本身的质量为M1，燃料耗尽时火箭的速度为第70页,共85页，2024年2月25日，星期天为质量比多级火箭：一级火箭速率：设各级火箭的质量比分别为N1、N2、N3、…二级火箭速率：三级火箭速率：第71页,共85页，2024年2月25日，星期天三级火箭所能达到的速率为：设，N1=N2=N3

=3得这个速率已超过了第一宇宙速度。第72页,共85页，2024年2月25日，星期天2-2-5质心与质心运动定理1．质心设由n个质点构成一质点系质量：m1、m2、…、mn，位矢：

、

、…、

第73页,共85页，2024年2月25日，星期天质心位置的分量式：连续体的质心位置：对于密度均匀，形状对称的物体，其质心都在它的几何中心。说明：第74页,共85页，2024年2月25日，星期天2．质心运动定理质心位置公式：结论：质点系的总动量等于总质量与其质心运动速度的乘积。由质点系动量定理的微分式可得：第75页,共85页，2024年2月25日，星期天质心运动定理：作用于质点系上的合外力等于质点系的总质量与质心加速度的乘积。质心的两个重要性质：系统在外力作用下，质心的加速度等于外力的矢量和除以系统的总质量。（2）系统所受合外力为零时，质心的速度为一恒矢量，内力既不能改变质点系的总动量,也就不能改变质心的运动状态

。（1）第76页,共85页，2024年2月25日，星期天例3.有质量为2m的弹丸，从地面斜抛出去，它的落地点为xc。如果它在飞行到最高点处爆炸成质量相等的两碎片。其中一碎片铅直自由下落，另一碎片水平抛出，它们同时落地。问第二块碎片落在何处。解：在爆炸的前后，质心始终只受重力的作用，因此，质心的轨迹为一抛物线，它的落地点为xc。xcx2ox第77页,共85页，2024年2月25日，星期天如果系统的状态在某种操作下保持不变，则称该系统对于这一操作具有对称性。如果某一物理现象或规律在某