隐函数及参数方程求导

关于隐函数及参数方程求导2定义1.隐函数的定义所确定的函数一、隐函数的导数称为隐函数(implicitfunction).的形式称为显函数.隐函数的可显化为函数例开普勒方程开普勒(J.Kepler)1571-1630德国数学家,天文学家.的隐函数客观存在,但无法将表达成的显式表达式.显化.第2页,共29页，2024年2月25日，星期天32.隐函数求导法隐函数求导法则

用复合函数求导法则,并注意到其中将方程两边对x求导.变量y是x的函数.隐函数不易显化或不能显化？如何求导第3页,共29页，2024年2月25日，星期天4隐函数求导方法:

两边对

x

求导(含导数的方程)解第4页,共29页，2024年2月25日，星期天5

虽然隐函数没解出来,但它的导数求出来了,当然结果中仍含有变量y.允许在的表达式中含有变量y.一般来说,隐函数求导,

求隐函数的导数时,只要记住x是自变量,将方程两边同时对x求导,就得到一个含有导数从中解出即可.于是y的函数便是x的复合函数,的方程.y是x的函数,第5页,共29页，2024年2月25日，星期天6解解得23)4(xy-)112(2-¢×yy第6页,共29页，2024年2月25日，星期天7例2.解第7页,共29页，2024年2月25日，星期天8例3.求椭圆在点处的切线方程.解:

椭圆方程两边对

x

求导故切线方程为即第8页,共29页，2024年2月25日，星期天练习解在题设方程两边同时对自变量求导,得解得求由方程所确定的函数在点处的切线方程.在点处于是,在点处的切线方程为即第9页,共29页，2024年2月25日，星期天10对数求导法1.方法:2.适用范围:先在两边取对数,然后利用隐函数的求导方法求出y的导数.适用于幂指函数及某些用连乘,连除表示的函数.例如幂指函数：两端对x求导：第10页,共29页，2024年2月25日，星期天11例.解等式两边取对数得也可这样求:第11页,共29页，2024年2月25日，星期天12例.解等式两边取对数得第12页,共29页，2024年2月25日，星期天13另例两边取对数两边对

x求导第13页,共29页，2024年2月25日，星期天二、由参数方程所确定的函数的导数例如消去参数问题:消参困难或无法消参如何求导?第14页,共29页，2024年2月25日，星期天由复合函数及反函数的求导法则得第15页,共29页，2024年2月25日，星期天?由于思考与讨论:则第16页,共29页，2024年2月25日，星期天17若上述参数方程中二阶可导,且则由它确定的函数可求二阶导数.利用新的参数方程,可得第17页,共29页，2024年2月25日，星期天例.解

所求切线方程为第18页,共29页，2024年2月25日，星期天例求由摆线的参数方程所表示的函数的二阶导数.t一个圆沿一直线缓慢地滚动，则圆上一固定点所经过的轨迹称为摆线．第19页,共29页，2024年2月25日，星期天解第20页,共29页，2024年2月25日，星期天练习：解第21页,共29页，2024年2月25日，星期天22例.抛射体运动轨迹的参数方程为求抛射体在时刻t的运动速度的大小和方向.解:

先求速度大小:速度的水平分量为垂直分量为故抛射体速度大小再求速度方向(即轨迹的切线方向):设

为切线倾角,则第22页,共29页，2024年2月25日，星期天23抛射体轨迹的参数方程速度的水平分量垂直分量达到最高点的时刻高度落地时刻抛射最远距离速度的方向第23页,共29页，2024年2月25日，星期天三、相关变化率相关变化率问题:已知其中一个变化率时如何求出另一个变化率?第24页,共29页，2024年2月25日，星期天25为两可导函数之间有联系之间也有联系称为相关变化率相关变化率问题解法:找出相关变量的关系式对

t求导得相关变化率之间的关系式求出未知的相关变化率第25页,共29页，2024年2月25日，星期天26例.一气球从离开观察员500m

处离地面铅直上升,其速率为当气球高度为500m时,观察员视线的仰角增加率是多少?解:设气球上升

t

分后其高度为h

,仰角为

,则两边对

t求导已知

h=500m时,第26页,共29页，2024年2月25日，星期天27思考题:当气球升至500m

时停住,有一观测者以100m／min的速率向气球出发点走来,当距离为500m时,仰角的增加率是多少?提示:

对

t求导已知求第27页,共29页，2024年2月25日，星期天28试求当容器内水例.有一底半径为Rcm,高为hcm的圆锥容器,今以自顶部向容器内注水,位等于锥高的一半时水面上升的速度.