新-第5讲(学生版)-勾股定理经典例题

第5讲勾股定理经典题类型一：勾股定理的直接用法1、在Rt△ABC中，∠C=90°

(1)a=6，c=10，求b，(2)a=40，b=9，求c；(3)c=25，b=15，求a.思路点拨:写解的过程中，一定要先写上在哪个直角三角形中，注意勾股定理的变形使用。举一反三【变式】:如图∠B=∠ACD=90°,AD=13,CD=12,BC=3,那么AB的长是多少?

类型二：勾股定理的构造应用如图，：在中，，，.求：BC的长.

举一反三【变式1】如图，：，，于P.求证：.

【变式2】：如图，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，CD=2。求：四边形ABCD的面积。

类型三：勾股定理的实际应用

〔一〕用勾股定理求两点之间的距离问题

3、如下图，在一次夏令营活动中，小明从营地A点出发，沿北偏东60°方向走了到达B点，然后再沿北偏西30°方向走了500m到达目的地C点。

〔1〕求A、C两点之间的距离。

〔2〕确定目的地C在营地A的什么方向。

【变式】一辆装满货物的卡车，其外形高2.5米，宽1.6米，要开进厂门形状如图的某工厂，问这辆卡车能否通过该工厂的厂门?

用勾股定理求最短问题4、国家电力总公司为了改善农村用电电费过高的现状，目前正在全国各地农村进行电网改造，某地有四个村庄A、B、C、D，且正好位于一个正方形的四个顶点，现方案在四个村庄联合架设一条线路，他们设计了四种架设方案，如图实线局部．请你帮助计算一下，哪种架设方案最省电线．

思路点拨：解答此题的思路是：最省电线就是线路长最短，通过利用勾股定理计算线路长，然后进行比拟，得出结论．

【变式】如图，一圆柱体的底面周长为20cm，高ＡＢ为4cm，ＢＣ是上底面的直径．一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，试求出爬行的最短路程．解：

类型四：利用勾股定理作长为的线段5、作长为、、的线段。

思路点拨：由勾股定理得，直角边为1的等腰直角三角形，斜边长就等于，直角边为和1的直角三角形斜边长就是，类似地可作。

作法：

【变式】在数轴上表示的点。类型五：逆命题与勾股定理逆定理6、写出以下原命题的逆命题并判断是否正确〔1〕．原命题：猫有四只脚．〔正确〕

〔2〕．原命题：对顶角相等〔正确〕〔3〕．原命题：线段垂直平分线上的点，到这条线段两端距离相等．〔正确〕〔4〕．原命题：角平分线上的点，到这个角的两边距离相等．〔正确〕

7、如果ΔABC的三边分别为a、b、c，且满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，判断ΔABC的形状。

【变式1】四边形ABCD中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形ABCD的面积

【变式2】:△ABC的三边分别为m2－n2,2mn,m2+n2(m,n为正整数,且m＞n),判断△ABC是否为直角三角形.

【变式3】如图正方形ABCD，E为BC中点，F为AB上一点，且BF=AB。请问FE与DE是否垂直?请说明。

经典例题精类型一：勾股定理及其逆定理的根本用法

1、假设直角三角形两直角边的比是3：4，斜边长是20，求此直角三角形的面积。

举一反三【变式1】等边三角形的边长为2，求它的面积。

【变式2】直角三角形周长为12cm，斜边长为5cm，求直角三角形的面积。

【变式3】假设直角三角形的三边长分别是n+1，n+2，n+3，求n。

【变式4】以以下各组数为边长，能组成直角三角形的是〔〕

A、8，15，17B、4，5，6C、5，8，10D、8，39，40

类型二：勾股定理的应用

2、如图，公路MN和公路PQ在点P处交汇，且∠QPN＝30°，点A处有一所中学，AP＝160m。假设拖拉机行驶时，周围100m以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到噪声影响？请说明理由，如果受影响，拖拉机的速度为18km/h，那么学校受影响的时间为多少秒？

举一反三【变式1】如图学校有一块长方形花园，有极少数人为了避开拐角而走“捷径”，在花园内走出了一条“路”。他们仅仅少走了__________步路〔假设2步为1m〕，却踩伤了花草。

【变式2】如图中的虚线网格我们称之为正三角形网格，它的每一个小三角形都是边长为1的正三角形，这样的三角形称为单位正三角形。〔1〕直接写出单位正三角形的高与面积。〔2〕图中的平行四边形ABCD含有多少个单位正三角形？平行四边形ABCD的面积是多少？〔3〕求出图中线段AC的长〔可作辅助线〕。

类型三：数学思想方法〔一〕转化的思想方法

我们在求三角形的边或角，或进行推理论证时，常常作垂线，构造直角三角形，将问题转化为直角三角形问题来解决．

3、如下图，△ABC是等腰直角三角形，AB=AC，D是斜边BC的中点，E、F分别是AB、AC边上的点，且DE⊥DF，假设BE=12，CF=5．求线段EF的长。

〔二〕方程的思想方法

4、如下图，△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，，求、、的值。

举一反三：【变式】如下图，折叠矩形的一边AD，使点D落在BC边的点F处，AB=8cm，BC=10cm，求EF的长。

考点一：勾股定理相关概念性质〔1〕对于任意的直角三角形，如果它的两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么一定有勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。〔2〕结论：①有一个角是30°的直角三角形，30°角所对的直角边等于斜边的一半。②有一个角是45°的直角三角形是等腰直角三角形。③直角三角形斜边的中线等于斜边的一半。〔3〕勾股定理的验证例题：例1：直角三角形的两边，利用勾股定理求第三边。〔1〕在Rt△ABC中，∠C=90°①假设a=5，b=12，那么c=___________；②假设a=15，c=25，那么b=___________；③假设c=61，b=60，那么a=__________；④假设a∶b=3∶4，c=10那么Rt△ABC的面积是=________。〔2〕如果直角三角形的两直角边长分别为，2n〔n>1〕，那么它的斜边长是〔〕A、2n B、n+1 C、n2－1 D、〔3〕在Rt△ABC中，a,b,c为三边长，那么以下关系中正确的选项是〔〕A.B.C.D.以上都有可能〔4〕一个直角三角形的两边长分别为3和4，那么第三边长的平方是〔〕A、25 B、14 C、7 D、7或25例2：直角三角形的一边以及另外两边的关系利用勾股定理求周长、面积等问题。〔1〕直角三角形两直角边长分别为5和12，那么它斜边上的高为__________。〔2〕Rt△ABC中，∠C=90°，假设a+b=14cm，c=10cm，那么Rt△ABC的面积是〔〕A、24 B、36 C、48 D、60〔3〕x、y为正数，且│x2-4│+〔y2-3〕2=0，如果以x、y的长为直角边作一个直角三角形，那么以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为〔〕 A、5 B、25 C、7 D、15例2：面积问题〔1〕以下图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，假设正方形A、B、C、D的边长分别是3、5、2、3，那么最大正方形E的面积是〔〕A.13B.26C.47D.94〔图1〕〔图2〕〔图3〕〔3〕如图，△ABC为直角三角形，分别以AB，BC，AC为直径向外作半圆，用勾股定理说明三个半圆的面积关系，可得〔〕A.S1+S2>S3B.S1+S2=S3C.S2+S3<S1D.以上都不是〔2〕如下图，分别以直角三角形的三边向外作三个正三角形，其面积分别是S1、S2、S3，那么它们之间的关系是〔〕A.S1-S2=S3B.S1+S2=S3C.S2+S3<S1D.S2-S3=S1例3：求长度问题〔1〕小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多1米，当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，求旗杆的高度。〔2〕在一棵树10m高的B处，有两只猴子，一只爬下树走到离树20m处的池塘A处；另外一只爬到树顶D处后直接跃到A外，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，试问这棵树有多高？例4：最短路程问题〔1〕如图1，圆柱体底面圆的半径为，高为2，AB，CD分别是两底面的直径，AD，BC是母线，假设一只小虫从A点出发，从侧面爬行到C点，那么小虫爬行的最短路线的长度是。〔结果保存根式〕〔2〕如图2，有一个长、宽、高为3米的封闭的正方体纸盒，一只昆虫从顶点A要爬到顶点B，那么这只昆虫爬行的最短距离为。〔图1〕〔图2〕例5：航海问题〔1〕一轮船以16海里/时的速度从A港向东北方向航行，另一艘船同时以12海里/时的速度从A港向西北方向航行，经过1.5小时后，它们相距________海里．〔2〕如图1，某货船以24海里／时的速度将一批重要物资从A处运往正东方向的M处，在点A处测得某岛C在北偏东60°的方向上。该货船航行30分钟到达B处，此时又测得该岛在北偏东30°的方向上，在C岛周围9海里的区域内有暗礁，假设继续向正东方向航行，该货船有无暗礁危险？试说明理由。〔图1〕〔图2〕〔3〕如图2，某沿海开放城市A接到台风警报，在该市正南方向260km的B处有一台风中心，沿BC方向以15km/h的速度向D移动，城市A到BC的距离AD=100km，那么台风中心经过多长时间从B点移到D点？如果在距台风中心30km的圆形区域内都将有受到台风的破坏的危险，正在D点休闲的游人在接到台风警报后的几小时内撤离才可脱离危险？例6：网格问题〔1〕如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，那么网格上的三角形ABC中，边长为无理数的边数是〔〕A．0B．1C．2D．3〔2〕如图，正方形网格中的△ABC，假设小方格边长为1，那么△ABC是〔〕A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.以上答案都不对〔3〕如图，小方格都是边长为1的正方形,那么四边形ABCD的面积是()A．25B.12.5C.9D.8.5〔图1〕〔图2〕〔图3〕例7：图形问题〔1〕如图1，求该四边形的面积〔2〕如图2，，在△ABC中，∠A=45°，AC=eq\r(\s\do1(),2)，AB=eq\r(\s\do1(),3)+1，那么边BC的长为．〔图1〕〔图2〕〔3〕某公司的大门如下图,其中四边形ＡＢＣＤ是长方形,上部是以ＡＤ为直径的半圆,其中ＡＢ=2.3ｍ，ＢＣ=2ｍ,现有一辆装满货物的卡车,高为2.5ｍ,宽为1.6ｍ,问这辆卡车能否通过公司的大门?并说明你的理由.〔4〕〔太原〕将一根长24㎝的筷子置于地面直径为5㎝，高为12㎝的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长为h㎝，那么h的取值范围。课后作业：【中考链接】1.如图是一张直角三角形的纸片，两直角边AC＝6cm、BC＝8cm，现将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，那么BE的长为〔A〕4cm 〔B〕5cm〔C〕6cm〔D〕10cmABABCD2．如下图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BD是∠ABC的平分线，CD＝5㎝，求AB的长．3.如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格