电路课件 一阶电路

第六章一阶电路零输入响应、零状态响应、全响应重点掌握：阶跃响应和冲击响应一阶电路响应的求解：1.经典法2.简化的经典法——三要素方法一阶常微分方程的解本章只涉及一阶常系数齐次和非齐次微分方程

方程（1）相应的齐次方程为：P为常数、Q

0：一阶常系数非齐次微分方程P为常数、Q=0：一阶常系数齐次微分方程1.一阶常微分方程的一般形式2.一阶常微分方程的解（1）（2）方程（1）的解可写为：即方程（1）的解由两个分量组成，其中，x'为非齐次方程[方程(1)]的特解，x"为对应的齐次方程[方程(2)]的通解。求x"

令x"=Aept,并代入方程（2）得：则有p+P=0（3）方程(3)称为方程(1)的特征方程，解特征方程得特征根为：p=

P这样x"=Ae

Pt

求x'

方程(1)的特解x'根据Q的不同情况有不同的解法。本章一般涉及Q为常数和正弦函数两种情况，可用待定系数法。方程(1)的解为：

x=x'+Ae

Pt

其中，A为待定的积分常数，可由方程(1)的初始条件确定。例：

已知

x(0)=2,求如下微分方程的解解：求x"特征方程为2p+3=0特征根为

p=

1.5即

x"=Ae

1.5t

（1）

求特解x'

令x'=C(常数)，并代入方程(1)得3C=9，C=3，即x'=3所以x=x'+x"=3+Ae

1.5t

代入

x(0)=2，有2

=3+A,A=

1

则方程(1)的解为：x=3

e1.5t

§6-1动态电路的方程及其初始条件1.稳态和暂态i）稳态：电路中各支路电压、电流是与时间无关的常量(直流情况)或是随时间作周期性变化的量(交流情况)问题：电路的稳态是如何建立起来的？是瞬时进入还是有一个逐步建立起来的过程？ii）暂态暂态：

电路由一个稳态转变到另一个稳态需要经历的过程,称为过渡过程，相对于稳态而言，该过程又称为暂态。S未动作前,电路处于一个稳定状态，有i=0,uC

=0i

=0,uC=UsS接通电源Us后，电源向电容充电，经一段时间充电毕，电路达到一个新的稳定状态，此时有i+–uCUsCR+–uCUsRCiS(t=0)2.过渡过程产生的原因外因：电源的接通或断开，电路参数的变化及联接方式的改变等，统称“换路”。内因：

电路中有储能元件L、C。那么：由WC＝1/2Cuc2和WL＝1/2LiL2若uc和iL突变，则WC和WL突变这说明能量突变需要无穷大功率源，这实际上不可能。因此具有L、C的电路，一般uc和iL只能逐步变化。由于KCL和KVL的约束，导致电路中发生暂态过程。3.动态电路及其方程电路含动态元件L、C

动态电路。描述动态电路的方程是微分方程。i+–uCUsCR例：

由KVL有：代入得：

当R、L、C都是线性元件时，电路的方程为线性常系数微分方程。用一阶微分方程描述的电路称为“一阶电路”。电路的阶：电路微分方程的阶。i)关于

t=0+与t=0–4.电路的初始条件初始条件为t=0+时u，i及其各阶导数的值换路在t=0时刻进行0

–

t=0

的前一瞬间

0+

t=0

的后一瞬间0–0+0tf(t)求解微分方程需利用初始条件确定积分常数，而初始值一般是给定的或是根据换路定理分析换路前后的瞬时电路求得。当i()为有限值时i()d

0结论:

换路瞬间，若电容电流保持为有限值,则电容电压(电荷)换路前后保持不变。q

(0+)=q

(0–)uC

(0+)=uC

(0–)ii)独立处始值q(0+)、uc(0+)、

L

(0+)和iL(0+)的计算对于电容元件C，有u=q/ca）q(0+)、uc(0+)的计算令t=0+

及t0

=0

，有

当u为有限值时结论:换路瞬间，若电感电压保持为有限值，则电感电流(磁链)换路前后保持不变。对于线性电感元件L，有i=Ψ/Lb）

L

(0+)、iL(0+)的计算令t=0+

及t0

=0

，有

0

L

(0+)=

L

(0–)iL(0+)=iL(0–)；0归纳起来：

换路定律

uC

(0+)=uC

(0–)、q

(0+)=q

(0–)iL(0+)=

iL(0–)、

L

(0+)=

L

(0–)

根据换路前的稳态电路求出0–

时刻的uC

(0–)、q

(0–)、iL(0–)及

L

(0–)值，然后由换路定理得到0+时刻的独立初始值uC

(0+)、q

(0+)、iL(0+)及

L

(0+)。独立初始值与换路后电路的结构、参数无关。iii）非独立初始值的计算

0+等效电路换路后0+时刻的瞬时电路，其中电容用电压为uc(0+)的电压源替代，电感用电流为iL(0+)的电流源替代，独立源取的0+时刻的值，电阻不变——0+等效电路。先利用换路定理求独立的初始值，继而构造0

+

等效电路，然后在0

+

等效电路中用过去学过的一切方法求解非独立的初始值。由此可见：非独立的初始值决定于0

+

时刻的瞬时电路，是基尔霍夫定律约束的结果。非独立初始值计算例1:电路如图,求iC(0+)。(1)由0–电路求uC(0–)+-10V+uC(

0–

)–10k40k0–等效电路(2)由换路定理uC

(0+)=

uC

(0–)=8V0+等效电路+-10ViiC8V10k–+(3)由0+等效电路求

iC(0+)iC(0–)=0

iC(0+)+

10ViiC+uC–S10k40kuC(0–)=例2：电路如图，t=0时闭合开关S,求uL(0+)(b)0+电路uL10V1

4

2A–+作出电路如图（b）解：iL(0+)=

iL(0–)==2A

由0+等效电路求uL(0+)iL+uL–L10VS1

4

(a)iL+uL–SR+–us+–uRL+–uLR+–uRiL(0+)+–0+电路解：例3：电路如图,求iL(0+)=

iL(0_)=ISuC(0+)=

uC(0_)=RISuL(0+)=–RIS作出0+电路如图b

解：例4:如图所示(a)电路，求iC(0+),

uL(0+)ISRS(t=0)+–uLiLC+–uCLiC(a)uL+–iCRISRIS+–(b)求初始值的步骤1.由换路前电路（稳定状态）求uC(0–)和iL(0–)。2.由换路定理得uC(0+)和iL(0+)。4.由0+等效电路求所需各变量的0+值。3.画0+等效电路。

电容用电压源（电压为uC(0+)）替代

电感用电流源（电流为iL(0+)）替代方向同原假定的电容电压、电感电流方向。§6-2一阶电路的零输入响应零输入响应：激励(独立电源)为零，仅由储能元件的初始储能引起的响应。1.RC电路的零输入响应

已知：uC

(0–)=U0

求uC和i。iS(t=0)+–uRC+–uCR解：由KVL，有

uC

=uR=Ri特征根RCp+1=0特征方程则代入

，得

代入初始值uC

(0+)=uC(0–)=U0

令

=RC,

称为一阶电路的时间常数

tU0uC0I0ti0A=U0所以，有讨论：

uc,uR,i都按相同的指数规律衰减到零。

令

＝RC，考察量纲[

]＝[RC]=欧姆•法拉＝欧姆库仑伏特=欧姆安培·秒伏特=秒，故

称为电路的时间常数，仅由换路后电路的结构和参数决定，是电路的固有特性。a)设t0为一特定时刻，考察t＝t0＋

的uc(t0＋

):

可见：

是暂态量衰减到原来数值的36.8％时所需要的时间。显然

可表征暂态过程所需时间的长短。

大过渡过程时间长

小

过渡过程时间短

U0tuc0

2

10.368U0U00.368U0

0.135U0

0.05U00.007U0工程上认为,经过3

-5

,过渡过程结束。t0

2

3

5

U0

U0e

-1

U0e

-2

U0e

-3

U0e

-5

b)

的几何意义：

U0tuc(t)0uc(t0)

abαt0为指数曲线上任意点的次切距。可以证明：2.

RL电路的零输入响应

特征方程Lp+R=0,特征根p=由初始值i(0+)=I0定积分常数AA=i(0+)=I0i

(0+)=i

(0–)=iS(t=0)USL+–uLRR1iL+–uLR开关S合上后,由KVL,有iI0t0-RI0uLt令

=L/R,

作量纲分析得

的量纲为[秒]称为一阶RL电路的时间常数

A=iL

(0+)=

iL(0–)10/10=1A,分析:S打开,电路为一RL电路的零输入响应问题例:t=0时,打开开关S,现象：电压表损坏电压表量程：50ViLS(t=0)+–uVL=4HR=10

RV10k

10VVuV

(0+)=–10000V

V造成损坏。对于t

0,电感电流iL为:其中,小结：b.衰减快慢取决于时间常数

RC电路

=RC

,RL电路

=L/Rc.同一电路中所有响应具有相同的时间常数。一阶电路的零输入响应是由储能元件的初值引起的响应,都是由初始值衰减为零的指数衰减函数。1.一阶电路的解方法---------经典法

a.求初始值：uc(0+)、iL(0+)

b.列写电路的方程

c.求方程的通解d.确定积分常数2.一阶电路解的性质零状态响应：储能元件初始能量为零的电路在输入激励作用下产生的响应i)

列写方程:

t

0，由KVL,有iK(t=0)US+–uRRC+–uCuC

(0–)=0§6-3一阶电路的零状态响应

非齐次线性常微分方程ii)求方程的通解:通解的一般形式为1.

RC电路的零状态响应非齐次方程的特解齐次方程的通解得：u'C=Us,故

这样：

特征方程:RCp+1=0

特征根p=

1/RC

求特解:令u'C=U(常数),并代入方程

Us

+A=0

A=

Usiii)确定积分常数A:

由初始条件,

有tuc-USuC'uC"USuC

和i的波形如图所示：ti0能量关系电源提供的能量一半消耗在电阻上，一半转换成电场能量储存在电容中。电容储存：电源提供能量：电阻消耗RC+–US给电容充电时，不论R、C取何值，充电效率只有50％2.RL电路的零状态响应解:i)列写方程:iLS(t=0)US+–uRL+–uLR已知iL(0_)=0,求S合上后的iL(t)由KVL有

特征方程:Lp+R=0

特征根p=

R/L

求特解:令i'L

=I(常数),并代入方程(1),得i'L

=Us/Rii)求方程(1)的通解:uLUSt0tiL0则

Us

/R+A=0

A=

Us/R

iii)确定积分常数A:

由初始条件,

有3.正弦交流电源激励下的零状态响应（以RL电路为例）i(0–)=0求：i

(t)

iL(0–)=0iS(t=0)L+–uLRuS(t)+–其中ψu为电源接入时的初相角。解：电路方程有：t

uuS接入相位角图(a)S合上后,电路达到稳态时的电流就是方程(1)的特解i'(t)，可用相量法求解。于是,有由确定积分常数A,得到讨论几种情况：电路直接进入稳态，不产生过渡过程。1）合闸时

u=

±/2，则,无暂态分量2）

u=

可见，交流暂态分析中，过渡过程与开关动作的时刻有关。iT/2ti0波形如图所示：若τ很大，i"衰减很慢，则，这是值得注意的问题。§6-4一阶电路的全响应全响应：非零初始状态的电路受到激励时电路中产生的响应1.一阶电路的全响应及其两种分解方式US+–uRRiS(t=0)C+–uCuC

(0-)=U0i)

全解=强制分量(稳态解)+自由分量(暂态解)代入初始条件电路的方程，得A=U0Us，则t

0,电容电压uc

方程(1)对应齐次方程的通解特解强制分量、稳态分量自由分量、暂态分量全响应=强制分量(稳态解)+自由分量(暂态解)，其变化规律取决于特征根，与外施激励无关，故称自由分量。当t＝∞时，自由分量为零，所以自由分量又称为暂态分量。u'C(t)：与外施激励的变化规律有关，称为强制分量。若外施激励为直流量和正弦量时，强制分量又称为稳态分量，此时u'C(t)就是直流和交流电路的稳态解。iS(t=0)US+–uRC+–uCRuC

(0-)=U0iS(t=0)US+–uRC+–

uCR=uC

(0-)=0+uC

(0-)=U0C+–

uCiS(t=0)+–uRRii）全响应=零状态响应+零输入响应零状态响应零输入响应将(2)式改写为：从电路上看，可等效为：1.单位阶跃函数ε(t)i)定义t

(t)01ii)单位阶跃函数的延迟t

(t-t0)t001§6-5

一阶电路的阶跃响应如果阶跃的幅值不是1而是A,则称阶跃函数,即

tA(t)0A例21t1f(t)0a.由单位阶跃函数可组成复杂的信号例1：1t0tf(t)0

(t)tf(t)10t0-

(t-t0)b.表示电路中的开关作用CR+–usε(t)iii)单位阶跃函数的作用S(t=0)C+–usR+–uc.用来起始任一个函数或表达一个全时域解。注意比较以下曲线及其表达式，说明ε(t)的使用须谨慎。s1(t)s3(t)s2(t)ts

(t)零状态响应延迟的零状态响应

在t0延时刻起始S1(t)可见：ε(t)、乘以一个函数f(t)，有可能改变f(t)在

t

0–时段中的性状，并在0－~0＋时段发生突变。0uc2tuc1uc(t)U0RC零输入响应两者在完全相同，而在t

0–则不同。2.单位阶跃响应

tuc1t0i注意：和的区别uC

(0-)=0iC+–uCR电路在单位阶跃激励下的零状态响应称为单位阶跃响应，单位阶跃响应用s(t)表示，由此不难理解用kε(t)作激励时的阶跃响应为ks(t)。例求图示电路中电流iC(t)10k10kus+-ic100

FuC(0-)=00.510t(s)us(V)010k10k+-ic100

F10k10k+-ic100

Fuc

(0-)=0+–ic100

F5k等效10k10k+-ic100

F10k10k+-ic100

F分段表示为t(s)iC

(mA)01–0.6320.5波形0.368又§6-7一阶电路分析的三要素法(激励为直流源、正弦量)代入0+时刻的x(0+)、x'(0+)，确定时间常数A，得到：A=x(0+)

x'(0+)稳态解

时间常数

初始值一阶电路的三要素由电路求出三要素，通过(2)式直接得到一阶电路响应的方法——三要素法。三要素的计算1.初始值的计算

R：换路后，移去动态元件所得一端口的戴维南等效电阻。x(0+)

独立的初始值：uC

(0+)=uC

(0–)；

iL(0+)=

iL(0–)非独立的初始值：由0+等效电路方法计算2.时间常数的计算

=RC；动态元件为电容L/R；动态元件为电感3.稳态解的计算

激励为正弦量：稳态解用相量法计算。激励为直流源：稳态时电容相当于开路，电感相当于短路电路，电路等效为一电阻电路的计算。解：由三要素法tuc2(V)0.6670例1.已知：t=0时合上开关求换路后的uC(t)和i(t)。则1A2

1

3F+-uCi(t)S

求初始值

求时间常数

求稳态解例2.如图所示电路，Us=10V,Is=2A,R=2,L=4H,求S闭合后电路中的电流iL和i。S(

t

=0)+–

UsRiiLLIsab(a)

Req=R=2

,τ=L/Req=2s

iL(0+)=iL(0-)=–

Is=–2A

i'L=Us/R

Is=52

=3A解：由三要素法所以例3.电路已处稳态，求t

0时的uc(t)。10A4

2

1/2F+

uC+

u1u1/4i'i"S(t=0)解：

uc(0+)=

uc(0-)=0

求u'C，u'C=4i'

–2i"i'+i"=10i'=i"解得i'=i"=5

A

，u'C=4i'

–2i"=10V

求时间常数

=ReqC

4

2

+-u+-u1u1/4iu=(i-u1/4)(4+2)=6i

–1.5u1u1=4(i-u1/4)=4i

–

u1

u1=2i

u=6i

–1.5u1=3i

Req=u/i=3

=ReqC

=3/2s

例4.如图所示电路，已知ω=1000rad/s，R1=150，R2=50，L=0.2H，C=5µF。开关动作前电路已达稳态，t=0时闭合S，求开关动作后的iL(t)和uc(t)。+-uC+–

us(t)iLCLSR1R2由t<0电路计算初始值：解：开关S闭合后，电路被分为两个一阶电路。与前面诸题不同的是电源不是直流，而是正弦电压源。由于是一阶电路，仍用三要素法求解最简单，只是在求初始值和稳态值时用相量法来计算。所以：同理求出：其中：t>0后，由于RC电路部分求的是零输入响应uc(t)，所以

又RL电路部分是求正弦电源激励的全响应。先用相量法求稳态解i'L(t)：所以：又iL(0+)=iL(0

)=0.4A；则：例5i10V1Hk1(t=0)k2(t=0.2s)3

2

已知：电感无初始储能

t=0时合k1,t=0.2s时合k2

求两次换路后的电感电流i(t)。解：0<t<0.2st>0.2sit(s)0.25(A)1.262

由于t<0，iL(t)=0，所以iL(0+)=

iL(0-)=0

=5/

(1//5)=6s例6.已知:u(t)如图所示,iL(0)=0。求iL(t),

并画出波形。

u(t)12120t(s)V+–u(t)1

5

5HiL

i'L=1A

0<

t

<1+–1V1

5

5HiLiL(t)=1-e-t/6A，0<

t

1s解：

0<t<1siL(t)=2+[0.154–2]e–

(t–

1

)/6=2-1.846e–

(t–

1

)/6AiL(t)=0.437e–(t–

2

)/6Ai'L=0

=6s

i'L=2A

=6siL(1+)=

iL(1–)=1-e–

1/6=0.154A

1<

t

2s+–2V1

5

5HiLiL(2+)=iL(2–)=2–1.846e–

(2–

1

)/6=0.437A

1

5

5HiL

t

>2s

1<

t

2s

t>2s00.1540.43712t(s)iL(t)AiL(t)=0

t<01–

e–t/6A

0<t

12–1.846e–

(t–

1

)/6A

1<t

20.437e–(t–

2

)/6A

t>2这样有：

例5、6这类问题，分别对不同的时间段进行求解。§6-6一阶电路的冲激响应1.脉冲函数与冲激函数i)单位脉冲函数pΔ(t)，单位冲激函数δ(t)/21/

tpΔ(t)–/2单位脉冲函数pΔ(t)

单位冲激函数