2023年高考全国甲卷数学(理)试卷及解析

2023年普通高等学校招生全国统一考试(全国甲卷)

理科数学

一、选择题

I设全集U=Z集合M={Rx=3k+l,keZ},N={x\x=3A+2,ZwZ},du(MuN)二

()

A.{x|x=3左,左£Z}B.x=3k-l,keZ}

C.{x|x=3k-2,keZ}D.0

2.设aeR,(a+i)(l-ai)=2,,则。=()

A.-1B.OC.1D.2

3.执行下面的程序框图，输出的8=()

A.21C.55D.89

rr

4.已知向量a,A,c满足，S.a+b+c=Q'则cos〈a-c,b-c)=()

4224

A.---B.---C.一D.-

5555

5.设等比数列｛凡｝的各项均为正数，前〃项和S“，若q=1,S5=5S3-4,则S4=()

1565

A.—B.—C.15D.40

88

6.某地的中学生中有60%的同学爱好滑冰，50%的同学爱好滑雪，70%的同学爱好滑冰或爱好滑

雪.在该地的中学生中随机调查一位同学，若该同学爱好滑雪，则该同学也爱好滑冰的概率为（）

A.0.8B.0.6C.0.5D.0.4

7.设甲：sin2a+sin2=1.乙:sina+cos^=0,则（）

A.甲是乙的充分条件但不是必要条件B.甲是乙的必要条件但不是充分条件

C.甲是乙的充要条件D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条

件

22

8.已知双曲线C:：•一马=l（a>0,b>0）的离心率为石，C的一条渐近线与圆

ah~

（工一2）2+（>一3）2=1交于A,B两点，则|A8|=（）

A6R2石「36n4百

5555

9.现有5名志愿者报名参加公益活动，在某一星期的星期六、星期日两天，每天从这5人中安排2

人参加公益活动，则恰有1人在这两天都参加的不同安排方式共有（）

A.120B.60C.30D.20

（兀、71

10.函数y=/（x）的图象由函数y=cos2x+-的图象向左平移一个单位长度得到，则

I6J6

y=/（x）的图象与直线y=的交点个数为（）

A.1B.2C.3D.4

11.已知四棱锥P-A3C。的底面是边长为4的正方形，PC=PD=3,ZPCA=45°,则VPBC的

面积为（）

A.20B.3亚C.472D.672

12.设。为坐标原点，可，居为椭圆。:工+工=1的两个焦点，点P在C上,

96

3

贝小。尸|二（）

COSZFIPF2-

13R病「好D岳

A.—D.----D.------

5252

二、填空题

2/兀

13.若/（x）=（九一ly+or+sinx+-为偶函数，贝但=.

3x-2y<3

14.若x,y满足约束条件•一2x+3yW3,设z=3x+2y的最大值为.

x+y>l

15.在正方体ABC。—A4GA中，E,F分别为AB,的中点，以E尸为直径的球的球面与该

正方体的棱共有个公共点.

16.在VA6C中，ABAC=60°,AB=2,BC=y/6,48AC的角平分线交BC于。，则AO=

三、解答题

17.设5.为数列｛q｝的前〃项和，已知4=1,25“=叫,.

（1）求｛凡｝的通项公式；

（2）求数列■紫，的前〃项和

18.如图，在三棱柱ABC-44G中，底面ABC,NACB=90°,A4=2,4到平面8004

的距离为1.

（1）证明：AC=AC；

（2）己知A4与B4的距离为2,求A4与平面BCC4所成角的正弦值.

19.一项试验旨在研究臭氧效应.实验方案如下：选40只小白鼠，随机地将其中20只分配到实验组，

另外20只分配到对照组，实验组的小白鼠饲养在高浓度臭氧环境，对照组的小白鼠饲养在正常环境,

一段时间后统计每只小白鼠体重的增加量（单位：g）.

（1）设X表示指定的两只小白鼠中分配到对照组的只数，求X的分布列和数学期望；

（2）实验结果如下：

对照组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为：

15.218.820.221.322.523.225.826.527.530.1

32.634.334.835.635.635.836.237.340.543.2

实验组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为:

7.89.211.412.413.215.516.518.018.819.2

19.820.221.622.823.623.925.128.232.336.5

(i)求40只小鼠体重的增加量的中位数m,再分别统计两样本中小于m与不小于的数据的个数,

完成如下列联表：

<m>m

对照组

实验组

(ii)根据(i)中的列联表，能否有95%的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与正常环境中体重

的增加量有差异.

/_n(ad-bc'y

(a+))(c+d)(a+c)(b+d)

k00.1000.0500.010

3841

P伊次)2.7066.635

20.已知直线x—2y+l=0与抛物线C:y2=2px(p>0)交于46两点，S.\AB\=4>J\5.

(1)求P；

UUUllUUU

(2)设f为C的焦点，M,N为C上两点，FMFN=。，求△MFN面积的最小值.

,一一、sinx

21.已知函数/(x)=ax-----—,XG[0,—2j

COS'X

(1)当a=8时，讨论〃x)的单调性;

(2)若/(x)<sin2x恒成立，求)的取值范围.

四、选做题

JV=2+/cos(X

22.已知点P(2,l),直线/:「一，.(f为参数)，a为/的倾斜角，/与X轴正半轴，y轴正半

y=l+rsina

轴分别交于A,8两点，且|PA1|PB|=4.

(1)求a；

(2)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求/的极坐标方程.

23.设a>0,函数/(%)=2,一同一。.

(1)求不等式/(x)<x的解集；

(2)若曲线y=/(x)与x轴所围成的图形的面积为2,求a.

2023年普通高等学校招生全国统一考试(全国甲卷)

理科数学(精品解析)

一、选择题

।设全集U=Z集合M={xlx=3A+l,ZeZ},N={x|x=3Z+2,ZeZ}3u(M2N)=

()

A.{x\x=3k,keZ}B.{x|x=3k-l,keZ}

C.{}(\x=3k-2,k&Z}D.0

【答案】A

【解析】

【分析】根据整数集的分类，以及补集的运算即可解出.

【详解】因为整数集Z={x|x=3火,AeZ}U{x|x=3Z+l,&eZ}U{x|x=3k+2,Z:eZ},

U=Z,所以，a(MUN)={x|x=3AMeZ}.

故选：A.

2.设awR,(a+i)(l-ai)=2,,贝ija=()

A.-1B.O•C.1D.2

【答案】C

【解析】

【分析】根据复数的代数运算以及复数相等即可解出.

【详解】因为(a+i)(l-ai)=a-/i+i+a=2a+(l-/)i=2,

2a=2

所以，2八，解得：a=L

i-a=0

故选：c.

3.执行下面的程序框图，输出的8=()

A.21B.34C.55D.89

【答案】B

【解析】

【分析】根据程序框图模拟运行，即可解出.

【详解】当A=1时，判断框条件满足,第一次执行循环体，4=1+2=3,8=3+2=54=1+1=2；

当攵=2时，判断框条件满足，第二次执行循环体，A=3+5=8,6=8+5=13,k=2+l=3；

当女=3时，判断框条件满足，第三次执行循环体，4=8+13=21,8=21+13=34,攵=3+1=4；

当々=4时，判断框条件不满足，跳出循环体，输出8=34.

故选：B.

4.已知向量乩［满足在=b|=1,而=血，且£+<+』=$,则3〈！一。,6-0=()

【答案】D

【解析】

【分析】作出图形,根据几何意义求解.

【详解】因为』+力+所以「+力=」，

即』?+力2+25力/2,即1+1+25.》=2,所以。力=。

，「uurruuirruuirr

如图，设04=a,OB=b,0C=c,

c

AB边上的高。。=1,A。=1,

22

所以CD=C0+0D=8+也=迪，

22

tanZACD==-,cosZACD=—

CD3V10

cos(a-c,/>-c)=cosZACB=cos2ZACD=2cos2ZACD-l

故选:D.

5.设等比数列｛4｝的各项均为正数，前〃项和S“，若4=1,S5=5S3-4,则§4=()

1565

A.—B.—C.15D.40

88

【答案】C

【解析】

【分析】根据题意列出关于4的方程，计算出名即可求出54.

【详解】由题知l+q+d+/+</=5(l+q+d)-4,

即q3+/=4彳+4^,即/+夕2_4g_4=0,即(q_2)(q+l)(q+2)=0.

由题知q>0,所以夕=2.

所以邑=1+2+4+8=15.

故选:c.

6.某地的中学生中有60%的同学爱好滑冰，50%的同学爱好滑雪，70%的同学爱好滑冰或爱好滑

雪.在该地的中学生中随机调查一位同学，若该同学爱好滑雪，则该同学也爱好滑冰的概率为()

A.0.8B.0.6C.0.5D.0.4

【答案】A

【解析】

【分析】先算出同时爱好两项的概率，利用条件概率的知识求解.

【详解】同时爱好两项的概率为0.5+0.6-0.7=04,

记“该同学爱好滑雪”为事件A,记“该同学爱好滑冰”为事件B,

则P(A)=().5,P(AB)=0.4,

…।P(A8)0.4八。

所以P(B|A)------------=0.8.

P(A)0.5

故选:A.

7.设甲：sin2a+sin2/5=l,乙：sina+cos£=0,则()

A.甲是乙的充分条件但不是必要条件B.甲是乙的必要条件但不是充分条件

C.甲是乙的充要条件D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条

件

【答案】B

【解析】

【分析】根据充分条件、必要条件的概念及同角三角函数的基本关系得解.

【详解】当sin2a+sin2p=l时，例如a=万,6=0但sina+cos0H0,

即sin?。+sir？0=1推不出sina+cos0=0；

当sina+cos/?=0时，sin2a+sin2=(-cosP)2+sin2/3=1,

即sina+cosp=0能推出5足2。+5[1120=1.

综上可知，甲是乙的必要不充分条件.

故选：B

22

8.已知双曲线。：.一==13>0/>0)的离心率为石，C的一条渐近线与圆

(x-2)2+(y—3)2=1交于A,8两点，则|AB|=()

A6R275r375n4石

5555

【答案】D

【解析】

【分析】根据离心率得出双曲线渐近线方程，再由圆心到直线的距离及圆半径可求弦长.

【详解】由6=逐，则£=白匕=1+4=5,

aa"a

h

解得一=2,

a

所以双曲线的一条渐近线不妨取y=2x,

则圆心(2,3)到渐近线的距离d=-3|=,

V？TT5

所以弦长|AB|=2ylr2—d2=211一g=4f..

故选：D

9.现有5名志愿者报名参加公益活动，在某一星期的星期六、星期日两天，每天从这5人中安排2

人参加公益活动，则恰有1人在这两天都参加的不同安排方式共有()

A.120B.60C.30D.20

【答案】B

【解析】

【分析】利用分类加法原理，分类讨论五名志愿者连续参加两天公益活动的情况，即可得解.

【详解】不妨记五名志愿者为。，"c,d,e,

假设〃连续参加了两天公益活动，再从剩余的4人抽取2人各参加星期六与星期天的公益活动，共

有A；=12种方法，

同理：连续参加了两天公益活动，也各有12种方法，

所以恰有1人连续参加了两天公益活动的选择种数有5x12=60种.

故选：B.

JT\jr

10.函数y=/'(x)的图象由函数y=cos2x+-的图象向左平移二个单位长度得到，则

I6)6

y=/(x)的图象与直线y=gx—；的交点个数为()

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【解析】

［分析］先利用三角函数平移的性质求得/(x)=-sin2x,再作出/(x)与y=；的部分大致

图像，考虑特殊点处/(%)与y=的大小关系，从而精确图像，由此得解.

(兀、兀

【详解】因为y=cos2x+-向左平移二个单位所得函数为

I6)6

(兀、兀(兀、

y=cos2x+—+—=cos2x+—=-sin2,r,所以/(x)=-sin2x,

LI6j6jt2J

i।(iA

而？=5彳一不显然过。，一不与(1,0)两点，

2212)

作出了(X)与y=gx-g的部分大致图像如下，

，22^/

49^0-

士4c3兀3兀7TC3K与处/与》一；的大小关

考虑2x=,2x=—,2x=—，NN即x=,x=?,x=(x)y=g

2224

系，

业3兀…/37rL.(3兀、_,1f3TT>13兀+4,

当工=时，/=-sin=-1,y

414J12J214J28

“3兀L/3兀、.3K13JI13兀-41

当工=一时，f—=-sin—=1,y=—X—------=--------<1；

414J2-228

.7兀」/7兀、.7兀［177t17兀-41

当工二彳时,—siny=l,^=-x-------=------->I.

I28

所以由图可知，/（X）与＞的交点个数为3.

故选：C.

11.已知四棱锥P-ABC。的底面是边长为4的正方形，PC=PO=3,NPC4=45。，则VPBC的

面积为（）

A.2亚B.372C.472D,672

【答案】C

【解析】

【分析】法一：利用全等三角形的证明方法依次证得VP。。三VPCO,YPDB4PCA,从而得到

PA=PB,再在△PAC中利用余弦定理求得P4=J万，从而求得P8=J万，由此在VPBC中利

用余弦定理与三角形面积公式即可得解；

法二：先在△PAC中利用余弦定理求得PA=J万，cosZPCB=-,从而求得PA-PC=—3,再

利用空间向量的数量积运算与余弦定理得到关于的方程组，从而求得PB=M，由此在

VPBC中利用余弦定理与三角形面积公式即可得解.

【详解】法一：

连结AC,8。交于0,连结P。，则。为AC,8。的中点，如图，

因为底面ABC。为正方形，AB=4,所以AC=3。=4近，则。0=C。=2&，

又PC=PD=3,P0=0P,所以YPD0三VPC0,则NPOO=NPC。，

又PC=PD=3,AC=BD=4V2-所以VPDB三VPCA,则PA=PB,

在△PAC中，PC=3,AC=4V2,ZPCA=45°，

则由余弦定理可得尸矛=AC?+PC?一2AC.PCcosZPCA=32+9-2x472x3x—17.

2

故=则

故在VPBC中，PC=3,PB=4l7,BC=4,

所以cos/PC八生上旅二"I=四曰」

2PCBC2x3x43

又0<NPCB<%,所以<nNPCB=J1一cos?NPCB=巫

3

所以VPBC的面积为S=1PC-8CsinZPCB=-x3x4x^^=472.

223

法二:

连结AC,80交于。，连结P。，则。为AC,8。的中点，如图,

因为底面A8CD为正方形，AB=4,所以AC=8。=40，

在/XPAC中，PC=3,NPCA=45°,

则由余弦定理可得尸矛=AC?+尸^一2AC.PCcosZPCA=32+9-2x472x3x—=17.故

2

所以3"。=空+"-我」¥必=浮则

2PAPC2x717x3

\

uuruuir,UUIHUUIT,.—

PA-PC=|P^||PC|cosZAPC=Vr7x3x-

17

/

不妨记PB=Z.BPD=0,

uuiri/Uiiruuiriuuruuiruuruuirzuuuruutr

因为PO=5（PA+PC）x=5（zPB+PO）x,所以（zPA+PC）x2=（PB+PD）x2,

uur,uuir,uuruuiruuuruuir,uuiruuir

即nnPA+PC+2PA-PC=PB~2+PD+2PB-PD，

则17+9+2x（—3）=m~+9+2x3xmcos0,整理得加？+6/〃cos0-11=0①，

又在△P8。中，BD?=PB?+PD?-2PB-PDcosNBPD，即32=//+9—6机cos。，则

m2-6mcos6—23=0②，

两式相加得2〃/-34=0，故=m=J万，

故在VPBC中，PC=3,PB=y/V7,BC=4,

PC2+BC2-PB2_9+16-17_1

所以cosNPCB=-

2PCBC2x3x431

又0<NPCB<%,所以sinNPCB=Jl一cos?NPCB=巫

3

所以VPBC的面积ZPCB=Ix3x4x^^=472.

223

故选：c.

22

12.设O为坐标原点，6，尺为椭圆。：工+匕=1的两个焦点，点P在C上，

96

3

COS^F{PF2=-,贝小。尸|二()

A12V30c11V35

5252

【答案】B

【解析】

【分析】方法一：根据焦点三角形面积公式求出△产片用的面积，即可得到点P的坐标，从而得出

|0P|的值；

方法二：利用椭圆的定义以及余弦定理求出|P用|P段尸用2+归入「，再结合中线的向量公式以及

数量积即可求出;

方法三：利用椭圆的定义以及余弦定理求出|P月「+|P周2,即可根据中线定理求出.

【详解】方法一:设/耳产工=2仇0＜。＜曰，所以见对弓=/tan4^^=02tan6,

cos20-sin20_l-tan2^3

由cosZFPF=cos20==-,解得:tan0=—,

]2cos20+sin20l+tan2052

由椭圆方程可知,/=912=6,/=/一〃=3,

所以，SVPFM=；x|月K|x|%卜;x26x|y/=6x；,解得：%=3,

即$=9x]1一升因此|0P|=西+卜=61=半.

故选：B.

方法二：因为|P6|+|PK|=2a=6①，|尸£『+处周2一2「附归用/《尸弱=闺工「，

即归埒?+|尸四2-3p周|产国=12②，联立①②，

15o,

解得：|P利PK|=5，|P司-+|p周-=21,

uuir1,uuiruuur.uuir,i.uuiruuur,

而PO=]（P"+P6）x,所以|OP|=|PO|=e冏+"J,

U!1!L

11+23”=画

2522

故选：B.

方法三：因为|P£|+|PG|=2a=6①，|Pff+|p周2一2归附归周/月产工=产阀2,

即归用2+|P6「一用归国=12②，联立①②，解得：忱耳「+归用2=2],

由中线定理可知，（2|0哨+|耳心「=2（附「+归心「）=42,易知巧用=2百，解得：

州粤

故选：B.

【点睛】本题根据求解的目标可以选择利用椭圆中的二级结论焦点三角形的面积公式快速解出，也

可以常规利用定义结合余弦定理，以及向量的数量积解决中线问题的方式解决，还可以直接用中线

定理解决，难度不是很大.

二、填空题

2

13.若/(x)=(x-iy+or+sinx+-为偶函数，贝ija=_______.

<2)

【答案】2

【解析】

TTTT

【分析】利用偶函数的性质得到/从而求得4=2,再检验即可得解.

、2)I2,

【详解】因为y="X)=(xTf+«x+sinx+曰=(x—l)-+4X+C0SX为偶函数，定义域为R,

/\/\/<2/兀兀兀

所以/—f—，即---1--67+COS-+—Q+COS一

I2Jl2JI2J2I2J22

TTTT

则na=—+1-----1=2兀，故a=2,

\2J\2J

此时/(x)=(JC-1)+2x+cosx=x2+1+cosx,

所以〃一X)=(-x)2+l+cos(-x)=x2+l+cosx=/(x),

又定义域为R，故/(x)为偶函数，

所以a=2.

故答案为：2.

3x-2y<3

14.若x,y满足约束条件■-2x+3y<3,设z=3x+2y的最大值为

x+y>\

【答案】15

【解析】

【分析】由约束条件作出可行域，根据线性规划求最值即可-

【详解】作出可行域，如图，

由图可知，当目标函数了=-1》+]过点A时，z有最大值,

-2x+3y-3x=3

可得〈c，即A(3,3),

3x-2y=3y=3

所以Za=3x3+2x3=15.

故答案为：15

15.在正方体A8CD—A4GA中，E,F分别为AB,G2的中点，以EF为直径的球的球面与该

正方体的棱共有个公共点.

【答案】12

【解析】

【分析】根据正方体的对称性，可知球心到各棱距离相等，故可得解.

【详解】不妨设正方体棱长为2,EF中点为。，取C。，CG中点G,M,侧面的中心为

N,连接FG,EG,OM,ON,MN，如图,

由题意可知，。为球心，在正方体中，EF=JFG?+EG?=J??+2?=26，

即R=正，

则球心。到CC,的距离为OM=SM+MM=#+]2=72，

所以球。与棱CG相切，球面与棱cq只有1个交点,

同理，根据正方体的对称性知，其余各棱和球面也只有1个交点，

所以以EF为直径的球面与正方体每条棱的交点总数为12.

故答案为：12

16.在VA8C中，ZBAC=60°,AB=2,BC=46,N8AC的角平分线交BC于。，则A。

【答案】2

【解析】

【分析】方法一：利用余弦定理求出AC,再根据等面积法求出AO；

方法二：利用余弦定理求出AC,再根据正弦定理求出8,C,即可根据三角形的特征求出.

如图所示：记===

方法一：由余弦定理可得，2?+/—2x2x0xcos60°=6,

因为Z?>。，解得：h=1+>/3>

由S'ABC=S.ABD+S^ACD可得,

-x2x/?xsin600=-x2xAZ)xsin300+-xA£)x/7Xsin300,

222

6b26(1+百)

解得：

2

故答案为：2.

方法二：由余弦定理可得，22+Z?2-2X2X/?XCOS60°=6.因为占>0,解得：b=\+6

由正弦定理可得，-^-=—=-,解得：sin8=逆土包，sinC=-.

sin60°sinBsinC42

因为1+6〉布〉血，所以C=45°，5=180°-60°-45°=75°.

又N5AO=30°，所以NAOB=75°，即AO=A8=2.

故答案为：2.

【点睛】本题压轴相对比较简单，既可以利用三角形的面积公式解决角平分线问题，也可以用角平

分定义结合正弦定理、余弦定理求解，知识技能考查常规.

三、解答题

17.设Sn为数列｛q｝的前〃项和,已知a2=1,2S„=nan.

（1）求｛凡｝的通项公式；

（2）求数列■铲｝的前〃项和（.

【答案】（1）an=n-l

⑵1=2-（2+〃）囚

k27

【解析】

S],〃=1

【分析】（1）根据为=。即可求出；

（2）根据错位相减法即可解出.

【小问1详解】

因为2S“=nan,

当〃=1时，2q=q,即q=0；

当“=3时，2（1+4）=3仆，即4=2，

当〃22时，2S,i=（〃T）a,i,所以2⑸-S,-）=〃4-（〃-1）%=2a.，

化简得：（〃-2）a“=（〃-,当〃23时，-^-=-^-=1-=—=1,即a“=〃T,

n-1n-22

当〃=1,2,3时都满足上式，所以4=〃一1（〃eN*）.

【小问2详解】

+3心/]y

因为锣=n〃(1

F所以+2x+l_+〃x-

T23

77

\2

(\V(1y

-7；,=lx+2x+l_+(n-l)x-+〃x

2〃22J2

J7J

两式相减得,

1

-X1-

、21、3YX/J+12〃+l

\_7

+++1-+一〃x一〃X

12122,2

/77771--

2

(1

.几

1+-，即1=2-(2+k)—,〃EN*.

2人2J

18.如图，在三棱柱ABC-44G中，ACJ■底面ABC,NACB=90°,A4=2,4到平面

的距离为1.

（2）已知A4与84的距离为2,求A4与平面8CC4所成角的正弦值.

【答案】（1）证明见解析

（2）f

【解析】

【分析】（1）根据线面垂直，面面垂直的判定与性质定理可得4。，平面3c£片，再由勾股定理

求出。为中点，即可得证;

（2）利用直角三角形求出A片的长及点A到面的距离，根据线面角定义直接可得正弦值.

【小问1详解】

如图,

底面ABC,8Cu面ABC,

A.C±BC,又BCJ.AC,4。,4。匚平面4。&4，ACcAC=C,

.•.8C_L平面ACCA,又SCu平面BCC声,

平面ACGA-L平面BCCXB],

过A作Ato±cc、交CG于o,又平面ACGA।平面BCCM=cc,,A,OU平面ACGA，

A。J■平面3CG4

QA,到平面8CG4的距离为i,4。=1,

在RtA^CC,中，A,C±AG=A4]=2,

设CO=x,则GO=2-X,

QZ\A0C,Z\AOa，^ACG为直角三角形，且CC1=2,

222222

CO+A,O=A,C,AtO+OC^=C,A；,A,C+A,C；=C,C,

.•.1+/+1+(2-幻2=4,解得x=l,

AC=4c=AG=V2,

\C-AC

【小问2详解】

QAC=AC,,BC14C,BC±AC,

RtAACB^RtA^Cfi

BA=BA,,

过8作8O_LA41,交A4|于。，则。为M中点，

由直线A4与距离为2,所以BD=2

0^0=1,BD=2,AB=AB=后,

在RtZVIBC，...BC=NAB。-AC?=5

延长AC,使AC=CM,连接GM,

由CM〃AG，CM=Aq知四边形4cMG为平行四边形，

.•.GM〃4C,.•.GM，平面ABC,又从Wu平面ABC,

/.CtMLAM

则在Rt^AGM中，AM=2AC,C.M=\C,AC,=y/(2AC)2+A,C2,

在Rtz^A4G中，AC,=jQACy+AC,瓦G=BC=瓜

AB,=7(2V2)2+(V2)2+(V3)2=V13，

又A到平面BCC}B}距离也为1,

所以与平面BCC4所成角的正弦值为击=*.

19.一项试验旨在研究臭氧效应.实验方案如下：选40只小白鼠，随机地将其中20只分配到实验组，

另外20只分配到对照组，实验组的小白鼠饲养在高浓度臭氧环境，对照组的小白鼠饲养在正常环境,

一段时间后统计每只小白鼠体重的增加量(单位：g).

(1)设X表示指定的两只小白鼠中分配到对照组的只数，求X的分布列和数学期望；

(2)实验结果如下:

对照组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为：

15.218.820.221.322.523.225.826.527.530.1

32.634.334.835.635.635.836.237.340.543.2

实验组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为：

7.89.211.412.413.215.516.518.018.819.2

19.820.221.622.823.623.925.128.232.336.5

(i)求40只小鼠体重的增加量的中位数m,再分别统计两样本中小于m与不小于的数据的个数,

完成如下列联表:

<m>m

对照组

实验组

(ii)根据(i)中的列联表，能否有95%的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与正常环境中体重

的增加量有差异.

n(ad-be)2

(a+b)(c+d)(a+c)(Z2+d)

"o0.1000.0500.010

p(//)2.7063.8416.635

【答案】(1)分布列见解析，E(X)=1

(2)(i)m=23.4；列联表见解析,(ii)能

【解析】

【分析】(1)利用超几何分布的知识即可求得分布列及数学期望；

(2)(i)根据中位数的定义即可求得机=23.4,从而求得列联表;

(ii)利用独立性检验的卡方计算进行检验，即可得解.

【小问1详解】

依题意，X的可能取值为01,2,

19c'CL20=19

则P(X=0)=2。2。p(X=l)=2020=_,p(x=2)=

178Ci39《。78'

-4()

所以X的分布列为:

X012

192019

P

783978

in201Q

故E(X)=0X』+1X，+2XN=1

783978

【小问2详解】

（i）依题意，可知这40只小白鼠体重增量的中位数是将两组数据合在一起，从小到大排后第20位

与第21位数据的平均数，观察数据可得第20位为23.2,第21位数据为23.6,

,23.2+23.6…

所以/"=----------=23.4,

2

故列联表为:

<m>m合计

对照组61420

实验组14620

合计202040

_40x(6x6-14x14)2

（ii）由（i）可得,K2=6.400>3.841,

20x20x20x20

所以能有95%的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与正常环境中体重的增加量有差异.

20.已知直线x-2y+l=0与抛物线C：V=2px（p>0）交于A,B两点，且|48|=4后.

（1）求P；

UUUUUUU

（2）设尸为C的焦点，M,N为C上两点，FMFN=0,求△MFN面积的最小值.

【答案】（1）P=2

⑵12-80

【解析】

【分析】（1）利用直线与抛物线的位置关系，联立直线和抛物线方程求出弦长即可得出P；

（2）设直线MN：x=my+n,M（内，