2023-2024学年河北省唐山市高二年级下册期中数学模拟试题（含解析）

2023-2024学年河北省唐山市高二下学期期中数学模拟试题

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的.

1.已知函数/(x)=e'+2χ2,则广(O)=()

A.IB.2C.3D.4

2.(l+2x)"("∈N*)的展开式中第6项与第7项的二项式系数相等，则〃为()

A.10B.11C.12D.13

3.函数/(x)=(f-3x+l)e'的图象大致是()

4.甲、乙、丙、丁4名大学生分配到3个不同的单位，每人去1个单位，每个单位至

少1人，则不同的分配方案共有()

A.24种B.36种C.64种D.81种

5.已知殍，6=,，c=绊(其中e为自然对数的底数)，则()

2e9

A.b>OaB.b>a>cC.c>b>aD.a>b>c

6.若函数/(x)=2e'-3加+1有两个不同的极值点，则实数α可以为()

A.ɪB.7C.-D.；

3232

7.已知函数√∙(x)=lnx+±■在上单调递增，则实数α的取值范围是()

99

A.ci≥—B.ci≤—C.Q<4D.4≥4

22

8.如图，某城区的一个街心花园共有五个区域，中心区域⑤是代表城市特点的标志性

塑像，要求在周围①②③④四个区域内种植鲜花，现有四个品种的鲜花供选择，要求每

个区域只种一个品种且相邻区域所种品种不同，则不同的种植方法共有()

A.48种B.60种C.84种D.108种

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符

合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.

9.已知函数/(x)=χ3-2∕+x+l,则()

A./(x)的极小值为0B./(x)的极大值为言

C./(X)在区间上单调递增D∙/(X)在区间(-8,0)上单调递增

10.下列说法正确的是()

A.IOXIIX12x…x20可表示为A*

B.若把单词“best”的字母顺序写错，则可能出现的错误共有23种

C.9个朋友聚会，见面后每两人握手一次，一共握手36次

D.5个人站成一排，甲不站排头，乙不站排尾，共有72种不同排法

2023

11.若(l-2x)2°"=%+-----FO2023JC,贝!]()

A.«„=1B.展开式中所有项的二项式系数的和为

2初3

C.奇数项的系数和为上上D.⅞+⅜+⅜+-+⅛=-l

22222)2202i

12.已知函数/(X)=高，下列说法正确的是()

A.“X)在(0,e)上单调递减，在(e,+8)上单调递增

B.当evχv%2时，XIlnX2＜%2∣nxι

C.若函数V=/(附-左有两个零点，贝也＜0

D.若1＜玉＜工2，且/(须)=/(马)，则x∣+%＞2e

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.某人有5件不同的衬衫，6条不同的裤子，1件上衣和1条裤子为一种搭配，则搭

配方法共有种.

14.函数/(x)=lnx+:+2x+3的单调递减区间是.

15.9名学生报名参加学校联欢晚会，其中4人只会唱歌，2人只会跳舞，其余3人既

会唱歌又会跳舞，现从中选6人，3人唱歌，3人跳舞，共有种不同的选法.

16.如图，某校园有一块半径为IOm的半圆形绿化区域(以。为圆心，/8为直径),

目前进行改建，在的延长线上取点。，OD=20m,在半圆上选定一点C,改建后

绿化区域由扇形区域ZOC和三角形区域CoD组成.若改建后绿化区域的面积为S,设

2

ZAOC=Θ,则。为时，S取得最大值，最大值为m.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.已知函数/(x)=gf-lnx.

⑴求V=∕(x)在x=l处的切线方程；

(2)当xe(,“时，求y=/(x)的值域.

18.已知G-AJ的展开式中，前两项的二项式系数之和是9.

(1)求展开式中二项式系数最大的项；

(2)求展开式中X4的系数.

19.用0,1,2,3,4这五个数字，可以组成多少个满足下列条件的没有重复数字的五

位数？

⑴偶数；

(2)百位和千位都是奇数的偶数；

(3)比23014大的数.

20.已知函数/(x)=e*(x+2),g(x)=i√+3x+2.

(1)证明：当x20时，/(x)>g(x);

(2)若函数MX)=/(x)-4e'-加有两个零点，求机的取值范围.

21.已知函数/(x)=g∕+bx+3αlnx.

⑴若α>0,6=-α-3,讨论/(x)的单调性；

(2)若6=-4,公，々是/(x)的两个极值点，求/(再)+/(%)的最小值.

22.已知/(x)=g和g(x)=最有相同的最大值.(。>0)

(1)求。的值；

(2)求证：存在直线y=6与两条曲线y=∕(χ)和y=g(χ)共有三个不同的交点

（再,必）"2，%），（覆，％）且*<*2<工，使得X|，X2，W成等比数列.

1.A

【分析】根据导数的运算法则求出函数的导函数，再代入计算可得.

【详解】因为/(x)=e'+2χ2,所以解(％)=e∖4x,K∣J∕(θ)=eo+4x0=1.

故选：A

2.B

【分析】根据二项式系数的定义求解即可.

【详解】因为(l+2x)"(〃eN*)的展开式中第6项与第7项的二项式系数相等，

所以]C二C,解得“Hi.

[n>6

故选：B.

3.A

【分析】先利用导数求出函数的单调区间，再根据x<0时，函数值的符号，利用排除法即

可得解.

【详解】/'(x)=(2x-3)e'+(√-3x+l)er=('-x-qev《x-短x+}e；

当x<-l或x>2时，/O>0,当-l<x<2时，/',(x)<0,

所以函数〃x)在(7,2)上单调递减，在(-8,-1),(2,+⑹上单调递增，故排除B；

当x<0时，ev>0,x2-3x+l>0,

所以/(x)=(χ2-3x+l*>0,故排除CD.

在A中：单调性满足，当x<0时/(x)>0满足，令/(x)=0即--3χ+ι=o有两个正根

xl,x2(xl<x2),且芭<x<x?时/(x)<0,当x<x∣或x>x?时/(x)>0,以上性质图象均满足,

故A正确.

故选：A.

4.B

【分析】先把四个人分成三组，再将三组分配到三个不同的地方去即可.

【详解】由题意，不同的分配方案共有C，A；=36种.

故选：B.

5.B

【分析】构造/(X)=叱，由导数求得最大值为6,然后用作差法比较α,C的大小即可.

X

【详解】设/(X)=叱，贝V(X)=上及，

XX"

当O<x<e时，/'(%)>0,/⑶单调递增;当。>e时,∕,(x)<0,/(X)单调递减，所以

/(x)ma*=∕(e)=生£=,，所以*b,C中6最大.

ee

PIn2In991n2-2ln9In^-ln9ig,

又"c=-----------=---------------=-------------->λ0,所以α>c,b>a>c.

291818

故选：B.

6.D

【分析】将问题转化为α=J有2个不同的实数根，令g(χ)=3,转化为V=。的图象与

3x3x

g(χ)=S∙的图象有两个交点求。的取值范围问题，利用导数求出函数g(χ)=盘的单调区间和

3x3%

最值，从而可求出实数。的取值范围.

【详解】依题意得/'(x)=2e'-60x有2个不同的实数根，即〃="H0)有2个不同的实数

根，

可转化为N="的图象与g(x)=3的图象有两个交点求“的取值范围问题，

3x

令g(x)=4,则g,(x)=e'"D,x>l时，g'(x)>O,0<x<l时g'(x)<O,x<0时g'(x)<O,

3x3x~

所以g(x)在(1,+8)上单调递增，在(0,1)上单调递减，在(-8,0)上单调递减，

g(χ)=f⅛图象如下图，所以在(-8,0)上无极值，在(0,+∞)上g(x)的最小值为g(l)=；,

3x3

若函数/(x)=2e*-3θχ2+ι有两个不同的极值点，因此

故选：D.

7.C

【分析】根据导函数/'(X)=嚏-Uψ≥o在(；，1)上恒成立，即可结合基本不等式求解.

【详解】由于/(x)=InX+含在1)上单调递增，所以/'(x)＜产呵川上恒

成立，故α≤α+∣)-=x+L2在H上恒成立，

由于x+'+2≥4当且仅当χ=l时取等号，所以,

X

故选：C

8.C

【分析】根据四个区域所种植鲜花的种类进行分类：种植两种鲜花，种植三种鲜花，种植四

种鲜花，然后相加即可求解.

【详解】由题意可知：四个区域最少种植两种鲜花，最多种植四种，所以分以下三类：

当种植的鲜花为两种时：①和③相同，②和④相同，共有A；=12种种植方法；

当种植鲜花为三种时:①和③相同或②和④相同,此时共有2C；A；=2×4×6=48种种植方法;

当种植鲜花为四种时：四个区域各种一种，此时共有A：=4x3x2x1=24种种植方法，

综上：则不同的种植方法的种数为12+48+24=84种，

故选：C.

9.BD

【分析】利用导数分析函数/(x)的单调性与极值，即可得出结论.

【详解】因为/(x)=χ3-2χ2+χ+l,该函数的定义域为R,

且∕∙'(x)=3χ2-4x+l=(3x-l)(x-l),

令/(x)=0,可得X=;或1,列表如下：

卜W)ɪ

X1(l,+∞)

3

/'(X)+0-0+

31

ʃ(ɪ)增极大值9减极小值1增

27

所以，函数/(x)在(-8,0)上单调递增，BD对，AC均错.

故选：BD.

10.BC

【分析】根据排列数公式计算即可判断A；利用排列即可判断B；从9人种选2人结合组合

即可判断C；利用排除法即可判断D.

【详解】对于A,因为AI=IIX12x…义20,故A错误；

对于B,可能出现的错误共有A：-1=23,故B正确；

对于C,9个朋友聚会，两人握手一次，则共有C；=36次，故C正确；

对于D,若5个人站成一排，则有A；=120种，

若甲站排头，则有A：=24种，

若乙站排尾，则有A：=24种，

若甲站排头且乙站排尾，则有A；=6种，

所以甲不站排头，乙不站排尾，共有120-24-24+6=78种不同排法，故D错误.

故选：BC.

11.ABD

【分析】利用赋值法判断A、C、D,利用二项式系数的和的性质判断B.

023

【详解】因为(l-2x)2°"=%+qχ+%d+∙∙∙+¾023√,

令x=0可得％=(-0)2侬=1,故A正确；

展开式中所有项的二项式系数的和为2改3,故B正确；

令X=1,a0+aλ+a1+ai-∖-----F<∕2o23=11，

令X=-1,则α0—q+%—a；^l------a2oi3ɜɪ3，

-1+3≡

两式相加得展开式中所有奇数项系数的和为一，故C错误；

2

令x1,则旬+>自+墨+…+舞=。，

所以A$+$+…+筮=一1，故D正确.

故选：ABD

12.BD

【分析】对于A,求导后直接求出单调区间判断即可；对于B,根据函数的单调性即可判断;

对于C,结合偶函数的图象特点转化为两个函数的交点问题，求出〃的范围判断；对于D,

构造函数g(x)=∕(x)-∕(2e-x),判断函X)的单调性,得到/(X2)=/a)>/(2e-xJ,再

根据/(x)的单调性，即可得到再+芍>2e.

【详解】对于A,的定义域为(o,i)5i,+8),贝IJr(X)=霁M，

若/C(x)>0,BPInx-I>0,则x>e；

若/"(x)<0,BPInx-I<0,则0<x<e且x≠l,

所以/(x)在(0,1)和(Le)上单调递减，在(e,+8)上单调递增，故A错误；

对于B,由选项A知，/(x)在(e,+s)上单调递增，

因为e<x∣<X2,所以/(x∣)<∕(x2)，即'iɪv`iɪ，

Inx1ɪnX2

又lnx∣>OInX2>0,所以再InX?<々山再，故B正确.

对于C,由选项A,可得/(x)的图象如图所示，

若函数y=∕Qχ∣)-上有两个零点，则函数必=/(IXl)和%=A有两个交点，

又％=/(N)定义域关于原点对称,且/(∣χ∣)=∕(∣T),所以必=∕(∣X∣)在定义域内为偶函数,

则%&与函数/(x)=F—在定义域内有一个交点，由图知，4<。或％=e,故C错误；

Inx

对于D,l<x∣<X2,且/(x∣)=∕(x2)，由选项C中/(x)的图象可知，l<x∣<e<X2,

令g(x)=∕(x)-∕(2e-x)(1<x<e),

则

lnx-1ln(2e-x)-l

g'(x)=∕'(x)+∕"(2e-x)

(Inx)2[ln(2e-x)]2

lnxln(2e-ɪ)ln(2ex-x2)-{[ln(2e-x)]2+(Inx)2}

(lnx)2[ln(2e-x)]2

因为l<x<e,所以[ln(2e-x)f+(Ini)?>21n(2e-x)lnx,

Inxln(2e-x)ln(2ex-x2)-{[ln(2e-x)]2+(lnx)2}

所以g'(x)=∕'(x)+∕'(2e-x)

(lnx)2[ln(2e-x)]2

Inxln(2e-x)ln(2er-x2)-2ln(2e-x)Inx_Inxln(2e-x)[ln(2ex-x2)-2]

<

(Inx)2[ln(2e-x)]2(lnx)2[ln(2e-x)]2

令〃α)=2ex--=(2e-x)x(l<x<e),则％(x)=(2e-X)X在(Le)为增函数,

所以h(x)<∕z(e)=e2,即In〃(X)<InΛ(e),Jj∣∣Jln[(2e-x)x]<Ine2=2,

即ln(2ex-丁)一2<0,因为l<x<e,所以InX>0,ln(2e-x)>0,

又(In加3前>。，则g<χ)=j≡嗤湍黑产<。,

所以g(x)=/(X)-/(2e-x)在(l,e)为减函数，

又g(e)=∕(e)-/(2e-e)=0,g(x)>g(e)=0,即g(x)=/(X)-/(2e-x)>0,

所以/(XJ-/(2e-xJ>0,BP∕(x,)>∕(2e-x,),又/(xj=∕-2),

所以/(x2)=∕α)>∕(2eτj,则/(X2)>∕(2eτJ,

因为l<x∣<e,所以2e-x∣>e,又x∙i>e，

由选项A知，/(x)在(e,+8)上单调递增，

则Z>2e-x∣,即々+占>2e.故D正确.

故选：BD

关键点点睛：本题中D选项求解的关键是：利用极值点偏移，构造对称函数，通过所构造

函数的单调性来判断.

13.30

【分析】按照分步乘法计数原理计算可得.

【详解】依题意有5*6=30种搭配方法.

故30

,4∙

【分析】求导，再令/'(χ)<o,即可得解.

【详解】函数/(x)=lnx+g+2x+3的定义域为(0,+e),

f，(X)=y+2χ=j⅛∑l=(21)F+l),

XXXX

令/'(x)<0,解得O<x<g,

所以函数/(x)=lnx+J+2x+3的单调递减区间是(0,；).

故答案为.(o,；)

15.124

【分析】从只会跳舞的2人入手，分只会跳舞的选。人，只会跳舞的选1人和只会跳舞的选2

人，三种情况讨论，即可得解.

【详解】只会跳舞的选0人，则有C；C：=4种，

只会跳舞的选1人，则有C；C；C；=60种，

只会跳舞的选2人，则有跳舞的=60种,

所以共有4+60+60=124种不同的选法.

故答案为.124

/2π100πUA∣-

16.-------+50√3

33

【分析】由题意可得S=500+IOOSin。，0∈(0,π),求导后，求出函数的单调区间，从而可

求出函数的最大值.

【详解】由题意得S=1χl02e+Lχl0x20sin5-e)

22

=500+100SinO,6e(0,π),

则S'=50+IOOCOSO,由S'=50+100COS0=0,得6=g,

当0<6<"时，S'>0,当二兀时，S'<0，

33

所以5=500+1005吊0在„上递增，在信,π)上递减，

所以当。号时，S取得最大值50*号+100$琦=*+50百(n√)∙

故法^Ξ÷50√i

33

关键点点睛：此题考查导数的应用，考查扇形的面积公式的应用，解题的关键是根据题意表

示出总面积S,然后利用导数可求出其最大值，考查计算能力，属于中档题.

17.(l)y=;

【分析】(1)求导，再根据导数的几何意义即可得解；

(2)先利用导数求出函数的单调区间，在求出极值及区间端点的函数值，即可得解.

【详解】(1)/"(x)=x-g(x>0),

WJZ(I)=OJ(I)=P

所以y=∕(x)在χ=l处的切线方程为y=；；

(2)r(x)=x-1=^—ɪ,ɪeɪ,e,

XXLe

令/C(x)>O,贝∣Jl<χ≤e,令/(x)<0,则1≤x<l,

e

所以/(χ)在(l,e］上单调递增，在上单调递减，

所以“χL=/⑴=3，

又/(+看+∣<”(e)=K>2,

2

所以/(x)1≡=∕(e)=∙∣^f

Γ∣1「Ie?一

所以当Xe∣,e时，y=∕(x)的值域为ʌy-1.

8

18.(1)7OX3

(2)-56

【分析】(1)依题意可得C：+C：=9,即可求出〃，从而写出展开式的通项，即可得解;

4

(2)令8-gr=4,解得厂，再代入计算可得.

【详解】(1)依题意C：+C=9,即1+〃=9,解得"=8,

所以IT

展开式的通项为7；U=GXM=CgX§(-1)'(0≤r≤8j[∕∙∈N),

则展开式中二项式系数最大的项为T5=C：J-9(-1)4=703.

4

(2)令8-y=4,解得厂=3,

所以7；=⅛4(-l)3=-56X4,所以展开式中X4的系数为-56.

19.(1)60

(2)8

(3)59

【分析】(1)(2)(3)先考虑特殊位置、特殊元素，再利用分类加法原理、分步乘法原理进

行计算.

【详解】(1)末位是0,有A：=24个，

末位是2或4,有A；A；A；=36个，

故满足条件的五位偶数共有24+36=60个.

(2)可分两类，0是末位数，有A；A；=4个，

2或4是末位数，则A；A；=4个，

故共有4+4=8个.

(3)3或4在万位，符合条件的五位数有2A：=48个，

2在万位，4在千位，符合条件的五位数有A；=6个，

2在万位，3在千位，4或1在百位，符合条件的五位数有2A；=4个，

2在万位，3在千位，0在百位，4在十位，符合条件的五位数有1个,

故比23014大的数有48+6+4+1=59个.

20.(1)证明过程见解析

(2)w∈(-e,0)

【分析】(1)构造MX)=/(x)-g(x),求导得到其单调性，极值和最值，从而得到证明；

(2)转化为N=W与y=e'(x-2)有两个交点，构造W(X)=e'(x-2),求导，研究其单调性

和极值，最值情况，数形结合得到答案.

【详解】(1)⅛(x)=/(x)-g(x)=ev(x+2)-yx2-3x-2,x≥0,

M(X)=e*(x+3)-x-3=(r+3)(er-l),

因为x≥0,所以4(x)=(x+3乂e*-l)",故为x)单调递增,

又Mo)=2-2=0,故/(x)-g(x)≥0,/(x)2g(x);

(2)Λ(x)=eλ(x+2)-4ev-=ex(x-2)-m,%eR,

令MX)=O得,er(x-2)=m,

故函数MX)=Z'(x)-4e*-“有两个零点，即N=加与y=e*(x-2)有两个交点，

令W(X)=e"(x-2),χeR,

则w'(x)=e*(x-l),

当x>l时，v√(x)>O,当χ<l时，W(X)<0,

所以W(X)在(-8,1)上单调递减，在(1,+8)上单调递增，

又W(X)在χ=l处取得极小值，也是最小值MI)=-e,

又当x<2时，VV(X)=e*(x-2)<0恒成立，当x→+8时，W(X)→+∞,

故要想函数/7(力=/(切-4°'-川有两个零点，则机∈(-e,0),

对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法，一是分离参数法，使不等式一端是

含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满

足的条件.二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论，三是数形结合法，将不等式转化

为两个函数，通过两个函数图像确定条件.

21.(1)答案见解析

⑵-9

【分析】(1)求出函数的定义域与导函数，分。>3、。=3、()<α<3三种情况讨论，分别求

出函数的单调性，即可得解；

(2)依题意可得不、々是方程χ2-4x+30=0的两个不相等的正实数根，利用韦达定理及

根的判别式求出。的取值范围，将/(为)+/(七)转化为关于。的函数，设g(f)="n∕T-8,

7(0,4),利用导数求出g(∕)的最小值，即可得解.

【详解】(1)因为/(x)=Jχ2+bx+30lnx定义域为(0,+8),

-B.∕,(.x)=x+⅛+-,又。>0,b=-a-3,

所以∕[x)=x-α-3+细=x=(α+3)x+%=(x-α)[-3),

XXX

当"3时令/¢(%)>0,解得0<x<3或x>Q,令/"(x)<0,解得3<x<4,

所以/(x)的单调递增区间为(0,3),(见位)，单调递减区间为(3,4)；

当α=3时∕<χ)=(x-3)≥0恒成立,

所以/(χ)的单调递增区间为(0,+8),无单调递减区间：

当0<α<3时令∕%x)>0,解得0<x<“或x>3,令∕<x)<0,解得α<x<3,

所以/(x)的单调递增区间为(0,0),(3,+∞),单调递减区间为(4,3);

综上可得当.>3时/(x)的单调递增区间为(0,3),(a,+∞),单调递减区间为(3〃)；

当。=3时/(x)的单调递增区间为(0,+8),无单调递减区间；

当0<"3时"x)的单调递增区间为(0,q),(3,+=o),单调递减区间为(。的).

(2)当2=-4时/'(X)='=©+Sa,

因为王、巧是函数的两个极值点，

即巧、巧是方程/-4x+3α=0的两个不相等的正实数根,

x1+x2=4

4

所以<x1x2=3a>0解得O<a<—,

∆=16-12^>0

所以/(xj+/&)=；x；+→2-

4xl-4X2+(Inxl+Inx2)

(x+x)--2XX

12I2一4(RI+/)+3Qln(XIX2)

2

=3αln34-3α-8,

令E=34,0<∕<4,设g(f)=ElnET-8,Ze(0,4),

则g'(f)=lnt,当0<∕<l时g'(∕)<0,g(f)单调递减，

当l<f<4时g'(f)>O,g(