华师一附中2024届高三数学独立作业4 试卷带答案

华师一附中2024届高三数学独立作业（4）一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) ,1.已知复数z的共轭复数z=,则复数z在复平面内对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限UA3.“碳达峰”是指二氧化碳的排放不在增长，达到峰值之后开始下降，而“碳中和”是指企业、团体或个人通过植树造林、节能减排等形式，抵消自身产生的二氧化碳排放量，实现二氧化碳“零排放”.某地区二氧化碳的排放量达到峰值a（亿吨）后开始下降，其二氧化碳的排放量S（亿吨）与时间t（年）满足函数关系式S=abt，若经过4年，该地区二氧化碳的排放量为（亿吨）.已知该地区通过植树造林、节能减排等形式抵消自身产生的二氧化碳的排放量为（亿吨则该地区要实现“碳中和”，至少需要经过参考数A.13年B.14年C.15年D.16年4.某旅游景区有如图所示A至H共8个停车位，现有2辆不同的白色车和2辆不同的黑色车，要求颜色相同的车不停在同一行也不停在同一列，则不同的停车方法总数为()A.288B.336C.576D.1680ABCDEFGH5..甲、乙两人各有一个袋子，且每人袋中均装有除颜色外其他完全相同的2个红球和2个白球，每人从各自袋中随机取出一个球，若2个球同色，则甲胜，且将取出的2个球全部放入甲的袋子；若2个球异色，则乙胜，且将取出的2个球全部放入乙的袋子中.则两次取球后，甲的袋子中恰有6个球的概率是()6.阿基米德螺旋线是一个点匀速离开一个固定点的同时又以固定的角速度绕该固定点转动而产生的轨迹。如图，在平面直角坐标系xoy中，螺旋线与坐标轴依次交于点的规律继续下去，若四边形AnAn+1An+2An+3的面积为760，则n的值为()A.18B.19C.21D.227.在平面直角坐标系xoy中，已知过抛物线y2=4x焦点F的直线与抛物线相交于A,B两点，以AF,BF为直径的圆分别与x轴交于异于F的P,Q两点，若PF=2FQ，则线段AB的长为()228.已知三棱柱ABC-DEF，DA,DE,DF两两互相垂直，且DA=DE=DF,M,N分别是BE,AB边的中点,P是线段AC上任意一点，过三点P,M,N的平面与三校柱ABC-DEF的截面有以下几种可能:①三角形；②四边形；③五边形；④六边形.其中所有可能的编号是()A.①②B.③④C.①②③D.②③④二、多选题(本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)9.已知数据1：x1,x2,…,xn，数据2：2x1-1,2x2-1,…,2xn-1，则下列统计量中，数据2不是数据1的两倍的有()A.平均数B.极差C.中位数D.标准差10.2022年9月钱塘江多处出现罕见的潮景，“鱼鳞潮”的形成需要两段潮湖，一股是波状涌潮，另一股是破碎的涌潮，两者相遇交叉会形成像鱼鳞一样的涌潮.若波状涌潮的图像近似函数f(x)=Asin山(x+Ψ)(A,山eN*,Ψ<)的图像，而破碎的涌潮的图像近似f'(x)(f'(x)是函数f(x)的导函数已知当x=2π时，两潮有个交叉点，且破碎涌潮的波谷为C.f'(x-)是偶函数D.f'(x)在区间-，0上单调第一象限的交点，且C1,C2共焦点F1,F2，人下列结论正确的是()1，Sn是数列{an}的前n项和，则下列结论正确的是()nC.a2021+三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)13.平面向量a，b的夹角为60o，且a=b=2，则a在b上的投影向量是f(x+1),x<4,14.已知f(x)={()x,x之4，则f(log)=15.设{an}是公差为d的等差数列，{bn}是公比为q的等比数列.已知数列{an+bn}的前n项n16.在ΔABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，若a2+b2+2c2=8，则ΔABC的面积的最大值为.四、解答题(本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.将正奇数数列1，3，5，7，9，…的各项按照上小下大，左小右大的原则写成如图的三角形数表，1（1）设表中每行最后一个数依次构成数列{an},求数列{an}的通项公式；（1）求边b的大小；（2）求ΔABC的面积的最大值.19.（12分）脂肪含量（单位：%）指的是脂肪重量占人体总重量的比例.某运动生理学家在对某项健身活动参与人群的脂肪含量调查中，采用样本量比例分配的分层随机抽样，如果不知道样本数据，只知道抽取了男性120位，其平均数和方差分别为14和6，抽取了女性90位，其平均数和方差分别为21和17.（1）试由这些数据计算出总样本的均值与方差，并对该项健身活动的全体参与者的脂肪含量的均值与方差作出估计.（结果保留整数）（2）假设全体参与者的脂肪含量为随机变量X，且X~N(17,O2)，其中O2近似为（1)中计算的总样本方差.现从全体参与者中随机抽取3位，求3位参与者的脂肪含量均小于12.2%的概率.3边三角形，平面PADL平面ABCD,PBLBC（1）求点A到平面PBC的距离；（2）E为线段PC上一点，若直线AE与平面ABCD所成角的正弦值为，求平面ADE与平面ABCD夹角的余弦值.21.过抛物线E:x2=2Py(P>0)的焦点F作斜率分别为k1,k2的两条不同的直线l1,l2，且2=2，l1与E相交于点C,D.以AB,CD为直径的圆M,圆N（M,N为圆心）的公共弦所在的直线记为l.2>0,证明：FM.FN<2P2;5（2）若点M5,求抛物线E的方程.f(x)之cosx在(1,+构)上恒成立，判断函数g(x)在(1,1)上的零点个数，并说明理由。华中师大一附中2024级高三上学期独立作业（4）一.单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数z的共轭复数z=，则复数z在复平面内对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限为,-，位于第四象限.故选：D.A.}.故选：D3.“碳达峰”是指二氧化碳的排放不再增长，达到峰值之后开始下降，而“碳中和”是指企业、团体或个人通过植树造林、节能减排等形式，抵消自身产生的二氧化碳排放量，实现二氧化碳“零排放”．某地区二氧化碳的排放量达到峰值a（亿吨）后开始下降，其二氧化碳的排放量S（亿吨）与时间t（年）满足函数关系式S=abt，若经过4年，该地区二氧化碳的排放量为（亿吨已知该地区通过植树造林、节能减排等形式抵消自身产生的二氧化碳排放量为（亿吨则该地区要实现“碳中和”，至少需要经过参考数据：t可得t(lg3-2lg2)=-lg3，即t=4.某旅游景区有如图所示A至H共8个停车位，现有2辆不同的白色车和2辆不同的黑色车，要求相同颜色的车不停在同一行也不停在同一列，则不同的停车方法总数为()A.288B.336C.576D.1680【详解】解:第一步:排白车,第一行选一个位置,则第二行有三个位置可选,由于车是不相同的,第二步,排黑车,若白车选AF,则黑车有BE,BG,BH,CE,CH,DE,DG共7种选择,黑车是根据分步计数原理,共有24根14=336种,故选：B5.甲、乙两人各有一个袋子，且每人袋中均装有除颜色外其他完全相同的2个红球和2个白球，每人从各自袋中随机取出一个球，若2个球同色，则甲胜，且将取出的2个球全部放入甲的袋子中；若2个球异色，则乙胜，且将取出的2个球全部放入乙的袋子中.则两次取球后，甲的袋子中恰有6个球的概率是()ABCD【详解】由题，若两次取球后，甲的袋子中恰有6个球，则两次取球均为甲胜，即两次取球均为同色.若第一次取球甲、乙都取到红球，概率为根=，则第一次取球后甲的袋子中有3个红球和2个白球，乙的袋子中有1个红球和2个白球，第二次取同色球分为取到红球或取到白中有6个球的概率为.同理，第一次取球甲、乙都取到白球且两次取球后，甲的袋子中有6个球的概率为 故所求概率为故选：A.6.阿基米德螺线是一个点匀速离开一个固定点的同时又以固定的角速度绕该固定点转动而产生的轨迹．如图，在平面直角坐标系xOy中，螺线与坐标轴依次交于点A1(-1,0)，这样的规律继续下去．若四边形AnAn+1An+2An+3的面积为760，则n的值为()A.18B.19C.21D.22【详解】如图，四边形AnAn+1An+2An+3的面积由四个直角三角形构成，7.在平面直角坐标系xOy中，已知过抛物线y2=4x焦点F的直线与抛物线相交于A，B两点，以AF，BF为直径的圆分别与x轴交于异于F的P，Q两点，若PF=2FQ，则线段AB的长为()A.B.C.D.【详解】如图，过点A,B分别作准线x=-1的垂线，垂足为C,D,过B作AC的垂线，垂足为E，因为AF，BF为直径的圆分别与x轴交于异于F的P，Q两点，所以△QFB与ΔPFA相似，且相似比为FQ:PF=1:2，AFBFAFBF所以BE=AB2-AE2=2m，所以直线AB的斜率为2，所以AB的方程为y=2(x-1)，设A(x1,y1),B(x2,y2)，则有x1+x2=，所以AB=x1+x2+p=，故选:C.8．已知三棱柱ABC﹣DEF，DA，DE，DF两两互相垂直，且DA＝DE＝DF，M，N分别是BE，AB边的中点，P是线段CA上任意一点，过三点P，M，N的平面与三棱柱ABC﹣DEF的截面有以下几种可能：①三角形；②四边形；③五边形；④六边形．其中所有可能的编号是()【解析】解：以点D为原点，DA为x轴，DE为y轴，DF为z轴，延长MN分别交x轴，y轴于点N'，M'.连接N'P交z轴于点P'，则过P，M，N三点的平面与过点N'，M'，P'的平面相同，当点P与点A重合时，截面为四边形；当0＜PA＜AC时，截面为五边形；当AC≤PA＜AC时，截面为四边形；当点P与点C重合时，截面为三角形；而该三棱柱只有五个面，截面与每个面相交最多产生五条交线，故截面形状最多为五边形，即不可能为六边形．故选：C.多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有9．已知数据1：x1，x2，L，xn，数据2：2x1-1，2x2-1，L，2xn-1，则下列统计量中，数据2不是数据1的两倍的有()A．平均数B．极差C．中位数D．标准差，x则数据2：2x1-1，2x2-1，L，2xn-1，的均值为2x-1，故A正确，极差为(2xmax-1)-(2xm数据2：2x1-1，2x2-1，L，2xn-1，的中位数为2t-1，故C正确；数据2：2x1-1，2x2-1，L，2xn-1，的标准差为√4s2=2s，故D错误；故选：AC.10.2022年9月钱塘江多处出现罕见潮景“鱼鳞潮”，“鱼鳞潮”的形成需要两股涌潮，一股是波状涌潮，另外一股是破碎的涌潮，两者相遇交叉就会形成像鱼鳞一样的涌潮．若波状涌潮的图像近似函数f(x)=Asin(Φx+近似f,(x)（f,(x)是函数f(x)的导函数）的图像．已知当x=2π时，两潮有一个交叉点，且破碎的涌潮的波谷为－4，则()f(x)=Asin(Φx+Q)，则f,(x)=AΦcos(Φx+Q)，由题意得f(2π)=f,(2π)，f,数，则选项C正确；则选项D错误.故选：BC限的交点，且C1,C2共焦点F1,F2,人F1PF2=θ,C1,C2的离心率分别为e1,e2，则下列结论正确的是()A.PF1PF=a+m,PF2PF=a-mA正确；1_cosθ+1+cosθ=2|PF在双曲线中，2|PF1||PF|PFDD正确.故选：ABD1，Sn是数列{an}的前n项和，则下列结论正确的是()naean一1，：设g(x)=ex1xexg,(x)=exexxex=xex当x>0时，g,(x)<0，g(x)单调递减，当x<0时，g,(x)>0，g(x)单调递增，aan+1anaan+1an则数列{an}满足当an>0时，an>an+1，为单调递减数列，故A选项正确，B选项错误；所以函数f(x)单调递减，所以随着an减小，从而an+1一an增大，所以a2023a2022>a2022a2021，即a2021+a2023>2a2022，所以C选项正确，下面证明an+1>an，只需证明1212 22nan常b2_b__2_lnb>0，令m(b)=_b__lnb,be(1,e]，则m,(b)=+_2>0，:m(b)>m(1)=0成立，则an+1>1 a2n(e_1)_ln(e_1)>2，所以D选项正确；故选：ACD.位置.则cos60。=1，所以则在上的投影向量为1x=.x=______.:f(log23)=f(log23+1)=f(log23+2)=f(log23+3)=log3+31log3x315.设{an}是公差为d的等差数列，{bn}是公比为q的等比数列．已知数列{an+bn}的前n项【详解】设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q，根据题意q丰1.1-n，{n-n-nq，积的最大值为.【详解一】（余弦定理+二次函数）=8的结构特征，联想余弦定理得：a22-c22ab3a22-84ab2ab所以S2=(ab)2sin2C<(ab)21-(-)2=-(ab)2+ab-1当ab=时，S2max=，ΔABC的面积的【详解二】（三角形中线长定理+基本不等式）设BC边上的中线为AM，则2(a2+b2)=c2+4AM2222代人得：2(8-2c2)=c2+4AM2，即5c2+4AM2=16又因为三角形一边上的中线不小于该边上的高，所以4AM.c之8S所以16之8S，S<，当且仅当中线等于高，即中线垂直于底边时，等号成立，此时ΔABC的面积的最大值为.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17（10分）.将正奇数数列1，3，5，7，9…的各项按照上小下大、左小右大的原则写成如图的三角形数表.（1）设数表中每行的最后一个数依次构成数列{an}，求数列{an}的通项公式；=6，ⅆⅆ,anan1=2n，3a2)22n2(3-cosA)sinB=sinA(1+co（2）求ΔABC的面积的最大值.解（1(3-cosA)sinB=sinA(1+cosB)，则3sinB=sinA+sinAcosB+cosAsinB=sinA+sin(A+B)，A+B+C=π,:cosB=a2+c2-b2=(a+c)2-2ac-4=16-ac，2ac2acac 22ac19（12分脂肪含量（单位：%）指的是脂肪重量占人体总重量的比例．某运动生理学家在对某项健身活动参与人群的脂肪含量调查中，采用样本量比例分配的分层随机抽样，如果不知道样本数据，只知道抽取了男性120位，其平均数和方差分别为14和6，抽取了女性90位，其平均数和方差分别为21和17.(1)试由这些数据计算出总样本的均值与方差，并对该项健身活动的全体参与者的脂肪含量的均值与方差作出估计结果保留整数）(2)假设全体参与者的脂肪含量为随机变量X，且X~N（17，σ2其中σ2近似为（1）中计算的总样本方差．现从全体参与者中随机抽取3位，求3位参与者的脂肪含量均小于12.2%的概率.附：若随机变量×服从正态分布N(μ,σ2则P(μ-σ≤X≤μ+σ≈0.6827，P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545，≈4.7，≈4.8，0.158653≈0.004.解（解（1）把男性样本记为x1,x2,…,x120，其平均数记为x，方差记为s；把女性样本记为y1,y2,…,y90，其平均数记为y，方差记为s．则x=14,s=6;y=21,s=17.记总样本数据的平均数为记总样本数据的平均数为z，方差为s2.由由x=14,y=21，根据按比例分配的分层随机抽样总样本平均数与各层样本平均数的关系，根据方差的定义，总样本方差为根据方差的定义，总样本方差为ss2+(yi-z)2==(xi-x+x-z)2+(yi-x+y-z)因此，因此，s2=(xi-x)2+(x-z)2+(yi-y)2+(y-z)2 22222所以总样本的均值为所以总样本的均值为17，方差为23，并据此估计该项健身活动全体参与者的脂肪含量的总体均值为并据此估计该项健身活动全体参与者的脂肪含量的总体均值为17，方差为23.所以所以3位参与者的脂肪含量均小于12.2%的概率为0.004.20.（12分）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，PAD为等边三角形，平面PAD」平面ABCD,PB」BC.（1）求点A到平面PBC的距离；（2）E为线段PC上一点，若直线AE与平面ABCD所成的角的正弦值为ADE与平面ABCD夹角的余弦值.【解析】（1）取AD中点O，连接OB,OP.:ΔPAD为等边三角形OP」AD,OA=1,OP=.又：平面PAD」平面ABCD，平面PAD（平面ABCD=AD，又：OB一平面ABCD,：OP」OB.：PB」BC,BC∥AD,：PB」AD.又：OP」AD,OP一平面POB,PB一平面POB,OP（PB=P,：AD」平面POB.又：OB一平面POB,：AD」OB.设点A到平面PBC的距离为h，（2）由（1分别以OA,OB,OP为x轴，y轴，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系.则P设=λ(0<λ<1)，则 .-2λ,λ,-λ) .得E(-2λ,3λ,3-3λ)，则=(又OP」平面ABCD，则取平面ABCD的法向量=(0,0,设AE与平面ABCD所成的角为θ,则 3-λ sinθ=cosAE, 3-λ (22)---(52)|，解得λ=.2故平面ADE与平面ABCD夹角的余弦值为cosn1,n2=5=21(12分)过抛物线E:x2=2py(p>0)的焦点F作斜率分别为k1,k2的两条不同的直线l1,l2，2E相交于点A，B，l2与E相交于点C，D.以AB，CD为直径的圆M，圆N（M，N为圆心）的公共弦所在的直线记为l.>0，证明；FM.FN<2P5（II）若点M到直线5FAFAFBFB(xpk1)2+(yx2+y22pk1xp(2k+1)yp2=0，同理可得圆Nx2+y2x2+y22pk2xp(2k+1)yp2=0，于是圆M与圆N的公共弦所在直22(k2k1)x+(k2k12