考向5 函数的单调性及最值（重点）-2023年高考数学一轮复习考点微（全国通用）（解析版）

考向05函数的单调性与

最值

I经典真题）

1.(2022年浙江卷第7题)已知2"=5,log83=b,则平.二()

255

A.25B.5C.—D.

93

【答案】C

【解析】因为2"=5，^=log83=1log23,即23〃=3,所以

k筋_4。_(2"『_52_25

36

4(23))2329-

故选：C.

2.(2022年新高考1卷第7题)设a=0.1e°」,0=],c=-ln0.9,则(

)

A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.

a<c<b

【答案】C

,1JC

【解析】设/。)=111(1+%)一%(%>-1),因为/'(X)=------1=一——

1+X1+X

当xw(-1,0)时，f\x)>0,当xw(0,+00)时/'(x)<0,

所以函数/(x)=ln(l+x)-x在(0,+8)单调递减，在(-1,0)上单调递增,

所以/())</(0)=0,所以In与一1<0,故">ln£=—ln0.9,即人〉c，

所以/(一一1)</(0)=0,所以In—9+一1<0,故二Q<e-»->，所以]-<上]，

10101010109

故a〈匕,

(x2-l)e'+l

则g，(x)=(x+l)ev+-^-j-

设g(x)=xex+ln(l-x)(0<x<1),

x-1

令力(x)=e'(x2-1)+1,h'(x)=ex(x2+2x-l),

当0<x〈及一1时，h'(x)<0,函数/z(x)=e'(x2—i)+l单调递减，

当血一1<%<1时,〃’(x)>0,函数〃(x)=e'(x2—i)+l单调递增,

又〃(0)=0,

所以当0<x〈及一1时，h{x)<0,

所以当O<x<0—1时，g'(x)>。，函数8(幻=居'+111(1-％)单调递增，

所以g(0.1)>g(0)=0,即0.1e°」>-ln0.9，所以

故选：C.

-ox+1,x<a,

3.(2022年北京卷第14题)设函数=,2若/(x)存在最小值，则。的

(x-2),x>a,

一个取值为；a的最大值为.

【答案】①.0(答案不唯一)②.1

1,x<0

【解析】若。=0时，/5)={/°、2、八，•../(X)min=0；

(x-2),x>0

若a<0时，当x<a时，/(%)=-以+1单调递增，当x->-8时，f(x)->-oo,故/(x)没

有最小值，不符合题目要求；

若a>0时，

当x<a时，/(幻=一方+1单调递减，f(x)>f(a)=-a2+\,

0(0<«<2)

当x>a时,/(x)min={

(。-2『(«>2)

-a2+120或一〃+12(a-2)2，解得0<aW1,

综上可得OWaWl：故答案为：0(答案不唯一)，1

(1)函数的单调性是对函数定义内的某个区间而言的。

(2)函数/6J在给定区间上的单调性是函数在该区间上的整体性质。

(3)函数的单调定义中的幻、尤2有三个特征：①任意性②有大小③属于同一个单调区间。

（4）求函数的单调区间必须先求定义域。

（5）求函数的最值的常用方法，①数形结合法②配方法③单调性法。

1.函数单调性的两个等价结论

设Vxi，X2GD（Xl^X2），则

f（犬［）—f（X9）

（ir-----.，.…一＞0（或⑶-X2）［AXI）~AX2）］＞O）号上）在D上单调递增•

XI

f（XI）—f（X2）

------二_--＜0（或（XI—X2）［/（XI）—AX2）］＜0）号/）在D上单调递减.

X2,

2.函数最值存在的两条结论

（1）闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值.当函数在闭区间上单调

时最值一定在端点取到.

（2）开区间上的“单峰”函数一定存在最大（小）值.

【易错点11求函数的单调区间，应先确定函数的定义域，忽略定义域研究函数

的单调性是常见的错误.

【易错点2】有多个单调区间应分开写，不能用符号“U”联结，也不能用“或”

联结，只能用“逗号”或“和"联结.

1.下列.函数中，定义域是R且为增函数的是

A.y-e~xB.y=x3C.y=lnxD.y=\x\

【答案】B

【解析】四个函数的图象如下

显然B成立.

【名师点睛】本题考查函数的定义域以及单调性的判定，涉及指数、对数、幕函数的性质,

属于基础题.根据题意，依次分析选项中函数的定义域以及单调性，即可得答案.

z［\.V"—2.V—3

2.函数〃力=2的单调递减区间是

A.+oo)B.(-oo,l)C.(3,+00)D.(l,+oo)

【答案】D

【解析】设片/-213,则函数在(-8,1］上单调递减，在［1,+00)上单调递增.

<1Y

因为函数y=在定义域上为减函数，

所以由复合函数的单调性性质可知，此函数的单调递减区间是(1,+oo).

故选D.

【名师点睛】本题主要考查了复合函数的单调性以及单调区间的求法.复合函数的单调性，

一要先确定函数的定义域，二要利用复合函数与内层函数和外层函数单调性之间的关系进行

判断，判断的依据是“同增异减解答本题时，利用复合函数的单调性确定函数/(x)的单

调递减区间.

3.已知函数a=/(205),人=/(0.3巧，c=/(log032),则。，b,c的

大小关系为()

A.c<b<aB.a<h<cC.h<c<aD.c<a<h

【答案】B

【解析】函数/(x)=J,a=/(2°»。=/(0.3°2),c=/(log032)

根据指数函数和对数函数的单调性可得：

02

2°5>2°=1，0<O.3-<0.3°=1«log032<log0,31<0,

205

因为函数/'。)=’在/?上单调递减，Klog032<0.3°'<2-,

e

所以,(logo32)>/(0.3°-2)>/(2°-5),即a(力<C.

故选：B

【点睛】

对于指数累的大小的比较，我们通常都是运用指数函数的单调性，但很多时候，因哥的底数

或指数不相同，不能直接利用函数的单调性进行比较.这就必须掌握一些特殊方法.在进行

指数塞的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的

单调性进行判断.对于不同底而同指数的指数幕的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，

又准确.

4.已知函数仆)=3『24)+(〃小叱JT尤)+。.=2」，若小小0对

xe[0/M亘成立，则实数a的取值范围是()

A.(-oo,73-l]B.(-oo,0]C.[073-1]D.(一oo/一行]

【答案】A

3

【解析】在同一坐标系内画出y=f+l,y=2x,y=V+5的图象，由图象可知，

在［0,1］上，x2+1<2'

22

3

当且仅当x=0或x=l时等号成立，.•.l«g(x)<5,

3

设g(x)=f,则lw/<5j(g(x)］wo等价于

2万

K|Icos—t+(6Z-I)siny+«<0,

3

再设sin£="2<1，原不等式可化为l-2sin2^-r+(6Z-l)siny^+6Z<0,

即

1c2/八八2加2+m-l入[

1—2m~+(6z-l)m+n<O,6z<-------------=2m-1,

zn+1

而由一1<2m—1<1,:.awC-\,

故选：A.

【点睛】

关键点点睛：本题考查恒成立问题，考查三角函数的图象和性质，解决本题的关键点是设

jrt

g(x)=f，则原不等式等价于/(/)<0,再设sin—=m,并参变分离求出最值解出实数a

的取值范围，考查了数形结合的解题思想方法，考查学生计算能力，属于中档题.

5.设函数/(x)的定义域为H,满足/(x+l)=2/(x),且当xe(O,l］时，

O

/(x)=x(x-l).若对任意xe(—oo,间，都有/(x)N--，则m的取值范围是

9

)

(8-

I3」

【答案】B

【解析】：xe(O,l］时，/(x)=x(x-l),/(x+l)=2/(x),/./(%)=2/(x-l),即f(x)

右移1个单位，图像变为原来的2倍.

如图所示：当2<xW3时,/(x)=4f(x-2)=4(x-2)(x-3),令

Q

4(x-2)(x-3)=--,整理得：9X2-45X+56=0,A(3X-7)(3X-8)=0(舍)，

9

78877

•*.x,——,Xr.——,xG(-oo,vn\时，f(x)三—成立，即mW—,mw-00,—

3-3933

故选B.

一、单选题

1.(2022•青海.海东市第一中学模拟预测(文))下列函数中是减函数的为()

A./(x)=log,xB./(x)=l-3vC./3=一5D.f(x)=-x2+l

【答案】B

【解析】选项A：由2>1,可得/。)=log了为增函数.判断错误；

选项B：由3>1,可得y=3,为增函数，则〃x)=l-3,是减函数.判断正确;

由」<0,可得y=xT是减函数，则/(')=-｛为增函数•判断错误;

选项C：

2

选项D:/(幻=-/+］在(y,0)上单调递增.判断错误.

故选：B

-3x-f-3,x<0,—

2.(2023•河南•洛宁县第一高级中学一模(理))已知函数/(x)=b+g。'则不等式

/(〃)</(3°-1)的解集为()

A.阻B.卜则C.f)D.~,一；)

【答案】C

-3x+3,x<0

【解析】因为/*)=_।、八，

er4-l,x>0

当x<0时/(x)=-3x+3函数单调递减，且/(x)>—3*0+3=3,

当xNO时/(x)=e-，+l函数单调递减，且/⑼=e°+l=2<3,

所以函数/(X)在(7,+00)上是单调递减，

所以不等式/(〃)<"3。-1)等价于a>3“—1,解得a<g.

即不等式的解集为,8,；1

故选：c

3.(2022•辽宁・大连二十四中模拟预测)已知函数y=/(x),若〃x)>0且/'(力+犷(力>0,

则有()

A.“X)可能是奇函数，也可能是偶函数B.

714LCOS2*r—

C-1<“<万时，f(sinx)<e2/(cosx)D./(0)<>/e/(l)

【答案】D

【解析】若〃无)是奇函数，则〃—x)=—“X),又因为/1(x)>。，与〃T)=-"x)矛盾,

所有函数y=/(x)不可能时奇函数，故A错误；

令g(x)=e?则g〈x)=xe2/(x)+e2f'(x)=e2(V(x)+,[(x))，

因为』>0，rW+#W>0-所以g'(x)>0,所以函数g(x)为增函数，

所以g(T)<g⑴，即所以/(一1)</(1)，故B错误；

因为所以0<cosx<—,—<sinx<1,

4222

所以sinX>cosx,故g(sinx)>g(cosx),即e"；/(sinx)>e0；/'(cosx)，

cos」x-sin?xcos2x

所以)(sinx)>e2y(cosx)=e2f(cos%)，故C钳误;

有g(O)vg⑴,即/(0)〈后⑴,故D正确.

故选：D.

4.(2022・江苏无锡•模拟预测)已知4=皿冷,6=已71=(9-31113把-3,则4,b,。的大小为

()

A.a<b<cB.a<c<bC.c<a<bD.b<c<a

【答案】C

【解析】令函数/(x)=W(xZe),当x>e时，求导得：/(司=上坐<0,

则函数/(X)在［e,+oo)上单调递减，又。=口=/(3),b=-=f(e),

3(3-In3)

显然e<3<J,则有f(T)</(3)<f(e)，所以c<a<>

3

故选：C

5.(2022•青海•模拟预测(理))若0<”分<1,则(

A.eb-ea<\nh-\naB.eh-ea>\nh-\na

C.bea<aebD.bea>ae1

【答案】D

【解析】对于A,B,令/.(%)=0'-In]，则r(x)=e，-L

x

当0<xvl时，r(x)=e"—」单调递增，

x

।c2c

-1/r7

nj-(l)=e2-2<0,/(|)=e^--=^/e-Vr5>^729-\^>0

19

故存在％eg,*,使得/'(x0)=0,

则当xw(O,Xo)时，f(x)=e，—lnx递减，当xe(x0,l)时，/(x)=e*-lnx递增，

由于Ovacbvl,此时/(a)=e"-lnaj(6)=e"-lnb大小关系不确定,

故A,B均不正确；

对于C.D,设g(x)=f，则g，(x)=e'(xT),当Ovx<l时，g'(x)<0,故g(x)=《单调递减，

XXX

所以当0<aC<l时，g(〃)>gS),即且，即加">ae〃，故C错误，D正确，

ab

故选：D

6.(2022・全国•高三专题练习)已知定义在R上的函数〃x)满足"1)=1,对于X/%，x2eR,

当“气时，都有/(司)一/(9)<2(玉-々)，则不等式/(1%力+1<1。82/的解集为()

A.(«,2)B.(0,2)C.(1,2)D.(2,+8)

【答案】B

【解析】由题设4时/(%)-2X1</区)-2X2，即〃(x)=/(x)-2x在R上递增，

X/i(l)=/(l)-2=-l,而/(logzxHlvlogz%2等价于f(log2X)-21og2X<-l,

所以6(log2X)</W),即log2x<l,可得0<x<2.故不等式解集为(0,2).故选：B

二、多选题

7.(2022.江苏无锡.模拟预测)定义：在区间/上，若函数y=〃x)是减函数，且y=4(x)

是增函数，则称y=/(x)在区间/上是“弱减函数根据定义可得()

A.〃力=：在(0,+8)上是“弱减函数”

B./(x)=?•在(1,2)上是“弱减函数”

C.若〃x)=W在的物)上是“弱减函数”，则，“Ze

D.若〃x)=cosx+&在(0,父上是“弱减函数”，则二必配

\2)57171

【答案】BCD

【解析】对于A,y=：在(0,y)上单调递减，y=#(x)=l不单调，故A错误;

对于B,4x)=p,/")=子在(1,2)上用x)<0,函数f(x)单调递减，

y=?(x)=],y，=2/=必曰>0,.•.〉在(1,2)单调递增，故B正确；

对于C,若〃回=乎在(，",内)单调递减，由/(》)=上詈=0,得》=6,

/.m>e,y=^/(x)=lnx在(0,+oo)单调递增,故C正确;

对于D,/(X)=COSX+AX2^E(0,yj匕单调递减,

/,(x)=-sinx+2Ax<0^Exe^0,yj

上恒成立n2&4

min

xcosx-sinx

令Zz(x)=，由4,h\x)-,令e(x)=xcosx-sinx,

^(x)=cosx-xsinx-cosx=-xsinx<0,

:.9(x)在(0,"l二单调递减，s(x)<8⑼=0,

.•.〃(x)<0,.••g)在0卷上单调递减，h(x)>h

2k4—nk4—,

7C71

g(x)=xf(x)=xcosx+4在上单调递增,

g'(x)=cosx-xsinx+3收20在上恒成立,

xsinx-cosx

二3k2

2

xmax

人/、xsinx-cosx“、x2cosx+2cosx

令小)=----p------->尸(力=-------->--0-,---

・•・F(x)在(%]

上单调递增，F[x)<F图T

22

・・・3kN—nkN——，

713万

21

综h：--k<一,故D正确.

3万71

故选：BCD.

8.（2022•江苏省木渎高级中学模拟预测）当1Vxi<%时，不等式々炉-玉屋<。成立.若

b>e">e,则()

A.e">加zB.e"+"vbe°"C.aeh<b\naD.ah>eaInb

【答案】AD

【解析】当1<X]<超时，不等式x)e--王4<。=—<—,令=

\x2x

则/(处在(1,y)上单调递增，

be

因力〉e>l,则/®>/(e)o—>—oeb>bec~],A正确；

he

因人>e">l,则/3)>/化")。^>加一，B不正确；

由e">e知，〃>1，W/(tz)>/(1)<=>—>e>l<x>ea>«,则。>Ina=<1,

h心i

由选项A知，—P>1,即^>上g0〃斯>引。4,C不正确；

bba

\nba

由匕,e">e得，\nb>a>\,贝ijf(Inb)>f(a)o>—oab>e"Inb,D正确.

In/?a

故选：AD

三、填空题

9.（2022・上海长宁・二模）已知函数〃x）满足：/（x）=77T，X"0，则不等式〃力+；20

-/（-x）,x<0

的解集为—.

【答案】卜1,内）

上,x20

X+1

【解析】根据题意可得〃x）=.且/（X）为奇函数

—^―,x<0

1-x

当X20时，f(x)=*=l-则/(x)在[0,+e)上单调递增

"(x)在R上单调递增

则〃x)=-；1,即告V=-1：,解得X=—l

21-x2

.•./(x)+g*0即f(x)N-g的解集为x'—l

故答案为：［-1,+8）.

10.（2022・河南•新乡县高中模拟预测（理））在人工智能领域的神经网络中，常用到在定义

域/内单调递增且有界的函数/（力，BPBM>0,Vxe/,|/（A）|<M.则下列函数中，所

有符合上述条件的序号是.

①〃x）=«；②〃力=小；③〃x）=4^；④/（x）=±.

1+xe4-e]+e

【答案】③④

【解析】对于①，〃X）=&无界，不符合题意；

对于②，/（尤）=177=―T不单调，不符合题意；

X+—

X

对于③，/"）=三三==4=3钻±=1—/单调递增，且则

符合题意；

对于④，"》）=匚白7单调递增，且〃x）w（0,l）,则忱⑴V1,符合题意.

故答案为：③④

L（2021年全国高考甲卷数学（文）试题）下列函数中是增函数的为（）

（C、*

一C./（X）=x2D.〃尤）=私

3,

【答案】D

【解析】对于A,f（尤）=一无为/?上的减函数，不合题意，舍.

对于B,=为R上的减函数，不合题意，舍.

对于C,/（力=/在（—,（））为减函数，不合题意，舍.

对于D,/（x）=近为R上的增函数，符合题意，故选：D.

2.（2018.陕西高考真题（理））下列函数中，满足“/（x+y）=4%）/（力”的单调递增函

数是

A./(x)=x5B.f(x)=x3c.=D./(x)=3'

【答案】D

【解析】

试题分析：由于，・3=优+"所以指数函数/(》)=优满足/(x+y)=/(x)+/(y),且

当。>1时单调递增，0<x<l时单调递减，所以/(%)=3、满足题意，故选D.

考点：幕函数、指数函数的单调性.

3.(2019・陕西高考真题(理))下列函数中，既是奇函数又是增函数的为

A.y=x+lB.y=-x2C.y=-D.y=x|x|

x11

【答案】D

【解析】A是增函数，不是奇函数；B和C都不是定义域内的增函数，排除，只有D正确,

因此选D.

4.(2017•浙江高考真题)若函数f(x)=x?+公+匕在区间［0,1］上的最大值是M,最小值是

m,则的值

A.与a有关，且与b有关B.与a有关，但与b无关

C.与a无关，且与b无关D.与a无关，但与b有关

【答案】B

2

【解析】因为最值在/(0)=d/(1)=1+〃+上/(一］)=力一?中取，所以最值之差一定与

力无关，选B.

【名师点睛】对于二次函数的最值或值域问题，通常先判断函数图象对称轴与所给自变量闭

区间的关系，结合图象，当函数图象开口向上时，若对称轴在区间的左边，则函数在所给区

间内单调递增；若对称轴在区间的右边，则函数在所给区间内单调递减；若对称轴在区间内，

则函数图象顶点的纵坐标为最小值，区间端点距离对•称轴较远的一端取得函数的最大值.

5.(2020年高考数学课标H卷理科)设函数〃x)=1n|2x+l|-ln|2x-1|,则火x)()

A.是偶函数，且在g,+oo)单调递增B.是奇函数，且在(—3,；)单调递减

C.是偶函数，且在(F,-g)单调递增D.是奇函数，且在(F,-g)单调递减

【答案】D

【解析】由〃