2024届山西省晋城市高三上学期一模数学试题及答案

晋城市2024年高三第一次模拟考试试题数学考生注意：1．本试卷分选择题和非选择题两部分，共150分．考试时间120分钟．2．请将各题答案填写在答题卡上．3．本试卷主要考试内容：高考全部内容．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．Mx1xNyyxxMN（1．设集合，，则M）((4)(4)(D．A．B．C．zz2)，则2．设在复平面内对应的点为在复平面内对应的点为（）zi1344134413221322,,,,A．B．C．D．3．若sin18，则sin63（m）213A．C．(1m)B．m112222312(m)D．m221xyxy(0,)上的函数f(x)满足x,y(0,)，f(xy)f(x)f(y)，4．已知定义在f(x)0，且ff(2)5，则f（）325A．1B．2C．D．2(ab)n(nN*)的展开式存在常数项，则常数项为（5．若）a25bA．35B．35．21CD．216．吉林雾淞大桥，位于吉林市松花江上，连接雾淞高架桥，西起松江东路，东至滨江东路．雾淞大桥是吉林市第一座自锚式混凝土悬索桥，两主塔左、右两边悬索的形状均为抛物线（设该抛物线的焦点到准线的距离pa为米）的一部分，左：右两边的悬索各连接着29根吊索，且同一边的相邻两根吊索之间的距离均为米A到桥面的距离）为b米，则最靠近前主塔的吊索的长度（即图中点B到桥面的距离）为（）a2C．169a2pb49a2pbD．169a22pbA．米米B．米米ppp2pmin{p,q,r}pq表示，，中的最小值．已知实数，，满足rabcabc0，abc1，则7．定义（）a,b,}a,b,}的最大值是a,b,}的最小值是A．的最大值是1B．D．3344a,b,}的最小值是1C．81积分，以后只要连续打卡，每天所得积分都会比前一天多2分．若某天未打卡，则当天没有积分，且第二天打卡须从1积分重新开始．某会员参与打卡活动，从3月1日开始，到3月20日他共得193积分，中途有一天未打卡，则他未打卡的那天是（A．3月5日或3月16日）B．3月6日或3月15日D．3月8日或3月13日C．3月7日或3月14日二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．若一个函数在区间D上的导数值恒大于0，则该函数在D上纯粹递增，若一个函数在区间D上的导数值恒小于0，则该函数在D上纯粹递减，则（）f(x)x22x在)上纯粹递增B．函数f(x)x32x在2]上纯粹递增A．函数f(x)sinx2x在上纯粹递减D．函数f(x)ex3x在[0,2]上纯粹递减C．函数ABCDABCDAA14CE3EC，平面ABE将该正四棱柱10．如图，在正四棱柱中，2，，11111分为上、下两部分，记上部分对应的几何体为上，下部分对应的几何体为下，则（）A．下的体积为2B．上的体积为12C．下的外接球的表面积为9D．平面ABE截该正四棱柱所得截面的面积为2511．双曲线C:x以线段PF1，PF2y2m2(m0)FFPt,s)(s0)为C的右支上一点，分别的左、右焦点分别为，，12OOOOOO为直径作圆，圆，线段与圆相交于点M，其中为坐标原点，则（）21222OOmB．mA．12t,0)OOOD．圆与圆有一条公切线的倾斜角为1OC．点为圆和圆的另一个交点1224f(x)x2exx，则（12．已知函数）e”是“f(x)ex”的充要条件A“x1xe”是“f(x)ex”的充分不必要条件B“x1xf(x)e21x2时，xx2C．当D．当1x2时，xxef(x)e2三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．若一个正棱台的棱数大于15，且各棱的长度构成的集合为n，则的最小值为__________，该棱n台各棱的长度之和的最小值为__________．的夹角为__________．14．已知两个单位向量a，b的夹角为70，则a与ab15．某羽毛球超市销售4种品牌（品牌A，B，C，D）的羽毛球，该超市品牌A，B，C，D的羽毛球的个数的比例为4:3:2:3，品牌A，B，C，D的羽毛球的优品率分别为0.8，0.9，0.7，0.6．若甲不买这4个品牌中的1个品牌的羽毛球，他从其他3个品牌的羽毛球中随机选取1个购买，已知他买到的羽毛球为优品的概率大于0.8，则可推测他不买的羽毛球的品牌为__________（填入A，B，C，D中的12f(x)cosx(0100),16．若函数在上至少有两个极大值点和两个零点，则的取值范围为__________．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．1710分）在△中，33，53，73．（1）求A的大小；（2）求△外接圆的半径与内切圆的半径．1812分）已知数列32nn的前项和nS4n14．n（1）求数列的通项公式；an21（2）设b3a，求数列的前项和．bnnTnnnan1912分）某果园种植了一种水果，现随机抽取这种水果的成熟果实200个，统计了这200个果实的果䉽数量，得到下列频数分布表：果籽数量水果数1234100504010（1）求这200个果实的果籽数量的第75百分位数与平均数．（2已知这种水果的成熟果实的果籽数量会影响其市场售价，每个果实的果籽数量与果实的价格如下表所示：果籽数量123846价格/元2012以这200个果实的果籽数量各自对应的频率作为该果园这种成熟果实的果籽数量各自对应的概率，从该果园的这种成熟果实中任选2个，在被选的成熟果实中至少有1个的果籽数量为1的前提下，设这2个果实的市场售价总和为X元，求X的分布列与数学期望．2012分）如图，P是边长为2的正六边形所在平面外一点，BF的中点O为P在平面内的射影，PM2．（1）证明：ME//平面PBD．（2）若PA2，二面角APBDcos2的大小为，求．2112分）2xf(x)e2xa已知函数．exf(x)0a恒成立，求的取值范围；（1）若f(x)xxxx0有两个零点，，证明：．12（2）若122212分）已知椭圆P:x2y2x2y21的焦点是椭圆的顶点，椭圆EQ:1的焦点也是E的顶点．6269（1）求E的方程；（2）若，，D三点均在E上，且CF，直线CF，DF，CD的斜率均存在，证明：直CFx,y00线CD过定点（用，xy00晋城市2024年高三第一次模拟考试试题数学参考答案1．A【解析】本题考查集合的并集，考查数学运算的核心素养．Mx1xNy2y4，所以，所以MN(．因为2．C【解析】本题考查复数的运算与复平面，考查数学运算的核心素养．z1i)1132i，依题意得z1，所以zi1ii)22z13则在复平面内对应的点为,．22zi3．C【解析】本题考查三角恒等变换，考查数学运算的核心素养．22sin6345)(sin18cos18)(m1m)2224．B【解析】本题考查抽象函数的求值，考查数学运算的核心素养．154令xy1，得f(2)2f2，因为ff(2)5．所以f2或ff(x)0，，又2所以5．C【解析】本题考查二项式定理，考查逻辑推理与数学运算的核心素养．f2．(ab)nC57a2(b)5的展开式存在常数项，则n257，且常数项为C75C721．2若a25ba25b6．A【解析】本题考查抛物线的性质，考查数学建模与直观想象的核心素养．y以A为坐标原点，抛物线的对称轴为轴，建立如图所示的平面直角坐标系（横坐标与纵坐标的单位均为x22．因为同一边的悬索连接着29根吊索，且相邻两根吊索之间的距x2B2p(14a)2p298a2a14a，则yB离均为米，则点B的横坐标为，所以点B到桥面的距离为pa2米．p7．B【解析】本题考查不等式与新定义，考查逻辑推理的核心素养．因为abc1，所以在，，中，负数的个数为1或3，abc又abc0，所以在，，中，1个为负数，2个为正数，不妨设c0，则a,b,}c．abcc2c3因为2ababc，所以ab，因为c0，所以1，则c4，344故a,b,}的最大值是34．8．D【解析】本题考查等差数列的实际应用，考查数学运算与逻辑推理的核心素养．若他连续打卡，则从打卡第1天开始，逐日所得积分依次成等差数列，且首项为1，公差为2，第天所得积n分为2n1．假设他连续打卡天，第n1天中断了，n则他所得积分之和为n2nnn)32n13n)1193，22解得n7或12，所以他未打卡的那天是3月8日或3月13日．9．BC【解析】本题考查导数的应用，考查数学运算与逻辑推理的核心素养．，所以错误．f(x)xf(x)x232x，则f(x)2x2f0若若若若，因为Af(x)02x，则f(x)3x22，当x2]时，恒成立，所以B正确．f(x)sinx2x，则f(x)x20，所以C正确．f(x)ex3x，则f(x)ex30在[0,2]上不恒成立，所以D错误．10．ACD【解析】本题考查正四棱柱的截面、简单几何体的体积、外接球的表面积，考查空间想象能力与数学运算的核心素养．DF3FD，连接EF，AF设ABE，易证，，，F四点共面，112所以为直三棱柱ADFBCE，其体积为1222，A正确．下4214，B错误．上的体积为22222223的外接球的表面积为4R下下的外接球的半径R，则2，C正确．22平面ABE截该正四棱柱所得截面为矩形ABEF，其面积为212225，D正确．211．BCD【解析】本题考查双曲线与圆的综合，考查直观想象与数学运算的核心素养．x2y21，可得am，bm，c2m．2C的方程可化为m2m1OPFOPFOOFF2m由为的中点，为的中点，得的中点，得，A错误．1122121221OPF的中点，为OFF12PF由为，22212111|PFPOPF12am则，B正确．2212222Q设点为圆和圆的另一个交点，连接OOPQ，由OO//x轴，2平分线段PQ，1212OOPQOPF1F的中位线，则直线2可得，为122则点必在轴上，可得点的坐标为t,0)，C正确．QxQ如图，若BD为圆与圆的一条公切线，B，D为切点，OO211B，2DOOAOB，过点作，垂足为A．21连接211OO2mOAOBODPF12am由，，1211222AOm2sinAOO1得，2122m2AOOOO//x轴，且2A//，可得公切线BD的倾斜角为，D正确．12可得，由214412．AC【解析】本题考查函数的综合与常用逻辑用语，考查数学抽象与逻辑推理的核心素养．e2lnxx2lnxe1，构造函数gt)ett，因为x2exex2lnx，所以f(x)ex等价于exx则g(x2lnx)g，因为g(t)是增函数，所以x2lnx1．因为函数h(x)x2lnx为增函数，且h1，所以x2lnx1x1，e所以“x1”是“f(x)ex”的充要条件．xf(x)e1x2时，xx2，理由如下：2当f(x)e21x222x，2x（解法一）可变为ex2lnxx2xex2xe则g(x2lnx)g(2x)．因为g(t)是增函数，所以x2lnx2x，即xx2．em（解法二）设xxm，则xmx，ex，即ex，mxxemex2m．代入x2exxe21x2，得emmxe21x2，即2假设m2，则等式左右异号，矛盾．所以m2，即xx2．13．6；42【解析】本题考查棱台的概念，考查空间想象能力与推理论证能力．n15，得n5，nn2nnn因为正棱台的侧棱有条，底面有条棱，所以正棱台共有条棱，由n2123642．所以的最小值为6，该棱台各棱的长度之和的最小值为14．145【解析】本题考查平面向量的夹角，考查直观想象的核心素养．设a，bOB，abOC，因为a，b均为单位向量，所以四边形OACB为菱形，且OC平分，所以a与的夹角为70235，则a与的夹角为18035145．abab15．D【解析】本题考查全概率公式的实际应用，考查分类讨论的数学思想与数学运算、逻辑推理的核心素养．因为他买到的羽毛球为优品的概率大于0.8，且0.8，0.9，0.7，0.6中只有0.90.8，所以他不买的羽毛球品牌一定不是品牌B．若他不买品牌A的羽毛球，则他买到的羽毛球为优品的概率为3235.980.90.70.60.7375．若他不买品牌的羽毛球，则他买到的羽C3233233234337.7毛球为优品的概率为0.80.90.60.77．若他不买品牌的羽毛D4334334331043z7.39球，则他买到的羽毛球为优品的概率为0.80.90.70.81．432432432812,2,10016．【解析】本题考查三角函数的图象及其性质，考查逻辑推理与数学运算的核心素55养．2k2k令x2k，kZ，得f(x)的极大值点为x，kZ，则存在整数，使得k,2(k,24(k)．因为函数yx在两个相邻的极大值点之间有两个零点，2k(kN*解得54(k851252k(kN*)2．当k4．所以．当k1时，2时，54(k4(k2)当k2时，2k．又0100，5581216555204581255,2,4,6,100,2,100所以的取值范围为．2221171）由余弦定理得A，2AB2因为0A，所以A．3BC733（2）设△外接圆的半径与内切圆的半径分别为R，，由正弦定理得2R14，则rsinA2R7．14534△的面积，SABACsinA212S32r(ABACBC)S，得r．由2ABACBC评分细则：b2c2a212【1】第（1）问中，写为A，不扣分．bc12Sabc32r(ABACBC)S，直接得r，不扣分．【2】第（2）问中，未写由2c32a．nn181）令n当n1时，cS12；当n2时，cSS4n14n34．n11nnn1c12341c34nn．所以32nn34na2．n因为，所以，得n1212n14bn32n34n2（2）由（1）知n，n1114444n14n1411T3n2n32n1n4n14n6n3所以．14143341评分细则：第（2）问中，最后的结果写为4n11n6n3，不扣分．475200150，191）因为10023所以这200个果实的果籽数量的第75百分位数为2.5．21100250340410这200个果实的果籽数量的平均数为1.8．2001111（2）依题意可得果籽数量为1，2，3，4对应的概率分别为，，，．2452021234被选的成熟果实中至少有1个的果籽数量为1的概率为11．X的可能取值为40，32，28，26，111121313223243P(X40)P(X，P(X32)，44111122412532203，P(X26)，151544则X的分布列为X4032282611341P34111166E(X)40322826．3315155评分细则：9【1】第（1）问中，平均数写为，不扣分．5【2】第（2）问中，X的可能取值也可以按照从小到大的顺序书写（包括分布列中X写为33.2，不扣分．201）证明：如图，设PN2NB，连接MN．PNPM2，所以//，且BF．因为PM2，所以NBMF322EKCEBF，连接CE交BD于K，连接KN，可得33由CE//，可得EK//，所以四边形EKNM为平行四边形，所以//NK．又因为平面PBD，NK平面PBD，所以ME//平面PBD．（2）解：以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系．易知1，3，3，PA2AO23，则P(0,3)，B(3,0)，D0)，0)，则(3,3)，AP3)(3,3,0)．，3znAPyn(x,y,z)1设平面PAB的法向量为，则即1nBP3x3z1令x1，得n1．n(3)同理可得平面PBD的一个法向量为．2nn33n,n12由，1257nn351232935得cos，cos22cos21212．35评分细则：【1】第（1）问中，证得//NK后，未写平面PBD，NK平面PBD，直接得到ME//平面PBD，扣1分．【2】第（2）问中，建立空间直角坐标系的方式不唯一，法向量也不唯一，阅卷时请参照考生的实际情况按照步骤给分．x)2(e3x1x)f(x)2e2x211）解：．exex令h(x)e3x1x，易知h(x)单调递增，且h(0)0．，当x0时，f(x)0f(x)单调递减；当x0时，f(x)0f(x)单调递增．，f(x)f(0)1a0，即a1a，所以的取值范围是(．所以（2）证明：由f(x)的单调性可设10x．22x2xee2xee．令g(x)f(x)f(x)e2xe2xxxxxxexeex2x(x0)，则(x)e所以(x)在(0,)上单调递增，则(x)(0)0，所以20．令(x)ex