2024届高三学生暑期数学摸底测试

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2024届高三学生暑期摸底测试

注意事项：

i.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2.请将答案正确填写在答题卡上

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）

1.已知集合”={1,2,3,4,5},从“的至少含有两个元素的所有子集中任取一个集

合，记为S,则S中的元素恰好为连续整数的概率为（）

52「51

AnD.

1313168

2下列结论中正确的是（）

ba

A若a>8>0,c<d<0贝lj—>一

9cd

1y

B若x>y>0且孙=1,则x+bg2(x+y)

y2,

C设{叫是等差数列，若。2>q>0,则。2<麻?

D若xe[0,+oo),则ln(1

8

3已知"1,b>T,a3b=100,则log。10+310gz,10的最小值为(

A.4B.6C.8D.12

4.设a=2cos9。-日s讥9。，b=奇器，c=户再，则有（）

A.c<a<bB.a<b<c

C.a<c<bD.b<c<a

5.在锐角△力BC中，角ABC的对边分别为Q,b,c若COS2B+cosBcos^A-

C）=sinAsinC,a=2百，则三角形ABC周长的取值范围是（）

A.（6V3,6+6V3）B.（3+3次,6+6⑹

C.（3+3V3,9V3）D.（6V3,9V3）

6.如图，把一个长方形的硬纸片沿长边N3所在直线逆时针旋转45。得到第

二个平面/8EF,再沿宽边/F所在直线逆时针旋转45。得到第三个平面则

第一个平面和第三个平面所成的锐二面角大小的余弦值是（)

C.

2D-T

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7.甲、乙两人组队参加禁毒知识竞赛，每轮比赛由甲、乙各答题一次，已知甲

每轮答对的概率为g3,乙每轮答对的概率为2彳.在每轮活动中，甲和乙答对与否

J1

互不影响，各轮结果也互不影响，则（）

A.在第一轮比赛中，恰有一人答对的概率为:

B.在第一轮比赛中，甲、乙都没有答对的概率为上

C.在两轮比赛中，甲、乙共答对三题的概率为£

D.在两轮比赛中，甲、乙至多答对一题的概率为总

225

8.与三角形的一条边以及另外两条边的延长线都相切的圆被称为三角形的旁切

圆，旁切圆的圆心被称为三角形的旁心，每个三角形有三个旁心，如图1所示，

已知不月是双曲线片-片=1的左右焦点，P是双曲线右支上一点，。是

916

△尸百工的一个旁心，如图2所示，直线与x轴交于点加，则黑=（）

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分，少选漏选得3分，错选得0分）

9.在“8c中，角A,B,C的对边分别为b,c,且则下列结论正

确的是（）

A.a>b

ABAC~BA'BC

D.------------<-------------

beac

C.如果A为锐角，i为虚数单位，Zj=cos+isinB,z2=cos5+zsin^,则团<同

D.Q-b>sin4-sin3

,.o

10.已知（x?+x+l）=%+…+下列说法正确的有（）

A・%=1B・。2=42

39+]

・

C.a2+4-----F6ZJ8=--------D.4+2%+3%+,♦+18Q]8=3"

第2页，共25页

11-设函数/（x）=gsin（0x+。）其中0>0,|同<兀.若等）=。，等）

且相邻两个极值点之间的距离大于兀，/'（兀）<0,设g（x）=/（x）+/'（x）,则

g（x）在（3兀,4劝上单调递减g（x）在（0,2兀）上存在唯一极值点

12.如图，点。是正四面体P48C底面/8C的中心，过点O的直线分别交NC8C

于点M,MS是棱PC上的点，平面S0N与棱尸/的延长线相交于点。，与棱P8的

延长线相交于点R,则（）

A.存在点S与直线MN,使西•（而+而）=0

B.存在点S与直线使PC,平面SRQ

C.若两=2万+（1-/1）定,两=〃而41-0元，其中儿€（0,1）,〃€（0,】），贝IJ

%+3〃的最小值是土!2m

3

1113

D，画+|网+网-网

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.定义在R上的奇函数/（x）满足VxwR,/（x）+/（4-x）=0,且当0<x<2时,

/(X)=X2-2\则Z|/(i)|=

IT

14.如图，已知在扇形0/8中，半径04=08=3,乙408=：,圆Q内切于扇形

OAB（圆。和。408,弧48均相切），作圆仪与圆。1，。4。8相切，再作圆。3

与圆。2，。4。8相切，以此类推.设圆。1,圆。2…的面积依次为号石2…，那么

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92

15.已知椭圆*■+£=l(a>6>0)的左、右焦点分别为用鸟，尸,。为椭圆上的动

大值为4,则b=________.

16.在数列｛q｝中，q=l,S,,为｛%｝的前〃项和，关于x的方程

x2_%cosx+q,+l=0有唯一解，若不等式2S,,+92(-1)"3,，对任意的恒成

立，则实数%的取值范围为______

四、解答题(本大题共6小题，共60.0分)

17.已知数列｛4｝的前〃项和为S“吗=1且n\tl=(n+2)S„.

(1)求｛%｝的通项公式；

⑵4为满足k4442®的对的个数，求使々+&+…+%>2023成立的最小正整数发

的值.

18.(本题12.0分)设函数/(x)=2+lnx,g(x)=〃e*,其中e是自然对数的底数.

⑴若曲线V=/(x)在(1J0))处的切线与曲线夕=g(x)相切，求a的值：

⑵若，〃(x)=x(/(x)-2)-g(x)存在两个极值点，求a的取值范围.

19.(本题12.0分)如图，已知梯形的外接圆圆心。在底边“8上，AB/

/CD,AB=2CD=4，点P是上半圆上的动点(不包含N,8两点)，点0

是线段PZ上的动点，将半圆/P8所在的平面沿直径N8折起使得平面PABL

平面ABCD.

------^DCD

(1)求三棱锥P-ACD体积的最大值；

⑵当PC//平面。8。时，求黑的值；

⑶设05与平面43。所成的角为。，二面角Q—BD—A的平面角为£.求证:

tanp=2tana.

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20.（本题12.0分）我国油纸伞的制作工艺巧妙.如图，伞不管是张开还是收

拢，伞柄4尸始终平分同一平面内两条伞骨所成的“氏4C,且48=/C,从而保

证伞圈。能够沿着伞柄滑动.伞完全收拢时，伞圈。滑到冷的位置，且A、

B、济三点共线，/D'=40cm,B为4）的中点，当伞从完全张开到完全收拢，

伞圈。沿着伞柄向下滑动的距离为24cm.

⑴当伞完全张开时，求N8/C的余弦值；

1T

（2）如图（2）,当/历1C=§时，在线段48、ZC上分别取点〃、N,使得

ZN=44W=4/,0＜，＜5,连接MN交NO于点G,若“四的面积为“8c面积的

4_______

—.求就•丽的值.

21.（本题12.0分）从甲、乙、丙等5人中随机地抽取三个人去做传球训练.训练规

则是确定一人第一次将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两

个人中的任何一人，每次必须将球传出.

（1）记甲乙丙三人中被抽到的人数为随机变量X,求X的分布列；

（2）若刚好抽到甲乙丙三个人相互做传球训练，且第1次由甲将球传出，记〃次

传球后球在甲手中的概率为外,〃=1,2,3,…，

①直接写出Pi，小，化的值；

②求与P,,的关系式（〃eN*）,并求p“（〃eN*）.

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22.（本题12.0分）定义：一般地，当力>0且4*1时，我们把方程

2222

力+方=处°>6>0）表示的椭圆C》称为椭圆三+%=1（a>6>0）的相似椭圆.已

2

知椭圆c：三+/=i,椭圆g（2>。且a1）是椭圆c的相似椭圆，点p为椭圆

4

C,上异于其左、右顶点的任意一点.

（1）当2=2时，若与椭圆C有且只有一个公共点的直线小右恰好相交于点尸，直

线4,%的斜率分别为匕4，求发他的值；

（2）当2=/（e为椭圆C的离心率）时，设直线PA/与椭圆C交于点48,直线

PN与椭圆C交于点2E,求|18|+口目的值.

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参考答案

1.【答案】A

【分析】根据题意，求得所有集合的可能，找到满足题意的集合，利用古典概型

的概率计算公式求解即可.

【详解】因为集合〃中含有2个元素的子集有如下10个：

{1,2},{1,3},{1,4},{1,5},{2,3},{2,4},{2,5},{3,4},{3,5},{4,5},

其中元素是连续整数的有4个,是{1,2},{2,3},{3,4},{4,5}

含有3个元素的子集有如下10个：

{1,2,3},{1,2,4},{1,2,5},{1,3,4},{1,3,5},{1,4,5},{2,3,4},{2,3,5*2,4,5},{3,4,5},

其中元素是连续整数的有3个，是{1,2,3},{2,3,4},{3,4,5}

含有4个元素的子集有5个，{1,2,3,4},{1,2,3,5},{1,2,4,5},{1,3,4,5},{2,3,4,5},

其中元素是连续整数的有2个，是{1,2,3,4},{2,3,4,5}.

含有5个元素的子集有1个，是{1,2,3,4,5},其满足元素是连续整数.

即S的所有可能有：26种，满足元素是连续整数的有10种.

故满足题意的概率尸啜=得.

故选：A.

2.【答案】A

【分析】根据不等式的性质判断A,利用特殊值判断B,根据等差数列的性质及

基本不等式判断C,构造函数，利用导数判断D.

【详解】选项A,由c"<0,可得-c>-d>0,则

又a>b>Q,所以一色>一2,则故A正确.

dccd

选项B,取x=2/=：,则x+—=4,《=3/og2(x+y)=log2—>1,

2y2o2

则不等式x+W>log2(x+y)不成立，故B不正确.

选项C,由题意得％+。3=2%且。产生，

所以=,故C不正确.

选项D,设h(x)=ln(l+x)-x+,则h\x)=—^----l+y=，,

当0<x<3时，h\x)<0,则。%)单调递减,A(x)<A(0)=0,

即+,故D不正确.

故选：A.

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3.【答案】B

【分析】条件等式两边取对数后，得31ga+lgb=2,再结合换底公式，以及基本

不等式“1”的妙用，即可求解.

【详解】因为/b=100,所以lglb=2,即31ga+lg6=2,

所以

131lg%91ga

log/0+31(^10=--1---=01gtH-lgb}^6

Igalg62IgaIgb,

9Iga

6+26,

注aIgb

当且仅当lg6=31ga,即a=10；，6=10时等号成立,

所以log“10+31og〃10的最小值为6.

故选：B.

4.【答案】B

【分析】利用和差公式，二倍角公式，以及基本关系化简，然后利用正弦函数的

单调性可得.

1J3

【详解】因为QQ

a=-2cos90---2--sin9°=sin30°cos9°—cos30°sin9=sin21

2sinll0

,2tanll°

b=----------=2sinH°cosir=sin22°,

Man2119

1+吟cos21170

I1-COS46012s比？23°.”。

c=J-=J-^=sw23,且y=sinx在（0。,90。）上单调递增,

所以sin21°<sin22°<sin23°,即a<b<c

故选：B

5.【答案】B

【分析】先求出cosB=3,可得B节,由正弦定理得ABC的周长为

32低加c

a+b+c=++2V3=A+3V3,再求出，进而可得答

sinAsinAtan-1224

案.

【详解】因为COS2B+cosBcos(A-C)=sinAsinC

所以cosB[cosB+cos(A—C)]=sinAsinC,

A+8+C=yr,/.cosB[—cos(A+C)+cos(A—C)]=sinAsinC

cosB[(sinAsinC—cosAcosC)+(sinAsinC+cosAcosC)}=sinAsinC

2cosBsinAsinC=sinAsinC0<4,C<^,：.sinA>0sinC>0

/•cosB=-,/.B=-由正弦定理得号=b

23sinAsinBsinC

・b-asEB_2氏J_3asinC

sinAsinAsinAsinA

所以ABC的周长为

3

2yj3sinC+2V3

a+b+c—+sinA

_3+2V3

2\f3sin(^-cosA+^sinA

+2V3=------=,+2V3

sinAsinAsinA

第8页，共25页

=3（】+g4）+疯9+=2^1_+3V3

sini42sin-^cos-

=­7+3A/3

tan-

0<A<-.

•••2£2„I<^4<7A<7=>2-V3<tan^<1,

0<列-A<-6212242

32

ABC的周长为a+b+cef3+3V3,6+6V3；,

故选：B.

6.【答案】C

【分析】将两个单位正方体叠放在一起可构造模型，确定三个平面的位置后，由

线面垂直可得两个平面的法向量，根据法向量夹角可确定所求角的余弦值.

【详解】如图，把两个单位正方体叠放在一起，

平面4AG2，平面44孰。。，平面4AG2分别代表第一，二，三个平面,

•••四边形B2C2C0B0为正方形，c°为1为G，

•••G3，平面B2cze«B0,CnB2u平面B2C2C0Btt,.-.C2D21C0B2,

80c2nCD=C,80c2,U平面CB1平面44c2打；

222^BQC2D2,n2

同理可得：孰4_1平面48心口；

.•.平面4AC2A的法向量为以瓦，平面4B£D。的法向量为以»,

CD=y/2,BQ、=Jr+1。+2-

0tCOB2==A/6,

2+2-6127r_27r

cos=0*c=6=-万，:.NB2c°Di=不,即。。与与C/i的夹角为才,

•••所求锐二面角的大小的余弦值是

故选：C.

7.【答案】D

【分析】根据独立事件的概率乘法公式，即可结合选项逐一求解.

【详解】在第一轮比赛中，甲对乙不对的概率为|x（l-g）=9乙对甲不对的概

率为甲乙都不对的概率为（1-并（1-张亮，所以恰有一人答对

的概率为1+4'7，故AB均错误，

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在第一轮比赛中，答对一道题的概率为答对两道题的概率为答

155315

对。道题的概率为2争

故在两轮比赛中，甲、乙共答对三题的情况为：第一轮答对1道第二轮答对2道

和第一轮答对2道第二轮答对1道，故概率为/上2=1|,

在两轮比赛中，甲、乙答对0道题的概率为£2x=2=白4，答对1道题的概率为

1515225

97OR

卷x(x2=祭，所以甲、乙至多答对一题的概率为急，

故C错，D正确，

故选：D

8.【答案】D

【分析】根据旁心为两外角和一个内角角平分线交点，利用角平分线性质得到

圈耨'再由双曲线定义求结果即可.

【详解】双曲线巨-炉■=1中/=9，〃=[6,所以"3,6=4,

916

则c=yja2+b2-5,

由三角形得旁心的定义可知耳。,月。分别平分乙方用,/壁"，

在耳。中,附I留

sinZ.PQF,sin4PF、Q

Ml_Mol

在刖。中,

sin/.MQFysinZ.MF}Q

因为NPQF\+NMQK=兀,/尸耳。=ZMF}Q,

所以sin/P0E=sin/M06sin/P^0=sin/g0,

所以国-西，

n同™理.u可rza得W西_一l^西l,

|M0|\MF2\MKlK1-1^212c

m以In八I=----=-----=---------L=—=e

西一网-西一可一2i

「T75„WQ\_5

而e=-=1+/=晨故两一*

a

故选：D.

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【点睛】关键点点睛：利用角平分线性质得到需=耦=鬻，是解决本题的

关键.

9.【答案】ABC

【分析】利用正弦定理及三角形内角的关系即可判断A；

利用平面向量数量积的定义化简所求，然后利用平方关系及A得出的结论即可判

断B选项；

求出两复数的模，结合A、B选项即可判断C,

利用A选项得出的结论即可判断D.

-TT

【详解】解：对于A,①万时，则sin4＞sin8,

JT

②当乃＞力＞万•时，由4+8〈4，贝!]8＜乃一/,故sin力〉sin8,

综上sin力〉sin8,

所以故A正确;

“TnAB-ACbecosA,BA-BCaccosS„

XTJ-B,----------=-----------=cos/,-----------=-------------cosB>

因为sinN>sin8,即Ji-cos?A>Vl-cos2B，所以|cosA\<|cosB\,

在ABC中，A>B,则角A为锐角，所以cos/<cos8,

ABACBABC

故B正确;

2222

对于C,|z||=A/COS+sinB,|z2|=A/COS5+sinA,

因为A为锐角，根据A、B知sin。/>sin。5,cos2A<cos2B,

所以sin2A+cos2B>cos2A+sin2B>

所以|z卜㈤，故C正确;

对于D,根据A知a-6>0,sin-sin5>0,但无法比较a-b,sin/-sin8的大

小，故D错误.

故选：ABC.

10.【答案】AD

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【分析】令x=0可求得A正确；根据二项式定理可得展开式通项，分别代入

（k=7[k=S

c和。，加和即可得到生，知B错误；分别令x=l和x=-l,加和后，结

[r=9|/=8

合%=1可知C错误；对等式左右求导，代入x=l可得D正确.

【详解】对于A,令x=0,则旬=（0+0+1）"=1,A正确；

对于B,，+X+1J展开式通项为:CJ（X2）9（x+iy,

（X+1）'展开式通项为：C%T,

.•.（/+X+1）展开式通项为：C；C＞,8-^,

令18--左=2,则厂+左=16，又厂Z：e[0,r],心林N,

・1〃=9或〃=8，..・Q2=C；C；+C；C：=36+9=45,B错误；

对于C,令x=1,贝lj旬+q+&-----68=3。；

令x=-1,则Q。-q+Q2----+4g=1；

o9.1

两式作和得：2（4+。2+-,+《8）=4'+1，4+/+。4+…+。18=--—，

T7_1.39+139—1pAit'O

又旬=1，/.％+。4-----%8=----------1=------，C与日联；

对于D,...[（Y+工+]）9=9（x?+x+（2x+1）,

21817

（（z0+a^x+a2x-----Pal8xj=a,+h2x-\-----1l&l8x，

1217

..9（x+x+l），（2x+l）=q+2a,x+---+18a18x,

令x=l,则q+2a2+3%+…+18/8=9x38x3=3”,D正确.

故选：AD.

11.【答案】BC

【分析】根据题意求得。=臣=铝,〃eZ,由Jl+守＞兀,求得

=In,得到。=＜或。=J,当。=”时'求得夕=-称，得到

TVn-l44418

/（x）=lsinflx-^\进而得到/'（兀）＞0,所以°=!不符合题意，，求得

2\41o74

=可判定A不正确；由G时，求得9=一学+尼兀，乂£Z,进而可判定B

446

正确；求得g（x）=}in生+£+“，结合正弦型函数的性质，可判定C正确、D

错误.

【详解】由函数/（x）=；sin®x+s）,因为/'（等）=0且/（等卜;，

第12页，共25页

—公八T28兀IOTT-、T一,口e8兀武广…2兀2〃+1〜

可得(2〃+l)x—=-------------=2兀,〃eN,可得7=--------,所以co=—=-----,ne.Z

4992/7+1T4

因为相邻两个极值点之间的距离大于兀，可得>71,解得了2>4兀2-4,

----------2兀兀13

所以r>“兀2一4，可得。=方</2，可得幻二:或幻=了，

17Tt—144

当口=；时，/(x)=1sin^1x+^j,可得/

2

贝ljsin1£+ej=1,可得£+»=4兀，4£Z,Bp^9=--^-4-kn,kGZ

因为囤<n,所以8=-普，所以/(X)=：sin(x-1^],

1o2141oJ

可得/，(x)=1cos(%喑),则得㈤4cos寻鼾(cos(噎)>0,

1a

因为/,⑴所以。下不符合题意，(舍去)，所以所“所以A不正确;

4328JT7T117T

当0=:时，可得一x------(p=—I-A：7C,A：GZ,解得/=------卜k/、k[WZ,

4492226

因为嗣<兀，所以s=5，所以B正确;

6

由3兀3371

/(x)=1sin—x+—,可得/'(x)=gcos—x+—

46o46

37133兀5.371

所以g(x)=/(x)+_f(x)=]Sin—x+—+-COS—x+—二—sin—x+—+a

46846846

其中tana=*e(09,因为*tanavl,可得

37c29兀38兀

又由工£(3兀,4兀),可得一x+—+ae------FCC,---

461212

根据正弦函数的性质，可得y=sinx在(日,母)为单调递减函数,

所以g(x)在xw(3兀,4兀)上为单调递减函数，所以C正确；

可得2x+2+ac(715兀

由XG(O,2n),一+tz,----Fct

46(63

E_^兀兀一r相兀兀口5兀3兀

因为:可得:+a且不-+a>=,

646232

所以当%+>a=］时，即》=手-9时，函数g(x)取得极大值；

3TTQjr4«

当x+w+a=〈时，即x="；a时，函数g(x)取得极小值，

4623

所以g(x)在(0,2兀)上存在一个极大值点和一个极小值点，所以D不正确.

故选：BC.

第13页，共25页

12.【答案】BCD

【分析】对A,利用向量数量积公式计算即可判断；对B,找到S为线段PC上靠

近C的三等分点，并利用线面垂直的判定即可证明；对C,利用向量基本定理结

合M,O,N三点共线有之+!-=1,再利用基本不等式的乘“1”法即可计算最

值；对D,利用空间向量中四点共面的结论得,网+网+国”结合

3x3y3z

|西H而H1|即可证明.

【详解】对于选项A,国.（而+市）=闲•而+方•萩

=|由卜|A01cos60°+|万|・|市|cos60°>0,故A错误；

对于选项B,当直线平行于直线/8,S为线段PC上靠近C的三等分点，

即SC=；PC,此时PC,平面SRQ,以下给出证明：

在正四面体尸-/BC中，设各棱长为。，

:.“BCQPBCMACQPAB均为正三角形，•・•点。为&4BC的中心，MNHAB,

2

・••由正三角形中的性质，易得CN=CM=^a,

7I7T

在ACNS中，*.*CN——a,SC=—a,NSCN=—,

333

••・由余弦定理得，SN=J⑶+陛1—2.工二cos工=9小

VUJI3J3333

4

:.SC2+SN2=-a2^CN2,则SNJ.PC,

同理，SM1PC,又SWcSN=S,SA/u平面SA0,SNu平面SH0,

.1PC，平面SR。,...存在点S与直线MV,使PC,平面SRQ,故B正确;

对于选项C,CM=XCA，CN=pCB,CO=^-(CA+CB\=^-CM+^-CN,

根据忆0,N三点共线有5+；=1,

3Z3〃

/t+3z/=(/l+3A)[-j+y-]=y+y-+j>^y^.

当且仅当=时等号成立，故c正确：

对于选项D,设。为8C的中点，则

_9一

又•••P,4Q三点共线，•.・尸”==/>。,：/>,81三点共线,

PQ

而一一PC

:.PB=P??,:P,S,C三点共线，.•.尸c=PS,

PRPS

第14页，共25页

设|卮|=羽|丽|=八|西|=z，则所=网用+㈣丽+巴再，

3x3y3z

・・・O,Q,R,S四点共面，...画+㈣+四=1，又T力H而H无

3x3y3z

1111.1113111_3

"3x+3y+3z~\p^"X+y+z~即国门网*网-网，故D正确.

故选：BCD.

【点睛】关键点睛：本题B选项的关键是先找到S点的位置，再利用余弦定理、

勾股定理以及线面垂直的判定即可证明；C选项主要是利用基底法得

函=5两+5丽,再利用三点共线的结论得到导5=1,再利用乘法

即可，对于D选项则需利用空间四点共面的推论证明.

13.【答案】1012

【分析】根据函数的奇偶性、周期性求解即可.

【详解】因为/(x)是奇函数，且/(x)+/(4-x)=0,

所以./Xx)=-/(4-》)=/--4),

故/(X)是周期为4的周期函数.

./(1)+/(3)=/(1)+/(-1)=0,所以/(3)=-/(1)=1，

令x=2,可得〃2)+/(2)=0,所以"2)=0,

因为函数为奇函数且周期为4,所以/(4)=/(())=0,

则I/(DI+I/(2)|+|/(3)|+|/(4)|=2|/(1)|=2,

20234

则Z1/(/)1=506.X1<(/)|-|./(4)|=506x2-0=1012.

1=1;=|

故答案为：1012.

14.【答案】《

O1

【分析】根据锐角三角比的圆的几何特性即可求解.

设圆。与弧N8相切于点。，

圆圆。2与Of分别切于点C，E,

则。C_L。/,02E10A.

设圆。I，圆。2，圆…，

第15页，共25页

TT

因为=

所以乙40D」.

6

在RtAOQC中。。1=3-4,

则qc=；。。，

即八=1，

解得4=1.

在RtzxOQE中，OO2=3-々-2八，

则。之八；。。?，

即/=3_\_2外,

解得々=；=*.

同理可得，=

jr

所以S3=兀个=一.

81

故答案为：今

O1

15.【答案】2

【分析】设N耳犀=。，利用正弦定理可得外接圆半径6=三，利用余弦定理结

sin，

合椭圆的定义，通过等面积法可得内切圆半径弓——翌—V，所以

(l+cosg)(a+c)

cb2

V2=~一；一藐,又根据椭圆的对称性可知当尸是椭圆的短轴顶点时径取得最

2(〃+c)cos-

大值，结合题意可得J5c=a=&，再设。(J2b2-2产,»,利用两点距离公式即

可求解.

【详解】设N£P居=9,

则由正弦定理得的夕卜接圆半径1蓊

第16页，共25页

由余弦定理得

阳用2=1际f+陷「2附|花|cos*("讣花|户2杷他1(+COS0),

1+cos。

设内切圆半径为々，所以由等面积法可得;4(|P用+|P周+E居|)=:附|陀卜in。,

解得G=7；----不7----v

(l+cos6)(a+c)

b?sin。

所以两半径之积化=布・(1+cos0)(a+c)/\2,

\八7Z9Ia-rCJCO5

又由椭圆的对称性可得44cos22<1,所以

2(a+c)~2y/2+2>

解得6c=a=@,此时P是椭圆的短轴顶点，椭圆方程为三+二=1,

不妨设P是椭圆的上顶点，设0(，2〃一2袖ye[-b,b),

-2y2-0<2b=4,所以6=2,

故答案为：2

-29'

16.【答案】-7,—

_4_

【分析】设/(x)=x2-%cosx+a,+l,分析可得/(0)=4+1-%=0,求得

4=〃，邑=心的，对"分奇数和偶数两种情况讨论，结合参变量分离法可求

2

得实数上的取值范围.

【详解】设函数/(x)=x2-%MC0SX+%+1，该函数的定义域为R,

2

因为/(r)=(-x)-an+lcos(-x)+q+1=¥-%cosx+q+1=/),

则函数/(x)为偶函数，因为方程/(x)=0有唯一解，则/(0)=%+1-*=0,

所以，。,川-%=1且卬=1，故数列｛/｝是以1为公差和首项的等差数列，

故%=1+〃-1=〃，$./(："),由题意可得/J2+〃+9±(_I)Z”.

若"为奇数，贝IJ-左4〃+2+1,因为〃+2+122、小2+1=7,当且仅当〃=3时，等

nnvw

号成立，

所以，-k<7,可得a-7；

若〃为偶数，则上4"+二9+1,令6,,=加+二9+1,则打=915，”=子29，

第17页，共25页

当〃24时、

9992=21^——〃(〃+2)-艮0

bz—b=(〃+2)H-----F1-w1=2H-----

w+2"17n+2nn+2n小+2)，〃(〃+2)

且数列也｝中的偶数项从“开始单调递增，因为“＜咏此时女〈亍.

综上所述，一7«%«乡29.

4

故答案为：-7,彳

17.【答案】(l)%="(”eN*)

⑵11

【分析】（1）先由前〃项和的递推公式通过累乘法算出S.，然后由%与E,的关

系解出通项公式％.

（2）不等式左边利用分组求和的方法求出和，然后构造函数结合作差法与二项

式展开式来判断函数单调性，进而解出上值.

【详解】（1）因为，£用=（〃+2）5“，所以沪="2

3”n

s?_3邑_&邑_3/工_”+1

所以彳『V耳一才…不一