2023年黑龙江省高考理科数学真题及参考答案

2023年黑龙江省高考理科数学真题及参考答案

一、选择题

Z.l—2z5.1+2zC.2—zZ).2+z

2.设集合U=R,集合A/={x|x<l},N={x[—l<x<2},则卜卜22}=()

A.C'MuN)B.N^JCC,MC.Cu(AlcN)D.M<JCVN

3.如图，网格纸上绘制的一个零件的三视图，网格小正方形的边长为1,则该零件的表面积

为()

424B.26C.28

4.已知■是偶函数，贝(

eax-1

A.-25,-1C.lD.2

5.设。为平面坐标系的坐标原点，在区域卜jjl<x2+/<4｝内随机取一点，记该点为A,

7T

则直线04的倾斜角不大于2的概率为()

4

111

181

---

864

6.已知函数/(x)=sin(s+e)在区间(工，空］单调递增，直线和》=至为函数

\63)63

y=/(x)的图象的两条对称轴，则/

A「皂

2反一;

7.甲乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同

的选法共有()

Z.30种6.60种C.120种D.240种

1

8.已知圆锥尸。的底面半径为JL。为底面圆心，PA,尸6为圆锥的母线，乙406=120。,

若AB46的面积等于'二，则该圆锥的体积为()

4

A.71B.娓兀C.3兀D.3娓兀

9.已知A48c为等腰直角三角形，Z8为斜边，ZU80为等边三角形，若二面角C—46-。

为150°,则直线C。与平面Z6C所成角的正切值为()

,1D五「6八2

A.-B.C.—D•一

5555

10.已知等差数列｛a„｝的公差为斗，集合S=｛cos%,wN*｝,若S=｛a,b｝，则ab=()

A.-lB.--C.OD.-

22

2

11.已知48是双曲线/-3-=l上两点，则可以作为中点的是()

4(1,1)5.(-1,2)C.(l,3)L4)

12.已知圆。：，+/=]"。耳=拒，过点尸作直线人与圆。相切于点z,作直线乙交

圆。于8,C两点,BC中点为。，则PA•PD的最大值为()

1+V2D1+272

D.-------------------C.1+V2D.2+42

22

二、填空题

13.已知点在抛物线C：歹2=2川上，则/到。的准线的距离为

x-3j^<-1

14.若xj满足约束条件［x+2y<9,则z=2x—y的最大值为

3x^y>7

15.已知｛〃〃｝为等比数列，。2。4。5=。3。6，。9%0=—8，则％=

16.已知/(x)=。'+(1+”,ae(O,l),若/(x)在(0,+8)为增函数，则实数a的取值范

围为.

2

三、解答题

(-)必做题

17.某厂为比较甲乙两种工艺对橡胶产品伸缩率处理效应，进行10次配对试验，每次配对试

验选用材质相同的两个橡胶产品，随机地选其中一个用甲工艺处理，另一个用乙工艺处理,

测量处理后的橡胶产品的伸缩率，甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为

z

x1.,y,(=U,---10),试验结果如下

试验序号i12345678910

伸缩率七545533551522575544541568596548

伸缩率%536527543530560533522550576536

记4=4一乂G=1,2,…10),记4/2…Z]o的样本平均数为5,样本方差为

⑴求5,s2；

(2)判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否有显

著提高(如果222]二，则认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡

V10

胶产品的伸缩率有显著提高，否则不认为有显著提高).

18.在A/48c中，=120°,4B=2,AC=l.

(1)求sinZ.ABC；

(2)若。为BC上一点，且/氏4。=90。，求A4OC的面积.

19.如图，在三棱锥P-48C中，AB上BC,AB=2,BC=272,PB=PC=46,

80,/。,3。的中点分别为。,£,。，石。。，点厂在/C上，BFA.AO.

(1)证明：EF〃平面4DO；

(2)证明：平面40。，平面8瓦7；

(3)求二面角。一/0-。的正弦值.

3

20.已知椭圆C：乌+==1(。>6>0)的离心率为好，点/(一2,0)在。上.

(1)求C的方程；

(2)过点(—2,3)的直线交曲线。于P,。两点，直线ZP,/。交y轴于A1,N两点，求证:

线段MN中点为定点.

21.已知函数/(%)+1).

(1)当。=一1时,求曲线/(x)在(1,7(1))的切线方程;

(2)是否存在实数使得曲线丁=/关于直线x=b对称，若存在，求出。力的值;

如果不存在，请说明理由；

(3)若/(x)在(0,+oo)存在极值，求4的取值范围.

(-)选做题

【选修4-4】

22.在直角坐标系X。中，以坐标原点。为极点，X轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线G

乃、fx=2cosa

的极坐标方程为夕=2sin。(一714夕《一，曲线。2：\(。为参数，

(42)2[y=2sma

71、

—<a<)).

2

(1)写出G的直角坐标方程；

(2)若直线^=工+加既与G没有公共点，也与没有公共点，求加的取值范围.

【选修4-5]

23.已知/(x)=2|x|+|x-2|.

(1)求不等式/(x)46—x的解集；

(2)在直角坐标系X。中，求不等式组所确定的平面区域的面积.

4

参考答案

长方体ABCD-4片G2去掉长方体ONIC「LMHB、之后所

得的几何体，该几何体的表面积和原来的长方体的表面积相比少2个边长为1的正方体.

/\xcx

4.解：是偶函数，则

''eux-1

/(x)-/(-x)=

又「x不恒为0,可得e'—e"氏=0,则x=(a—l)x,；.a=2.

5.解：：区域卜,J）|1＜，+;;244｝表示以0（0,0）为圆心

外圆半径R=2,内圆半径厂=1的圆环，则直线ON的

7T

倾斜角不大于一的部分如阴影所示，在第一象限对应的

4

7F

圆心角NMON=一,结合对称性可得所求概率为

4

-n

2x-s

p=-----4-=—1.

2乃4

n27T27r7C71

6.解：；/（x）=sin（（yx+尹）在区间单调递增，.•.2='一2=2,且。〉0,

2362

则T=笈，co=—=2.

T

5

当》=工时，/(x)取得最小值，则2・工+e=2版■—2，左eZ,

662

则(p=2k兀一'■,k€Z,不妨取k=0则/(x)=sin]2x5万

~6

5%

则/sin

77

7.解：有1本相同的读物，共有C；种情况,

然后两人各自的另外一种读物相当于在剩余的5种读物里，选出两种进行排列，共有种,

根据分布乘法公式则共有C：-A}=120种.

8,解：在A4O6中，NAOB=120°,而OA=OB=也，

取/C中点C,连接OC,尸C,有。

PCLAB,如图,

ZABO=30°,OC=匚,AB=2BC=3,

2

由的面积为也得」X3XPC=2®,解得PC=h®

2

A/6,

.•.圆锥的体积­=3万xO/2x尸O=；乃x(ji]*痴=遍乃.

9.解：取Z8的中点E,连接CE,£>E,「ZVIBC为等腰直角三角形，Z8为斜边，则有

CELAB,又A48。为等边三角形，则。EJ.N8,从而NCED为二面角C—4B-D

的平面角，即NCEZ)=150°,

显然CEcDE=E,CE,DEu平面CDE,

又/8u平面Z8C,因此平面CDE，平面/8C,

显然平面CDEn平面ABC=CE,

直线CDu平面CDE,则直线CD在平面ABC内的射影为直线CE,

从而/DCE为直线CD与平面N8C所成的角，令AB=2,则CE=1,DE=6,

6

在AC0E中，由余弦定理得:

CD=ylCE2+DE2-2CE-DEcosZCED=h+3-2xlx^x百=V7，

~T

DPCDVJsin150。V3

由正弦定理得-------------，即sinZDCE

sinZDCEsinZCEDV7

2

5

显然NDCE是锐角，cosNDCE=/l-sin?NDCE『12万厂2s1

二直线CD与平面ABC所成角的正切值为—

5

22(2万

10.解：依题意，等差数列｛%｝中，an=al—=—n+l«

2〃

显然函数y=cosa——n+的周期为3,而〃eN*,即cos明最多有

3

3个不同取值，又

而在COSQ],COS。2,COS%中，COSQ]=COS%。COS%或COS%Wcosa2=COSQ3,

于是有856=85(6+三)，即有6+(6+彳^)=2左肛左€2,解得6=上万—三,左€2

〃],2»〃

—COS〃万=-COS-K7TCOS—=

3)32

IL解：由对称性只需考虑(1,1),(1,2),(1,3))(1,4)即可，注意到(1,3)在渐近线上，(1,1),

(1,2)在渐近线一侧，(1,4)在渐近线的另一侧.下证明(1,4)点可以作为Z8的中点.

设直线Z8的斜率为左，显然人存在.

八人(1)+4

设乙旌夕=左々一1)+4,直线与双曲线联立|,

X--=1

I9

整理得(9_%2卜2_2吊4_«卜_(4••左)2-9=0,

只需满足(*+"=2,二冽上&=2,解得左=2,此时满足A>0.

A>09-k24

7

12.解：如图所示，=P|=J5,则由题意可知：

ZAPO=45°,由勾股定理可得PA=ylOP2-OA2=1,

当点4。位于直线PO异侧时，

71

设AOPC=a,O<a<-,

4

则：PA-PD=PA-PDcosfa+?)=1xV2cosacosfa+?

cos/也COS”qn1"2"sinsa=1+cos2a

——sin2a

2222

率3高

ITTT7TTTT[T[-------*-------*

,­•0<a<-,则一一42a-一<-,...当2a--=一一时，Ri•有最大值1.

444444

当点4。位于直线P。同侧时,

TT

设NOPC=a,04a«-,

4

则：PA-PD=PA-PDcos!a-2J=1x正cosacos!a~~

=6后.]1+cos2a1._

cosa(V--2-cosa4----sma=cos2a+si.nacosa--------+—sin2a

I22J22

2

'：0<a<—,则一<2a+一《一，

4442

.„兀H-1+V2

当2a+工=工时，R/•尸。有最大值为上士

422

二、填空题

9「石-1、

13.一；14.8；15.-2；16.-----.1

42

13.解：由题意可得：/》=2pxl,则2P=5,.•.抛物线的方程为/=5x,

8

此时截距-Z最小，则Z最大，代入得z=8.

15.解：设｛3｝的公比为q(qwO),则由。4牝=a3a6~a?q'a$q，显然anw0,

则%=/,即。q3二夕2,则qq=l,Va9a10=-8,则Q]/•%,''二一8,

则q"=(夕、)3=-8=(-2丫,则q3=-2,则a?=a\ci=q'=-2.

16.悔」,1)解析：/,(x)=avlna+(l+«)'ln(l+a),由/(x)在(0,+oo)为增函数

可知xe(0,+oo)时，/'(x)20恒成立，只需/QL20，

而fn[x｝=axIn2。+(1+a]xln2(l+。)>0,，,(x)>/(0)=In。+ln(l+^z)>0,

「/?-1、

又,：aj(0,1),ae------,1.

./

三、解答题

(一)必做题

17.解：(1)：Zj=Xj-匕(i=l,2,…10),

/.Z]=X1-y[=545—536=9；z2=6；z3=8；z4=—8；z5=15；z6=11；

z7=19；z8=18；z9=20：z10=12.

Z=+z2+…Z]0)=-Lx[9+6+8+(-8)+15+11+19+18+20+12]=11

1io

V52=—Z(z,—5)，将各对应值代入计算可得$2=61

10Z=1

(2)由(1)知：z=11,52=61,

9

...甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高

18.解：（1）根据题意，由余弦定理可得:

BC2=AB2+AC2-2AB-ACcosABAC=22+12-2x2xlx7

BC=#i

1+1Tn*士工mBCAC5/71舄“/日.’ADCV2T

由正弦定理------=----------,即=----------,解得sinNABC=-----.

sin/4sinZABC拒sinZABC14

~T

q-xABxADxsin90°

（2）由三角形面积公式可得也也=，-----------------=4,

S^CDx/CxZOxsin30°

2

^-x2xlxsinl20°

则SAJCZ）

19.解：（1）连接。瓦。尸，设4尸二优。，则方=诙+万=（1一+，前，

--*--,1--,

AO=—BA+—BC,BF1AO,

2

则而•刀=卜_板+炭］卜瓦+；前）=（—1两+；炭2=4（/-1）+4/=0

解得/=!，则尸为NC的中点，由。，瓦。，厂分别为P8,口,8C,/C的中点，

2

于是DE〃AB,DE=-AB,OF//-AB,二

22

即。E〃。凡DE=OF,

则四边形。OEE为平行四边形，|十二入，......3c

EF//DO,EF=DO,又EE（Z平面/。。，

。。＜2平面/。。，二£77〃平面/。。.

（2）由（1）可知£尸〃。。，则4。=痴，£）（?=—,得ADMDO=叵,

22

因此0。2+〃。2=1。2=叵，则有EE，/。，

10

又AO上BF,BFcEF=F,BF,EFu平面BEF,

则有NOJ_平面BET7,又ZOu平面Z。。，平面Z£>OJ_平面BEE.

（3）过点。作。"〃8/交NC于点"，设/Oc8E=G,

由力。，8/得〃O_L/。，且尸“=」/"，

3

又由（2）知，ODLAO,

则N0OH为二面角D-AO-C平面角，

VD,E分别为P8,E4的中点，因此G为"AB的重心,

即有。3=,/。,6£=!6£,又尸〃=!2〃，

333

3

即有G/7,

2

3_15

4+7一彳4+6—2)—

cosZABD=一上―储=--------l，解得乃1=巧，同理得8E=J,

、、展2x2xV62

2x2x

2

5

于是BE2+EF2=BF2=3,即有BE工EF,则GF2

3

IE”V1523岳岳

从而GF=-----,DH=—x----=----,

3232

在AZ)。〃中，OH=LBF=昱,OD=—,DH=-

2222

6315

于是cosZDOH=43%=_注sinNDOH

cR62

二面角D-AO-C的正弦值为—.

2

6=2a=3

20.解：（1）由题意可得<a2=b2+c2,解得＜b=2，，椭圆的方程为1。

94

cVsc=亚

e——=-

a3

11

(2)由题意可知：直线尸0的斜率存在，设PQ：y=Hx+2)+3,尸(X],必)。(x2，%)，

y=k(x+2)+3

联立方程1/2，消去歹得:2

x(442+9)x+8%(2斤+3卜+16。2+34)=0,

—+—=1

I94

则△=64左2(2左+3)2—64(4左2+9在2+3左)=_1728左>0,解得左<0,

8M2%+3)16仅2+34)

可得X]+x2=-,再彳2

4左2+94左2+9

,.,4-2,0),则直线4尸:y=」一(x+2),

再+2

令X=O,解得y=即

X]+21Xj+2?

同理可得

、X2+2)

2乂12%

则■+20+2=:(/+2)+3++2)+3

2匹+2x24-2

_2kx[X]+(4后+3)(匹+工2)+4(2后+3)_108

X|X24-2(Xj+芍)+436

二线段PQ的中点时定点(0,3).

21.ft?：(1)当a=-l时，/(%)=|--1|ln(x+l),,

则f'(x)=一_ln(x+l)+(4一]x——

xlxIx+1

据此可得/⑴=0,/'(l)=_ln2,

函数在(1,7(l))处的切线方程为y-0=—ln2(x-l),即(ln2)x+y—ln2=0.

(2)由函数的解析式可得

1I1

函数的定义域满足±+1=上r」＞0,即函数的定义域为(―8,—1)U(0,+8),

XX

12

定义域关于直线》=—L对称，由题意可得b=—■!■,

22

由对称性可知/(—g+加)=/(一:一加)(掰＞'

取加=5可得/(1)=/(一2),

即(q+l)ln2=(a-2)ln；,则q+l=2-a,解得＜?=；,

经检验a=L,6=-工满足题意，故4=,，b=--.

2222

即存在a=L,6=-工满足题意。

22

(3)由函数的解析式可得/'(x)=f—」r]ln(x+l)+2+/」一，

(XJXJX+1

由/(x)在区间(0,+8)存在极值点，则/'(x)在区间(0,+00)上存在变号零点:

令/'(x)=(_g]ln(x+l)+(J+“^j=0,

则-(x+l)ln(x+1)+(x+ox，)=0,

令g(x)=ad+x-(x+l)ln(x4-1),

/(x)在区间(0,+8)存在极值点，等价于g(x)在区间(0,+8)上存在变号零点，

g"(x)=2ax-ln(x+1),gzr(x)=2a-------,

x+1

当QW0时，g'(x)<0,g(x)在区间(0,+oo)上单调递减，

此时g(x)<g(O)=O,g(x)在区间(0,+oo)上无零点，不合题意；

当2azi时，由于」一<1,；.g〃(x)>0,g'(x)在区间(0,+oo)上单调递增,

2x+1

:.g'(x)>g'(0)=0,g(x)在区间(0,+oo)上单调递增,g(x)>g(0)=0,

・・・g(x)在区间(0,+oo)上无零点，不合题意；

当0<。<!时，由g'(x)=2a-------=0可得x=———1,

2x+12a

当工610,：-[时，g"(x)<0,g'(x)单调递减，

13

当彳€([-1,+0时，g〃(X)>0,g'(x)单调增，

故g'(x)的最小值为g]2一11=1一2。+In2。，

令阳(x)=1-x+lnx(0<x<1),则m'(x)------->0,

x

函数〃?(x)在定义域内单调递增，加(x)<m(l)=0,

据此可得1-x+Inx<0恒成立，则g'：—1J=1—2。+In2。<0,

令A(x)=lnx-x2+x(x>0),则hr[x}=—+'+1,

x

当xw(0,1)时，〃(x)单调递增，

当X£(l,+8)时，hr(x)<0,〃(x)单调递减，

故〃(x)<〃(1)=0^V\nx<x2-x(当X=1时取等号)，

/.g[x)=2ox-ln(x+l)>2QX-[(X+1)2-(X+1)]=2ax-(x2+x),

g'(2a-1)>2M2a-1)-[(2a-l)2+(2a-l)]=0,且注意到g'(0)=0,

根据零点存在性定理可知：g'(x)在区间(0,+oo)上存在唯一零点X。，

当X£(O,Xo)时,gz(x)<0,g(x)单调递减，

当XG(%,+00)时，g\x)>0,g(x)单调递增，

：•g(x())<g(o)=o.

令〃(x)=-,则=i+二]二—(”J)