2023年高考数学三轮复习练10平面向量小题基础练（解析版）

【一专三练】

专题10平面向量小题基础练-新高考数学复习

分层训练(新高考通用)

一、单选题

1.(2023•江苏泰州•统考一模)已知向量α,b满足W=I,W=2,<q,6>=g,则"a+q=

()

A.-2B.-1C.0D.2

【答案】C

【分析】根据向量数量积运算求得正确答案.

【详解】α∙(α+θ)=a+α∙A=1+1x2XCoSg=I-I=0.

故选：C

2.(2023•湖北•荆州中学校联考二模)已知向量加=(3,T),〃=(-12,5),则”?•〃+W=

()

A.-56B.69C.-43D.43

【答案】C

【分析】利用平面向量数量积的坐标运算结合平面向量的模长公式可求得结果.

【详解】因为向量加=(3,-4),"=(-12,5),贝∣J"7∙"+H=3X(-12)+(-4)X5+J(-12)2+5。

=一36-20+13=-43.

故选：C.

3.(2023•江苏•二模)在；ABC所在平面内，。是BC延长线上一点且80=46,E是AB

的中点，设AB="，AC=h›Pl1JfD=()

14,„3I,

A.-a+-bB.-a+-b

5544

-5.4]-5.5,

C.——d+-bD.——a+-h

6364

【答案】C

【分析】根据给定条件，借助向量的线性运算用他、AC衣小En即可判断作答.

4-

【详解】在AΛBC所在平面内，。在BC延长线上，且B£>=48,则BD=又E

是AB的中点，

14141454

月『以ED=EB+BO=-A8+-BC=—48+—(AC-AB)=—a+—出一〃)二一一a+—b.

23232363

故选：C

4.（2023•江苏泰州•泰州中学校考一模）已知平面单位向量α,b，C满足

〈0,份=〈6,c〉=〈c,a〉=T，贝中α+2"c∣=（）

A.0B.1C.√3D.√6

【答案】C

rrrrrr?元

【分析】根据〈。,力=也。〉=仁0〉=宁可得分。=_〃，替换”，利用数量积的运算即可

求解.

【详解】如图，设α=OA,,b=OB,c=OC>

rr2π

因为S,c〉=胃，所以平行四边形OCnB为菱形，

则AODB为正三角形，所以。。=1,且04,。。反向，

rrrrrri'rrrr

所以6+3=F,J5Ffy∣3α+2b+c∣=∣3(-⅛-c)+2⅛+c∣=∣-⅛-2c∣=∣⅛+2c∣,

因为1+2c]=b+4c+4MHCoSI=l+4+4xlxlx(-g)=3,

所以际2；卜百，

故选：C.

5.（2023•江苏南通•统考模拟预测）若向量α,6满足∣α+A∣=∣α∣+∣6∣,则向量°涉一定

满足的关系为（）

A.a=0B.存在实数4,使得Ci=痛

C.存在实数〃7'〃，使得"74=〃。D.∖a-b∖=∖a∖-∖b∖

【答案】C

【分析】对于A,BQ通过举反例即可判断，对于C需分0与〃是否为。讨论即可.

【详解】∣α+⅛∣=∣α∣+∣6∣,两边同平方得

a2+2a∙h+b2=d2+2∖d∖∖b∖+b2

.∖a∙b=∖a∖∖b∖9.∖∖a∖∖b∖cosθ=∖a∖∖b∖f

对A,5=。时，α为任一向量，故A错误，

对B,若b=0,α≠0时，此时不存在实数4,使得"助，故B错误,

对于C,因为∣α∣∣0ICOSe=IaIlbl,当α与〃至少一个为零向量时，此时

一定存在实数zw,使得心〃=nb`

具体分析如下：

当α=0,1#6时，此时机为任意实数，n=0.

当4.0，O=O时，此时”为任意实数，加=0，

当α=0,8=0时，〃?，,为任意实数，

当α≠0,3小时，因为IaiwCOSe=Ia|叫，则有CoSe=1,根据1∈[θ,司,

则6=0,此时共线，且同向，则存在实数;I使得£=2B(Λ>0),

H

令4=—,其中〃2，"同号，即4=—b,即加Q=R;,则存在实数相，〃,使得m士=应?，故

mm

C正确，

对于D,当4="ZWB时，∣α-力阿。|一|。|,故D错误，

故选：C.

6.(2023•湖北武汉•统考模拟预测)平面向量”=(-2M),6=(2,4),若皿,贝小4卜

()

A.6B.5C.2√6D.2√5

【答案】B

【分析】先利用平面向量垂直的坐标表示求得#,再利用平面向量模的坐标表示即可得

解.

【详解】因为α=(-2,%),6=(2,4),aVby

所以Gb=-2x2+4k=0,解得&=1，

所以a_6=(_2_2«_4)=(T,_3),

4232

因止匕,=λ∕(-)+(-)=5.

故选：B.

7.(2023•湖南邵阳•统考二模)已知向量。=(1,3),6=(1,-1),¢=(4,5).若〃与6+衣

垂直，则实数4的值为()

【答案】A

【分析】根据向量的坐标运算，垂直向量的坐标运算，可得答案.

【详解】由题意，⅛+Λc=(1+42,5/1-1),由〃与b+∕lc垂直，则小仅+%)=0,

,2

βpi+4∕l÷3×(5Λ-l)=O,解得2=历.

故选：A.

2

8.(2023•湖南•模拟预测)如图，在平行四边形A8C。中，AB=a,AD=h,^AE=-AC,

则DE=()

A.—a——bB.—a——bC.-a+-bD.—。+一匕

33333333

【答案】B

【分析】根据向量的运算法则计算得到答案.

221\21

【详解】DE=AE-AD=-AC-AD=-(AB+AD)-AD=-a--b,

故选:B

9.(2023•湖南常德•统考一模)已知向量d为单位向量,向量5=(1,1),R+9∙(2A-很)=1,

则向量α与向量b的夹角为()

πC兀「，兀C兀

A.-B.—C.—D.一

6432

【答案】B

【分析】利用向量模长的定义得到同=1，忖=血，再根据向量的数量积公式即可求得

向量d与向量方的夹角.

【详解】因为向量d为单位向量，向量b=(u),所以Ia=I,忖=夜，

+=Ia1+a∙b-b2=∖,g∣J2p∕∣2+∣α∣∣⅛∣cos<a,b>-∣fe∣=1,

所以cos<α,b>=亭，又<α,6>e[0,τι],则向量A与向量6的夹角为:，

故选：B.

10.(2023•广东佛山•统考一模)已知单位向量α,。满足夕〃=0,若向量c=4+√⅛,

则CoS(a,C)=()

A.且B.ɪC.如D.-

2244

【答案】B

【分析】根据向量的数量积运算以及夹角的余弦公式，可得答案.

【详解】由单位向量3,则H=1，W=1,即卜J=（α+Gb）=p∣2+2>∕3α∙b+3∣⅛∣2=4,

∣c∣=2,a∙c=a∙^a+∖∣3b^=p∕∣+6Crb=I

CoS但/∖>丽a∙c=1

故选：B.

11.（2023•广东深圳•统考一模）已知α,b为单位向量，且囚-5力|=7,则°与的

夹角为（）

πC2兀_πC5花

A.-B.—C.-D.—

3366

【答案】C

【分析】设“与夹角为，，利用∣3α-5b∣=7求出°力，在利用夹角公式计算即可.

【详解】因为“,〃为单位向量，

由∣3α-58∣=7,

所以（3a-5⅛）2=49=9/_30。为+25广=49,

--1

即9一30。•人+25=49=α∙b=—一,

2

设。与4—b夹角为8,

12.（2023•广东茂名•统考一模）在.ABC中，AB=c,AC=b,若点M满足MC=28M，

则AM=（）

122,1c52,

A.-hz+-cB.—h——cC.-c——bD.

33333333

【答案】A

【分析】根据题意结合向量的线性运算求解.

【详解】由题意可得：

uuπrr

UUirminUUlrUun∣UUnUlIn∣zuιnπUUn`ιUlln212

AM=AB+BM=AB+-BC=AB+-∖AC-AB]=-AC+-AB=-h+-c.

33、>3333

故选：A.

13.（2023广东湛江•统考一模）在平行四边形ABCZ）中，E为边5。的中点，记AC=α，

DB=b,则AE=（）

11,-21,

A.—a——bB.—a+-P

2433

131,

C.ci-\—bD.-ciH—b

244

【答案】D

【分析】根据向量的线性运算法则，求得CB=gb-；a,结合AE=AC+CE=AC+gCB,

即可求解.

【详解】如图所示，可得CB=OB-OC=1£>8—《AC=18-!.,

2222

所以AE=4C+CE=AC+Lc8="+U4-L]=3α+4.

22（22J44

故选：D.

14.(2023•浙江金华•浙江金华第一中学校考模拟预测)若向量α=(x,2),6=(-1,2),

且“_L0，则M=()

A.2√3B.4C.3√2D.2√5

【答案】D

【分析】根据向量垂直的坐标表示求X,再由向量的模的坐标表示即得.

【详解】UIaJLB,UJ得一x+2x2=0,

所以x=4,α=(2,2),

2

∣α∣=√4+4=√20=2√5∙

故选：D.

15.(2023•浙江•校联考模拟预测)已知向量4,6满足Idl=1,∖b∖=3,a-h=(3,∖),则

∣3α-⅛∣=（）

A.2√2B.√[5C.3√2D.2√5

【答案】C

【分析】根据向量模的公式得4功=O,再求模即可.

【详解】解:因为IaI=I,|/71=3,a-b=(3,1),

所以，((2-6)2=∣α-⅛∣2=β2+⅛2-2α.⅛=l+9-2iJ∙⅛=10,

所以，a-b=0-

X∣3a-⅛∣2=9β2+⅛2-6a⅛=18,

所以∣3α-5∣=3√∑.

故选：C

16.（2023•浙江嘉兴•统考模拟预测）等边ABC的边长为3,若AO=2OC,BF=FD>

贝IlWI=（）

ʌ719r√17r√15n√13

2222

【答案】A

【分析】取BC中点O,建立直角坐标系，得到AF=-%-乎］，再根据模长的坐标

公式即可求解.

如图，取BC中点O,建立直角坐标系，则A（0,竽J,《一|,0）,C（|,0

FlIAD=2DC,若O（X，y）,则A。=gAC=gx（g,-,）=（l,-√5）,

所以(x,y-殛)=(1,-G)得:

若厂（利,〃），贝IJBF=gBO=Jx（|,乎）=（：,《）,

由BF=尸£>，

所以（*■〃）=（冷）为

故选：A

17.(2023•江苏南通•二模)在平行四边形ABC。中，BE=^BC,AF=^AE.若

AB=mDF+nAE,则根+〃=()

I354

A.—B.-C.-D.—

2463

【答案】D

【分析】利用平面向量的四则运算求出犯〃即可.

【详解】由题意可得AB=AE+EB=AE+^DA=AE+g(θF+FA)

=AE+-[DF--AE∖=-DF+-AE,

213J26

4

所以根+〃=§,

故选：D

二、填空题

18.(2023•湖北•校联考模拟预测)已知向量a=(-2,4)w=(x,T),若“〃〃，则X=

【答案】y##0.5

【分析】利用平面向量共线的坐标运算即可求出结果.

【详解】由〃?〃〃得：4x=2,x=?

2

故答案为：T

19.(2023•湖北•统考模拟预测)己知α=(4,2),6=(1,1),则α在匕方向上的投影向量

的坐标为.

【答案】(3,3)

【分析】根据投影向量的定义求解.

【详解】因为α=(4,2),6=(1,1),

(cι-b)/,4+2

所以“向量在b方向的投影向量为R咽=7元万∙(L1)=(3,3).

故答案为：(3,3)

20.(2023•湖南湘潭•统考二模)已知向量α=(%,-2),b=(l,3),若(a-b)lb,则」=

【答案】16

【分析】根据向量垂直列方程，由此求得加的值.

【详解】由(a-：)_!_〃,得(a—8)•%=0,H∣Ja.b=/?,,〃—6=IO,则wz=16.

故答案为：16

21.(2023•广东惠州•统考模拟预测)已知平面向量a=(-2,4),⅛=(Λ,1),若“与b垂直，

则实数;I=.

【答案】2

【分析】向量垂直，数量积为0,利用向量的坐标运算求解参数.

【详解】因为a与字垂直,所以河石=0,即—2/+4=0,解得X=2.

故答案为：2

22.(2023•广东广州•统考一模)已知向量a=(l,2)/=(3,x),a与a+匕共线，则上”=

【答案】2√5∙

【分析】运用平面向量共线及向量的模的坐标计算公式求解即可.

【详解】由题意知，a+8=(4,2+x)

又因为R/(〃+〃)，所以lx(2+x)=2x4,所以χ=6,

所以b=(3,6),所以〃-〃=(-2,-4),

所以∣a-b∣=J(-2)2+(-4尸=26.

故答案为：2石.

23.(2023•浙江•校联考模拟预测)已知向量α=(∕n+4,∕n),⅛=(3,1),且〃//,则m=.

【答案】2

【分析】根据向量平行的坐标公式，代值计算即可.

【详解】因为“=(∕n+4,zn),8=(3/)，allb-

由("z+4)xl-3"z=0,得加=2.

故答案为：2.

24.(2023•浙江温州•统考二模)已知向量α=(l,2'A=(2㈤，若则2=

【答案】4

【分析】先求出α+0和α-b,再根据平面向量共线的性质求解即可.

【详解】因为4=(1,2)力=(2,2),

所以a+人=(3,2+4),4-〃=(一1,2-几)，

因为(“+))〃("_〃)，

所以3x(2—4)=(T)x(2+为，

B∣JA=4.

故答案为：4.

25.(2023•江苏•统考一模)在ABC中，已知8O=2OC,CE=EA,3E与AO交于点

O.若CO=xCB+yCA(X,ʃ∈R),贝"+V.

3

【答案】

【分析】根据向量线性运算的几何表示可得Co=3x8+yCA,CO=xCB+2yCE,然后利

用共线向量的推论即得.

【详解】因为80=2Z)C，CE=EA,

所以C8=3CO,CA=2CE，又CO=XCB+yCA,

所以Co=3xCD+yCA,CO=xCB+IyCE,乂BE与AD交于点O,

3x+y=I

所以

x+2y=I

123

所以X=M,y=q,即x+y=1,

3

故答案为：—

26.(2023•江苏•统考一k模)已知向量α,Z?满足,卜2,W=3,α∙b=0.设c=〃-2α,

则cosC)=.

4

【答案】--##-0.8

【分析】法一：采用特殊值法，设。=(2,0),h=(0,3),求得c,最终可求；法：直

接求解，根据向量夹角公式求解即可.

【详解】法一：设£=(2,0),⅛=(0,3),则C=(0,3)-2(2,0)=(<3),

4

5,

法二：∣C∣=^⅛-2Λ)^=7⅛2+4t∕2=5,又〃∙C=Q∙(∕2-2Q)=-2J=-8,

4

故答案为：-M

27.(2023•山东•烟台二中校联考模拟预测)已知q,Q是夹角为120。的单位向量，若

m=2e∣+3e1,n=4e∣-6，则机，〃的夹角为.

【答案】90°

【分析】利用平面向量的数量积即可求解.

2

［详解】依题意，rh∙n=(2el+3e2)∙(4el-e2)=8<?!+10el∙e2-3<?,=8-5-3=0,

所以则加，”的夹角为90。.

故答案为：90°.

28.(2023♦山东济宁•统考一模)已知平面向量”=(-1,2),