复变函数与积分变换第一章2

1§1.3平面点集的一般概念

§1.3.1开集与闭集平面上以z0为中心，

(任意的正数)为半径的开圆：内部的点的集合称为z0的邻域.而称由不等式：所确定的点集称为z0的去心邻域.2

设G为一平面点集

1)z0为G中任意一点。如果存在z0的一个邻域，该邻域内的所有点都属于G，那么称z0为G的内点。如果G内的每个点都是它的内点，则称G为开集.

2)平面上不属于G的点的全体称为G的余集，记作GC，开集的余集称为闭集。3)z0是一点，若在z0的任一邻域内既有G的内点又有G的外点，则称z0是G的一个边界点；G的边界点的全体称为G的边界.4)，若在z0的某一邻域内除点z0外不含G的点，则称z0是G的一个孤立点。G的孤立点一定是G的边界点。5)如果存在一个以点z=0为中心的圆盘包含G，则称G为有界集，否则称G为无界集。3【例1.12】1)——开集因为对于任意的z0

G，z0的邻域在G中.2)——闭集因为它的余集是开集.

4§1.3.2区域

当平面点集D满足下列两个条件时，则称为一个区域：D是一个开集；D是连通的，即D中任何两点都可以用完全属于D的一条折线连接起来.区域就是连通开集。区域D与它的边界一起构成闭区域，记作.

因此5【例1.13】说出下列各式所表示的点集是怎样的图形，并指出哪些是区域(1)(2)(3)

解：(1)设则所以即

表示右半平面，是一个区域.因为(2)所以即表示以-2+i为中心，以1为半径的圆周连同其外部区域,是一个闭区域.

6(3)是介于两射线及之间的一个三角形区域

7§1.3.3平面曲线

令

平面曲线可以用一对连续的实变函数表示

——曲线的参数方程

则曲线可以用一个方程表示——平面曲线的复数表示式

除了参数表示以外，通常还用点z所满足的关系式表示曲线.例如:表示以z0为中心，以a为半径的圆周.8设C:z=z(t)(a≤t≤b)为一条连续曲线，z(a)与z(b)分别称为C的起点与终点，对于满足a<t1<b、a≤t2≤b的t1与t2，当t1≠t2而有z(t1)=z(t2)时，点z(t1)称为曲线C的重点.

没有重点的连续曲线C，称为简单曲线或Jordan曲线.

如果简单曲线C的起点与终点重合，即z(a)=z(b)，那么曲线C称为简单闭曲线.

若尔当曲线定理

任意一条简单闭曲线将平面分为两个区域。它们都以该曲线为边界。其中一个为有界区域，称为该简单闭曲线的内部；另一个为无界区域，称为外部.9定义

复平面上的一个区域D，如果在其中任作一条简单闭曲线，曲线的内部总属于D，则称D为单连通区域，一个区域如果不是单连通区域，就称为多(复)连通区域.

一条简单闭曲线的内部是单连通区域.单连通域D的特征：属于D的任何一条简单闭曲线，在D内可以经过连续的变形而缩成一点，而多连通区域不具有这样的特征.10【例1.14】描述下列不等式所确定的区域或闭区域，并指明它是有界的还是无界的？单连通还是多连通？2)

1)

3)

解:1)

即化简得

x>-12)

得由化简得因此，表示的是椭圆的内部

(包含椭圆)，是有界单连通的闭区域.因此，表示的是直线x=-1右边的区域(不含直线x=-1)，是无界单连通区域.113)可写成化简得

即

因此，表示的是以(2,-1)为圆心，3为半径的圆周及其内部，这是一个有界单连通闭区域.12【例1.15】求满足关系式()的点的集合G。若G为一区域，则指明它是单连通域还是多连通域

解:由，

可知，于是所给的关系式变为

即

是一个单连通域

13§1.4无穷大与复球面

§1.4.1无穷远点

无穷大——记为∞，由下式来定义

无穷大和有限数的四则运算定义为，

(加法)(减法)(乘法)(除法)()()()()注意:

，，，，都无意义.

14复数∞的模规定为+∞，即，而实部、虚部和辐角均没有意义.其它的每一个复数z，都有，相比较而言称z为有限复数.在复平面上没有一点与∞相对应，但可设想复平面上有一理想点与它对应，此点称为无穷远点.

复平面加上无穷远点称为扩充复平面.

包括无穷远点自身在内且满足(实数M>0)的所有点的集合，称为无穷远点的邻域

.不包括无穷远点自身在内，仅满足的所有点的集合，称为无穷远的去心邻域

.表示为包括无穷远点自身在内的圆周的外部.

15§1.4.2复球面

可用球面上的点来表示复数16§1.5复变函数

§1.5.1复变函数的定义

定义

设G是一个复数z=x+iy的集合。如果有一个确定的法则存在，按照这一法则，对于集合G中的每一个复数z，就有一个或几个复数w=u+iv与之对应，那么称复变数w是复变数z的函数(简称复变函数)，记作如果对每个z

G，有唯一的w同它对应，则称w=f(z)为单值函数.否则称为多值函数

.集合G称为f(z)的定义集合，即定义域；对应于G中所有z的一切w值所成的集合G*，称为函数值集合，也称为值域

.17设z=x+iy，则w=f(z)可以写成其中u(x,y)与v(x,y)为实值函数一个复变函数就相当于一对二元实变函数.【例1.16】将定义在全平面除去坐标原点的区域上的一对二元实变函数化为一个复变函数，()解：

记

，则将，，代入上式

经整理后得

(z≠0)18§1.5.2复变函数的极限与连续性

1.函数的极限定义

设函数w=f(z)在z0的去心邻域内有定义，若有确定的复数A(A≠∞)存在，对于任意给定的

>0,总存在一个正数

，使得对满足(0<

)的一切z，都有则称A为函数f(z)当z趋于z0时的极限。(当时)或记作19注意：定义中z趋于z0的方式是任意的.即:无论z从什么方向,以何种方式趋向于z0，f(z)都要趋向于同一个常数A.

定理一

设函数

则

,,的充要条件是

,关于含∞的极限可作如下定义(

为有限复数)（定理的证明略）20定理二

如果

,那么1)2)3)21【例1.17】证明函数当时的极限不存在[证]令则由此得

令z沿直线y=kx趋于零，则有显然，它随k的不同而不同，所以不存在虽然，但根据定理一，不存在

22【例1.18】问函数在z=0有无极限？解：f(z)的定义域是全平面除去z=0的区域当z≠0时，设，则考虑从z=0出发方向角为

0的射线l

0

，有显然，对于不同的

0，上述极限不同.所以，在z=0，f(z)不存在极限.232.函数的连续性

定义

如果成立，则称f(z)在z0处连续.如果f(z)在区域D中的每一点连续，则称f(z)在区域D内连续.

定理三

函数在处连续的充要条件是与在处连续

.例如:函数在复平面内除原点外处处连续.因为除原点外是处处连续的，而在复平面内是处处连续的.由定理二和定理三，还可推得下面的定理四.24定理四

在z0连续的两个函数f(z)与g(z)的和、差、积、商(分母在z0不为零)在z0处仍连续；如果h=g(z)在z0连续，函数w=f(h)在h0=g(z0)连续，那么复合函数w=f[g(z)]在z0处连续.有理整函数(多项式)(n为正整数)

可推得对复平面上所有z都是连续的.

有理分式函数除分母为0的点外在复平面上也处处连续.25函数f(z)在曲线C上z0点处连续的意义是指

有界闭区域上复连续函数的性质

1)

有界闭区域上的连续函数f(z)是有界的;2)

若f(z)是有界闭区域上的连续函数，则f(z)的模在上至少取得最大值和最小值各一次;3)

有界闭区域上的连续函数f(z)在上是一致连续的，即对任意给定的

>0，存在

>0，对任何满足的都有26【例1.19】求证：(z≠0)在全平面除去原点和负实轴的区域上连续，在负实轴上不连续.[证]i)设z0为全平面除去原点和负实轴的区域上的任一点

取充分小的正数

，使角形区