辽宁抚顺新抚区2023-2024学年九年级上学期期中质量检测数学试题（一）（解析版）

2023—2024学年度（上）学期教学质量检测

九年级数学试卷（一）

考试时间：120分钟试卷满分：120分

※注意事项：考生答题时，必须将答案写在答题卡上，答案写在试卷上无效.

一、选择题（每小题3分，共30分）

1.下列选项中，是关于x的一元二次方程的是（）

A.%2+3%-2=%2B.3x?+2x+4=0C.ax2+bx+c-0D.x2+—=1

x

【答案】B

【解析】

【分析】本题考查一元二次方程的定义：①等号两边是整式，②只含有一个未知数，③未知数的最高次数

为2.根据定义逐一分析即可得到答案.

【详解】解：A、^+3%-2=%2,整理得：3x-2=0,不是一元二次方程，不符合题意；

B、3k+2%+4=0是一元二次方程，符合题意;

C、当a=0时，方程ad+bx+°=o不是一兀二次方程，不符合题意;

,1

D、该方程必+―=1是分式方程，不符合题意；

x

故选B.

2.下列是我们日常生活中经常见到的图案，是中心对称图形的是（）

【答案】C

【解析】

【分析】本题考查的是中心对称图形的概念，解题的关键是掌握把一个图形绕某一点旋转180。，如果旋转

后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形.根据定义判断即可.

【详解】解：A、不是中心对称图形，不符合题意；

B、不是中心对称图形，不符合题意；

C、是中心对称图形，符合题意；

D、不是中心对称图形，不符合题意；

故选：C.

第1页/共27页

3.若关于x的一元二次方程(m-2)x2+3x+m2-4=0的常数项为0,则m的值等于().

A.-2B.2C.-2或2D.0

【答案】A

【解析】

【分析】根据题意可得加2-4=0,且5-2W0,求解即可.

【详解】由题意得：苏-4=0,解得：m=±2.

.*.m=-2.

故选A.

【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式.一元二次方程的一般形式是：ax2^c=0(〃，b,。是常

数且oWO)特别要注意的条件.这是在做题过程中容易忽视的知识点.在一般形式中ad叫二次项,

法叫一次项，。是常数项.其中〃，Ac分别叫二次项系数，一次项系数，常数项.

4.若4%是一元二次方程炉―2%-4=0的两个根，则」一1的值是()

芯•x2

11

A.-2B.——C.2D.4

22

【答案】B

【解析】

【分析】此题考查了根与系数的关系，利用一元二次方程根与系数的关系求出答案即可.

【详解】解：依题意，得X]+々=2,%1,%2=—4，

Xy+x2_2_1

%1-x2-42'

故选：B.

5.把抛物线y=-4必向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线的解析式为()

A.y=-4(x+2)2-3B.y=-4(x-2)2-3

C.y=-4(x-3^+2D.y=-4(x-3)2-2

【答案】A

【解析】

【分析】根据二次函数的平移规律：左加右减，上加下减，即可进行解答.

【详解】解：抛物线y=-4/向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线的解析式为

第2页/共27页

y=-4(x+2『-3,

故选：A.

【点睛】本题主要考查了二次函数的平移规律，解题的关键是掌握：左加右减，上加下减.

6.我们在学习一元二次方程应用时，课后习题有这样一问题，某种植物的主干长出若干数目的支干，每个

支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91,求每个枝干长出多少小分支.设每个支

干长出x个小分支，则下列方程中正确的是()

A.1+炉=91B.(1+4=91

C.1+X+X2=91D.1+(1+X)+(1+X)=91

【答案】C

【解析】

【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据题意可知：支干的数量为x个，小分支的数量为

=个，然后根据“主干、支干和小分支的总数是91”列出方程即可.理解题意、明确主干、支干和小

分支的关系是解答本题的关键.

【详解】解：依题意得支干的数量为X个，

小分支的数量为个，

那么根据题意可列出方程为：l+x+/=91.

故选：C.

7.如图，将UABC绕C点顺时针旋转至ODEC,使得AC,E三点共线，此时点D恰好在AB

延长线上，若NA=20°，贝INBCD的度数()

n

A.80°B.90°C.100°D.110°

【答案】C

【解析】

【分析】先判断出NACD=NECD,AC=CD,从而得出NA=NADC=20。，最后用三角形的内角和定

理即可得出结论.

【详解】解：•••将口43。绕C点顺时针旋转至UDEC,使得AC,E三点共线，

第3页/共27页

ZACD=ZECD,AC=CD,

：.ZA=ZADC=20°,

ZACD=140°,

Z.NECD=ZACD=40°,

ZBCD=100°,

故选：C.

【点睛】此题主要考查了旋转的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形的内角和定理，判断出三角形

ACD是等腰三角形是解本题的关键.

8.如图，在同一直角坐标系中，一次函数丁和二次函数y=。必+。的图象大致为（）

【答案】B

【解析】

【分析】根据各个选项中的图象，可以判断出一次函数和二次函数中。、c的正负情况，即可判断哪个选项

是正确的.

第4页/共27页

【详解】解：A.一次函数丁=。％+。中a>0,c>0,二次函数y=。%2+c中c>0,故选项A不

符合题意;

B.一次函数V=ax+c中a<0,c>0,二次函数y=ax?+c中a<0,c>0,故选项B符合题意；

C.一次函数丁=ax+c中a<0,c<0,二次函数y=+c中a>0,c<0,故选项C不符合题意；

D.一次函数V=ax+c中”0,c>0,二次函数y=ax?+c中a>0,c<0,故选项D不符合题意；

故选：B.

【点睛】本题考查二次函数的图象、一次函数的图象，解答本题的关键是明确一次函数和二次函数的性

质，利用数形结合的思想解答.

9.我们刚刚学完的第二十三章旋转是我们初中几何重要的图形变换之一，其中把某个图形旋转一个特殊角

是解决某类几何问题的重要手段，受这种解题思想的启发.如下图，在等腰RtZkABC中，AB=AC,。、

E是斜边上两点，且/D4E=45°,若BD=6,CE=8,则△48。与△AEC的面积之和为（）

【答案】A

【解析】

【分析】本题考查了旋转的的性质、三角形全等的判定定理与性质、直角三角形斜边中线的性质等知识

点.将△460绕着点A逆时针旋转90。得到从而可得8D=CE=6,

ZEAF=45°=ZEAD,求得DE=EF7CE?+CF?=10,BC=24,AG=^BC=12,据此求解

即可得.

【详解】解：如图，作AGL8C于G,将△48。绕着点A逆时针旋转90。得到△43,

则AE=AD,ZDAF=90°,BD=CF=6,NACF=NB=45。,/BAD=NCAF,

：.ZEAF=ZCAE+NCAF=ZCAE+ZBAD=90°—45°=45°=ZEAD,

第5页/共27页

AF=AD

在XEAF和□£>!£>中，<ZEAF=ZEAD,

AE=AE

:DEAF印EAD（SAS）,

DE=EF,

•••ZECA+ZACF=9Q°,

DE=EF=VC£2+CF2=10，

BC=BD+DE+CE=24,

•在等腰RtZkABC中，AB=AC,AGLBC,

：.AG=-BC=12,

2

：.△48。与△AEC的面积之和为g（BD+CE）xAG=；（6+8）xl2=84,

故选：A.

10.如图，二次函数丁=奴2+法+。的图象经过点4-3,0）,其对称轴为直线x=—1,有下列结论：①

abc<0：@b2-4ac>0;③a-b-2c>0；④关于x的方程ax?+（。一机）x+c=机有两个不相等的实数

根；⑤（a+c）2</；⑥若P（—5,%）,Q（m,力）是抛物线上两点，且％〉内，则实数，"的取值范围是

-5<m<3.其中正确结论的个数是（）

【答案】D

【解析】

【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据二次函数图象确定相应方程根的情况，一元二次方程根的

判别式，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键.

第6页/共27页

由题意知，由二次函数丁=。必+法+。的图象经过点A(—3,0),其对称轴为直线x=-1,可解得

b=2a,c=-3a,可判断①的正误；由图象可知方程+6%+C=0有两个不相等的实数根，可判断②

的正误；由"。-2。=<2-2<2-2*(-3。)=5。〉0,可判断③的正误；由

A=(b-m)"—4a(c-机)=(2a-ni)’+12a2>0,可判断④的正误；由(a+c『=4/=/,可判断⑤

的正误；由题意知，尸(-5,%)关于对称轴对称的点坐标为(3,%),实数机的取值范围是-5〈根<3,

可判断⑥的正误.

【详解】解：由题意知，a>0,

..•二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A(—3,0),其对称轴为直线x=-l,

b

9a—3b+c=0,——1,

2a

••Z?—2〃，c——3〃，

abc=-6a3<0,①正确，故符合要求；

；方程ax2+bx+c^0有两个不相等的实数根，

〃—4ac〉0，②正确，故符合要求；

a—b—2c—ci—2a—2x(—3a)=5a〉0,

...③正确，故符合要求；

ax~+(b-m)x+c=m,

ax~+(b-m)x+c-m=0,

/.A=(b-m)~-4tz(c-m)=b2-4bm+m2-4ac+4am=(2a-机+12a2>0,

该方程有两个不相等的实数根，④正确，故符合要求；

(a+c)~=4a2=b1,

.•.⑤错误，故不符合要求；

由题意知，P(-5,%)关于对称轴对称的点坐标为(3,%),

%〉当，

由函数的图象与性质可知，实数相的取值范围是-5<加<3,⑥正确，故符合要求；

故选：D.

第7页/共27页

二、填空题（每小题3分，共15分）

11.已知点A（a,l）与点A（5,。）关于原点对称，则.

【答案】-6

【解析】

【分析】根据关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，可得答案.

【详解】解：由题意，得：

a——5，b=-1.

a+b=—5+（-1）=-6,

故答案为：-6.

【点睛】本题主要考查点的坐标关于原点对称，熟练掌握点的坐标关于原点对称的特征是解题的关键.

12.抛物线丁=/—2尤+3顶点坐标是一.

【答案】（L2）

【解析】

【分析】本题考查二次函数的一般式与顶点式，将二次函数的一般式化为顶点式，根据顶点式可直接得到顶

点坐标.能够熟练的将二次函数的一般式化为顶点式是本题的关键.

【详解】解：抛物线y=2x+3=（x-iy+2,

顶点坐标是（1,2）.

故答案为：（1,2）.

13.若关于x的一元二次方程丘2-2x-1=0有两个不相等的实数根，则左的取值范围是.

【答案】上>-1且原0

【解析】

【分析】根据一元二次方程的定义及根的判别式列不等式即可求得上的取值范围.

【详解】•••关于X的一元二次方程区2-2x-1=0有两个不相等的实数根，

△=b~-4ac=（-2）2+4k>0,且ZwO,

解得：k>-1且际0,

故答案为：%>-1且#0

【点睛】本题考查了一元二次方程的定义及根的判别式.对于一元二次方程依2+"+。=0（。彳0）,根的

第8页/共27页

判别式△=〃_4ac，当时，方程有两个不相等的实数根；当△=()时，方程有两个相等的实数根；

当△<()时，方程没有实数根；要注意。力0这个隐含条件，避免漏解.

14.如图，在口ABC中，ZABC=90°,把DABC绕点B顺时针旋转90。，得到日D3E,b是ED的中点,

若AB=4,BC=6,则线段b的长为—.

【答案】5

【解析】

【分析】本题考查了相似三角形的判断和性质及勾股定理，过点/作引0，3E于V,FN上BD于

N,易证明四边形BMPN是矩形，得到BN=FM,由FM〃8D,NF//BE,得到

nEMF^UEBD,UDNF-DBE,又由歹是ED的中点，根据相似三角形性质可得

FM=-BD=2,NF=-BE=3,进而得到CN=BC—BN=4,由勾股定理可求得CF的长，构造

22

出辅助线是解题的关键.

【详解】解：过点/作于"，FNLBD千N,

则ZBME=ZBNE=NCNE=90。，FM//BD,NF//BE,

由旋转可得，NDBE=ZABC=9U。,BD=AB=4,BE=BC=6,

四边形是矩形，

BN=FM,

'：FM//BD,

：.ZEFM=ZEDB,ZEMF=NEBD,

•••□EMF—EBD,

第9页/共27页

.FMEM

•・•尸是屈。的中点，

FMi

•u•一,

BD2

FM=-BD=2,

2

同理可得行=工5£=3,

2

CN=BC-BN=4,

CF=ylcN?”铲收+号=5>

故答案为：5.

15.如图，在DABC中，NB4c=90。，AB=AC,3c=100,。为边A3上一动点（8点除外），连

接CD,将线段OC绕点。逆时针旋转90°得到线段。E,连接BE,则面积的最大值为一.

【答案】—

2

【解析】

【分析】过点E作ENLA3交A4的延长线于N,根据AAS证得口瓦尔结。CA,得出EN=DA,根据

三角形三边关系可得AB=10,设8O=x,则EN=D4=10-x,根据三角形面积公式得到

1925

saBDE=--^-5y+—,根据二次函数的性质即可求得.

【详解】解：如图，过点E作ENLAB交氏4的延长线于N,

第10页/共27页

E

：.ZEDN+ZDEN=90°,

由旋转可知，NEDC=90。,DE=DC,

：.ZEDN+ZCDA=9Q°,

：.ADEN=NCDA,

：.DEDN^DDCA(AAS),

：.EN=DA,

在口ABC中，ABAC=90°,AB=AC,BC=1072,

Ji

・・・AB=AC=-BC=10^

2

®BD-x,则EN=DA=10—%

SUBOE=g3D,EN=gx(10-x)=-g(x-5)2+m，

25

当BD=5时，S丛BDE有最大值为，

故答案为：—.

2

【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，三角形全等的判定和性质，二次函数的性质

等，得到三角形的面积关于尤的函数解析式是解题的关键.

三、（第16题8分，第17题8分，共计16分）

16.如图，方格中每个小正方形的边长都是单位1,DABC在平面直角坐标系中的位置如图.

第11页/共27页

yk

（1）画出DABC关于y轴对称的△A^iG；

（2）画出口48。绕点。按顺时针方向旋转90°后的△人与6,并写出C2的坐标；

（3）判断和△A与C?是不是成轴对称?如果是，请在图中作出它们的对称轴.

【答案】⑴见解析（2）C2（3,-3）,图见解析

（3）是，图见解析

【解析】

【分析】此题主要考查了作图-旋转变换以及作图-轴对称变换，解答本题的关键是正确确定组成图形的关键

点的对称点的位置.

（1）根据关于y轴对称点的坐标特点：纵坐标不变，横坐标互为相反数可得出三顶点的对应点，顺次连接

得到答案.

（2）先画出三角形各顶点绕着点。顺时针旋转90。后的位置，再用线段依次连接各顶点，得到旋转后的三

角形；

（3）根据轴对称的定义可得对称轴.

【小问1详解】

解：如下图，△a与a即为所求作三角形；

第12页/共27页

C（3,-3）;

【小问3详解】

△A51G和A&BG是成轴对称.对称轴如下图所示:

17.解方程

第13页/共27页

(1)2X2-4X+1=0(配方法);

(2)(2x+3)2—4x—6=0.

【答案】⑴X=1-^^-,x2=1+

1222

31

(2)Xj=——>“2=-5

【解析】

【分析】本题考查了配方法、因式分解法解一元二次方程.熟练掌握配方法、因式分解法解一元二次方程是

解题的关键.

(1)配方法解一元二次方程即可;

(2)因式分解法解一元二次方程即可.

【小问1详解】

解：2——4x+l=0,

x2-2x+l=--+l,

2

(1)2三，

.14近

・・x—1=±----，

2

解得，%,=1-—<%,=1+—；

12-2

【小问2详解】

解：(2x+3『—4x—6=0,

(2x+3)2-2(2x+3)=0,

(2x+3)(2x+3—2)=0,

2x+3=。或2x+3—2=0,

31

解得，-Vj=——,羽=—.

22

四、(第18题8分，第19题8分，共计16分)

第14页/共27页

18.如图，用一段长为40m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18m.

(1)菜园的面积为192m2,求矩形的长与宽；

(2)矩形的长与宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？

【答案】(1)长为16m,宽为12m；

(2)长为18m,宽为11m时，菜园的面积最大，最大面积为198m

【解析】

40—x

【分析】(1)这个矩形的长为由，则矩形的宽为-----m,列出方程即可求解；

2

(2)设菜园面积为S,得出S关于x的二次函数解析式，然后求二次函数的最大值即可求解；此题考查

了一元二次方程与二次函数的应用，正确理解题意、准确列出一元二次方程与二次函数关系式是解题的关

键.

【小问1详解】

解：设平行于墙的矩形边长为加n,

40X+384=0,

解得石=16,%=24〉18不合题意，舍去，

答:矩形的长为16m,宽为12m；

【小问2详解】

设菜园的面积为Sn?,平行于墙的矩形边长为

40—X1?

则S=x.——=20)-+200,

Vt7=--<0,抛物线开口向下，对称轴为x=20,当XV20时，S随尤的增大而增大

2

XV0<x<18,

x=18时，S有最大值，

答：矩形的长为18m,宽为11m时，菜园的面积最大，最大面积为198m2.

第15页/共27页

19.如图所示，尸是等边DABC内的一点，连接PA,PB,PC,将△R4P绕2点顺时针旋转60。得△3CQ,

连接尸。，当NPQC=90°时，请猜想出PA,PB,PC三条线段之间的数量关系，并证明你的猜想.

【答案】PA2+PB2=PC2，证明见解析

【解析】

【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定及性质，勾股定理；可证△5PQ是等边三角形，从而

可得尸8=尸。，再由PQ2+CQ2=尸。2,即可得证；能根据性质证出=P。是解题的关键.

【详解】PA2+PB2=PC2;

证明：--ABCQ由ABAP绕点B顺时针旋转60°得到，

ZPBQ=60°,BP=BQ,PA^CQ,

..口BPQ是等边三角形，

：.PB=PQ,

在△PQC中，

ZPQC=90°,

PQ2+CQ2=PC2,

•••PA=CQ,PB=PQ,

PA2+PB-=PC~~

五、解答题（8分）

20.今年6月16日晚，辽宁省第十四届运动会开幕式在抚顺市国家3A级风景区月牙岛生态公园举行，创造

了绝美的抚顺精彩，留下了深刻的抚顺记忆.很多健步走爱好者把月牙岛生态公园作为他们新的运动打卡

地.他们利用手机的“微信运动”来记录每天在月牙岛生态公园运动步数，数学杨老师第一天利用“微信

运动”跟随动感音乐记录了自己在月牙岛走了10000步，假设平均每步长是0.5米，他第二天通过增加步数

第16页/共27页

和提高平均步长的方式增加运动量，第二天走了6600米，其中运动步数的增长率是平均步长增长率的2倍,

请你帮助计算一下杨老师平均步长的增长率是多少？

【答案】10%

【解析】

【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，设杨老师平均步长增长的百分率为无，根据等量关系，列出

方程，解方程即可.

【详解】解：设杨老师平均步长增长的百分率为尤，

则10000（1+2x）X0.5（1+%）=6600,

x2+1.5x-0.16=0

解得石=0.1=10%,X2=-1.6（不合题意，舍去）.

答：杨老师平均步长增长的百分率是10%.

六、解答题（10分）

21.我市某化工材料经销商购进一种化工材料若干千克，成本为每千克30元，物价部门规定其销售单价不

低于成本价且不高于成本价的2倍，经试销发现，日销售量y（千克）与销售单价x（元）符合一次函数

关系，如图所示.

（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

（2）若在销售过程中每天还要支付其他费用450元，当销售单价为多少时，该公司日获利最大？最大获

利是多少元？

口任克）

140......

100........

f.

♦*

•■•■

______::一

O3050T（元）

【答案】⑴y=-2x+200（30<x<60）；（2）每千克60元，最大获利为1950元

第17页/共27页

【解析】

【分析】(1)设一次函数关系式为丁=履+优左wO),根据图像中的两点坐标即可求解；

(2)由获利W=(x—30)(—2x+200)—450,再根据二次函数的性质即可求解.

【详解】解：

(1)设一次函数关系式为y=-+少(左70)

由图象可得，当x=30时，y=140；%=50时，y=100

140=30左+6[k=-2

《，解得,

[100=50k+b[b=200

y与X之间的关系式为y=-2x+200(30<x<60).

(2)设该公司日获利为W元，由题意得

W=(x-30)(-2x+200)-450=-2(x-65)2+2000

a=—2<0；

抛物线开口向下；

:对称轴x=65；

...当x<65时，W随着x的增大而增大；

304x460,

...x=60时，W有最大值；

%大值=-2x(60-65)2+2000=1950.

即，销售单价为每千克60元时，日获利最大，最大获利为1950元.

【点睛】此题主要考查二次函数的应用，解题的关键是熟知一次函数的图像与二次函数的性质.

七、综合与实践(12分)

22.问题情境：“综合与实践”课上，杨老师提出如下问题：将图1中的正方形纸片沿对角线剪开，得到两

个全等的等腰直角三角形纸片，表示为UABC和口。EE,其中ZACB=NDEF=90°,将UABC和口£>£/

按图2所示方式摆放(点C,B,E三点共线)，其中点2与点。重合(标记为点8).连接A尸，取A尸的

中点M,过点尸作NF〃AC交CM的延长线于点N.

第18页/共27页

N

图3

（1）试判断口CEN的形状，直接写出答案.

（2）深入探究：杨老师将图2中的△3EP绕点B顺时针方向旋转，当点C,B,E三点不在一条直线上

时，如图3所示，并让同学们提出新的问题并解决新问题.

①“洞察小组”提出问题是（1）中的结论是否仍然成立，若成立，请你证明，若不成立；请你写出新的结

论，并证明；

②“思辨小组”提出问题是：若正方形的边长是4,把图2中的△3EF绕点8顺时针方向旋转一周，当点

C,B,厂三点共线时，请你直接写出口CEN的面积.

【答案】（1）口CEN是等腰直角三角形

（2）①成立，理由见解析；②16±8近

【解析】

【分析】（1）根据正方形和等腰直角三角形性质可证得UAMC^FMN,推出

AC=FN=EF,CE=EN=2AC,ZCEN=90°,即可证得结论；

（2）①延长CBNR相较于点"，设E尸与8〃相较于点。，可证得口40。药引新，得出NF=AC,

再证得□EBC/0E/W,可得NCE3=ZNEF,CE=EN,即可推出DCEN是等腰直角三角形；

②分两种情况：当点尸在的延长线上时，当点尸在的延长线上时，分别运用等腰直角三角形性质和

勾股定理即可求得答案.

【小问1详解】

□CEN是等腰直角三角形

如图，口ABC和按是等腰直角三角形，

NACB=NBEF=90°,

AC=BC=BE=FE,

第19页/共27页

•.•点C,B,E三点不在一条直线上，ZACB+NBEF=180°,

：.ACUEF,

.••四边形ACEE是矩形，

ZCAM=NNFM=90°,

•.•点M是A尸的中点，

AM=FM,

在DAMC和口月新中，

ZCAM=ZNFM

<AM=FM,

ZAMC=ZFMN

：,UAMC^3FMN(ASA),

AC=FN=EF,

：.CE=EN=2AC

•：NCEN=90°,

.〔□CEN是等腰直角三角形.

【小问2详解】

解：①成立，即口CEN是等腰直角三角形，理由如下：

如图：延长CBNR相较于点区设石尸与3〃相较于点。，

•点M是的中点，

AM=FM,

NF//AC,

ZCAF=NNFA；

又：ZAMC=ZFMN,

.7□AMCgFMN(ASA)

Z.NF=AC,

,/AACB和ABEF是腰长相等的等腰直角三角形，

二AC=CB=BE=EF=NF,且ZACB=ZBEF=90°

•：NF//AC,

：.ZACB+ZCHN=18Q°,

第20页/共27页

ZCHN=90°.

ZFOB是4BOE和AFOH的外角

，ZFOB=ZOFH+90°=ZOBE+90°

ZOFH=ZOBE,

ZCBE=ZEFN,

：.0CBE^EFN(SAS'),

ZCEB=ZNEF,CE=EN,

ZCEB+ZBEN=NNEF+NBEN=90°,

即NCEN=90°,

•••□CEN是等腰直角三角形；

②当点F在CB的延长线上时，过点E作EKLCR于K,如图,

•.•正方形的边长是4,

BC=BE=EF=4,

ABEF是等腰直角三角形，EKLBF,

•*-EK=BK=2后，

CK=4+2血，

由①知口CEN是等腰直角三角形,

22

•••SQCEN=|CE=1(C^+EK?)=1[(4+28丁+(2血)216+80;

当点尸在的延长线上时，过点E作EG，5尸于G,如图，

F*~Z~C--------8

则3G=EG=FG=2>/^，CG=BC-BG=4-2血，

由①知口CEN是等腰直角三角形，

第21页/共27页

22222

.•.SUC£；V=1CE=1(CG+EG)=|[(4-2V2)+(2V2)]=16-8V2;

综上所述，当点C,B,尸三点共线时，口CEN的面积为16+80或16-8亚.

【点睛】本题是正方形综合题，考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，旋转变换的性质，

全等三角形的判定和性质，三角形面积等，正确添加辅助线是解题关键.

八、综合与探究（13分）

23.如图，直线＞=一％+4与坐标轴交于B,C两点，抛物线y=-炉+6x+c经过8,C两点，与无轴交于

点A.

备用图

（1）求抛物线的解析式；

（2）M在直线上，线段跖1绕点M顺时针旋转90。得也），过点。做y轴的平行线交抛物线于点E,

若DE的长是1,求点M的坐标；

（3）P在抛物线上，。在直线上，以尸，Q,B为顶点的三角形是等腰直角三角形，直接写出点。的

坐标.

【答案】（1）y=-x2+3x+4

35

(3)(-1,5),,(-2,6),(10,-6)

252

【解析】

【分析】（1）利用求出点8和点C的坐标，利用待定系数法即可求出答案;

（2）根据题意画出图形，分两种情况求解即可；

（3）分四种情况分别进行求解即可.

【小问1详解】

第22页/共27页

解：当x=0时，y=4,当y=。时，％=4,

•・•直线y=-％+4与x轴交于点3,与y轴交于点C

把8（4,0）,。（0,4）代入抛物线丁=—/+/?、+（?中，

-16+46+c=0

<

c=4

b=3

解得《/

c=4

抛物线解析式是y=-x2+3x+4

【小问2详解】

当点。在点E下方时，如图，过点M作河于点”，过点。作交”M的延长线于点N,

过点。作。E〃》轴交抛物线于点E,

ZMHA=ZDNM=90°,

ZMAH+ZAMH=90°,

:线段MA绕点M顺时针旋转90°得MD,

/.ZAMD=90°,MA=MD,

：.NDMN+ZAMH=90°,

ZMAH=NDMN,

又=

0AHM空MND(AAS),

第