2023苏教版新教材高中数学必修第二册同步练习-第12章 复数 提高练习

第12章复数

综合拔l¾练

五年高考练

考点1复数的相关概念

1.(2020课标全国〃理,2)复数⅛的虚部是()

71—31

A.~BJcΛDΛ

10101010

2.(2020江苏,2)已知i是虚数单位,则复数z=(l+i)(2-i)的实部是.

3.(2019江苏,2)已知复数(α+2i)(l+i)的实部为0,其中i为虚数单位,则实数a的值是

考点2复数的四则运算

4.(2022新高考/,2)若i(l-z)=l,则z+2=()

A.-2B.-lC.lD.2

5.(2022全国乙理,2)已知z=l-2i,且z+α2+b=0,其中。力为实数,则()

A,a=l,h=-2B.a=-l,b=2

C.a=1,/?=2D.a=-l,b=-2

6.(2021浙江2)已知^7∈R,(l+6zi)i=3+i(i为虚数单位),则Q=()

A.-lB.lC.-3D.3

7.(2021新高考/,2)已知z=2-i,则z(2+i)=()

A.6-2iB.4-2i

C.6+2iD.4+2i

8.(2021全国乙理,1)设2(z+2)+3(z-2)=4+6i,则Z=()

A.l-2iB.l+2i

C.l+iD.l-i

9.(2021全国甲理,3)已知(l-i)2z=3+2i,则Z=()

A.-l--iB.-l+-i

22

C.AiD.---i

22

10.(2020新高考/,2)岳=()

A.lB.-lC.iD.4

11.(2019课标全国〃,2)设z=i(2+i),则2=()

A.l+2iB.-l+2iC.l-2iD.-l-2i

考点3复数的几何意义

12.(2020北京,2)在复平面内,复数Z对应的点的坐标是(1,2),则i∙z=()

A.l+2iB.-2+iC.l-2iD.-2-i

13.(2019课标全国〃,2)设z=-3+2i,则在复平面内2对应的点位于()

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

考点4复数的模

14.(2022北京,2)若复数Z满足i∙z=3-4i,则IZl=()

A.lB.5C.7D.25

15.(2020课标全国/理,1)若z=l+i,则∣Z2-2Z∣=()

A.0B.lC.√2D.2

16.(2018课标全国/,1)设Z=三+2i,则IZl=()

A.0B.-C.lD.√2

2

17.(2020课标全国〃理,15)设复数z∣,z2满足IZll=IZ2∣=2,zι+z2=√5+i,则∣z.z2∣=

三年模拟练

应用实践

1.(2022广东华南师大附中阶段测试)在复平面内,。为坐标原点,复数z∣=i(-4+3i)/2=7+i对应的

点分别为Zi5Z2JiJNZlOZ2=()

A.≡B,-

33

C.-D.-

46

2.(2022山东日照期中)设力通是实系数一元二次方程ax1+hx+c=0的两个根,若K是虚数工是实

数,则管户2=()"

A.0B.-1

C.-2D.1

3.(多选X2022江苏震泽中学期中)已知复数z=(cosα+sina)+(cosot-sina)i(adR),则下列说法正

确的是()

A.若cosα+sinα=∣,αW(0,π),贝!]z=∣+∣i

B.若ɑ=?,则Z是纯虚数

C.复数Z的模为定值

D.∣z+√Σ-i∣的最小值为存VI

4.(2022广东汕头期中)在复平面内,等腰直角三角形OZ0以OZ2为斜边(其中。为坐标原点)，

若Z2对应的复数22=1+Ki,则直角顶点Zi对应的复数Zl=.

5.(2021浙江宁海中学月考)已知sinZ+cosUl,令S=CoS/+isint,

AS)=l+S+S2+...+Sn,l<n<2020,则所有的人5)中,虚部不为0的共有个,其中模最大的复

数是.

6.(2021江苏如皋中学月考)(1)已知关于X的实系数方程/+加计〃=0,若1+应1是方程/+〃a+〃=0

的一个复数根,求出m,n的值；

⑵己知z∈C,z+3i,E均为实数,且复数Q+αi)2在复平面内对应的点在第一象限,求实数a的取值

范围.

迁移创新

7.(2020广东中山期末)现有以下三个式子:①言;②前;③5卷6为虚数单位),某同学在解题时发

现以上三个式子的值都等于同一个常数.

(1)从三个式子中选择一个,求出这个常数；

(2)根据三个式子的结构特征及(1)的计算结果,将该同学的发现推广为一个复数恒等式,并证明

你的结论.

答案与分层梯度式解析

第12章复数

综合拔高练

五年高考练

LD利用复数除法法则得卷=高能犷震,所以虚部为宗

2.答案3

解析z=(l+i)(2-i)=2-i+2i÷1=3+i,

・•"的实部为3.

3.答案2

解析由题可得(α+2i)(l+i)=q+4i+2i+2i2=α-2+(α+2)i^〃-2=0,解得a=2.

4.D由题意知I-Z=：=-i,所以2=1+1,则5=1」,所以z+5=(l+i)+(l-i)=2,故选D.

5.A易得5=1+2i,所以z+az+b=l-2i+q(1÷2i)+⅛=tz+⅛+1+(2ɑ-2)i,

由z+应+』得/？U=。解得{：。故选A.

6.C由(1+αi)i=3+i,得-α+i=3+i,所以-a=3,即a=-3.故选C.

7.CVz=2-i,Λz=2+i,

Λz(z+i)=(2-i)(2+i+i)=(2-i)(2+2i)=4+4i-2i-2i2=6+2i.故选C.

8.C设z=0+0i(α力WR),则5=4-8i,代入2(z+z)+3(z-z)=4+6i,W4o+60i=4+6i,所以a=∖,b=∖,

故z=l+i.故选C.

9.B解法一:由题意得Z=券=缪=禺齐手=-l+∣i.

解法二:设z=α+bi(4力GR).

由(l-i)2z=3+2i得(1・i)2(〃+bi)=3+2i,

/.-2i(π+bi)=2⅛-2^i=3+2i,

.*.a=-1,⅛=∣,Λz=-1+∣i.故选B.

10.DZzL(2T*)旦d故选D.

1+21(1+21)(1-21)5

11.D由题意可得z=i(2+i)=2i+i2=-1+2i,

所以5=-l-2i.故选D.

12.B由复数的几何意义可知,z=l+2i,所以i∙z=i∙(l+2i)=∙2+i,故选B.

13.CVz=-3+2i,Λz=-3-2i,

・・・在复平面内2对应的点的坐标为(-3,-2),位于第三象限.

14.B由i∙z=3-4i可知,z=早=。Ci)=43i,故IZl=J(-4)2+(—3尸=5.故选B.

15.DVz=l+i,.∖Z2-2Z=(1+i)2-2(l+i)=1+2i+i2-2-2i=-2,Λ∣z2-2∑∣=∣-2∣=2.

16.C∙.∙Z=-+2i=(1~i)2+2i=1^2i^112i=i,.,.∖z∖=1,

l+i(l+i)(l-i)211,

故选C.

17.答案2旧

解析设复数zι=α+历,Z2=c+di(α力,c,dWR),贝!]。2+/=4,/+/=4,又∑∖+Z2=(a+c)+(b+d)i=y∕3+∖,.'.a+c=∖∕3,b+d=},

贝|」(。+。2+3+4/)2=。2+，2+/+/+24c+2bd=4,

8+24c,+2∕κ∕=4,即2ac+2bd=-4,

α-c2-22222

∣z∣-Z2∣=V()÷(ðd')=yJa+b+c+d—(2ac+2hd)=λ∕8—(―4)=2√3.

三年模拟练

1.C"."zι=i(-4+3i)=-3-4i,Z2=7+i,

.∙.西=(-3,-4),西=(7,1),

西砺=-21-4=-25,∣OZΓ∣=√(-3)2+(-4)2=5,∣OZɪ∣=√72+12=5√2,

沟•两__25_√2

/.COSZZ1OZ2=

∣OZ7∣∙∣OZ^∣-5×5√2一一2'

又ZZiOZ2∈[0,π],ΛNZIOZ2哼故选C.

2.D易知刈是汨的共飘复数,

设xi=/w+〃i(m,〃£R,〃WO),贝UX27ztn-m,

则混=(m+ni)2_(m+n»

×2m-nim2+n2

τn3+3m2ni+3τnn2i2+n3i3

m2+n2

m3-3mn23m2n-n3.

m2+n2m2+n2ɪ,

因为面是实数,所以3m2n-n3=0,

x2

又∕2≠0,所以〃2二3汴,所以Z7=±√3∕H,

故4i_m+ni_(m+ni)2_im2-n2+2mn∖

2222

x2m-nim+nm+n

-2m2±2√3m2i1,√3.

一一—±——1,

4m222

2

由于V+争）若1√3.i3_1√3.

—=——],

422

(÷争F，

所以偿）=⑶2*（心+争）（÷争）

1=1,

674

所以篇Γ=岭口3

=1.

故选D.

3.BCD选项A中,将cosα+sin]=那边平方,得l+2sinacosα二看所以2sinαcosα=-∣^,

又a∈(0,π),所以

所以cosα-sinα=∙J(cosα—Sina)2

=-√l—2cosasinα=--,

所以z=^i,故A不正确；

选项B中,当α=虫时,cosα+sina=O,cosɑ-sina=-&,则z=-√∑i,是纯虚数,故B正确；

4

选项C中,∣z∣=J(cosα+Sina)2+(coSa-Sina)2=加,是定值,故C正确；

选项DΦ,∣z+√2-i∣

=∣(coscc÷sina+V2)+(costz-sina-l)i∣

(COSa+sinα+√2)2+(CoSQ—sinα—I)2

5+2(√2—l)cosα+2(√2+I)Sina

=Jδ+2√6sin（α+口）（其中tan^=3-2√2）,

所以∣z+√∑i∣的最小值为泗-2后二8-短,故D正确.

故选BCD.

4.答案萼夸Ii或号率竽i

解析因为Z2=l+Ki,

所以0|=2,点Z2的坐标为（1,百）.

设点Zi的坐标为（xj）α,y∈R）,

则0Z1'=α,y）Z2Z1'=α-IJ-V5）.

由题意得,西，衣,I西I=孚两|=喝

x2+y2=2,

所以

,x(x-1)÷y(y-√3)=O1

l+√3l-√3

"或X=F

解得

y=竽,二l+√=3

所以复数z,=i⅛⅛或Zl=萼+萼i.

5.答案1010;2021

解析由sinr+cos/=1,得l÷2sinZcosr=l,

则sin/cosM),.∙∙『os：=,阈C*=；

则S=I或S=i,

①若s=ι,贝IJy(Sr)=I+s+s?+…+s"=几+ι,虚部为o,模为；?+1,

∕l+i,n=4k+‰

4

②若S=i,则a)=l+i+i2+i3+…+i"=1∕二1廿ΛkGN,若心)的虚部不为0,则”=软+1或H+2,即"被4

U,Tl—τ,rCI3,

<l,n=4fc÷4

除余1或余2,1到2020中共有1OlO个这样的数,所以虚部不为。的有1010个.模最大的复数是2021.

6.解析(1)由题意得(1+V∑i)2+m(1+V