线性规划企业利润最大化

线性规划企业利润最大化线性规划主要用于处置生活、消费中的资源应用、人力分配、消费布置等效果，它是一种重要的数学模型．复杂的线性规划指的是目的函数含两个自变量的线性规划，其最优解可以用数形结合方法求出。触及更多个变量的线性规划效果不能用初等方法处置。线性规划效果的难点表如今三个方面：一是将实践效果笼统为线性规划模型；二是线性约束条件和线性目的函数的几何表征；三是线性规划最优解的探求。线性规划的开展史法国数学家J.-B.-J.傅里叶和C.瓦莱－普森区分于1832和1911年独立地提出线性规划的想法，但未惹起留意。1939年苏联数学家Л.В.康托罗维奇在«消费组织与方案中的数学方法»一书中提出线性规划效果，也未惹起注重。1947年美国数学家G.B.丹齐克提出线性规划的普通数学模型和求解线性规划效果的通用方法──单纯形法，为这门学科奠定了基础。1947年美国数学家J.von诺伊曼提出对偶实际,开创了线性规划的许多新的研讨范围，扩展了它的运用范围和解题才干。1951年美国经济学家T.C.库普曼斯把线性规划运用到经济范围，为此与康托罗维奇一同获1975年诺贝尔经济学奖。50年代后对线性规划停止少量的实际研讨，并涌现出一大批新的算法。例如，1954年C.莱姆基提出对偶单纯形法，1954年S.加斯和T.萨迪等人处置了线性规划的灵敏度剖析和参数规划效果，1956年A.塔克提出互补松弛定理，1960年G.B.丹齐克和P.沃尔夫提出分解算法等。线性规划的研讨效果还直接推进了其他数学规划效果包括整数规划、随机规划和非线性规划的算法研讨。由于数字电子计算机的开展，出现了许多线性规划软件，如MPSX，OPHEIE，UMPIRE等，可以很方便地求解几千个变量的线性规划效果。1979年苏联数学家L.G.Khachian提出解线性规划效果的椭球算法，并证明它是多项式时间算法。1984年美国贝尔实验室的印度数学家N.卡马卡提出解线性规划效果的新的多项式时间算法。用这种方法求解线性规划效果在变量个数为5000时只需单纯形法所用时间的1/50。现已构成线性规划多项式算法实际。50年代后线性规划的运用范围不时扩展。随着经济的开展，关于线性规划在企业中的运用越来越普遍。林海明早在1996年就立足于较强的普及性，从经济知识的角度来认知线性规划效果的解法，初步论述这一效果；熊福力、张晓东等在2004年作了«基于利润最大化的油田开发非线性规划»一文，他们依据油田开发的实践状况，将油田和利润细分为几个局部，以取得最大利润为目的，树立了油田开发的数学模型；吴海华和王志江在«关于影子价钱作为企业资源配置依据的讨论»依据线性规划模型资源影子价钱的经济意义，讨论了在企业以支出最大化和利润最大化两种状况下，影子价钱作为企业资源配置依据时存在的效果。胡徐胜、刘娟和汪发亮在«最优控制在汽车企业利润最大化中的运用»一文中从汽车企业职工结构角度动身，研讨在企业提供职工工资总量不超越某一限定值的状况下,如何分配汽车企业中普通职工与初级职工的比例来到达完成汽车企业利润最大化的目的。随着经济社会的开展，线性规划在资源配置和企业管理方面发扬着共同的作用。在企业的各项管理活动中，例如方案、消费、运输、技术等效果，从各种限制条件的组合中，经过对实践数据的剖析处置和数学模型的树立，选择出最为合理的计算方法，树立线性规划模型从而求得最正确结果，给出了更多的决策参考信息。这也将成为未来企业消费与管理的普遍方法。不单如此，企业现如今更着重于对各种条件组合中限制条件作局部调整以到达对取得利润的一种控制，而这恰恰也是线性规划效果中灵敏度剖析所研讨的对象。本文共分为四章。在第一章，引见本文的背景和线性规划的开展状况；在第二章，引见线性规划自身和一系列相关性质效果及企业利润最大化数学模型的基础知识；在第三章，引见应用线性规划树立企业利润最大化数学模型；最后，求解模型最优解。

第2章线性规划效果本章主要引见线性规划自身和一系列相关性质效果，并相应举出一些复杂的例子更好的论述了线性规划效果。本章主要自创于胡运权、郭耀煌等编著，清华大学出版社出版的«运筹学教程〔第二版〕»的内容。2.1线性规划模型及规范型2．1．1线性效果的数学模型例1：美佳公司方案制造Ⅰ，Ⅱ两种家电产品。各制造一件时区分占用的设备A，B的台时、调试工序及每天可用于这两种家电的才干、各售出一件时的获利状况，如表1所示。问该公司应制造两种家电各多少件，使获取的利润为最大。表1项目ⅠⅡ每天可用才干设备A〔h〕0515设备B〔h〕6224调试工序〔h〕113利润〔元〕21对上例用和区分表示美佳公司制造家电Ⅰ和Ⅱ的数量。这时此例数学模型可表示为由此例可以看出，规划效果的数学形式型由三个要素组成：⑴变量，或称决策变量，是效果中要确定的未知量，它用以说明规划中的用数量表示的方案、措施，可由决策者决议和控制；⑵目的函，它是决策变量的函数，按优化目的区分在这个函数前加上或；⑶约束条件，指决策变量取值时遭到的各种资源条件的限制，通常表达为含决策变量的等式或不等式。假定线性规划效果中含个变量，区分用〔〕表示，在目的函数中的系数为〔通常称为价值系数〕，的取值受项 资源的限制，用〔〕表标第种资源的拥有量，用表示变量取值为1个单位时所消耗或含有的第种资源的数理量，通常称为技术系数或工艺系数。刚上述线性规划效果的数学模型可表示为：上述模型的简写方式为用向量方式表达时，上述模型可写为：式中；；；用矩阵和向量方式来表示可写为：称为约束方程组〔约束条件〕的系数矩阵。变量的取值普通配为非负，即；从数学意义上可以有。又假设变量表示第种产品期内产量相关于前期产量的添加值，那么的取值范围为，称取值不受约束，或无约束。2．1．1．2线性规划效果的规范方式线性规是效果的规范方式如下：规范方式的线性规划模型中，目的函数为求极大值，约束条件全为等式，约束条件右端常数项全为非负值，变量的取值全为非负值。对不契合规范方式的线笥规划效果，可区分经过以下方法化为规范方式。1〕目的函数为求极小值，即为：由于求等价于求，令，即化为：2〕约束条件的右端项时，只需将等式或不等式两端同乘〔-1〕，那么等式右端项必大于零。3〕约束条件为不等式。当约束条件为〝≤〞时，如，可令，得，显然。当约束条件为〝≥〞时，如有，可令，得，。和是新加上去的变量，取值均为非负，加到原约束条中去的变量其目的是使不等式转化为等式，其中称为松弛变量，普通配称为剩余变量，但也有称松弛变量的。松弛变量或剩余变量在实践效果中区分表示未被充沛应用的资源和超出的资源数，均未转化为价值和利润，所以引进模型后它们在目的函数中的系数均为零。4〕取值无约束的变量是。假设变量代表某产品当年方案数与上一年方案数之差，显然的以值能够是正也能够是负，这时可令，其中，，将其代入线性规划模型即可。5〕对的状况，令，显然。2．2线性规划模型的求解2．2．1线性规划效果的基与解①②③线性有关：关于n维空间的一组向量，假定数域F中有一组不全为0的数〔〕，使成立，那么称这组向量在F上线性相关。否那么称这组向量在F上线性有关。秩：设A是m×n矩阵。假定A的n个列向量中有r个线性有关〔〕，而一切个数大于r的列向量组都线性相关，那么称数r为矩阵A的列秩。相似可定久矩阵A的行秩。矩阵A的列秩与行秩一定相等，它也称为矩阵A的秩。基：A是约束条件的m×n系数矩阵，其秩为m。假定B是A中m×m非奇特子矩阵〔即可逆矩阵，有〕，那么称B是线性规划效果的一个基，B是由A中m个线性有关的系数列向量组成的。基向量：B中一列〔共m个〕→基变量非基向量：B外〔A中〕一列〔共n－m个〕→非基变量可行解：满足①、②的解最优解：满足③的可行解基本解：令一切非基变量=0，求出的满足①的解基本可行解：满足②的基本解最优基本可行解：满足③的基本可行解基本解退步的基本解：有基变量=0的基本解退步的基本可行解退步的最优化基本可行解2．2．2线性规划的图解法适于求解二维效果不用化为规范型2．2．1．1图解法步骤例2：1〕由全部约束条件作图求出可行域2〕作出一条目的函数的等值线3〕平移目的函数等值线，作图得最优点，再算出最优值图1最优点Q：；最优值Z：.2．2．1．2从图解法看线性规划效果解的几种状况1〕有独一最优解〔普通状况〕2〕有无量多组最优解〔平行；最优值相反〕对例2，修正为：无可行解〔可行域空集〕对例2，添加一个约束条件：无有限最优解〔无界域；取决于求还是？〕对例2，去掉第一个约束条件线性规划的可行域为凸集，特殊状况下为无界域〔有有限个顶点〕或空集。线性规划假定有最优解，一定可在可行域顶点上失掉。2．2．3单纯形法2．2．3．1单纯形法迭代原理1〕确定初始基可行解①当线性规划效果的一切约束条件均为≤号是，松弛变量对应的系数矩阵即为单位矩阵，以松弛变量为基变量可确定基可行解。②对约束条件含≥或＝号时，可结构人工基，人为发生一个单位矩阵，用大法或两阶段法取得初始基可行解。2〕最优性检验与解的判别〔目的函数极大型〕①当一切变量对应的检验数均非正时，现有的基可行解即为最优解。假定存在某个非基变量的检验数为零时，线性规划效果有无量多最优解；当一切非基变量的检验数均严厉小于零时，线性规划效果具有独一最优解。②假定存在某个非基变量的检验数大于零，而该非基变量对应的系数均非正，那么该线性规划效果具有无界解〔无最优解〕。③当存在某些非变量的检验数大于零，需求找个一个新的基可行解，即要停止基变换。2．2．3．2单纯形法迭代步骤1〕求出初始可行解，列出初始单纯形表。设～为基变量，～为非基变量基100001002〕计算检验数停止最优性检验。假定已取得最优解〔或确定无最优解〕，那么中止；否那么停止下一步。3〕换基。依据的原那么，确定为换入变量，计算〔〕，按规那么，确定为换出变量。4〕经过初等行变换将系数矩阵中变量对应列变换为第个元素为1的单位列向量，用代为新的基变量，列出新的单纯形表，回到第二步骤。例3：用单纯形法求解线性规划效果解先将上述效果化成规范方式有其约束条件系数矩阵的增广矩阵为是单位矩阵，构成一个基，对应变量是基变量。令非基变量等于零，即找到一个初始基可行解以此列出初始单纯形表记作表2如下：表221000基01505100024[6]2010051100121000因表中有大于零的检验数，故表中基可行解不是最优解。因，故确定为换入变量。将列除以的同行数字得，由此6为主元素，作为标志对主元素6加上方括号[]，主元素所内行基变量为换出量。用交流基变量，失掉一个新的基，按上述单纯形法计算步骤第三步，可以找到新的基可行解，并列出新的单纯形表，记作表3如下：表321000基015051002412/601/60010[4/6]0-1/6101/30-1/30由于上表中还存在大于零的检验数，故重复上述步骤得下表，记作表4：表421000基015/20015/4-15/227/21001/4-1/213/2010-1/43/2000-1/4-1/2上表中一切，且基变量中不含人工变量，故表中的基可行解为最优解，代入目的函数得。2．2．3对偶单纯形法2．2．3．1单纯形法计算的矩阵描画对称方式线性规划效果的矩阵表达式加上松弛变量后为：(1)上式中为松弛变量，，为单位矩阵。单纯形法计算时，总选取为初始基，对应基变量为。设迭代假定干步后，基变量为，在初始单纯形表中的系数矩阵为。将在初始单纯形表中独自列出，而中去掉后的假定干列后剩下的列组成矩阵，这样(1)的初始单纯形表可列成如表5的方式。表5项目非基变量基变量00当迭代假定干步，基变量为时，那么该步的单纯形表中由系数组成的矩阵为。又因单纯形法的迭代是对约束增广矩阵停止的行的初等变换，对应的系数矩阵在新表中应为。故当基变量为时，新的单纯形表具有表6方式。表6项目基变量非基变量10从表5和表6看出，当迭代后基变量为时，其在初始单纯形表中的系数矩阵为，那么有：1〕对应初始单纯形表中的单位矩阵，迭代后的单纯形表中为；2〕初始单纯形表中基变量,，迭代后的表中；3〕初始单纯形表中约束系数矩阵为[，]＝[，，]，迭代后的表中约束系数矩阵为[，]＝[，，]＝[，，]。4〕假定初始矩阵中变量的系数向量为迭代后为，那么有 〔2〕5〕当为最优解时，在表6中应有〔3〕〔4〕因的检验数可写为〔5〕故(3)～(5)式可重写为〔6〕〔7〕称为单纯乘子，假定令那么〔6〕、〔7〕式可改写为〔8〕2．2．3．2对偶效果的基本性质1〕弱对偶性。假设是原效果的可行解，是其对偶效果的可行解，那么恒有由弱对偶性，可得出以下推论：①原效果任一可行解的目的函数值是其对偶效果目的函数值的下界；反之对偶效果任一可行解的目的函数值是其原效果目的函数值的上界。②如原效果有可行解且目的函数值无界(具有无界解)，那么其对偶效果无可行解；反之对偶效果有可行解且目的函数值无界，那么其原效果无可行解(留意：本点性质的逆不成立，当对偶效果无可行解时，其原效果或具有无界解或无可行解，反之亦然)。③假定原效果有可行解而其对偶效果无可行解，那么原效果目的函数值无界；反之对偶效果有可行解而其原效果无可行解，那么对偶效果的目的函数值无界。2〕最优性。假设是原效果的可行解,是其对偶效果的可行解，且有那么是原效果的最优解，是对偶效果的最优解。3〕强对偶性(或称对偶定理)。假定原效果及其对偶效果均具有可行解，那么两者均具有最优解，且它们最优解的目的函数值相等。4〕互补松弛性。在线性规划效果的最优解中，假设对应某一约束条件的对偶变量值为非零，那么该约束条件取严厉等式；反之假设约束条件取严厉不等式，那么其对应的对偶变量一定为零。也即假定，那么有，即，假定，即，那么有，因此一定有。将互补松弛性质运用于其对偶效果时可以这样表达：假设有，那么；假设有,那么。2．2．3．3对偶单纯形法的基本思绪求解线性规划的单纯形法的思绪是：对原效果的一个基可行解，判别能否一切检验数。假定是，又基变量中无非零人工变量，即找到了效果最优解；假定为否，再找出相邻的目的函数值更大的基可行解，并继续判别，只需最优解存在，就不时循环停止到找出最优解为止。依据对偶效果的性质，由于，当，即有或，也即其对偶效果的解为可行解，由此原效果和对偶效果均为最优解。反之，假设存在一个对偶效果的可行基，即对，有或，这时只需有，即原效果的解也为可行解，即两者均为最优解。否那么坚持对偶效果为可行解，找出原效果的相邻基本解，判别能否有，循环停止，不时使原效果也为可行解，从而两者均为最优解。对偶单纯形法的基本思绪：先找出一个对偶效果的可行基，并坚持对偶效果为可行解条件下，如不存在，经过变换到一个相邻的目的函数值较小的基本解(因对偶效果是求目的函数极小化)，并循环停止，不时到原效果也为可行解(即)，这时对偶效果与原效果均为可行解。2．2．3．4对偶单纯形法的计算步骤设某规范方式的线性规划效果〔10〕存在一个对偶效果的可行基，无妨设，列出单纯形表〔见表7〕。表7基100010001000表7中必需有，的值不要求为正。当对，有时，即表中原效果和对偶效果均为最优解。否那么，经过变换一个基变量，找出原效果的一个目的函数值较小的相邻基本解。1〕确定换出基的变量由于总存在＜0的，令，其对应变量为换出基的变量。2〕确定换入基的变量①为了使下一个表中第行基变量为正值，因此只要对应的非基变量才可以思索作为换入基的变量。②为了使下一个表中对偶效果的解仍为可行解，令〔11〕称为主元素，为换入基的变量。设下一个表中的检验数为，由式〔12〕分两种状况说明满足〔11〕式来选取主元素时，式〔12〕中〔对〕。〔a〕对，因故，又因主元素，故，由此式〔12〕方括弧内的值≤0，故有。〔b〕对，因，故有。3〕用换入变量交流换出变量，失掉一个新的基。对新的基再反省能否一切。如是，找到了两者的最优解，如为否，回到第1步再循环停止。由于由对偶效果的基本性质知，当对偶效果有可行解时，原效果能够有可行解，也能够无可行解。对出现后一种状况的判别准那么是：对，而对一切有。由于这种状况，假定把表中第行的约束方程列出有〔13〕因，又，故不能够存在的解。故原效果无可行解，这时对偶效果的目的函数值无界。

第三章线性规划中灵敏度剖析3．1含义和研讨对象3．1．1什么是灵敏度剖析？是指研讨线性规划模型的某些参数〔〕或限制量〔，约束条件〕的变化对最优解的影响及其水平的剖析进程〈也称为优化后剖析〉。3．1．2灵敏度剖析的研讨对象目的函数的系数变化对最优解的影响；约束方程右端系数变化对最优解的影响；约束方程组系数矩阵变化对最优解的影响；综合表达在两个效果上：这些系数在什么范围内发作变化时，最优解不变？系数变化超出上述范围，如何用最简便的方法求出新的最优解？3．2停止灵敏度剖析的基本原那么①在最终单纯形表的基础上停止。②尽量增加附加的计算任务量。3．3灵敏度剖析的步骤1〕将参数的改动经过计算反映到最终单纯形表下去；2〕反省能否仍为原效果的可行解；3〕反省能否仍为对偶效果的可行解；4〕依据表8所列状况决议继续计算或失掉结论。表8原效果对偶效果结论或继续计算的步骤可行解可行解效果的最优解或最优基不变可行解非可行解用单纯形法继续迭代求最优解非可行解可行解用对偶单纯形法继续迭代求最优解非可行解非可行解引进人工变量，编制新的单纯形表重新计算3．4灵敏度剖析的主要内容3．4．1剖析的变化线性规划目的函数中变量系数的变化仅仅影响到检验数的变化.所以将的变化直接反映到最终单纯形表中,只能够出现如表8中的前两种状况.下面举例说明。例3在例1的美佳公司例子中，〔1〕假定加电Ⅰ的利润降至1.5元/件，而家电Ⅱ的利润增至2元/件时，美佳公司最优消费方案有何变化；〔2〕假定加电Ⅰ的利润不变，那么加电Ⅱ的利润在什么范围内变化时，那么该公司的最优消费方案将不发作变化。解〔1〕将家电Ⅰ，Ⅱ的利润变化直接反映到最终单纯形表〔表4〕中得表9。表91.52000基015/2001[5/4]-15/21.57/21001/4-1/223/2010-1/43/20001/8-9/4因变量的检验数大于零，故需继续用单纯形法迭代计算得表10。表10基06004/51-61.5210-1/50123011/50000-1/100-3/2即美佳公司随加电Ⅰ，Ⅱ的利润变化应调整为消费Ⅰ2件，Ⅱ3件。〔2〕设家电Ⅱ的利润为〔〕元，反映到最终单纯形表中，得表11。表11项目2000基015/20015/4-15/227/21001/4-1/23/2010-1/43/2000为使表11中的解仍为最优解，应有,解得即加电Ⅱ的利润的变化范围应满足3．4．2剖析的变化右端项的变化在实践效果中反映为可用资源数量的变化。由式看出变化反映到最终单纯形表上将惹起列数字的变化，在表8中能够出现第一或第三的两种状况。出现第一种状况时，效果的最优基不变，变化后的列值为最优解。出现第三种状况时，用对偶单纯形法迭代继续找出最优解。例421000基035/20015/4-15/2211/21001/4-1/21-1/2010[-1/4]3/2000-1/4-1/2因表12中原效果为非可行解，故用对偶单纯形法继续计算得表13。表1321000基015051002511001020-401-60-100-2由此美佳公司的最优方案改为只消费加电Ⅰ5件。〔2〕设调试工序每天可用才干为〔〕小时，因有事先效果的最优基不变，解得。由此调试工序的才干应在4小时～6小时之间。3．4．3添加一个变量的剖析添加一个变量在实践效果中反映为添加一种新的产品。其剖析步骤为：1〕计算2〕计算3〕假定，原最优解不变，只需将计算失掉的和直接写入最终单纯形表中；假定，那么按单纯形法继续迭代计算找出最优。例5在美佳公司例子中，设该公司又方案推出新型号的家电Ⅲ，消费一件所需设备、及调试工序的时间区分为3小时、4小时、2小时，该产品的预期盈利为3元／件，试剖析该种产品能否值得投产；如投产，对该公司的最优消费方案有何变化。解设该公司消费家电Ⅲ件，有，。将其反映到最终单纯形表〔表4〕中得表14。表14210003基015/20015/4-15/2-727/21001/4-1/2013/2010-1/43/2[2]000-1/4-1/21因，故用单纯形表继续迭代计算得表15。表15210003基b051/407/213/8-9/4027/21001/4-1/2033/401/20-1/83/410-1/20-1/8-5/40由表15，美佳公司新的最优消费方案应为每天消费件家电I，件家电Ⅲ。3．4．4剖析参数的变化的变化使线性规划的约束系数矩阵发作变化。假定变量在最终单纯形表中为非基变量，其约束条件中系数的变化剖析步骤可参照本节之三，假定变量在最终单纯形表中为基变量，那么的变化将使相应的和发作变化，因此有能够出现原效果和对偶效果均为非可行解的状况。出现这种状况时，需引进人工变量将原效果的解转化为可行解，再用单纯形法求解，下面举例说明。例6在美佳公司的例子中，假定家电Ⅱ每件需设备，，和调试工时变为8小时、4小时、1小时，该产品的利润变为3元／件，试重新确定该公司最优消费方案。解先将消费工时变化后的新家电Ⅱ看作是一种新产品，消费量为，仿本节三的步骤直接计算和并反映到最终单纯形表中。其中：将其反映到最终单纯形表(表4)中得表16。表16213000基015/20011/215/4-15/227/2101/201/4-1/213/201[1/2]0-1/43/2003/20-1/4-1/2因已变换为，故用单纯形法将交流出基变量中的，并在下一个表中不再保管，得表17。表1723000基0-90014-24221001/2-233010-1/230001/2-5表17中原效果与对偶效果均为非可行解，故先设法使原效果变为可行解。表17第1行的约束可写为〔14〕式〔14〕两端乘以〔-1〕，再加上人工变量得〔15〕将式〔15〕交流表17的第l行得表18。表1823000基900-1-4[24]1221001/2-2033010-1/230000因对偶效果为非可行解，用单纯形法计算得表19。表1923000基03/800-1/24-1/611/24211/410-1/121/601/12315/8011/800-1/800-5/24-1/30由表19知，美佳公司的最优消费方案为每天消费件家电Ⅰ，件新家电Ⅱ。3．4．5添加一个约束条件的剖析添加一个约束条件在实践效果中相当增添一道工序。剖析的方法是先将原效果最优解的变量值代入新增的约束条件，如满足，说明新增的约束未起到限制造用，原最优解不变。否那么，将新增的约束直接反映到最终单纯形表中再进一步剖析。例7仍以美佳公司为例，设家电Ⅰ，Ⅱ经调试后，还需经过一道环境实验工序。家电Ⅰ每件须环境实验3小时，家电Ⅱ每件2小时，又环境实验工序每天消费才干为12小时.试剖析添加该工序后的美佳公司最优消费方案。解先将原效果的最优解,代入环境实验工序的约束条件。因，故原效果最优解不是本例的最优解。在实验工序的约束条件中加松弛变量得〔16〕以为基变量，将式(16)反映到最终单纯形表(表4)中得表20。表20210000基015/20015/4-15/20①27/21001/4-1/20②13/2010-1/43/20③012320001④000-1/4-1/20上表中、列不是单位向量，故需停止变换，得表21。表21中第①’，②’，③’行同原表第①②③行，表中第④’行由以下初等变换失掉④’=④－3×②－2×③。表21210000基015/20015/4-15/20①’27/21001/4-1/20②’13/2010-1/43/20③’0-3/2000-1/4[-3/2]1④’000-1/4-1/20因表21中对偶效果为可行解，原效果为非可行解，故用对偶单纯形法迭代计算得表22表22210000基0150015/20-5241001/30-1/310010-1/201010001/61-2/3000-1/60-1/3由表22知，添加环境实验工序后，美佳公司的最优消费方案为只消费4件家电Ⅰ。3．5灵敏度剖析的运用1〕投入产出法中灵敏度剖析可以用来研讨采取某一项严重经济政策后将会对国民经济的各个部门发生怎样的影响。例如，美国政府曾经应用投入产出表研讨了提高职工工资10％对国民经济各部门商品价钱的影响。研讨的结果说明，在职工工资添加10％时，修建业产品的价钱将下跌7％，农产品的价钱将下跌1.3％，其他各部门产品价钱将下跌1.3～7％不等,生活费用将上升3.8％，职工的实践得益为6.2％。2〕方案评价中灵敏度剖析可以用来确定评价条件发作变化时备选方案的价值能否会发作变化或变化多少。例如，在应用评价表停止评价时，需求确定每一个分目的的权重系数和各分目的的评分数。这中间或多或少地会存在当事人的客观看法，不同的人能够会有一模一样的价值观念。因此就必需思索当分配的权重系数或评分数在某一个范围内变化时，评价的结果将会发生怎样的变化。3〕定货批量的灵敏度剖析在剖析整批距离进货模型中，经济订货批量可用下式计算：式中为单位时间需求量，为每次订货的固定费用，为单位时间内每单位物资的保管费。它们普通都是依据统计资料预算的，与实践状况有所出入，需求停止灵敏度剖析。用，，和区分表示实践的需求量、订货量、保管费和调整后的经济订货批量。，,和区分代表需求量、订货量、保管费和经济订货批量的相对变化值，即：经过计算后可得代入详细的数值后便可用上式说明,和对订货批量的综合影响水平。

第四章应用线性规划树立企业利润最大化数学模型企业管理是一种典型的复杂系统，应用模型描画这类系统是一件十分困难的任务，为此建模和求解进程中对研讨对象做出一些简化是十分必要的，这也各类线性模型遭到注重和普遍运用的缘由之一，虽然经济系统是十分复杂的，但运用线性模型依然可以描画和处置少量的实践效果。本章就企业运营管理中的目的利润最大化和目的本钱最小化效果数学模型的结构作了引见，并举出一些相应的例子论述这一效果。4．1企业利润最大化原那么厂商从事消费或出售商品的目的是为了赚取利润。假设总收益大于总本钱，就会有剩余，这个剩余就是利润。值得留意的是，这里讲的利润，不包括正常利润，正常利润包括在总本钱中，这里讲的利润是指超额利润。假设总收益等于总本钱，厂商不亏不赚，只取得正常利润，假设总收益小于总本钱，厂商便要发作盈余。厂商从事消费或出售商品不只要求获取利润，而且要求获取最大利润，厂商利润最大化原那么就是产量的边沿收益等于边沿本钱的原那么。边沿收益是最后添加一单位销售量所添加的收益，边沿本钱是最后添加一单位产量所添加的本钱。假设最后添加一单位产量的边沿收益大于边沿本钱，就意味着添加产量可以添加总利润，于是厂商会继续添加产量，以完成最大利润目的。假设最后添加一单位产量的边沿收益小于边沿本钱，那就意味着添加产量不只不能添加利润，反而会发作盈余，这时厂商为了完成最大利润目的，就不会添加产量而会增加产量。只要在边沿收益等于边沿本钱时，厂商的总利润才干到达极大值。所以成为利润极大化的条件，这一利润极大化条件适用于一切类型的市场结构。4．2利润最大化模型4．2．1效果提出：某工厂用甲，乙两种原料消费A，B，C，D四种产品，每种产品的利润现有原料数量及每种产品消耗原料的定额如下表：每万件产品所用原料〔KG〕ABCD现有原料〔KG〕甲3210418乙0020.53每件产品利润985019问应怎样组织消费才干使总利润最大？假设产品A的价钱有动摇问动摇应限制在什么范围内，才干使原最优解不变？4．2．2效果剖析：这个效果的目的是在满足条件的状况下，使得工厂就消费出的产品取得的总利润最大，所要做的决策是组织消费的方案，即工厂区分要消费多少数量的A，B，C，D四种产品。决策主要遭到2个条件的限制：原料甲的数量、原料乙的数量。4．2．3模型树立：4．2．3．1决策变量组织消费A、B、C、D四种产品的数量区分记作〔单位万件〕4．2．3．2目的函数记工厂就消费出的产品取得的总利润为,产品A、B、C、D每件利润区分是9元、8元、50元、19元，故。4．2．3．3约束条件消费四种产品所消耗的原料甲不超越现量18KG，即。消费四种产品所消耗的原料乙不超越现量3KG，即。当然还有非负实数约束，为非负实数。综上可得：为非负实数。这就是该效果的基本模型，由于目的函数和约束条件均为线性且决策变量是延续的非负实数，所以这是一个纯线性规划模型〔LP〕。4．2．4模型求解原效果普通方式转化为规范形：应用单纯形法可得其最优解基对应单纯形表如下98501900基19224/3012/3-10/3501-1/2-1/310-1/64/3-4-2/300-13/3-10/3从上表我们得出最优解是消费1万件产品C，消费2万件产品D，不消费A，B两种产品问可得最大总利润为88万元。讨论：1〕现假定上题的工厂要引进新产品E，消费E产品1万件要消耗资料甲3KG，资料乙1KG，问E的利润应为多少时，投入才有利？解：设消费E产品万件，1万件产品E的利润是万元。那么原效果的数学模型变为：规范化后变为由于是原题规范型的一个最优解，那么是这个新效果的一个可行解。事先，即也就是时，E的投入才有利。.下面讨论该变化的最优解。假定，那么失掉对应的单纯形表如下：9850190017基19224/3012/3-10/3-4/3501-1/2-1/310-1/64/35/6-4-2/300-13/3-10/32/3上表中，所以不是最优解。运用单纯形法停止换基迭代得新基对应的单纯形表如下：9850190017基1918/56/54/58/512/5-6/50176/5-3/5-2/56/50-1/58/51-18/5-2/5-4/50-21/5-22/50那么最优解为对应的目的函数值为即当每万件新产品E的利润为17万元时，应消费品18/5万件产品D，6/5万件产品E，不消费A，B，C，这时可得最大总利润万元，比原最优方案添加利润4/5万元。2〕假设原效果中产品的利润发作改动，即模型目的函数中变量系数变化时，又会给最优解形成怎样样的影响。由原题的最优解知：现假定目的函数中有改动，令那么对应的单纯形表：8501900基19224/3012/3-10/3501-1/2-1/310-1/64/3-2/300-13/3-10/3假设要原最优解不变，依据最优判别准那么，应有即又于是即事先，原效果的最优解依然是新效果的最优解，最大总利润仍为88万元。当每万件产品A的利润超越13万元，即时，那么，原优解已不是最优的，用单纯形法停止换基迭代，可得新基对应的单纯形表如下表：8501900基112/301/21/3-5/3503/20011/401/200假设使为最优基，应有得即事先最优解变是对应的目的函数值为：即因此，每万件产品A的价钱在13-15万之间变化时，原最优消费方案应改动为消费1万件产品A，消费1.5万件产品C，这时最大总利润在88-90万元之间。3〕我们再来讨论原料限制发作改动的状况，例如：假定有变化时，令。由于得改动与最优判别准那么有关，只影响最优基B，对应的单纯形表中能否非负。假设非负，那么B仍为最优基。因此，当变化时，假设原来的所得的基仍为最优基，应有。此时：解方程组那么①时，原来的基仍为最优基，但是最优解和目的函数最优解都是的函数。此时，最优方案为消费万件D，万件C，可得最大总利润万元②〔或〕时，由对偶单纯形法失掉对应单纯形表：98501900基19600410283/21-301/2-4-30-20-4-6要使成为新的最优基，应有：，即或时新失掉的基变为最优基：对应的目的函数值为：例如：资料甲的限用量为50KG〔即〕时，资料乙的限用量不变时，就应该消费13万件产品B，6万件产品D，这时最大额利润为218万元。③事先时，上表中，相似前面剖析。4〕最后假设模型又有新的约束条件出现时，如今假定原题中的这个工厂又添加用电不能超越8KW的限制，而消费A，B，C，D四种产品各一万件区分需求用电4KW，3KW，5KW，2KW，问能否需求改动原来的最优方案。此时，原效果的数学模型变为：先将原效果的最优解代入用电限制的约束条件。因，故原效果最优解不是如今效果的最优解。规范化后：对应的单纯形表：985019000基19224/3012/3-10/30501-1/2-1/310-1/64/30084352001-4-2/300-13/3-10/30经过初等变换后985019000基19224/3012/3-10/30501-1/2-1/310-1/64/300-15/2200-1/201-4-2/300-13/3-10/30由于表中对偶效果为可行解，原效果为非可行解，所以运用对偶单纯形方法，以为轴心项停止换基迭代得：985019000基192/316/34010-10/34/3504/3-4/3-11004/3-1/302-5-40010-2-77/3-18000-10/3-26/3即添加新约束条件之后，最优方案消费产品D为万件，消费产品C为万件，可得总利润万元。4．3本钱最小化模型4．3．1效果提出

结论与展望局限性；1．线性规划它是以价钱不变和技术不变