浙江省湖州市南浔区重点名校2022年中考数学押题卷含解析

2021-2022中考数学模拟试卷

考生须知：

1.全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色

字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2.请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1.如图所示，数轴上两点A,B分别表示实数a,b,则下列四个数中最大的一个数是（）

―T।►

-101

11

A.aB.bC.-D.-

ab

2.为了解某班学生每周做家务劳动的时间，某综合实践活动小组对该班9名学生进行了调查，有关数据如下表.则这

9名学生每周做家务劳动的时间的众数及中位数分别是（）

每周做家务的时间（小时）01234

人数（人）22311

A.3,2.5B.1,2C.3,3D.2,2

3.如图是二次函数y=ax2+bx+c的图象，对于下列说法：①ac>0,②2a+b>0,③4acVb2,④a+b+cVO,⑤当x>0

时，y随x的增大而减小，其中正确的是（）

A.①②③B.①②④C.②③④D.③④⑤

4.如图，四边形ABCD内接于。O,AB为OO的直径，点C为弧BD的中点，若NDAB=50。，则NABC的大小是

（）

C

A

A.55°B.60°C.65°D.70°

关于四条弧①、②、③、④有四种说法:

弧①是以O为圆心,任意长为半径所

画的弧；弧②是以P为圆心，任意长为半径所画的弧；弧③是以A为圆心，任意长为半径所画的弧；弧④是以P为圆

心，任意长为半径所画的弧：

其中正确说法的个数为（）

A.4B.3C.2D.1

6.一个不透明的布袋里装有7个只有颜色不同的球，其中3个红球，4个白球，从布袋中随机摸出一个球，摸出的球

是红球的概率是（）

7.从边长为。的大正方形纸板中挖去一个边长为人的小正方形纸板后，将其裁成四个相同的等腰梯形（如图甲），然

后拼成一个平行四边形（如图乙）。那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证成立的公式为（）

B.G+/?)2=Q24-2ab+b2

C.(a-b)2=Q2-2ab+b^Q22=(a+b)(a-b)

8.如图，在等腰直角三角形ABC中,ZC=90°,D为BC的中点，将△ABC折叠，使点A与点D重合，EF为折痕,

则sinZBED的值是（）

5

D.

7

9.如图，网格中的每个小正方形的边长是1,点M,N,。均为格点，点N在。。上，若过点M作。。的一条切线

MK,切点为K,则MK=（)

D.734

10.如图，先锋村准备在坡角为a的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为5米,那么这两树在坡面上的距离AB

为（）

5

A.5sinaC.5cosa

cosa

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

11.a、b、c是实数，点A（a+1、b）、B（a+2,c）在二次函数y=x2-2ax+3的图象上，则b、c的大小关系是bc

（用或“〈”号填空）

12.抛物线>=根%2+2帆%+1（加为非零实数）的顶点坐标为.

13.规定：a®b-（.a+b）b,如：2<8）3=（2+3）x3=15,若2<8）x=3,则

14.以矩形ABCD两条对角线的交点O为坐标原点，以平行于两边的方向为坐标轴，建立如图所示的平面直角坐标

系，BE1AC,垂足为E.若双曲线y/（x>0）经过点D,则OB・BE的值为.

15.如图，CB=CA,/ACB=90。，点D在边BC上（与B、C不重合），四边形ADEF为正方形，过点F作FGJ_CA,

交CA的延长线于点G,连接FB,交DE于点Q,给出以下结论:①AC=FG；②"FAB：S“CBFG=1：2；③/ABC=NABF；

④AD2=FQ・AC,其中正确的结论的个数是.

16.我国古代数学著作《九章算术》卷七有下列问题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四.问人数、物价

几何？”意思是：现在有几个人共同出钱去买件物品，如果每人出8钱，则剩余3钱；如果每人出7钱，则差4钱.问

有多少人，物品的价格是多少？设有工人，则可列方程为.

三、解答题（共8题，共72分）

17.（8分）如图，已知点E,F分别是nABCD的边BC,AD上的中点，且/BAC=90。.

（1）求证：四边形AECF是菱形；

（2）若/B=30。，BC=10,求菱形AECF面积.

18.（8分）某超市销售一种商品，成本每千克40元，规定每千克售价不低于成本，且不高于8（）元.经市场调查，每

天的销售量y（千克）与每千克售价x（元）满足一次函数关系，部分数据如下表：

售价x/（元/千克）506070

销售量y/千克1008060

（1）求y与x之间的函数表达式；设商品每天的总利润为W（元），求W与x之间的函数表达式（利润=收入一成本）；

试说明（2）中总利润W随售价x的变化而变化的情况，并指出售价为多少时获得最大利润，最大利润是多少？

19.（8分）如图有A、B两个大小均匀的转盘，其中A转盘被分成3等份，B转盘被分成4等份，并在每一份内标上

数字.小明和小红同时各转动其中一个转盘，转盘停止后（当指针指在边界线时视为无效，重转），若将A转盘指针

指向的数字记作一次函数表达式中的k,将B转盘指针指向的数字记作一次函数表达式中的b.请用列表或画树状图

的方法写出所有的可能；求一次函数y=kx+b的图象经过一、二、四象限的概率.

20.（8分）小强想知道湖中两个小亭A、B之间的距离，他在与小亭A、B位于同一水平面且东西走向

的湖边小道I上某一观测点M处，测得亭A在点M的北偏东30°,亭B在点M的北偏东60°,当小明由

点M沿小道I向东走60米时，到达点N处，此时测得亭A恰好位于点N的正北方向，继续向东走30

米时到达点Q处，此时亭B恰好位于点Q的正北方向，根据以上测量数据，请你帮助小强计算湖中两个

小亭A、B之间的距离.

1k

21.（8分）如图'直角坐标系中‘直线>=与反比例函数y的图象交于4,5两点，已知A点的纵坐标是

（1）求反比例函数的解析式.

1

（2）将直线y=一,x沿X轴向右平移6个单位后，与反比例函数在第二象限内交于点C.动点尸在y轴正半轴上运动,

当线段PA与线段PC之差达到最大时，求点P的坐标.

z/2_n2a+b/7。-28二-4

22.（10分）先化简，再求值：一，，+一.其中，a、b满足

a2-2ab+b2a-ba+bQ+2b=8

23.（12分）在tuABCD中，E为BC边上一点，且AB=AE,求证：AC=DE»

24.已知抛物线y=ax2+（3b+l）x+b-3（。>0）,若存在实数”，，使得点尸（，”，〃?）在该抛物线上，我们称点「（，”,

，〃）是这个抛物线上的一个“和谐点

（1）当a=2,6=1时,求该抛物线的“和谐点”;

（2）若对于任意实数人抛物线上恒有两个不同的“和谐点”4、B.

①求实数a的取值范围；

②若点45关于直线产一…/1）对称，求实数，的最小值.

参考答案

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1、D

【解析】

•.•负数小于正数，在（0,1）上的实数的倒数比实数本身大.

11

A-<a<b<-，

ab

故选D.

2、D

【解析】

试题解析：表中数据为从小到大排列.数据1小时出现了三次最多为众数；1处在第5位为中位数.

所以本题这组数据的中位数是1,众数是L

故选D.

考点：1.众数；1.中位数.

3、C

【解析】

根据二次函数的图象与性质即可求出答案.

【详解】

解：①由图象可知：a>0,c<0,

•,.ac<0,故①错误；

②由于对称轴可知：-[<1，

2a

.*.2a+b>0,故②正确；

③由于抛物线与x轴有两个交点，

.,.△=b2-4ac>0,故③正确；

④由图象可知：x=l时,y=a+b+c<0,

故④正确；

⑤当x>-£时，y随着x的增大而增大，故⑤错误;

2a

故选：C.

【点睛】

本题考查二次函数，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，本题属于基础题型.

4、C

【解析】

连接OC,因为点C为弧BD的中点，所以/BOC=/DAB=50。，因为OC=OB,所以NABC=/OCB=65。，故选C.

【解析】

根据基本作图的方法即可得到结论.

【详解】

解：(1)弧①是以O为圆心，任意长为半径所画的弧，正确；

(2)弧②是以P为圆心，大于点P到直线的距离为半径所画的弧，错误;

1

(3)弧③是以A为圆心，大于］AB的长为半径所画的弧，错误；

(4)弧④是以P为圆心，任意长为半径所画的弧，正确.

故选C.

【点睛】

此题主要考查了基本作图，解决问题的关键是掌握基本作图的方法.

6、B

【解析】

3

袋中一共7个球，摸到的球有7种可能，而且机会均等，其中有3个红球，因此摸到红球的概率为亍，故选B.

7、D

【解析】

分别根据正方形及平行四边形的面积公式求得甲、乙中阴影部分的面积，从而得到可以验证成立的公式.

【详解】

阴影部分的面积相等，即甲的面积=a2-b2,乙的面积=(a+b)(a-b).

即：a2-b2=(a+b)(a-b).

所以验证成立的公式为：a2-b2=(a+b)(a-b).

故选：D.

【点睛】

考点：等腰梯形的性质；平方差公式的几何背景；平行四边形的性质.

8、A

【解析】

VADEF是^AEF翻折而成，

/.△DEF^AAEF,ZA=ZEDF,

VAABC是等腰直角三角形，

ZEDF=45°,由三角形外角性质得NCDF+45o=/BED+45。，

/.ZBED=ZCDF,

设CD=I,CF=x,贝IJCA=CB=2,

.,.DF=FA=2-x,

...在RtACDF中，由勾股定理得，CF2+CD2=DF2,即X2+1=(2-X)2,

3

解得x=—,

4

CF3

.\sinZBED=sinZCDF=—=-.

DF5

故选：A.

9、B

【解析】

以。M为直径作圆交。。于A,利用圆周角定理得到NMKO=90。.从而得到KMJ_OK,进而利用勾股定理求解.

【详解】

如图所示：

M

MK=.2+42=2©

故选：B.

【点睛】

考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径.若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直

关系.

10、D

【解析】

利用所给的角的余弦值求解即可.

【详解】

BC5

；5C=5米，ZCBA=Za,：.AB=-------=-------.

COHO.COSOL

【点睛】

本题主要考查学生对坡度、坡角的理解及运用.

二、填空题(本大题共6个小题，每小题3分，共18分)

11、<

【解析】

试题分析：将二次函数y=x2—2ax+3转换成y=(x-a)2®+3,则它的对称轴是x=a,抛物线开口向上，所以在对称轴右

边y随着x的增大而增大，点A点B均在对称轴右边且a+l<a+2,所以b<c.

12、(-1,1-m)

【解析】

【分析】将抛物线的解析式由一般式化为顶点式，即可得到顶点坐标.

【详解】y=mx2+2mx+l

=m(x2+2x)+l

=m(x2+2x+l-l)+l

=m(x+l)2+l-m,

所以抛物线的顶点坐标为(-1,1-m),

故答案为(-1,1-m).

【点睛】本题考查了抛物线的顶点坐标，把抛物线的解析式转化为顶点式是解题的关键.

13、1或」

【解析】

根据a(gb=(a+b)b,列出关于x的方程(2+x)x=l,解方程即可.

【详解】

依题意得：(2+x)x=l,

整理，得X2+2X=L

所以(X+1)2=4,

所以x+l=±2,

所以x=l或x=-l.

故答案是：1或-L

【点睛】

用配方法解一元二次方程的步骤：

①把原方程化为ax2+bx+c=0(a和)的形式；

②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1,并把常数项移到方程右边；

③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；

④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；

⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解.

14、1

【解析】

由双曲线y4(x>0)经过点D知由矩形性质知SAAOB=2SAODF《，据此可得OA・BE=1,根据OA=OB

可得答案.

【详解】

如图，

•.•双曲线y4(x>0)经过点D,

则SAAOB的AODFW，即如A・BE号

，OA・BE=1,

；四边形ABCD是矩形，

/.OA=OB,

；.OB・BE=1,

故答案为：1.

【点睛】

本题主要考查反比例函数图象上的点的坐标特征，解题的关键是掌握反比例函数系数k的几何意义及矩形的性质.

15、①②③④.

【解析】

由正方形的性质得出/足4。=90°,AD=AF=EF,证出尸G,由AAS证明△/G4出△AC®,得出AC=

FG,①正确；

11

证明四边形CBFG是矩形，得出SAFAB=^FB・FG=qS四边形CBFG,②正确：

由等腰直角三角形的性质和矩形的性质得出乙48c=/A8尸=45。，③正确；

证出△ACOSAFE。，得出对应边成比例，得出④正确.

【详解】

解：•.•四边形AOE尸为正方形，

AZFAD=90°,AD=AF=EF,

：.ZCAD+ZFAG=90°,

：FG±CA,

：.ZGAF+ZAFG=90°,

：.ZCAD=ZAFG,

在4FGA和△4C£>中，

"ZG=ZC

<ZAFG=ZCAD,

AF=AD

：.AFGA^/\ACD（.AAS）,

：.AC=FG,①正确；

：BC=AC,

；.FG=BC,

VZACB=90°,FGLCA,

：.FG//BC,

四边形CBFG是矩形，

11

...NC5尸=90。，S^.A=-FB-FG=-S^CBFG，②正确；

：CA=CB,ZC=ZCBF=90°,

AZABC=ZABF=45°,③正确；

:NFQE=NDQB=NADC,NE=NC=90。，

，丛ACDs丛FEQ,

：.AC：AD=FE：FQ,

：.AD»FE=ADi=FQ*AC,④正确；

故答案为①②③④.

【点睛】

本题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、正方形的性质、矩形的判定与性质、等腰直角三角

形的性质；熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等和三角形相似是解决问题的关键.

16、8元—3=7x+4

【解析】

根据每人出8钱，则剩余3钱；如果每人出7钱，则差4钱，可以列出相应的方程，本题得以解决

【详解】

解：由题意可设有x人，

列出方程：8尸3=7x+4,

故答案为8X-A7X+4.

【点睛】

本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程.

三、解答题（共8题，共72分）

17、（1）见解析（2）三

【解析】

试题分析：（1）利用平行四边形的性质和菱形的性质即可判定四边形AECF是菱形；

（2）连接EF交于点O,运用解直角三角形的知识点，可以求得AC与EF的长，再利用菱形的面积公式即可求得菱

形AECF的面积.

试题解析：（1）证明：•••四边形ABCD是平行四边形，

AAD/7BC,AD=BC.

在RSABC中，/BAC=90。，点E是BC边的中点，

.,.AE=CE=ABC.

同理，AF=CF=AAD.

...四边形AECF是平行四边形.

平行四边形AECF是菱形.

(2)解：在RtAABC中，ZBAC=90°,ZB=30°,BC=10,

/.AC=5,AB^SvJ.

连接EF交于点O,

；.ACJ_EF于点O,点O是AC中点.

；.OE/二二=Tv,7

.".EF=？vJ

菱形AECF的面积是4ACEF/

考点：1.菱形的性质和面积：2.平行四边形的性质；3.解直角三角形.

18、(l)y=-2x+200(40<x<80)(2)W=-2x2+280x—8000(3)售价为70元时，获得最大利润，这时最大利润为1

800元.

【解析】

(1)用待定系数法求一次函数的表达式；

(2)利用利润的定义，求甲与尤之间的函数表达式；

(3)利用二次函数的性质求极值.

【详解】

'50k+b=100伙=—2

解：⑴设>=履+匕，由题意，得1c,,on,解得]CM，.•.所求函数表达式为y=-2X+200.

60k+2=80[b-200

(2)W=(x-40)(-2x+200)=-2x2+280x-8000.

(3)W=-2x2+280x—8000=-2(x—70”+1800,其中40Wx«80,=-2<0,

.•.当40Vx<70时，甲随x的增大而增大，当70<xW80时，甲随x的增大而减小，当售价为70元时，获得最大利

润，这时最大利润为1800元.

考点：二次函数的实际应用.

1

19、(1)答案见解析；(2)

【解析】

(1)k可能的取值为-1、-2、-3,b可能的取值为-1、-2、3、4,所以将所有等可能出现的情况用列表方式表示出来即

可.

(2)判断出一次函数丫=1«+1)经过一、二、四象限时k、b的正负，在列表中找出满足条件的情况，利用概率的基本

概念即可求出一次函数丫=1«+1)经过一、二、四象限的概率.

【详解】

解：(1)列表如下：

J

-1-23

-1(-11-1)<-2，-1)(3，-1)

-2(-1--2)《-2,-2)(3，-2)

3(-1，3)(-2.3)(3，3)

4(-1»4)(-2-4)(3,4)

所有等可能的情况有12种;

(2)一次函数丫=1«+1>的图象经过一、二、四象限时，k<0,b>0,情况有4种，

41

则P=TT3-

20、1m

【解析】

连接AN、BQ,过B作BELAN于点E.在RtAAMN和在RtaBMQ中，根据三角函数就可以求得AN,BQ,求得

NQ,AE的长，在直角△ABE中，依据勾股定理即可求得AB的长.

【详解】

•.•点A在点N的正北方向，点B在点Q的正北方向,

/.ANH,BQ1L

AN

在RtAAMN中：tan/AMN=——，

MN

，AN=13

BQ

在RtABMQ中：tanZBMQ=，

.,.BQ=30乔，

过B作BE±AN于点E,

则BE=NQ=30,

..AE=AN-BQ=3O3

在RtAABE中，

AB2=AE2+BE2,

AB2=(30y/3)2+302,

/.AB=1.

答：湖中两个小亭A、B之间的距离为1米.

【点睛】

本题考查勾股定理、解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题.

8

21、(1)y=--；(2)P(0,6)

x

【解析】

试题分析：(1)先求得点A的坐标，再利用待定系数法求得反比例函数的解析式即可；(2)连接AC,根据三角形两

边之差小于第三边知：当A、C、P不共线时，PA-PC<AC；当A、C、P不共线时，PA-PC=AC；因此，当点P在直

线AC与y轴的交点时，PA-PC取得最大值.先求得平移后直线的解析式，再求得平移后直线与反比例函数的图象的交

点坐标，最后求直线AC的解析式，即可求得点P的坐标.

试题解析：

(D令一次函数y=中y=2,则2=_gx,

解得：x=7,即点A的坐标为(-4,2).

k

；点A(-4,2)在反比例函数y=—的图象上，

X

k=-4x2=-8,

8

・・・反比例函数的表达式为y=一-.

X

(2)连接AC,根据三角形两边之差小于第三边知：当A、C、P不共线时，PA-PC<AC；当A、C、P不共线时，PA-PC=AC；

因此，当点P在直线AC与y轴的交点时，PA-PC取得最大值.

设平移后直线于x轴交于点尸，则F(6,0)

1,

设平移后的直线解析式为y=--x+b,

1,

将F(6,0)代入y=+8得：b=3

二直线CF解析式：y=-1%+3

令一1x+3=-g，解得：％=8(舍去)，x二-2,

2x12

AC(-2,4)

■:A、C两点坐标分别为A(-4,2)、C(-2,4)

直线AC的表达式为y=x+6,

此时，P点坐标为P(0,6).

点睛：本题是一次函数与反比例函数的综合题，主要考查了用待定系数法求函数的解析式、一次函数与反比例函数的

交点坐标，熟练运用一次函数及反比例函数的性质是解题的关键.

3

22、弓

【解析】

先根据分式混合运算顺序和运算法则化简原式，再解方程组求得a、b的值，继而代入计算可得.

【详解】

\a+h)(a-b)a-ba

原式:一(；~a-7b7)2——•—a+b7——a+b7-

。+匕a

a+ba+b

b

-a+b'

a-2b=-4得「

解方程组4

a+2/7—8

33

所以原式=7二=三"

2+35

【点睛】

本题主要考查分式的化简求值和解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握分式混合运算顺序和运算法则.

23、见解析

【解析】

在AABC和AEAD中已经有一条边和一个角分别相等，根据平行的性质和等边对等角得出/B=/DAE证得

△ABC丝AEAD,继而证得AC=DE.

【详解】

V四边形ABCD为平行四边形，

，AD〃BC,AD=BC,

二ZDA