全国统一标准测试·数学

全国统一标准测试·数学数学（理科B卷）本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分，考试用时120分钟.第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题（本大题共12小题；每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设f(x)为奇函数，对任意x∈R，均有f(x+4)=f(x)，已知f(-1)=3，则f(-3)等于A.3 B.－3 C.4 D.－42.已知直线l1：(a+1)x+y－2=0与直线l2：ax+(2a+2)y+1=0互相垂直，则实数a的值为A.－1或2 B.－1或－2 C.1或2 D.1或－23.在等比数列{an}中，a1＞1，前n项和Sn满足，那么a1的取值范畴是A.(1，+∞) B.(1，4) C.(1，2) D.(1，)4.已知m、l是异面直线，那么：①必存在平面α过m且与l平行；②必存在平面β过m且与l垂直；③必存在平面γ与m、l都垂直；④必存在平面π与m、l距离都相等，其中正确的结论为A.①② B.①③ C.②③ D.①④5.从装有4粒大小、形状相同颜色不同的玻璃球的瓶中，随意一次倒出若干粒玻璃球（至少一粒），则倒出奇数粒玻璃球的概率比倒出偶数粒玻璃球的概率A.小 B.大C.相等 D.大小不能确定6.要得到函数y=sin2x的图象，能够把函数y=sin(2x－)的图象A.向左平移个单位 B.向右平移个单位C.向左平移个单位 D.向右平移个单位7.设F1、F2是双曲线－y2=1的两个焦点，点P在双曲线上，且·=0，则||||的值为A.0 B.2 C.2 D.48.设复数－i，1－i的辐角主值分不为α、β，则α－β的值为A. B. C. D.－9.设f(x)=，利用课本中推导等差数列前n项和公式的方法，可求f(－5)+f(－4)+f(－3)+…+f(4)+f(5)+f(6)等于A. B. C.2 D.310.已知函数f(x)是R上的增函数，A（0，－1），B（3，1）是其图象上的两点，那么|f(x+1)|＜1的解集是A.（1，4） B.（－1，2）C.（－∞，1］∪［4，+∞） D.（－∞，－1］∪［2，+∞）11.过正三棱锥S—ABC的一条侧棱SA及其外接球的球心O，作棱锥截面SAD（如图）球心O在AD上，则此三棱锥的侧面三角形顶角的余弦值为A. B.0C.－ D.12.从盛装20升纯酒精的容器里，倒出一升纯酒精，然后用水加满，再倒出一升酒精混合液，再用水加满.照如此的方法连续下去，如果倒出第k次时共倒出纯酒精x升，则倒出第k+1次时，共倒出纯酒精f(x)的表达式是A.f(x)=x+1 B.f(x)=+1C.f(x)=(x+1) D.f(x)=x第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题（本大题共4小题；每小题4分，共16分.把答案填在题中的横线上）13.设f(x)=，则f()+f()+…+f()的值为.14.如果曲线y=x3+x－10的某切线与直线y=4x+3平行，则此切线的方程为.15.如右图，表示图中平面区域的公共域的不等式组是.16.设函数f(x)=sin(ωx+)(ω＞0，－＜＜)给出以下四个论断：①它的图象关于x=对称；②它的图象关于点(，0)对称；③它的周期为π；④在区间［－，0）上是增函数，以其中两个论断作为条件，余下论断作为结论，写出你认为正确的两个命题：（1）；（2）.三、解答题(本大题共6小题；共74分.解承诺写出文字讲明、证明过程或演算步骤)17.（本小题满分12分）设复数z=3cosθ－2isinθ，π＜θ＜，且θ－argz=.（1）求tan(argz)；（2）求使等式msin(θ+)=2cos2－1成立的m值.18.（本小题满分12分）有一个咨询题，在半小时之内，甲能解决它的概率是，乙能解决它的概率是.运算：（1）两人都未解决的概率；（2）咨询题得到解决的概率.19.（本小题满分12分）如图，正三棱柱ABC—A1B1C1中，E∈BB1，截面A1EC⊥侧面AC1.（1）求证：；（2）若，求平面A1EC与平面A1B1C1所成二面角的平面角（锐角）的大小.20.（本小题满分12分）某家用电器厂按照其产品在市场上的销售情形，决定对原先以每件2000元出售的一种产品进行调价，并按新单价的八折优待销售.结果每件产品仍可获得实际销售价20%的利润.已知该产品每件的成本是原销售价的60%.（1）求调价后这种产品的新单价是每件多少元？让利后的实际销售价是每件多少元？（2）为使今年按新单价让利销售后的利润总额不低于20万元，今年至少应销售这种产品多少件？（每件产品利润=每件产品的实际销售价－每件产品的成本价）21.(本小题满分14分)设椭圆=1(a＞b＞0)的焦点为F1、F2，P是椭圆上任一点，若∠F1PF2的最大值为.（1）求椭圆的离心率；（2）设直线l与椭圆交于M、N两点且l与以原点为圆心，半径为短轴的圆相切.已知线段MN的长度最大值为4，求椭圆的方程与直线l的方程.22.（本小题满分12分）设函数f(x)是定义在［－1，0）∪（0，1］上的奇函数，当x∈［－1，0）时，f(x)=2ax+（a∈R).（1）当x∈(0，1］时，求f(x)的解析式；（2）若a＞－1，试判定f(x)在（0，1］上的单调性，并证明你的结论；（3）是否存在a，使得当x∈（0，1］时，f(x)有最大值－6.参考答案一、1.B2.B3.D4.D5.B6.A7.B8.C9.D10.B11.D12.A二、13.514.y=4x－12或y=4x－815.16.①③②④②③①④三、17.解：（1）由题设tan(argz)= 1分∴tan(θ－argz)=3分即(2tanθ－1)(tanθ+3)=0，又π<θ<；∴tanθ=. 5分则tan(argz)=－ 8分（2）由题意知，要使msin(θ+)=cosθ成立.即要m(cosθ+sinθ)=cosθ成立.由于cosθ≠0∴m(tanθ+1)=1. 8分m=，tanθ=，则m=. 12分18.解：（1）设在半小时内甲能独立解决该咨询题是事件A，乙能独立地解决该咨询题是事件B 2分那么两个人都未解决该咨询题是事件· 3分由于两人是相互独立地求解，因此得到：P（·）=P（）·P（）=（1－）（1－）=. 7分（2）“咨询题得到解决”这一事件的概率为1－P（·）=1－=. 12分19.解：（1）如图建立坐标系，过E作ED⊥A1C，令D（0，y，z)，E(a，c). 1分则=(－a，y－a，z－c)，=(0，a，b)，=(0，0，b)， 2分·=ay－a2+bz－bc， ①·=bz－bc=0， ② 4分②代入①得ay－a2=0，∴y=a. 5分∵D为A1C的中点，又ED⊥A1C，∴△EA1C为等腰三角形.∴|EA1|=|EC|，又A1B1=BC，∠EBC=∠A1B1E=90°.∴△EBC≌△A1B1E.∴||=||. 7分（2）∵D（0，a，b)，E(a，a，b)，∴. 9分∴a2，又，∴b=a，, 10分.∴θ=45°. 12分20.解：（1）设每件产品的新单价为x元 1分由已知：该产品的成本是2000×60%=1200元 2分由题意：x·80%－1200=20%(80%·x) 4分解得：x=1875(元）∴80%·x=1500元 5分因此，该产品调价后的新单价是每件1875元，让利后实际售价为每件1500元. 6分（2）设今年至少应生产这种电器m件，则由题意，得m(1500－1200)≥200000 9分解得：m≥666 10分∵m∈N，∴m的最大值应为667件 11分即今年至少售出667件产品，才能使利润总额不低于20万元. 12分21.解：∵椭圆方程为=1(a>b>0)(1)|PF1|+|PF2|=2acosF1PF2=3分∴e= 5分（2）∵e=，∴a2=4b2.∴椭圆方程为y2+4x2=4b2 6分该直线l：y=kx+m.∵直线l与圆x2+y2=b2相切，∴m2=b2(1+k2) ①从得(4+k2)x2+2kmx+m2－4b2=0 8分∵|MN|=4b·≤2b当且仅当k=±时取等号. 10分∴l：y=±. 12分椭圆方程为：=1. 14分22.（1）解：设x∈(0，1］，则－x∈［－1，0)，f(－x)=－2ax+，∵f(x)是奇函数.∴f(x)=2ax－，x∈(0，1］. 3分（2）证明：∵f′(x)=2a+， 5分∵a>－1，x∈(0，1］，>1