2021-2023年高考数学真题分类汇编12 数列

专题12数列

知识点目录

知识点1：等差数列基本量运算

知识点2：等比数列基本量运算

知识点3：数列的实际应用

知识点4:数列的最值问题

知识点5：数列的递推问题（蛛网图问题）

知识点6：等差数列与等比数列的综合应用

知识点7：数列新定义问题

知识点8:数列通项与求和问题

知识点9：数列不等式

近三年高考真题

知识点1：等差数列基本量运算

1.（2023•甲卷（文））记S“为等差数列｛”“｝的前”项和.若“2+4=10，/4=45，则£=（）

A.25B.22C.20D.15

2.（2022•乙卷（文））记5“为等差数列｛%｝的前〃项和.若2S3=3S?+6,则公差d=.

3.（2022•上海）已知等差数列｛%｝的公差不为零,3为其前，项和,若S>=0,则=2,…，100）中

不同的数值有个.

2

4.（2023•新高考I）设等差数列｛%｝的公差为d,且d>l.令b,=±±,记S,,,7；分别为数列｛《,｝,｛"｝

%

的前”项和.

（1）若3%=3q+/,$3+4=21,求｛4｝的通项公式;

（2）若也,｝为等差数列，且%-4=99,求d.

5.（2021•新高考H）记S,是公差不为0的等差数列｛%｝的前"项和，若为=55，%

（I）求数列｛4｝的通项公式勺；

（II）求使Sn>a„成立的n的最小值.

6.（2021•甲卷（理））已知数列｛4｝的各项均为正数，记5.为｛5｝的前"项和，从下面①②③中选取两个作

为条件，证明另外一个成立.

①数列｛4｝是等差数列;②数列｛后｝是等差数列;③%=3%.

注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.

7.（2023•乙卷（文））记S,为等差数列｛为｝的前〃项和，己知外=11,510=40.

（1）求｛凡｝的通项公式；

（2）求数列｛”|｝的前“项和7；.

8.（2021•甲卷（文））记S,为数列｛0｝的前"项和,已知%>0,%=3《，且数列｛疯｝是等差数列，证明:

｛%｝是等差数列.

知识点2：等比数列基本量运算

9.（2022•乙卷（文））已知等比数列｛/｝的前3项和为168,a2-a5=42,则4=（）

A.14B.12C.6D.3

10.（2021•甲卷（文））记S,为等比数列｛a,,｝的前〃项和.若$2=4,54=6,则$6=（）

A.7B.8C.9D.10

11.（2023•甲卷（文））记S,为等比数列｛4｝的前"项和.若8s6=7SJ,则｛《,｝的公比为.

12.（2021•上海）已知｛%｝为无穷等比数列,4=3,勺的各项和为9,1=%,,则数列也“｝的各项和

为.

13.（2023•乙卷（理））已知｛”“｝为等比数列，a必氏=a3a6，8,则％=.

14.（2021•甲卷（理））等比数列｛q｝的公比为q,前〃项和为S,.设甲：q>0,乙：｛S“｝是递增数列，则

（）

A.甲是乙的充分条件但不是必要条件

B.甲是乙的必要条件但不是充分条件

C.甲是乙的充要条件

D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

15.（2023•天津）已知｛a,J为等比数列,S“为数列｛4｝的前"项和,an+l=2Sn+2,则&的值为（）

A.3B.18C.54D.152

16.（2023•甲卷（理））已知等比数列｛4｝中，4=1,S"为｛4｝前"项和，SS=5S3-4,则邑=（）

A.7B.9C.15D.30

17.（2022•上海）己知等比数列｛4｝的前”项和为5“，前〃项积为7；,则下列选项判断正确的是（）

A.若%2>S2c21,则数列｛““｝是递增数列

B.若%>%],则数列｛《,｝是递增数列

C.若数列｛S,,｝是递增数列，则0202r.。皿i

D.若数列｛7J是递增数列，则020M..02a

18.（2023•新高考H）记S,为等比数列｛/｝的前"项和,若$4=-5,S-则$8=（）

A.120B.85C.-85D.-120

知识点3:数列的实际应用

19.（2022•新高考H）图1是中国古代建筑中的举架结构，BE,CC,是桁，相邻桁的水平距

离称为步，垂直距离称为举.图2是某古代建筑屋顶截面的示意图，其中£>£>,,CC,,M是举，OR，

DC,,CB、,即是相等的步，相邻桁的举步之比分别为迫=0.5,三=匕，阻=公,丛=心.已知

OD｝DC｝CB｝8A

k、,k2,占成公差为0.1的等差数歹ij,且直线OA的斜率为0.725,则勺=（）

图1图2

A.0.75B.0.8C.0.85D.0.9

20.（2022年全国乙卷）嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环绕太阳

飞行的人造行星，为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列｛、｝：瓦=1+/，b2=l

1

1

+£工，b3=l+77F,…，依此类推，其中aeN*（k=l,2,…）.则（）

1"2«2+瓦K

A.b1<b5B.b3<b8C.b6<b2D.b4<b7

21.（2021•北京）《中国共产党党旗党徽制作和使用的若干规定》指出，中国共产党党旗为旗面缀有金黄色

党徽图案的红旗，通用规格有五种.这五种规格党旗的长4，外，％，/，牝（单位：加成等差数列，

对应的宽为〃，b2,4,b4,b5（单位：cm）,且长与宽之比都相等.已知q=288,%=96,4=192,

则4=（）

A.64B.96C.128D.160

知识点4:数列的最值问题

22.（2021•北京）已知｛〃”｝是各项为整数的递增数列,且q..3,若q+/+…+4=100,则〃的最大值

为（）

A.9B.10C.11D.12

23.（2021•上海）已知a”N*（i=l,2,9）对任意的攵eN*（2都t8）,%=%7+1或4=a*1—1中有

且仅有一个成立，q=6,%=9,则q+…+%的最小值为.

知识点5:数列的递推问题（蛛网图问题）

24.（2023•北京）数列｛/｝满足/M=；（"“-6）3+6,下列说法正确的是（）

A.若4=3,则｛4｝是递减数列，BMG/?,使得〃>机时，a”>M

B.若4=5,则｛4｝是递增数列，3M„6,使得〃>团时，4VM

C.若q=7,则｛%｝是递减数列，3M>6,使得〃〉加时，an>M

D.若4=9,则｛%｝是递增数列，三用£/?,使得〃〉加时，an<M

25.（2022•浙江）已知数列｛〃〃｝满足4=1,a〃+i=a〃wN"）,贝（J（）

5577

A.2<100^/I1（）n<—2B.—2v100。］I0W0V3C.3<100。I］V0U0V-2D.一2vl00a11n5o，<4

26.（2021•浙江）已知数列｛q｝满足4=1,=T=（"eN"）.记数列｛%｝的前"项和为S"，则（）

1+A

309

A，5Vsi0n<3B.3<S|0G<4C.4Vsl00c5D.—<SI（K）<5

知识点6：等差数列与等比数列的综合应用

27.（2023•新高考I）记q为数列｛4｝的前"项和,设甲：｛4｝为等差数列;乙：｛%｝为等差数列,则（）

n

A.甲是乙的充分条件但不是必要条件

B.甲是乙的必要条件但不是充分条件

C.甲是乙的充要条件

D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

28.（2022•天津）设｛《,｝是等差数列，｛〃,｝是等比数列，且q=伪=生-打="3-4=1•

（1）求｛%｝与｛〃,｝的通项公式；

（2）设｛%｝的前"项和为臬，求证：⑸也;

*=1

29.（2022•浙江）已知等差数列｛/｝的首项q=-1,公差d>\.记｛《,｝的前〃项和为S,,（〃eN*）.

（I）若S4-2a汹+6=0,求5,；

（H）若对于每个存在实数%,使4+%,an+l+4cn,q腐+15%成等比数列，求4的取值范围.

30.（2022•新高考H）已知｛凡｝是等差数列，｛〃,｝是公比为2的等比数列，且%.

（1）证明：%=a；

（2）求集合伙|仇=q“+q,啜M500｝中元素的个数.

31.（2022•甲卷（文））记5,为数列｛凡｝的前"项和.已知二，+〃=2%+1.

n

（1）证明：｛qj是等差数列；

（2）若4,%,旬成等比数列，求5“的最小值.

32.（2021•乙卷（文））设｛〃“｝是首项为1的等比数列，数列电｝满足〃=詈，已知%,3%,9%成等差

数列.

（1）求｛q｝和｛〃｝的通项公式；

（2）记5“和7；分别为｛叫和电｝的前〃项和.证明：T“*.

知识点7:数列新定义问题

33.(多选题)(2021•新高考H)设正整数〃=4—20+4々+…+/T2T+4",其中a”{0,1},记

(y(n)=%+4+…+%,则()

A.02〃)="")B.奴2〃+3)="")+1

C.0(8〃+5)=旗4〃+3)D.<0(2"-l)=n

知识点8：数列通项与求和问题

34.（2023•北京）我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就出现了类似于祛码的用来测量物体质量的

“环权”.已知9枚环权的质量（单位：铢）从小到大构成项数为9的数列｛〃“｝,该数列的前3项成等差数

列，后7项成等比数列，且q=l,火=12，偈=192,贝,数列｛4｝的所有项的和

为.

35.（2021•新高考I）某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折.规

格为20d,〃xl2如的长方形纸，对折1次共可以得到10出jxl2血?，两种规格的图形，它们的面

积之和，=ZdOdm。，对折2次共可以得到54〃xl2而J,20»〃x3（加z三种规格的图形，它们的

面积之和$2=180血？，以此类推.则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为,如果对

折〃次，那么工Sk=dm2

JI=I

36.（2023•天津）已知｛。〃｝是等差数列，%+〃5=16,%-=4.

2"-1

（I）求｛%｝的通项公式和z生；

i=2n-'

（II）已知｛髭｝为等比数列，对于任意kwN*,若釉2*-1,则bk<an<bM.

（i）当k.2时，求证：

（"）求｛bn｝的通项公式及其前〃项和.

37.（2023•甲卷（理））已知数列｛”“｝中，%=1,设5“为｛对｝前〃项和，2s,,=〃4.

（1）求｛《,｝的通项公式；

（2）求数列｛当=｝的前"项和7；.

38.（2021•乙卷（理））记S“为数列｛q｝的前"项和，"为数列｛S,,｝的前〃项积，已知Z+J_=2.

S“b”

（1）证明：数列也,｝是等差数列；

（2）求他“｝的通项公式.

4,+1,“为奇数，

39.（2021•新高考I）已知数列｛%｝满足4=1,

4+1%+2,〃为偶数・

（1）记包=%,，写出仇，瓦,并求数列｛〃｝的通项公式;

（2）求｛a,｝的前20项和.

知识点9：数列不等式

*篇篇数，记sc…｝的前〃项和,

40.（2023•新高考H）已知｛4“｝为等差数列,h„=

S4=32,7；=16.

（1）求｛为｝的通项公式;

（2）证明：当〃>5时，Tn>S„.

41.（2022•新高考I）记S,为数列他“｝的前〃项和，已知4=1,｛'q｝是公差为上1的等差数歹U.

3

（1）求伍,｝的通项公式；

（2）证明：—I---F...H---<2.

4«2%

42.(2021•天津)已知数列｛〃“｝是公差为2的等差数列，其前8项的和为64.数列的｝是公比大于0的等

比数列，bt=4,4-4=48.

(1)求数列｛q｝和｛"｝的通项公式；

(2)记nwN*.

'b"

⑴证明：e-%｝是等比数列;

⑺证明：y修<2a(〃eN*).

<=>Vck-cik

43.(2021•浙江)已知数列他“｝的前〃项和为S„,at且4se=3S“—9(〃wN*).

4

(I)求数列｛4｝的通项公式；

(II)设数列也｝满足3d+(〃-4)/=0(〃eM),记｛bn］的前n项和为T,,,若T„„妆对任意nwN*恒成立,

求实数4的取值范围.

专题12数列

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知识点1：等差数列基本量运算

知识点2：等比数列基本量运算

知识点3：数列的实际应用

知识点4：数列的最值问题

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知识点7：数列新定义问题

知识点8：数列通项与求和问题

知识点9：数列不等式

近三年高考真题

知识点1：等差数列基本量运算

1.（2023•甲卷（文））记S“为等差数列｛”,｝的前〃项和.若4+4=10，q%=45，则5$=（）

A.25B.22C.20D.15

【答案】C

［解析1等差数列｛4｝中，a2+a6=2a4=10,

所以=5,

。4必=5%=45,

故q=9,

则〃="二幺=1,q=g-3d=5-3=2,

8-4

5x4

则S$=5a,+—J=10+10=20.

故选：C.

2.（2022•乙卷（文））记S,为等差数列｛叫的前八项和.若2s3=3S2+6,则公差d=.

【答案】2.

【解析】；25,=3s2+6,

2(q+4+6)=3(4+a,)+6,

他“｝为等差数列，

/.6a2=+3«,+6,

3(叼—％)=3d=6,解得d=2.

故答案为：2.

3.(2022•上海)已知等差数列｛”,｝的公差不为零，5”为其前〃项和，若$5=0,则S,(i=l,2,…，100)中

不同的数值有个.

【答案】98.

【解析】•.•等差数列｛%｝的公差不为零，，为其前〃项和，55=0,

5x4

S5=5“H———J=0,解得4=—2d,

,on(n-1)d2

Sn=naxH-----a=-2nd-----a=­(n-5n)>

4工0,.-.5,.(/=0,1,2,100)中邑=§5=0,

S2=S｝=—3d,S,=S4=—2d,

其余各项均不相等，

.•.S,.(4=l,2100)中不同的数值有：101-3=98.

故答案为：98.

2

4.(2023•新高考I)设等差数列｛4｝的公差为d,且d>l.令记加7；分别为数列｛%｝,｛bn｝

%

的前〃项和.

(1)若3%=3%+〃3，$3+4=21,求｛为｝的通项公式;

(2)若电｝为等差数列，且%-％=99,求d.

【解析】(1)1.-3a2=3q+4,53+7^=21,

3(%+d)=3at+%+2d

・•・根据题意可得'3a,+3J+(—+—^―+12)=21'

4a1+d4+2d

a[=d

9，

64+—=21

d

.,.2j2—7d+3=o,又d>],

解得d=3、=d=3y

=q+(〃-l)d=3〃，neN*；

■>

(2)｛勺｝为等差数列，也,｝为等差数列，且包=七?，

根据等差数列的通项公式的特点，可设％=加，则a=字，且d=i>l；

或设%=%(〃+1),则2=2,且d=A>l,

k

①当a〃=加，bn=ml,d=/>i时，

c,(/+99/)x99*JOO、99

则11I1(%-4=-----------(y+—)xy=9nn9，

50r--=1,.\5Or2-r-51=O,又d=t>l,

t

解得d-f=—；

50

②当q=%(〃+1),2=2，。=左>1时,

k

向cT(2&+1002)x99l99、99“

则为-心-----段-----(z-+y)xy=99,

/.51A:--=1,「.51公_%_5O=o,又d=A>l,

k

此时左无解，

综合可得d=".

50

5.(2021•新高考H)记S,是公差不为0的等差数列｛%｝的前"项和，若为=$5，^a4=S4.

(I)求数列｛%｝的通项公式。.；

(II)求使S,>a„成立的n的最小值.

【解析】(I)数列S“是公差d不为0的等差数列｛%｝的前〃项和，若《,=£，a2aA=S4.

根据等差数列的性质，/=熊=5%，故％=0，

根据生&=$4可得(%-1)(%+4)=(6-2")+(%-4)+%+(。3+")’

整理得-/=_2d,可得d=2(d=0不合题意)，

故afl=6+(〃-3)d=2n-6,

(II)an=2n-6,q=-4,

n(n-Y)<

S„=-4n+------x2=〃2-5〃，

w2

2

Sn>anfBPn-5n>2n-69

整理可得“2-7"+6>0,

当">6或“<1时，S“>a”成立，

由于〃为正整数，

故〃的最小正值为7.

6.(2021•甲卷(理))已知数列仅“｝的各项均为正数，记S.为｛q｝的前〃项和，从下面①②③中选取两个作

为条件，证明另外一个成立.

①数列｛”“｝是等差数列；②数列｛#：｝是等差数列；③出=3q.

注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.

【解析】选择①③为条件，②结论.

证明过程如下：

由题意可得：”2=4+4=3。],;.d=2%,

2

数列的前”项和：S“=nax+。d=na]+。x2al=nat,

故6"==百("..2),

据此可得数列｛£｝是等差数列.

选择①②为条件，③结论：

设数列｛4｝的公差为d,则：

何=M，叵=Jq+(4+d)=12,+J,叵=Jq+(q+d)+(q+2d)=J3(4+d),

数列｛/j为等差数列，则：E+病=2厄，

即：+J3(q+"))2=(2《2%+2了,整理可得：d=2at,a2-Oy+d=3at.

选择③②为条件,①结论：

由题意可得：S,=4+%=4q,，=2，^",

则数列｛四｝的公差为”=病-脚="，

通项公式为：#7=括"+(〃-l)d=nJ],

22

据此可得，当”..2时，an=S„-=nat-(n-1)a,=(2n-l)a,,

当〃=1时上式也成立，故数列的通项公式为：a,,=(2〃-l)q,

由a时一册=[2(n+l)-l]a,-(2n-l)a1=2at,可知数列｛q｝是等差数列.

7.(2023•乙卷(文))记S,为等差数列｛”“｝的前〃项和，已知生=11,510=40.

(1)求｛%｝的通项公式；

(2)求数列｛|%1｝的前"项和7；.

【解析】(1)在等差数列中，生=11,5|0=40.

4+d=11at+d-\\

10x9，即4+gd=4'

10a.+----6/=40

12

得4=13,d=—2.

则a“=13-2(〃-l)=-2〃+15(“eN).

[-2〃+15,掇M7

(2)|iz„|=|-2/J+15|=^，

[2〃-15,〃..8

即啜7时，1*=4,

当几.8时，Ian|=-an,

当啜女7时，数列｛|a〃|｝的前—项和7；=4++q=13/+"("；'x(-2)=-泳+14〃,

当n..8时，数列｛|*｝的前〃项和

Tn=aA++%--q,=-S“+2(4++%)=-[13/+^^X(-2)]+2X^^X7=〃2—14〃+98.

8.(2021•甲卷(文))记S,为数列｛氏｝的前〃项和，已知a“>0,%=3q,且数列｛疯｝是等差数列，证明：

｛4｝是等差数列.

【解析】证明：设等差数列｛四｝的公差为d,

由题意得=y/^；=44+4=J4al=，

则d=叵-店=2瓜-亚=枢,所以S=H+5-1)瓜=匕如，

所以Sn=①；

当儿.2时，有S-=5—1)24②.

由①②，得a”=Sn—Sn_|=n~ai—(n—ci｛=(2〃—l)q③,

经检验，当〃=1时也满足③.

所以%=(2〃-l)q,〃£M,

当〃..2时，an-%=(2〃一l)q-(2〃一3)%=2q,

所以数列｛4｝是等差数列.

知识点2：等比数列基本量运算

9.(2022•乙卷(文))已知等比数列｛%｝的前3项和为168,出一6=42,则/=()

A.14B.12C.6D.3

【答案】D

【解析】设等比数列｛4｝的公比为4，4工0,由题意，qwl.

43

,前3项和为q+4+“3_£1=168，a2-a5=aA-q-ai-q=a[-^(1-^)=42,

i-q

1»

:.q=—,q=96,

贝1J%=4,=96x'=3,

故选：D.

10.（2021•甲卷（文））记5“为等比数列｛”“｝的前〃项和.若$2=4,S4=6,则&=（）

A.7B.8C.9D.10

【答案】A

【解析】:S”为等比数列仅“｝的前”项和，5,=4,S4=6,

由等比数列的性质，可知邑，S4-S2,&-S4成等比数列，

二4,2,$6-6成等比数列，

2

.-.2=4（S6-6）,解得$6=7.

故选：A.

11.（2023•甲卷（文））记S,为等比数列｛4｝的前"项和.若8泉=7$3，则｛““｝的公比为.

【答案】

2

［解析］等比数列｛%｝中，8S6=IS,.

则qw1,

所以8>幺。工6）.=7>4（_/）,

\-q\-q

解得q=-;.

故答案为：-

2

12.（2021•上海）已知｛%｝为无穷等比数列,4=3,4的各项和为9,1=%,则数列｛%｝的各项和

为.

【答案】--

5

【解析】设｛4｝的公比为q,

3

由4=3,。”的各项和为9,口J得——=9，

i-q

解得夕=g,

可得数列｛"｝是首项为2,公比为1的等比数列，

则数列｛bn｝的各项和为V=更.

1--

9

故答案为：史.

5

13.(2023•乙卷(理))已知｛%｝为等比数列，4244a5=%%，为q()=-8,则%=.

【答案】一2.

【解析】•等比数列｛七｝，

%a4a5=42a3a6=4a6，解得%=1，

2553

而«9a10=a2q=(«,)q'=-8,可得q"=(q)=-8,

即q5=-2,

s

Oj=a2-q=lx(—2)=—2.

故答案为：-2.

14.(2021•甲卷(理))等比数列｛《,｝的公比为q,前"项和为S,.设甲：q>0,乙：｛S,J是递增数列，则

()

A.甲是乙的充分条件但不是必要条件

B.甲是乙的必要条件但不是充分条件

C.甲是乙的充要条件

D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

【答案】B

【解析】若4=-1,q=l,则5“=叫=-〃，则｛SJ是递减数列，不满足充分性；

s.=4-/)，

1-<7

则5用=齐(1一《向)，

T-q

』-s产六(--/)”，

1-q

若｛S“｝是递增数列，

n

S"+i-S“=axq>0>

贝i]4>0,q>0,

••・满足必要性，

故甲是乙的必要条件但不是充分条件，

故选：B.

15.（2023•天津）已知｛%｝为等比数列，5,为数列｛4｝的前"项和，an+i=2Sn+2,则%的值为（）

A.3B.18C.54D.152

【答案】C

[解析】因为｛叫为等比数列，%=2S„+2,

所以CL-,=2S]+2=2al+2,6=2S,+2=2（q+2q+2）+2=64+6,

由等比数列的性质可得，=4二3，

即（2+2atf=（64+6）•q,

所以q=2或q=-l（舍），

所以%=6,q=3,

则%=4•/=2x33=54.

故选：C.

16.（2023•甲卷（理））已知等比数列｛4｝中，a,=l,S,为｛/｝前"项和，S5=5S3-4,则S,=（）

A.7B.9C.15D.30

【答案】C

【解析】等比数列｛氏｝中，设公比为4，

4=1,S”为｛《｝前”项和，S5=5S3-4,显然qw±l,

（如果q=l,可得5=15-4矛盾，如果g=T,可得一1=-5-4矛盾），

可得lz£=5.k^-4,

T-q\-q

解得,2=4,即q=2或夕=-2,

所以当4=2时，加=匕d=匕3=15.

\-q1-2

当q=-2时，$4=j-=匕3=-5.没有选项.

\-q1+2

故选：C.

17.（2022•上海）已知等比数列｛%｝的前〃项和为5.,前"项积为则下列选项判断正确的是（）

A.若S2022>%）21，则数列｛q,｝是递增数列

B.若%>与⑵，则数列｛a,,｝是递增数列

C.若数列｛S“｝是递增数列，则的侬••生⑼

D.若数列｛q｝是递增数列，则-2••收m

【答案】D

【解析】如果数列q=-l,公比为-2,满足但是数列｛4｝不是递增数列，所以A不正确；

如果数列4=1,公比为满足(022＞刀。21，但是数列他“｝不是递增数列，所以3不正确；

如果数列4=1,公比为g,S“=L字_=2(1-J),数列｛S.｝是递增数列，但是%＞22⑼，所以C不正

2

确；

数列｛毒｝是递增数列，可知IT；〉?；,可得为＞1,所以q..l,可得生。22-•4⑼正确，所以。正确；

故选：D.

18.(2023•新高考U)记S“为等比数列｛”,｝的前〃项和，若S&=-5,56=21S2,则鼠=()

A.120B.85C.-85D.-120

【答案】C

【解析】等比数列｛%｝中,S4=5,S6=21S2,显然公比qwl,

设首项为4，则刍(1二/)=_5①,3(l@=21q(l”②,

]-q\-q\-q

化简②得4"+d-20=0,解得d=4或d=_5(不合题意，舍去)，

代入①得'=1，

\-q3

所以58=尔1一力=-^-(1-炉)(1+44)='(-15)*(1+16)=-85.

\-q\-q3

故选：C.

知识点3:数列的实际应用

19.(2022•新高考II)图1是中国古代建筑中的举架结构，AA,BB,CC,。。是桁，相邻桁的水平距

离称为步，垂直距离称为举.图2是某古代建筑屋顶截面的示意图，其中DDt,CC,,BB,,AA,是举，OR,

g,CB,,纳是相等的步，相邻桁的举步之比分别为也=0.5,乙=&,%=k,,组=内.已知

ODtDC]CB｝8A

kt,k2,收成公差为0.1的等差数列，且直线OA的斜率为0.725,则收=()

yf

图i图2

A.0.75B.0.8C.0.85D.0.9

【答案】D

【解析】设OR=£>G=C4=网=1,则CG=K，BB、=h，A4,=%,

由题意得：尢=匕—0.2,&=&-0.1,

物+CC+网+他二

ODy+DC、+Cg+8A—一'

解得ki=0.9,

故选：D.

20.(2022年全国乙卷)嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环绕太阳

飞行的人造行星，为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列｛、｝：瓦=1+十，b2=1

1

।1he=1-I------：—

+1巨，3…，依此类推，其中aWN*(k=l,2,…).贝U()

1”k

A.bj<b5B.b3<b8C.b6<b2D.b4<b7

【答案】D

【解析】

【分析】

根据耿6N*(k=1,2,...),再利用数列｛4｝与次的关系判断仍与中各项的大小,即可求解.

【详解】

解:因为%eN*(k=1,2,…)，

1I、1

所以的<%+臣，得到%>玩，

a11

2a2

同理由+2>%+4,可得电</，瓦〉①

«3

、

又因为石1>的1%I/1)%.或F1，

。3+逐的a3+—

故力2<b4,b3>b4；

以此类推，可得瓦>星>生>与>b7>bQf故A错误;

br>b7>bQ9故B错误；

«2a+-二J，得匕2V坛，故C错误;

2立3+•软

呀工>即+。2+…上，得/<与，故D正确.

ar+

“3+互他+西

故选：D.

21.（2021•北京）《中国共产党党旗党徽制作和使用的若干规定》指出，中国共产党党旗为旗面缀有金黄色

党徽图案的红旗，通用规格有五种.这五种规格党旗的长"，%,生，%，«5（单位：的）成等差数列，

对应的宽为〃，b2,打,b,（单位：cm）,且长与宽之比都相等.已知G=288,a,=96,伍=192,

则4=（）

A.64B.96C.128D.160

【答案】C

【解析】｛6｝和也,｝是两个等差数列，且去（掇&5）是常值，由于q=288,G=96，

故q=色答=192,

...a-,a.2883

.=.=一=一

4b、1922

所以&=128.

另幺=&,解得：&=她=64

b\"4

&攵：b、=，上'）=128.

故选：C.

知识点4：数列的最值问题

22.（2021•北京）已知｛4｝是各项为整数的递增数列，且%..3,若q+%+4+...+a“=100,则〃的最大值

为（）

A.9B.10C.11D.12

【答案】C

【解析】数列析“｝是递增的整数数列,

・•・〃要取最大，递增幅度尽可能为小的整数，

假设递增的幅度为1,

•「q=3>

an=〃+2,

则S=(3+〃+2)〃-5/7十〃2

当”=10时，a”,=12,Sl0=75.

lOO-5lo=25>alo=12,即〃可继续增大，〃=10非最大值，

当”=12时，%=14，512=102,

100-S12=l(X)-102<0,不满足题意，

即〃=11为最大值.

故选：C.

23.(2021•上海)已知qeN*(i=l,2,9)对任意的&eN*(2领*8),4=4_1+1或4=%*1-1中有

且仅有一个成立，q=6,=9,则4+…+%的最小值为.

【答案】31.

【解析】设由题意可得，bk,如恰有一个为1,

如果4=4=4=8="=1，那么q=6,a,=7,a3..l,a4=+1..2,

同样也有，a5..l»a6=a5+1..2,a7..l,=a7+1..2.

全部力口起来至少是6+7+1+2+1+2+1+2+9=31;

如果仄="="=4=1，那么@=8,av.\,a,=a2+1..2.

同样也有，a4..1»as..2,a6..l,a-,.,2,

全部力口起来至少是6+1+2+1+2+1+2+8+9=32,

综上所述，最小应该是31.

故答案为：31.

知识点5:数列的递推问题(蛛网图问题)

24.(2023•北京)数列｛%｝满足/6)3+6,下列说法正确的是()

A.若q=3,则｛〃〃｝是递减数列，mMwR,使得〃〉加时，M

B.若q=5,则｛。“｝是递增数列,6,使得〃>机时，an<M

C.若q=7,则｛〃〃｝是递减数列，3M>6,使得〃时，a〃>M

D.若4=9,则｛%｝是递增数列，mMwR,使得〃〉加时，an<M

【答案】B

【解析】对原式进行变形，得%6)2—1](4-6),

当q=3,贝【J&一4<0，%<3,

设%<3(%eZ,k..2),则ak+i-ak<-3,所以｛an｝是递减数列，

当〃f+oo,%T-oo,A错误，同理可证明。错误，

当q=5,贝!即。2>5,又因为:(4一6)3<0,所以5<生<6,

假设5<4<6(%wZ#..2),则以+]-%>0,即4+]>5,又因为；(%-6)，<0,所以5<[+]<6,

所以当>+8,a〃-6,B正确,

对于C,当q=7,代入进去很明显不是递减数列，C错误，

故选：B.

25.(2022•浙江)已知数列｛4｝满足4=1,%=a“-；a；(neN"),贝U()

5577

A.2<1OOfz.I(X)<—B.—2V1004I](WX)V3C.3<100671I(V)A()J<—D.—v10040150，V4

【答案】B

【解析】•a„+l=-1a^<0.

.•・｛〃“｝为递减数列，

乂a〃+1=4一马'0，

又％=1〉0,则。〃〉。，

121

••4-4+1=]4一]々，"/1'

.J____1_1

111,八12,3

—…--F—(〃-1)=—〃H—，则rlI明,----，

anq333"〃+2

•.100%,100x^v1^=3;

由4+i得4+i=%(1一；%)，得-----=7^-”---=；(1+^7)，

33%an3-atl3_^_3〃+1

几+2

1I111

累加可得,---,,-n+-(-+一++----)+1

-3323n+1

1~1,11+—)<34+-x(lx6+-x93)<40,

—„34+-x(-+-+

4oo323100328

lOOfl.QQ>100x—=—

100402

综上，1<10040c<3.

故选：B.

26.(2021•浙江)已知数列｛凡｝满足q=l,«„+,=―H(〃eM).记数列｛%｝的前"项和为S"，则()

1+也

399

A.5Vsi00V3B.3<S100<4C,4<Sl00<-D.-<5l00<5

【答案】A

【解析】因为4=1,。〃+]=---,所以>(J,4=L，所以5HX)>4+%=°，

1+也22

由累加法可得当几.2时,

--^=<-(n-l)=>-iJ=<1+-~=>an>4

A?2必