结构力学讲义

1结构力学Structural Mechanics3目录结构力学(I)第一章 绪论第二章

平面体系的几何构造分析第三章 静定结构的受力分析第五章 影响线第六章 静定结构的位移计算第七章

力法第八章 位移法第九章 渐近法4目录结构力学(II)第十 章 矩阵位移法第十三章

结构的动力计算第十五章 结构的塑性分析与极限荷载结构力学教程(I)、(II)龙驭球

包世华

主编龙驭球 包世华 匡文起高等教育出版社袁驷 编著5第一章 绪 论§1-2结构计算简图§1-1结构力学的内容和学习方法6§1-1结构力学的内容和学习方法一、结构建筑物或构筑物中承受、传递荷载而起骨架作用的部分称为结构。如：房屋中的框架结构、桥梁、大坝等。7万里长城8天安门城楼9国家大剧院10三峡大坝11印度泰姬陵12意大利比萨斜塔13凯旋门14埃菲尔铁塔15吉隆坡石油双塔16桥梁17赵州桥18青马大桥19旧金山大桥20二、结构分类1.杆系结构——杆件长度l远大于横截面尺寸b、h。钢结构梁、柱21埃菲尔铁塔222. 板壳结构悉尼歌剧院——厚度远小于其长度与宽度的结构23清华大礼堂243.实体结构——长、宽、高三个尺寸相近的结构三、结构力学研究的对象和内容1.研究对象由细长杆件构成的体系—平面杆系结构。如：梁、桁架、刚架、拱及组合结构等。2.研究内容平面杆件体系的几何构造分析；讨论结构的强度、刚度、稳定性、动力反应以及结构极限荷载的计算原理和计算方法等。25强度计算在于保证结构物使用中的安全性，并符合经济要求。刚度计算在于保证结构物不会产生过大的变形从而影响使用。稳定性验算在于保证结构不会产生失稳破坏。几何构造分析主要是讨论几何不变体系的组成规律，因为只有几何不变体系才能作为结构来使用。26动力分析是研究结构的动力特性以及在动荷载作用下的动力反应

结构受到的地震力、位移、速度、加速度及动内力等。极限荷载的求解是为了充分发挥结构的承载能力，由讨论结构的弹性计算转变为塑性计算。27§1-2 结构计算简图实际形状工程实例一、支座和支座反力支座定义：把结构与基础联结起来的装置。1.固定支座BA28简图：M

AFyA特点：1) 结构在支座截面不产生线位移和转角；2) 支座截面有反力矩以及x、y方向的反力。AFxA292.

固定铰支座实际形状特点：1) 结构在支座截面可以绕圆柱铰A转动；2) x、y方向的反力通过铰A的中心。AFxAFyAFxAyAFA303.辊轴支座FyA特点：1) 杆端A产生垂直于链杆方向的线位移；2) 反力沿链杆方向作用，大小未知。AA314.滑动支座（定向支座）特点：1）杆端A无转角，不能产生沿链杆方向的线位移，可以产生垂直于链杆方向的线位移；2）杆端存在反力矩以及沿链杆方向的反力。实际构造AFyAMAAFyAMAA32二、几种杆系结构1.

梁1）单跨梁超静定梁2）多跨梁静定多跨梁连续梁梁的特点：梁的轴线通常为直线，水平梁在竖向荷载作用下，截面存在弯矩和剪力。静定梁332.刚架静定刚架超静定刚架刚架的特点：1）刚架通常由梁和柱等直杆组成，杆件间的结点多为刚结点；2）荷载作用下杆件截面存在弯矩、剪力和轴力。343.

拱拉杆拱拉杆无铰拱三铰拱FHFHFVFPFV拱的特点：1)

拱的轴线为曲线，在竖向荷载作用下支座有水平推力F（见图)；H2) 水平推力大大改变了拱的受力特性。354.

桁架和组合结构静定桁架超静定桁架组合结构2) 组合结构则是由梁式杆和链杆组成，其中梁式杆以受弯为主，内力不仅有轴力，还有弯矩、剪力。三、

荷载1.按荷载作用时间长短可分为：恒载——永久作用在结构上的荷载。如自重等。活载——荷载有时作用在结构上，有时又不作用在结构上。如：楼面活荷载，雪荷载。36特点：1)

桁架由直杆组成，所有结点都是铰结点，当荷载作用于结点时，各杆只受轴力；372.

按荷载作用位置可分为：固定荷载——作用位置不变的荷载，如自重等。移动荷载——荷载作用在结构上的位置是移动的，如吊车荷载、桥梁上的汽车和火车荷载。3. 按荷载作用的性质可分为：静荷载——荷载的大小、方向、位置不随时间变化或变化很缓慢的荷载。恒载都是静荷载。动荷载 ——荷载的大小、方向随时间迅速变化，使结构产生显著振动，结构的质量承受的加速度及惯性力不能忽略。化爆和核爆炸的冲击波荷载、地震荷载等都是动力荷载。38四、线性变形体系若体系产生符合约束条件的微小连续变形，材料服从虎克定理，则该体系称为线性变形体系，可以用叠加原理求结构的内力和变形。1.微小连续变形变形与杆件尺寸相比很小，结构变形后几何尺寸无变化，荷载位置及作用线不变，变形符合支座约束条件。2.材料服从虎克定律即应力应变满足关系式：。

E

习题课目录结构力学（

I

）平面体系的几何构造分析静定梁与平面刚架内力分析静定平面桁架内力分析静定结构的位移计算影响线力法（一）力法（二）习题课1习题课2习题课3习题课4习题课5习题课6习题课7习题课 8习题课 9习题课10位移法（一）位移法（二）渐近法习题课11习题课12习题课13习题课14矩阵位移法结构的动力计算（一）结构的动力计算（二）结构的极限荷载结构力学

（

II）习题课 1平面体系的几何构造分析Ⅲ（基础）(2)(1)Ⅲ（基础）a)132

ⅠⅡABCⅠⅡ12 43(2)ⅠⅡ132Ⅲ（基础）b)(3)132ⅡⅠⅢ（基础）(4)ABABCD CⅠⅡⅢADEFⅠⅡⅢCCAEFⅠⅡAAo1a)ⅠⅡ(5)1234 56ⅢBⅠb)123 456CAⅡⅢ(6)ABCⅠⅡ5 12Ⅲ（基础）634163452ⅠⅡⅢb)(5)(7)b)ⅠⅡⅢ（基础）ABCa)ⅠⅡⅢ（基础）ABCAC(8)4ⅠⅡ152Ⅲ（基础）663B(9)ACⅠⅡ12Ⅲ43B5(10)ACⅠ43Ⅲ5216BⅡ(11)Ⅰ3Ⅱ （基础）ABODC121平面体系的几何构造分析第二章§2-1 几何构造分析的基本概念§2-2 几何不变体系的组成规律§2-3 平面体系的计算自由度2§2-1 几何构造分析的基本概念一、几何构造分析的目的1.

判断某个体系是否为几何不变体系，因为只有几何不变体系才能作为结构使用；此外应根据几何不变体系的规律设计新结构。2.

正确区分静定结构与超静定结构。二、基本概念1. 几何不变体系与几何可变体系几何不变体系—若不考虑材料的应变，体系的位置和形状不会改变。3几何可变体系—若不考虑材料的应变，体系的位置和形状是可以改变的。常变体系几何可变体系几何不变体系瞬变体系——可以发生大位移的几何可变体系常变体系叫作常变体系。4瞬变体系——本来几何可变，经微小位移后又成为几何不变的体系称为瞬变体系。常变体系C瞬变体系几何可变体系不能作为结构来使用。B1BAo52. 刚片由于不考虑材料的应变，可以把一根梁、一根链杆或一个几个不变部分作为一个刚体，在几何构造分析中称为刚片。3. 自由度体系在平面内运动时，可以独立变化的几何参数的数目称为自由度。1）一个结点在平面内有两个自由度，因为确定该结点在平面内的位置需要两个独立的几何参数x、y。62）一个刚片在平面内有三个自由度，因为确定该刚片在平面内的位置需要三个独立的几何参数x、y、φ。4. 约束凡是能减少体系自由度的装置就称为约束。结点自由度xyAyx刚片自由度xyyxφ7链杆约束xxx,

xxy1 2 3x,

y,

,

,

3

1

2约束的种类分为：1）链杆简单链杆 仅连结两个结点的杆件称为简单链杆。一根简单链杆能减少一个自由度，故一根简单链杆相当于一个约束。yφy8n=3复杂链杆 连结三个或三个以上结点的杆件称为复杂链杆，一根复杂链杆相当于（2n-3）根简单链杆，其中n为一根链杆连结的结点数。(2n

3)

2

3

3

32）铰简单铰

只与两个刚片连结的铰称为简单铰。一个简单铰能减少体系两个自由度，故相当于两个约束。复杂铰

与三个或三个以上刚片连结的铰称为复杂饺。9铰约束xyxIII

2

1x,

y,

1

,

2y2(3-1)=4xyxIIIIII

1

3

2x,

y,

1

,

2

,

3y若连结的刚片数为m，则该复杂铰相当于(m-1)个简单铰，故其提供的约束数为2(m-1)个。3）刚性连结看作一个刚片104）瞬铰（虚铰）两根链杆的约束作用相当于在链杆交点处一个简单铰所起的约束作用。故两根链杆可以看作为在交点处有一个瞬铰（虚铰）。AA相交在∞点关于∞点的情况需强调几点：——每一个方向有一个∞点;——不同方向有不同∞点;——各∞点都在同一直线上，此直线称为∞线;——各有限点都不在∞线上。11§2-2 几何不变体系的组成规律一、几何不变体系的组成规律基本规律：三角形规律。1. 规律1—— 一个结点与一个刚片的连接

一个结点与一个刚片用不共线的两根链杆相连，则组成几何不变体系且无多余约束。被约束对象：结点A，刚片I提供的约束：两根链杆1，2A12I12右图示体系，结点A、刚片I由共线的链杆1，2相连，是瞬变体系。A12I提供的约束：铰A及链杆1AI2. 规律2—— 两个刚片之间的连接两个刚片用一个铰以及与该铰不共线的一根链杆相连，则组成几何不变体系且无多余约束。II被约束对象：刚片

I，II113铰A也可以是瞬铰，如右图示。3. 规律3—— 三个刚片之间的连接

三个刚片用三个铰两两相连，且三个铰不在同一直线上，则组成几何不变体系且无多余约束。被约束对象：刚片

I，II，III提供的约束：铰A、B、CA1IIIAIIIIIIBC14刚片I,

II——用铰A连接刚片I,III——用铰B连接刚片II,III——用铰C连接II4. 规律4—— 两个刚片之间的连接两个刚片用三根不交于同一点的链杆相连，则组成几何不变体系且无多余约束。

AI3II21被约束对象：刚片

I，II提供的约束：链杆1，2，3AIIIIBC155. 关于无穷远瞬铰的情况III一个瞬铰C在无穷远处，铰A、B连线与形成瞬铰的链杆1、2不平行，故三个铰不在同一直线上，该体系几何不变且无多余约束（图a）。A1IIB2Ia)C16b)III瞬铰B、C在两个不同方向的无穷远处，它们对应于无穷线上两个不同的点，铰A位于有限点。由于有限点不在无穷线上，故三铰不共线，体系为几何不变且无多余约束（见图b）。BIICIA17形成瞬铰B、C的四根链杆相互平行（不等长），故铰B、C在同一无穷远点，所以三个铰A、

B、C位于同一直线上，故体系为瞬变体系（见图c）。AIIIIICIBc)18二、举例解题思路：基础看作一个大刚片；要区分被约束的刚片及提供的约束；在被约束对象之间找约束；除复杂链杆和复杂铰外，约束不能重复使用。例2-2-1 试分析图a)所示体系的几何构造。a）192a）13II（基础）4D5I解：1）被约束对象：刚片I,II及结点D。刚片I、II用链杆1、2、3相连，符合规律4，组成大刚片I

；大刚片

I

、结点D用链杆4、5相连，符合规律1。故体系为几何不变且无多余约束。202）被约束对象：刚片I,II,III及结点D，见图

b)。oA III B1234DIb） II（基础）刚片I、II用链杆1、2相连(瞬铰o)；刚片I、III用铰B相连；刚片II、III用铰A相连。铰A、B、o不共线，符合规律3，组成大刚片I

。大刚片I

与结点D用链杆3、4相连，符合规律1。故体系几何不变且无多余约束。解：21例2-2-2试分析图示体系的几何构造。刚片I、II用链杆1、2、3相连，符合规律4。故该体系几何不变且无多余约束。12II（基础）3I解：22例2-2-3试分析图示体系的几何构造。刚片I、5 4II用链杆1、2相连，

（瞬铰A)；BAC6I刚片I、III用链杆3、4相连，

（瞬铰B)；刚片II、III用链杆5、6相连，

（瞬铰C)。A、B、C三铰均在无穷远处，位于同一无穷线上，故为瞬变体系。12IIIII3解：23例2-2-4试分析图示体系的几何构造。刚片I、II用链杆1、2相连

（瞬铰A)刚片I、III用链杆3、4相连（瞬铰B)刚片II、III用链杆5、6相连（瞬铰C)3因为A、B、C三铰不在同一直线，符合规律3，故该体系几何不变且无多余约束。C2A15IIII（基础）II46B解：24思考题

：

试分析下图示各体系的几何构造组成。a）b）25c）d）e）f）26小结：2）要在被约束对象（刚片或结点）之间找约束，除复杂链杆和复杂铰外，约束不能重复使用。3）注意约束的等效替换。1）要正确选定被约束对象（刚片或结点）以及所提供的约束。27§2-3 平面体系的计算自由度一、复杂链杆与复杂铰1. 简单链杆与复杂链杆简单链杆——仅连接两个结点的链杆称为简单链杆，一根简单链杆相当于一个约束。复杂链杆——连接三个或三个以上结点的链杆称为复杂链杆。一根复杂链杆相当于（2n-3）根简单链杆，其中n为一根链杆连接的结点数。282. 简单铰与复杂铰简单铰——只与两个刚片连接的铰称为简单铰。一个简单铰能减少体系两个自由度，故相当于两个约束。复杂铰——与三个或三个以上刚片连接的铰称为复杂铰。若刚片数为m，则该复杂铰相当与

(m-1)个简单铰，故其提供的约束数为2

(m-1)。3. 封闭刚架有三个多余约束无多余约束29二、计算自由度1.将体系看作刚片、铰、刚结以及链杆组成的体系，其中刚片为被约束对象，铰、刚结、链杆为约束。则计算自由度公式为：m—刚片数；

g—简单刚结数；h—简单铰数；b—简单链杆数在求解时，地基的自由度为零，不计入刚片数。W

3m

(3g

2h

b)302.将体系看作结点以及链杆组成的体系，其中结点为被约束对象，链杆为约束。则计算自由度公式为：j—结点数；b—简单链杆数。3. 混合公式——约束对象为刚片和结点，约束为铰、刚结和链杆。则计算自由度公式为：m、j、g、h、b意义同前。W

2

j

bW

(3m

2

j)

(3g

2h

b)314. 一个体系若求得W>0，一定是几何可变体系；若W

0，则可能是几何不变体系，也可能是几何可变体系，取决于具体的几何组成。所以W

0是体系几何不变的必要条件，而非充分条件。三、例题例2-3-1 试求图示体系的计算自由度。A I II C IIIB 1 2解：m=3 g=0 h=3 b=3W

3

3

(2

3

3)

9

9

03E1032例2-3-2求图示体系的计算自由度。2解：m=2 g=1 h=1 b=5AI II1345例2-3-3 求图示体系的计算自由度。解：j=5b=10W

2

5

10

067D9A12C3458BW

3

2

(3

1

2

1

5)

6

10

433例2-3-4求图示体系的计算自由度。I解: 用混合公式计算。m=1 j=5 g=2 b=10W

(3

1

2

5)

(3

2

10)

13

16

3A B CDE1234567891034例2-3-5求图示体系的计算自由度。解: 用混合公式计算。m=2 j=4 h=1 b=12W

(3

2

2

4)

(2

1

12)

14

14

01BDA24678E35I9101112CII静定梁与平面刚架的内力计算习题课

2一、求刚架支座反力

2FP

(

)FxA

FP

(

)1(3F

a)2.5a

1.2FP

(

)FyA

1.2FP

(

)yBPF

0

MC2) I-I右

1

3a(1.2FP

5a)FxB

FP(1)ⅠⅠaaa2.5aFxA=FP2.5aCABFxB=2FPFyB=1.2FPFyA=1.2FP

M

A

01)

整体平衡1) I-I右

0

Fy

0FyBFyA

0

M

A

0F

1

(F

2a)

2F

(

)xB

PPaFxA

3FP

(

)(2)ⅠⅠaaa2aABFxA=3FPFxB=2FPFPFyB=0FyA=02)

整体平衡二、已知M

图，试给出三种以上支座与荷载状态。llFP

lFP

lFPa)FP

lFPb)FP

lc)FP

lFP

lFPd)FP

lFPFP三、速画弯矩图llFP(1)llFP

lFP

lFP(2)2m2m2m/lA02m/lll2mAll(3)qABlllqlll0.5ql20B2ql22ql0 A2ql2(4)qlll/2l/2q0.125ql2lll/2l/2(5)aFPaaFPa0aFPaaFPaFP0a1.5qa2a2aq01.5qa2qa2qa(6)aa2aqqall/2l2qq(7)ll/2l/20.5ql20.5ql2qqqlql(8)ll/2l/2FPll/2l/2FP

lFP

lFPlFPFP(9)ll/2l/2mmll/2l/200mmm/lmm/lmFQ=0FQ=0ll/2l/20.5ql2qql0(10)ll/2l/2q(11)lll/2l/2FPllFPl/4l/2l/2FPl/2FP(12)llmlmmllml2m2mm(13)FPFPaaaaaaFPaFPa0FPFPaaaaaaFPa2FPaF aPFPa(14)FPl/2lll/2FP

lFPl/2lll/2FP0FP

lF lPF lP2FP

l四、求

l，使梁中正、负弯矩最大绝对值相等。l

2L

/

2Lql2/8ql2/8ql2/822L2

2l

2

l

2L

2

ql882qL五

、试由梁的M图反求荷载。（AB段M图为二次抛物线）AEB2mCD1161722212m2m2m11)

1

q

42

62q

68q

3kN

/

m2)

由

ME右

21kN.m(下拉)

10.5kN

(

)FyB得q=3kN/mFP=10kNFyB=10.5kNFyA=11.5kN20kN.mEAB2m 2mCD1161722212m2m15) D截面弯矩图有尖点，故该截面作用有集中力：

0

FP

10kN

(

)

。

Fy3)

由

ME左

1kN.m(下拉)可知E截面有集中20力kN偶.m:( )

。4) 考虑AD段平衡:

MDFyA

11.5kN

(

)

。

01静定结构的受力分析第三章§3-1 杆件受力分析§3-2 静定多跨梁受力分析§3-3 静定平面刚架受力分析§3-4 静定平面桁架受力分析§3-5 组合结构受力分析§3-6 三铰拱受力分析§3-7 静定结构总论2静定结构的定义：从几何组成的观点看，几何不变且无多余约束的结构称为静定结构。从静力分析的观点看，静定结构的内力可以由三个平衡方程唯一确定。平衡方程为：或：（A,B,C不在同一直线上）

0

0

M

0

Fx

Fy

0

0

0

MA

MB

Mc§3-1杆件受力分析3一、隔离体1.

内力正负号在结构力学中，要求弯矩图画在杆件受拉边，不注正负号,剪力图和轴力图要注明正负号。上图中弯矩正负号的规定通常用于梁。FQFQFQFQFNFNFN

FNMMMM42. 隔离体作隔离体应注意下列几点：1）隔离体与其余部分的联系要全部切断，代之以相应的约束力；2）约束力要与被切断的约束性质相应；FxAFyAM

AAACFNCFQCFxAFyAAACB53）隔离体只画受到的力，不画该隔离体施加给其余部分的力；4）不要遗漏力。隔离体受力图应包括荷载以及受到的全部约束力；5）已知力按实际方向表示，注明数值。未知力按正方向表示。6二、荷载与内力之间的微分关系和增量关系

0

FyydFQ

qdxM

-(M

dM)

F dx

(F

dF )

dx

02 2Q QQd

2

Mdx2

FQdx

qydMOM

0

yM＋dMxqyqxF +dF1. 微分关系MFNFQFQ

dFQ

qydx

FQ

0Ndx FQ

dFQNo7qxdx

dFN

0

qxdFNdx小结：1）剪力图上某点切线的斜率等于该点横向荷载的集度，但正负号相反。2）弯距图上某点切线的斜率等于该点的剪力。3）弯距图上某点的曲率等于该点的横向荷载的

集度，但正负号相反。4）轴力图上某点的斜率等于该点轴向均布荷载的集度

qx，但正负号相反。F

0x

8因此：若剪力等于0，M图平行于杆轴；若剪力为常数，则

M图为斜直线；若剪力为x的一次函数，即为均布荷载时，M图为抛物线。92. 集中荷载与内力之间的增量关系

0

Fy

0

MB

0FQB右

FP

FQB左

FQB左

FPFQB右M

M

(F

F

)02B左QB左B右QB右MB左

MB右dx

xyFPMB左MB右FQB右dxBFQB左101）在有集中力作用点的左右截面，剪力有突

变。剪力图有台阶，台阶高度等于FP。2）M图上有尖点，尖点指向同集中力的指向。小结：11

0

Fy

MB

03. 集中力偶与内力之间的增量关系mxdxyMB左MB右FQB右BFQB左FQB右

FQB左

(F

F

)

02B左QB左B右QB右

MB左

mMB右dxM

m

M121）集中力偶作用点左右截面的弯矩产生突变，M 图有台阶，台阶高度等于m。2）左右截面剪力不变。小结：mm/2m/2l/2l/213三、分段叠加法作弯矩图分段叠加法是依据叠加原理得到的作

M 图的简便作图法。叠加原理：结构中由全部荷载所产生的内力或变形等于每一种荷载单独作用所产生的效果的总和。只有线性变形体才适用叠加原理。qABBA=A+ qBMAMBMAMBMAMB14现在讨论分段叠加法的做法，见下图。ABDCFPqmBAC CFPD DqmMCMC MDMDBAC CFPD

DqmMCMCMDMD15在求出各控制截面A、C、D、B在全部荷载作用下的弯矩后，任意直杆段的

M图就转化为作

相应简支梁在杆端力偶及杆间荷载作用下的M图的问题。ABDCFPqmCDABMCMD基线基线基线16步骤：1）选定控制截面，求控制截面在全部荷载作用下的

M值，将各控制面的

M 值按比例画在图上，在各控制截面间连以直线——基线。控制截面：集中力或者集中力偶作用截面，分布荷载的起点和终点以及梁的左、右端支座截面等。2）对于各控制截面之间的直杆段，在基线上叠加该杆段作为简支梁时由杆间荷载产生的M图。17例3-1-1作图示单跨梁的M、FQ图。1）求支座反力M

0 F

1

(8

7

4

4

4

16)

1

136

17kN(

)8 8yA

(8

4

4

1

7

)

7

k

N

(

)F

yF

AFD EC8kN4kN/m16kN.mBFyA=17kN 1m解：1m FyF=7kN1m1m4m

F

Fy

0182）选控制截面A、C、D、F并求弯矩值。已知

MA＝0，

MF＝0。1m 1mA17kNC8kNMCFQCA2mDF7kN16kN.mMDFQDF取右图AC段为隔离体：取右图DF段为隔离体：M

0C

MC

8

1

17

2

0MC

34

8

26kN.m(下拉)

0

MDMD

16

7

2

0MD

16

14

30kN.m(下拉)193) 作M图将MA、MC、MD、MF的值按比例画在图上，并连以直线（称为基线）；对AC、CD、DF段，再叠加上相应简支梁在杆间荷载作用下的

M图即可。4) 作FQ图30M图（kN·m）B C D EAF1726723CD EAF1797FQ图（kN）

7B20例3-1-2作图示单跨梁的M、FQ图。解：130kN1）求支座反力M

0 F

1

(160

6

40

4

2

80

40

28

40

2

1)

1040

/

8

130kN

(

)yA

E

(160

40

6

40)

130

440

130

310

kN

(

)FyE

0

Fy40kNAFD160kN40kN/m80kN·mBE2m310kN1m1m2m4mCFQDC212）选控制截面A、C、D、E、F，并求弯矩值

。已知

MA＝0

，

MF＝0。1m 1mA130kNCFQCA80kN·mMc80kN·mAC160kN1m 1m130kN2mDMD取右图AC段为隔离体：取右图AD段为隔离体：

0

MCMC

130

2

80

340kN.m(下拉)

0

MDMD

130

4

80

160

2

600

320

280kN.m(下拉)22对悬臂段EF：

0

MEM

40

2

1

40

22

80

80

160kN.m(上拉)2E233) 作M、FQ图将MA、MC、MD、ME

、MF的值按比例画在图上，并连以直线（称为基线）；对AC、DE、EF段，再叠加上相应简支梁在杆间荷载作用下的M图即可。E190A B CFD13030FQ

图（kN）12040M图（kN·m）340FADB CE13021028014016024小结：1）弯矩叠加是指竖标以基线或杆轴为准叠加，而非图形的简单拼合；2）应熟悉简支梁在常见荷载下的弯矩图；3）先画M图后画FQ图，注意荷载与内力之间的微分关系。25四、斜杆受力分析以下图示斜梁为例进行讨论。qBFyA=ql/2解：AlCxFyB=ql/2F =0xAqlcosθθqlsinθqlθl

tgθ1）支座反力如上图示。2）求任一截面C之MC、FQC、FNC

。26取右图AC段为隔离体：q

MC

0M

1

qx2

1

qlx

02 21M

C

2 qx

(l

x

)(下拉

)(0

x

l

)Csqxcosθqxsinθqx

ql/2)/2

(qlcosθ)/ A2(qlsinθMCθql/2xC

FFQCrNC27qxcosθqxsinθqx

ql/2)/2

(qlcosθ)/2(qlsinθsAMCθql/2C

FqxFQCrNC

Fr

0F

qx

cos

ql

cos

02F

q(

l

x)

cos

(0

x

l)2QCQC

FS

0F

1

ql

sin

qx

sin

02F

q(

l

x)

sin

2(0

x

l)NCNC28斜杆上的竖向分布荷载可以分解为垂直杆轴和沿杆轴方向的分布荷载，如下图示。qlqlcosθθqlsinθ(qlcosθ)/2AB(qlsinθ)/2(qlsinθ)/2(qlcosθ)/2qcos2θqcosθsinθθ29(qlcosθ)/2

(qlcosθ)/2(qlsinθ)/2(qlsinθ)/2FN

图ql2/8M图F 图Q3) 作内力图。30例3-1-3作图示斜梁的内力图。90°FQBAlCBxθl/cosθ

qlqlcosθθqlsinθqFyAFxA31解：1)

求A、B截面剪力和轴力

0

Fr

Fsq

l

s

i

n

0F

N

A

B

ql

sin

FNAB

01FQAB

ql

cos

ql

cos

021

ql

cos

2FQABFQABlAqlcosθrθsqlsinθBFQBAFNABql/cosθqlθ

ql

2cos

2 l

1

ql

cos

2FQB

M

0

A322) 求跨中截面MCFNAB取图示CB段为隔离体：

0

MCM

1

q

(

l

)2

1

ql

cos

1

02 2 2 2cos

ClFQABBl/2（qlcosθ）/2MCqCM

1

ql

2

1

ql

2

1

ql

2

(

下拉

)4 8 8C333) 作内力图。qlsinθFN图qlcosθ/2qlcosθ/2ql2/8M图F 图Q34注意下图示梁C、D截面弯矩图的画法。AqBDC35§3-2 静定多跨梁受力分析一、静定多跨梁的构造特征和受力特征1.构造特征静定多跨梁由两部分组成，即基本部分和附属部分。组成的次序是先固定基本部分，再固定附属部分，见下图。A C DBABC附属部分2 D附属部分1基本部分362. 受力特征由静定多跨梁的组成顺序可以看出，若荷载作

用在基本部分上，则附属部分不受力；若荷载作用在附属部分上，则基本部分同样受力。因此，静定多跨梁的内力分析应从附属部分开始，即首先要求出附属部分传给基本部分的力。二、内力分析解题步骤：1）画组成次序图

；2）从附属部分开始求出约束力，并标注于图中。注意附属部分传给基本部分的力。3）对于每一段单跨梁，用分段叠加法作M图。37例3-2-1作图示静定多跨梁的M图和FQ图。AB CD1.5m 1.5m 1m解：1）作组成次序图EF4kN/m10kN20kN1.5m1.5m 1m3m组成次序图ABDCEF4kN/m10kN20kN382）求附属部分和基本部分的约束力

09kN1.5m 1.5m对于CE段梁:

MD

0

1

(10

1.5

6

1)

9

3kN

(

)3 3FyC

Fy

13kN

(

)FyDABDCE20kN1m 1.5m1.5m 1m3m14kN3kN13kN6kNF6kN4kN/m10kN39对于AC段梁:

0

MBF

1

(20

1.5

3

1)

27

9kN

(

)yA

3

3

0

Fy

14kN

(

)FyBABDCE20kN9kN1.5m 1.5m1m 1.5m1.5m 1m3m14kN3kN13kNF6kN4kN/m10kN6kN403）内力图如下图示ABDCEF4.5M图（kN·m）13.5364.5BDCEFQ图（kN）9113766F41例3-2-2作图示静定多跨梁的M图和FQ图。40kNAB2m 2m 2m 2m解：1）作组成次序图80kNCD40kN·mE FG40kNHKL40kN·m20kN/m2m

1m1m 2m2m组成次序图40kNABC80kN 40kN·m 40kNHDEFGKL40kN·m20kN/m422）求附属部分和基本部分的约束力梁各部分的受力如上图示，作用于铰结点D的集中力（80kN）可看作直接作用于基本部分AD上。FyA15kN40kNABC80kNDEFGKL10kN 40kNH40kN·m40kN·m25kN20kN/m125kN10kNDF65kNFyCFyHFyL43对于AD段梁：F

1

(

40

2

70

2)4

60

15kN

(

)4yA

MC

0

Fy

0

125kN

(

)Fyc40kNABC10kN80kNDFyC=125kNFyA=15kN2m 2m 2m44F

1

(40

5

10

6

20

2

1

40)4

1

(200

60

40

40)

65kN

(

)4yH

0

ML

0

Fy对于FL段梁：

10kN 40kNH

25kN

(

)FyLF GKLFyH=65kN

40kN·m

FyL=25kN20kN/m1m1m 2m2m453）内力图如下图示ABCD20EF GHKL301402010603040M 图（kN·m）ABCDEF G

HKL25155570101550FQ图（kN）46例3-2-3求x的值，使梁正、负弯矩相等。qADE Bl－xqCxlDFyDAq(l-x)/2ECBq(l-x)/2qFyCB解：BD跨为基本部分，AB跨为附属部分。47AB跨跨中弯矩ME为：M

1

q(l

x)28EBD跨支座C负弯矩MC为：M

1

q(l

x)x

1

qx22 2C令ME=MC

得：1

q(l

x)2

1

q(l

x)x

1

qx28 2 2x

2

6

l

x

l

2

0M

M

0.085787ql

2x

0.17157lCEADFyDECB q(l-x)/2=0.4142

qlqFyCxB0.4142

ll－xlq(l-x)/2q48对于BD杆：CD跨最大弯矩为：F

1

(

1

ql

2

0.414215ql

0.17157l

1

q

[0.17157l]2

)l 2 2

0.414215qlyD

0

MCM

(0.414215)2

ql

2

q(0.414215l)2

/

2

0.085787ql

2maxDFyDCq0.414215

qlFyCB0.414215

ll0.17157l49§3-3 静定平面刚架受力分析一、基本概念平面刚架由梁和柱组成，梁和柱通常用刚结点相连接。刚结点有如下特征：几何特征——一个简单刚结点相当于三个约束，能减少体系三个自由度。变形特征——在刚结点处，各杆端截面有相同的线位移及角位移。静力特征——刚结点能传递弯矩、剪力和轴力。508kN·mB8kN·m88B12kN·m5kN·m17kN·mA175AααA A

51二、静定平面刚架分类悬臂刚架——梁为悬臂杆，如火车站之月台结构；简支刚架——用三根链杆或一个铰和一根链杆与基础相连组成的刚架；三铰刚架——三个刚片(包括基础)用三个铰两两相连组成的刚架。在竖向荷载作用下，三铰刚架的支座存在水平推力。悬臂刚架简支刚架三铰刚架52例3-3-1作图示平面刚架内力图。4

kN/mAC2m4mKBDEHG2kN2m2mF2kNFxK=1kNFyK=2kNFyG=30kN2mFxA=1kN三、静定平面刚架内力分析举例53解：ACD为附属部分，其余为基本部分。1）支座反力考虑附属部分ACD：考虑刚架整体平衡：AC2m2kN BD1kN2m2mFxA=1kN4

kN/m8kN

0

MD14(2

2

4

2

1)

3kN

(

)FxA

0

1kN

(

)

(

4

2

4

8

4)

/

4

30kN

(

)

32

30

2kN

(

)

0

0

FxFxK

FyGFyK

MK

Fy542) 作M图取右图示EHK部分为隔离体：KEH1kN1kN2kN4kN/m4m4mMEH14kN

0

ME

1

4

4

4

2

2

4

36

8

28kN.m(上拉)M

EH55各柱上端弯矩为：取右图示DE部分为隔离体：DE16kN4kN/m2m8kNMEDE28244

0

ME

8

2

4

2

1

16

8

24kN.m(上拉)M

ED

8kN.m(右拉)

4kN.m(左拉)M

HK

4kN.m(右拉)MCAM

EF56AC 8KB 6DEHGF4242848M

图（kN·m）8573) 作FQ图杆端剪力可以用投影方程或力矩方程求解，本题剪力很容易用投影方程求得。下面以EH杆为例说明用力矩方程求剪力的方法。取右图示EH杆为隔离体：E4kN/m4mFQHE4kN·mHFQEH28kN·m

0

(28

4

4

2

4)

/

4

(56)

/

4

14kN

MHFQEH

0

(28

4

4

2

4)

/

4

(

8)

/

4

2kN

MEFQHE58ACKBDEHG16 F 2311421FQ图（kN）594) 作FN图各杆轴力可以用投影方程求解。根据剪力图，取各刚结点为隔离体，用投影方程求轴力。E14161-1-302C0011H2-1-2160ACKDEHG11302FN图（kN）61例3-3-2作图示三铰刚架内力图。DEABqCql/8解：1) 支座反力整体平衡：3ql/8ql/8ql/8l/2l/2l/2l

21

11

0

FyA

(

q

)

ql(

)l 24 8F

0

F

1

ql(

)8

MB

yyB62由CEB部分平衡：BECl/2l/2FxB

ql

8FyB

0F

2

(

1ql

l

)

1ql

(

)l 8 2 8

M

CxB由整体平衡：

0F

3

ql(

)8

FxxA632) 作M图AD杆：MDA＝ql2/16(右拉)M中＝ql2/16(右拉)ABEq

CD ql2/16ql/83ql/8ql/8ql/8ql2/16ql2/16M图643) 作FQ、FN图很容易作出剪力图和轴力图如下图示。FQ图3ql/8ql/8ql/8ql/8ql/8ql/8ql/8FN图65例3-3-3作图示三铰刚架内力图。FxB1.385kNFyB1.5kN1kN/mABDECFyA4.5kNFxA1.385kN6m6m4.5m2m66解：1) 支座反力考虑整体平衡:由BEC部分平衡：FxBFyB1kN/mFxA

ABDECFyA6m6m4.5m2m

0

MBFyA

(1

6

9)

/12

4.5kN

(

)

0

6

4.5

1.5kN

(

)

FyFyB

0

MC

(1.5

6)

/

6.5

1.385kN

(

)FxA

1.385kN

(

)FxB672) 作M

图斜杆DC中点弯矩为：弯矩图见下图。1kN/mA4.5kNBDEC1.5kN1.385kN6.236.231.385M

图(kN.m)1.385kNM

1

62

/

8

6.23

/

2

1.385kN.m(下拉)中683) 作FQ图斜杆用力矩方程求剪力，竖杆、水平杆用投影方程求剪力。对于DC杆：

MC

0

0

MD1(1

6

3

6.23)40

24.23

3.83kN40FQDC

1(

1

6

3

6.23)40

11.77

1.86kN40QCDF

D1kN/m6mFQDCCFQCD6.234069对于EC杆：

0

ME竖杆AD、BE的剪力用投影方程很容易求得。剪力图见下页图。F

6.23

0.985kN40

0.985kNQCEFQEC6m6.23EFQECFQCE

40C70FQ

图

(kN)3.83AD1.391.860.991.39BEC714) 作FN图竖杆、水平杆及斜杆均用投影方程求轴力。s结点D：

(4.5

sin

1.385

cos

)1 3

(4.5

1.385

)10

10

8.655

10

2.737kN

(压)FNDC

0

FSD1.385FNDCα4.5131072结点E：

(1.5sin

1.385

cos

)1 3

(1.5

1.385

)10 10

5.655

10

1.788kN

(压)FNEC

0

FS

1.788kN

(压)

FNCEE1.385FNECα1.5s131073右下图中，将结点C处的水平力和竖向力在杆DC的轴向投影得：∑FS＝0

(1.5sin

1.385

cos

)1 3

(1.5

1.385

)10 10

2.655

10

0.839kN

(压)FNCD轴力图见下页图。D1kN/mC1.51.385FNCDαA4.5s1.3851.385131074FN

图

(kN)ABDE2.74C4.50.841.791.5075例3-3-4求图示支座不等高三铰刚架的支座反力。qFyBFSAFxAFxBaFy

AyAF

aaaaACB763ayA2) 取AC部分为隔离体，将FSA分解为

Fy

A及FxA＝3

Fy

A

。

0

MC解：将支座A的反力分解为竖向反力Fy

A及沿AB连线方向的反力FSA。

1 (q

3a

1.5a)

1.5qa(

)M

0

F

5aF

1.5qa

2a

2qa23Fy

A

a

Fy

A

2a

q

2a

a

Fy

A

2a

0

0.2qa(

)

3Fy

A

0.6qa(

)

Fy

A

Fy

A

1.5qa

0.2qa

1.3qa(

)yAFy

AFyAFxA1）

整体平衡

B773）

整体平衡求FxB及FyB

0

FxA

0.6qa(

)

FxFxB

0

3qa

FyA

3qa

1.3qa

1.7qa(

)

FyFyB78下面讨论对称结构的求解问题。1) 对称结构对于求静定结构的内力来说，只要结构几何形状和支座对称就可以看作对称结构。若要计算结构的位移，则还要求杆件的材料性能对称，杆件刚度对称。2) 对称结构的受力特性对称结构在对称荷载作用下，其受力对称；对称结构在反对称荷载作用下，其受力反对称。3) 非对称荷载的处理若对称结构的荷载不对称，则可以将荷载拆分为对称荷载及反对称荷载两种情况分别求解。79如下图示对称结构在对称荷载作用下，铰C左、右截面剪力关于竖轴反对称，故该剪力为0。于是很容易求得结构各部分的作用力。2qaED 2qa2qa2qaA0C C0B2qa 02qa2qa2qa0aaaaaqCDyAB80§3-4 静定平面桁架受力分析一、概述1. 桁架分类按几何组成分为：1）简单桁架——从基础或者从一个基本的铰接三角形开始，依次用两根不在同一直线上的链杆固定一个结点的方法组成的桁架称为简单桁架。812）联合桁架——两个简单桁架用一个铰及与之不共线的一根链杆连结，或者用三根不全平行也不全交于一点之链杆连结而成的桁架称为联合桁架。A1213823）复杂桁架——既非简单桁架又非联合桁架则统称为复杂桁架。832. 基本假定1) 各杆均为直杆，且位于同一平面内，杆轴线通过铰结点中心。2) 荷载及支座反力作用在结点上，且位于桁架平面内。3) 铰结点为理想铰，即铰绝对光滑，无摩擦。所以，桁架的杆件只产生轴力，各杆均为二力杆。843. 轴力正负号FN1FN2轴力以拉力为正，压力为负。在结点和截面隔离体中，已知的荷载及轴力按实际方向表示，数值为正；未知轴力一律设为拉力。10kN 15kNABFN15kN85二、结点法结点法可以求出简单桁架全部杆件的轴力。为求各杆轴力，需作结点隔离体。若隔离体只包含一个结点，则称为结点法。作用在结点上的力系为平面汇交力系，有两个平衡方程，可以求出两个未知力。当结点上的未知力有三个或三个以上时结点法失效，但有时能求得其中的一个未知力。86由于平面汇交力系向平面上任意一点的力矩代数和等于零，故除了投影方程外，亦可以用力矩方程求解。平衡方程为：不要用联立方程求桁架各杆的轴力。一个方程求出一个未知轴力。对于简单桁架，截取结点隔离体的顺序与桁架几何组成顺序相反。

0 或

M

A

0

0

Fx

Fy

0

MB87CA几何组成顺序A、B、C、D、E取结点隔离体顺序E、D、C、B、ABDE88应熟练运用如下比拟关系：FN

FxF

y

F

F

FF

Fl lx l

yNxyxylxxyyl

yyxxllFFllllFNFNFNFxFylxlyl89例3-4-1用结点法求各杆轴力。解：1）支座反力FyA=FyB=30kN(↑)FxA=02）判断零杆见图中标注。3）求各杆轴力取结点隔离体顺序为：A、E、D、C。结构对称，荷载对称，只需计算半边结构。A20kNB20kNCDEGFH30kN602m602m2m2m1m1m-67.08-44.72-22.362020kN30kN000EFNEF90结点A

30kN

FyAD

(lx

60kNly

)

30(2

1)

FyAD

(l ly

)

30( 5 1)

67.08kN（压）FyAD

FxADFNAD

0

Fy结点E

Fx60kN0A30kNFNAEFxADFyAD