三角形全等(旋转与截长补短专题)

三角形全等(旋转与截长补短专题)三角形全等基本概念与性质旋转法证明三角形全等截长补短法在证明三角形全等中应用复杂图形中三角形全等问题解决方法总结回顾与拓展延伸contents目录01三角形全等基本概念与性质全等三角形定义及性质全等三角形的定义：两个三角形如果三边及三角分别相等，则称这两个三角形全等。全等三角形的性质对应边相等面积相等周长相等对应角相等SSS（边边边）SAS（边角边）ASA（角边角）AAS（角角边）判定三角形全等条件01020304三边分别相等的两个三角形全等。两边和它们之间的夹角分别相等的两个三角形全等。两角和它们之间的夹边分别相等的两个三角形全等。两角和一角的对边分别相等的两个三角形全等。旋转原理通过旋转一个三角形，使其与另一个三角形重合，从而证明两个三角形全等。截长法在较长的线段上截取一段等于较短线段，再证剩下的线段与另一较短线段相等。补短法将较短线段延长至等于较长线段，再证延长后的线段与较长线段相等。截长补短原理在证明两个三角形全等时，通过截取一个三角形的一部分与另一个三角形的一部分进行拼接，使得两个三角形满足全等的条件。这种方法常用于解决一些复杂的全等问题。旋转与截长补短原理02旋转法证明三角形全等通常选择三角形的顶点或特定点作为旋转中心，以便简化证明过程。旋转中心根据题目条件和图形特点，选择合适的旋转角度，使得旋转后的图形与原图形全等。旋转角度旋转中心与旋转角度选择连接旋转中心和需要旋转的点，构造出旋转的半径。根据旋转角度，在半径上截取相应长度的线段，作为旋转后的点。连接旋转后的点与三角形的其他顶点，构造出全等的三角形。构造辅助线实现旋转过程已知△ABC和△DEF中，AB=DE，∠B=∠E，BC=EF。求证：△ABC≌△DEF。例题1本题可以通过旋转法证明三角形全等。首先选择点B作为旋转中心，将△ABC逆时针旋转至△DEB的位置，使得AB与DE重合。由于∠B=∠E且BC=EF，因此可以构造辅助线连接CF。根据SAS全等条件，可以证明△BCF≌△EFD，从而得出△ABC≌△DEF。解析已知△ABC和△ADE中，∠BAC=∠DAE，AB=AD，AC=AE。求证：BC=DE。例题2本题同样可以通过旋转法证明三角形全等。首先选择点A作为旋转中心，将△ADE顺时针旋转至△ABF的位置，使得AD与AB重合且∠BAC=∠FAB。由于AC=AE且∠C=∠E，因此可以构造辅助线连接CF和BE。根据SAS全等条件，可以证明△ACF≌△AEB，从而得出BC=DE。解析典型例题解析03截长补短法在证明三角形全等中应用步骤观察图形，确定需要截取或延长的线段；利用全等三角形的性质，证明所需结论。根据全等条件，构造辅助线，使得两个三角形满足全等条件；原理：通过截取或延长线段，使得两个三角形在对应边或对应角上满足全等条件。截长补短法原理及步骤截取法通过截取线段，使得两个三角形在对应边上相等。例如，在证明两三角形全等时，可以截取其中一个三角形的一条边，使得这条边与另一个三角形的一条边相等。延长法通过延长线段，使得两个三角形在对应角上相等。例如，在证明两三角形全等时，可以延长其中一个三角形的一条边，使得这条边与另一个三角形的一条边所形成的角相等。构造辅助线实现截长补短过程典型例题解析【例1】已知：在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，BD是∠ABC的平分线，CE⊥BD，垂足为E，BA和CE的延长线交于点F。求证：BD=2CE。【分析】要证明BD=2CE，可以通过截长补短法构造全等三角形。首先延长CE、BA交于点F，由于BE⊥CF和∠FBE=∠CBE，可以证明△BEF≌△BEC，从而得到EF=EC=1/2CF。再证明△ABD≌△ACF，可以得到CF=BD，因此BD=2CE。【例2】已知：在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，P是△ABC内一点，且PA=3，PB=1，PC=2。求证：∠BPC=135°。【分析】本题可以通过旋转法构造全等三角形来解决。将△CPB绕点C逆时针旋转90°得到△CP'B'，连接PP'。由于CA=CB，∠ACB=90°，可以证明△CPP'是等腰直角三角形，从而得到∠CP'P=45°。又因为CP'=PB=1，PP'=2√2，∠APB=∠AP'P+∠CP'P=90°+45°=135°。04复杂图形中三角形全等问题解决方法

分析复杂图形中隐藏信息观察图形特点注意图形的对称性、角的度数、边的长度等，这些可能是解决问题的关键。寻找潜在的全等三角形通过观察和分析，尝试找出可能的全等三角形，以便利用全等三角形的性质解决问题。挖掘隐藏条件根据已知信息和图形特点，挖掘出可能对解决问题有帮助的隐藏条件。根据题目给出的已知条件，结合全等三角形的判定方法，逐步推导出需要的信息。利用已知条件构造辅助线转化问题在必要时，可以通过构造辅助线来简化问题，使问题更容易解决。将复杂问题转化为简单问题，通过解决简单问题来达到解决复杂问题的目的。030201利用已知条件逐步推导例题1已知△ABC和△DEF中，AB=DE，∠B=∠E，BC=EF。求证：△ABC≌△DEF。解析根据题目给出的已知条件，我们可以直接利用SAS全等判定方法证明两个三角形全等。例题2已知△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB于E。求证：△ACD≌△AED。解析首先根据等腰直角三角形的性质可知∠B=45°，再根据角平分线的性质可知CD=DE，最后根据HL全等判定方法证明两个三角形全等。01020304典型例题解析05总结回顾与拓展延伸三角形全等的定义与性质两个三角形如果三边及三角分别相等，则称这两个三角形全等。全等三角形对应边相等，对应角相等。包括SSS（三边全等）、SAS（两边和夹角全等）、ASA（两角和夹边全等）、AAS（两角和非夹边全等）以及HL（直角三角形的斜边和一条直角边全等）。通过旋转操作，可以使两个三角形重合，从而证明它们全等。在证明线段相等或角相等时，常采用截长补短的方法，构造出全等三角形，进而达到证明的目的。三角形全等的判定定理旋转在三角形全等中的应用截长补短法关键知识点总结回顾对全等三角形判定定理的误解01学生容易混淆不同判定定理的适用条件，导致在证明过程中出现错误。应注意准确理解和运用各种判定定理。旋转操作中的误区02在运用旋转证明三角形全等时，学生可能忽略旋转前后的图形关系，导致证明失败。应注意保持旋转前后的图形对应关系。截长补短法的使用不当03学生可能在不适当的场合使用截长补短法，或者在使用时未能正确构造出全等三角形。应注意分析问题的具体条件，合理运用截长补短法。易错难点剖析及注意事项相似三角形是指两个三角形的对应角相等，对应边成比例。相似三角形的性质与全等三角形有相似之处，但也有其独特之处。相似三角形三角函数是研究三角形中角度与边长之