高考数学人教B版一轮复习测评9-5椭圆

核心素养测评五十椭圆(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2019·北京高考)已知椭圆QUOTE+QUOTE=1(a>b>0)的离心率为QUOTE,则 ()A.a2=2b2 B.3a2=4b2C.a=2b D.3a=4b【解析】选B.离心率平方e2=QUOTE=QUOTE=QUOTE,即4(a2b2)=a2,即3a2=4b2.2.已知椭圆QUOTE+QUOTE=1(a>b>0)的一个焦点是x2+y26x+8=0的圆心,且短轴长为8,则椭圆的左顶点为 ()A.(3,0) B.(4,0)C.(10,0) D.(5,0)【解析】选D.因为圆的标准方程为(x3)2+y2=1,所以圆心坐标为(3,0),所以c=3,又b=4,所以a=QUOTE=5,因为椭圆的焦点在x轴上,所以椭圆的左顶点为(5,0).3.已知椭圆QUOTE+QUOTE=1(a>b>0)的离心率为QUOTE,椭圆上一点P到两焦点距离之和为12,则椭圆短轴长为 ()A.8 B.6 C.5 D.4【解析】选A.椭圆QUOTE+QUOTE=1(a>b>0)的离心率e=QUOTE=QUOTE,椭圆上一点P到两焦点距离之和为12,即2a=12,可得a=6,c=2QUOTE,所以b=QUOTE=QUOTE=4,则椭圆短轴长为2b=8.4.(多选)(2020·青岛模拟)已知椭圆C的中心为坐标原点,焦点F1,F2在y轴上,短轴长等于2,离心率为QUOTE,过焦点F1作y轴的垂线交椭圆C于P、Q两点,则下列说法正确的是 ()A.椭圆C的方程为QUOTE+x2=1B.椭圆C的方程为QUOTE+y2=1C.|PQ|=QUOTED.△PF2Q的周长为4QUOTE【解析】选ACD.由已知得,2b=2,b=1,QUOTE=QUOTE,又a2=b2+c2,解得a2=3.所以椭圆方程为x2+QUOTE=1.如图:所以|PQ|=QUOTE=QUOTE=QUOTE,△PF2Q的周长为4a=4QUOTE.5.已知点P(x1,y1)是椭圆QUOTE+QUOTE=1上一点,F1,F2是左、右焦点,若∠F1PF2取最大值时,则△PF1F2的面积是 ()A.QUOTE B.12C.16(2+QUOTE) D.16(2QUOTE)【解析】选B.因为椭圆方程QUOTE+QUOTE=1,所以a=5,b=4,c=QUOTE=3,因此,椭圆的焦点坐标为F1(3,0),F2(3,0),根据椭圆的性质可知,当点P与短轴端点重合时,∠F1PF2取最大值,则此时△PF1F2的面积S=2×QUOTE×3×4=12.二、填空题(每小题5分,共15分)6.(2020·南阳模拟)已知O为坐标原点,F为椭圆C:QUOTE+QUOTE=1(a>b>0)的右焦点,过点F且倾斜角为120°的直线与椭圆C交于第一象限一点P,若△POF为正三角形,则椭圆C的离心率为__________.

【解析】因为|OF|=c,△POF为正三角形,所以|PO|=c,则点P的坐标为QUOTE,故有QUOTE整理得e48e2+4=0,解得e2=42QUOTE,所以e=QUOTE=QUOTE1.答案:QUOTE17.以椭圆C:QUOTE+QUOTE=1在x轴上的顶点和焦点分别为焦点和顶点的双曲线方程为________;该双曲线的渐近线方程为________.

【解析】椭圆C:QUOTE+QUOTE=1在x轴上的顶点为(±QUOTE,0),焦点为(±1,0),设双曲线的方程为QUOTEQUOTE=1(a>0,b>0),可得a=1,c=QUOTE,b=2,可得x2QUOTE=1.双曲线的渐近线方程为:y=±2x.答案:x2QUOTE=1y=±2x8.点M是椭圆QUOTE+QUOTE=1(a>b>0)上的点,以M为圆心的圆与x轴相切于椭圆的焦点F,圆M与y轴相交于P,Q,若△PQM是钝角三角形,则椭圆离心率的取值范围是________. 导学号

【解析】不妨设圆M与椭圆相切于左焦点F,设M(c,yM),由圆的性质可知:|MF|=|MQ|=|MP|=|yM|,则QUOTE=QUOTEc2,即|PQ|2=4QUOTE-4c2,由△MPQ为钝角三角形,即∠PMQ为钝角,则cos∠PMQ=QUOTE=QUOTE<0,所以2c2QUOTE<0.又因为M(c,yM)在椭圆上,代入化简得QUOTE=QUOTE,故2c2QUOTE<0,化简得QUOTE4QUOTE+1>0,即e44e2+1>0,解得e2<2QUOTE或e2>2+QUOTE,又e∈(0,1),所以e2<2QUOTE,故0<e<QUOTE,即离心率的取值范围是QUOTE.答案:QUOTE三、解答题(每小题10分,共20分)9.已知椭圆C:QUOTE+QUOTE=1(a>b>0)的离心率e=QUOTE,且椭圆C经过点(2,QUOTE). 导学号(1)求椭圆C的标准方程.(2)过点P(2,1)作直线l与该椭圆相交于A,B两点,若线段AB恰被点P所平分,求直线l的方程.【解析】(1)由题意得QUOTE解得a2=8,b2=6,所以椭圆C的方程为QUOTE+QUOTE=1.(2)由题意点P在椭圆内部,设A(x1,y1),B(x2,y2),则QUOTE两式相减,得QUOTE+QUOTE=0,AB的中点为P(2,1),所以x1+x2=4,y1+y2=2,代入上式得QUOTE+QUOTE=0,得kAB=QUOTE=QUOTE.所以直线l的方程为y1=QUOTE(x2),即3x+2y8=0.10.若A(x1,y1),B(x2,y2)是椭圆E:QUOTE+y2=1上位于x轴上方两点,且x1+x2=2. 导学号(1)若y1+y2=1,求线段AB的垂直平分线的方程.(2)求直线AB在y轴上截距的最小值.【解析】(1)设AB的中点为M,则M1,QUOTE,由QUOTE得QUOTE+(y1y2)(y1+y2)=0,所以QUOTE(x1x2)+(y1y2)=0⇒QUOTE=QUOTE,即kAB=QUOTE,所以线段AB的垂直平分线的斜率为QUOTE,所以线段AB的垂直平分线的方程为yQUOTE=QUOTE(x1),即9x2y8=0.(2)由题意知AB斜率存在,设直线AB:y=kx+m.由QUOTE得(1+9k2)x2+18kmx+9m29=0,x1+x2=QUOTE=2,即9k2+9km+1=0,①因为A(x1,y1),B(x2,y2)是椭圆E:QUOTE+y2=1上位于x轴上方两点,所以k<0,m>0,②Δ=(18km)24(1+9k2)(9m2即9k2m2+1>0,③结合①②得m=(k)+QUOTE≥QUOTE,当且仅当k=QUOTE时,取等号,此时,k=QUOTE,m=QUOTE满足③.所以直线AB在y轴上截距的最小值为QUOTE.(15分钟35分)1.(5分)(2020·济南模拟)已知两圆C1:(x4)2+y2=169,C2:(x+4)2+y2=9,动圆在圆C1内部且和圆C1相内切,和圆C2相外切,则动圆圆心M的轨迹方程为 ()A.QUOTEQUOTE=1 B.QUOTE+QUOTE=1C.QUOTEQUOTE=1 D.QUOTE+QUOTE=1【解析】选D.设圆M的半径为r,则|MC1|+|MC2|=(13r)+(3+r)=16>8=|C1C2|,所以M的轨迹是以C1,C2为焦点的椭圆,且2a=16,2c故所求的轨迹方程为QUOTE+QUOTE=1.2.(5分)(2019·全国卷Ⅰ)已知椭圆C的焦点为F1(1,0),F2(1,0),过F2的直线与C交于A,B两点.若|AF2|=2|F2B|,|AB|=|BF1|,则C的方程为导学号()A.QUOTE+y2=1 B.QUOTE+QUOTE=1C.QUOTE+QUOTE=1 D.QUOTE+QUOTE=1【解析】选B.如图,由已知可设QUOTE=n,则QUOTE=2n,QUOTE=QUOTE=3n,由椭圆的定义有2a=QUOTE+QUOTE=4n,所以QUOTE=2aQUOTE=2n.在△AF1B中,由余弦定理推论得cos∠F1AB=QUOTE=QUOTE.在△AF1F2中,由余弦定理得4n2+4n222n·2n·QUOTE=4,解得n=QUOTE.所以2a=4n=2QUOTE,所以a=QUOTE,所以b2=a2c2=31=2,所以所求椭圆方程为QUOTE+QUOTE=1.3.(5分)已知椭圆C:QUOTE+QUOTE=1(a>b>0)的右焦点为F,直线l:2xy=0交椭圆C于A,B两点,且|AF|+|BF|=6,若点F到直线l的距离不小于2,则椭圆C的离心率e的取值范围是 导学号()A.QUOTE B.QUOTEC.QUOTE D.QUOTE【解析】选B.设F1是椭圆的左焦点,由于直线l:2xy=0过原点,因此A,B两点关于原点对称,所以四边形AF1BF是平行四边形,所以|BF1|+|BF|=|AF|+|BF|=6,即2a=6,a=3,点F(c,0)到直线l的距离d=QUOTE≥2,所以c≥QUOTE,又c<a,即QUOTE≤c<3,所以e=QUOTE=QUOTE∈QUOTE.4.(10分)已知椭圆C:QUOTE+QUOTE=1(a>b>0)的离心率为QUOTE,点M(2,1)在椭圆C上. 导学号(1)求椭圆C的方程.(2)直线l平行于OM,且与椭圆C交于A,B两个不同的点.若∠AOB为钝角,求直线l在y轴上的截距m的取值范围.【解析】(1)依题意有QUOTE解得QUOTE所以所求椭圆C的方程为QUOTE+QUOTE=1.(2)由直线l平行于OM,得直线l的斜率k=kOM=QUOTE,又l在y轴上的截距为m,所以l的方程为y=QUOTEx+m.由QUOTE得x2+2mx+2m2因为直线l与椭圆C交于A,B两个不同的点,所以Δ=(2m)24(2m2解得2<m<2.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=2m,x1x2=2m2又∠AOB为钝角等价于·<0且m≠0,则·=x1x2+y1y2=x1x2+QUOTE=QUOTEx1x2+QUOTE(x1+x2)+m2<0,将x1+x2=2m,x1x2=2m2化简整理得m2<2,即QUOTE<m<QUOTE,故m的取值范围为(QUOTE,0)∪(0,QUOTE).5.(10分)(2020·武汉模拟)如图,已知椭圆Γ:QUOTE+QUOTE=1左、右焦点分别为F1,F2,分别过F1,F2作两条平行直线AB,CD交椭圆Γ于点A,B,C,D. 导学号(1)求证:|AB|=|CD|.(2)求四边形ABCD面积的最大值.【解析】(1)设直线AB的方程为x=my1,A(x1,y1),B(x2,y2),将x=my1代入QUOTE+QUOTE=1,整理得(3m2+4)y26my9=0,所以y1+y2=QUOTE,y1y2=QUOTE.设C(x3,y3),D(x4,y4),因为AB∥CD,所以CD的方程为x=my+1,代入QUOTE+QUOTE=1,整理得(3m2+4)y2所以y3+y4=QUOTE,y3y4=QUOTE.所以y1+y2=(y3+y4),y1y2=y3y4,所以|y1y2|=|y3y4|,因为|AB|=QUOTE|y1y2|,|CD|=QUOTE|y3y4|,所以|AB|=|CD|.(2)由(1)知四边形ABCD是平行四边形,所以S▱ABCD=4S△AOB,S△AOB=QUOTE·|OF1|·|y1y2|,所以S▱ABCD=2·|y1y2|=2QUOTE=24QUOTE=24QUOTE,设t=1+m2,f(t)=9t+QUOTE+6(t≥1),则f′(t)=9QUOTE=QUOTE>0,所以f(t)在[1,+∞)上递增,f(t)min=f(1)=16,故m=0时,四边形ABCD面积取最大值6.1.设点P为椭圆C:QUOTE+QUOTE=1上一点,F1,F2分别是椭圆C的左、右焦点,且△PF1F2的重心为点G,若|PF1|∶|PF2|=3∶4,则△G