环境流体力学 课件 第一章第二节2场论_第1页
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文档简介

物理学中把某个物理量在空间的一个区域内的分布称为场，显然，这个物理量是空间坐标的函数。1.2.2场论如果这个物理量是数量，则称此场为标量场，记为，如温度场、密度场等；因为标量场的表达式不含有基向量，因此在坐标变换时保持不变，即在空间同一点上。如果这个物理量是向量，，则称此场为向量场，如引力场、电场、磁场等。向量在不同坐标系下存在如下关系：，即如果同一时刻场内各点的函数值都相等，则称此场为均匀场，即，如果场的物理量只随空间位置变化，不随时间变化，这样的场称为定常场，则，；1.2.2场论物理量随空间位置变化，则为不均匀场，随时间变化，则为非定常场，如果不仅随空间位置变化，而且还随时间变化，这样的场为非定常非均匀场。对于非定常场，可以固定某个时刻，对空间导数进行研究方向导数：在函数定义域的内点，对某一方向求导得到的导数，定义为函数的方向导数(注：方向导数可分为沿直线方向和沿曲线方向的方向导数)，记为，其中表示函数，表示方向上的线元。1.2.2场论(1)梯度场梯度表示某一函数在该点处的方向导数沿着该方向取得最大值，即函数在该点处沿着该方向(此梯度的方向)变化最快，变化率最大(为该梯度的模)，记为。其中为哈密顿算子(Hamiltonian)，读作delta或nabla。如图，，其中为等位面的法向方向，分别对应两个等位面。等位面示意图，为等位面的法向方向，为任一方向。性质1：记为方向的单位矢量，方向导数满足在直角坐标系中，

分别取，有显然【例1-4】证明：正交曲线坐标系中梯度算子的表达式为微元在坐标轴()上的投影，例如，在柱坐标中，微元在、上的投影分别是和。于是根据即性质2：梯度满足：1.2.2场论证明：考查对空间自变量的全微分，性质3：函数的梯度：证明：1.2.2场论(2)散度场散度表示在某点处的单位体积内散发出来的物理量的通量(见数学中的高斯公式)，数学表达式为即1.2.2场论(3)旋度场旋度表示向量场对某一点附近的微元造成的旋转程度，数学表达式为即【例1-5】求柱坐标中梯度、散度、旋度的表示。已知：于是：【例1-6】求柱坐标中速度梯度的表达式。已知

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