【矩阵的迹的应用探究12000字（论文）】

矩阵的迹的应用研究摘要作为矩阵的一个重要数字特征，矩阵的迹在计算数学、估计、随机控制及其计量经济理论等方面有重要应用。对矩阵迹的研究，文献[1，3，4]作了一些探讨。例如文献[1]主要讨论了矩阵迹的一些简单性质；文献[3，4]给出了矩阵迹的不等式性质。本文在已有文献[1－4]的基础上，给出了矩阵迹的几个很有用的等式和不等式性质，并给出了简洁证明，最后给出了它们的具体应用的实例。关键词：矩阵迹；不等式性质；逆矩阵；左逆；右逆；目录引言………………………1绪论………………………2一矩阵的迹的理论概述………………2二逆矩阵………………32.1概念……………….42.2左、右逆矩阵存在的条件……….52.3左、右逆矩阵的求法…………….6三应用和例题………..73.1伴随矩阵求逆矩阵和用初等变换求逆矩阵……...81、用伴随矩阵求逆矩阵…………………92、用初等变换求逆矩阵……………….103.2几种变换例析……………………11四矩阵的迹的应用………………….12五结论……………….13六参考文献…………14矩阵的迹的应用绪论矩阵理论及矩阵算法在统计学、经济学、工程计算等许多方面都有着广泛的应用，是现今科学计算中非常重要的工具。随着矩阵理论知识的发展，它在各种模型中的应用也越来越广泛。于一个n阶方阵来说,它的逆矩阵可以采取“单边”定义,即单纯定义左逆或右逆。亦即:设A是一个n阶方阵,若存在一个n阶方阵B,使得AB=E,则B叫做A的逆矩阵(或称为右逆矩阵)。因为对于n阶方阵来说,我们可以证明“单边”定义并对教科书均采取“单边”定义的原因作探讨本文讨论了矩阵理论中与密切相关的几个方面，并用一些有例算意义的变换结果。广义逆矩阵的概念最早是由MooreE.H于1920年提出，但当时并未受到重视。直到1955年PenroseR又提出了广义逆矩阵的概念，并证明了加号广义逆矩阵的唯一性，发现它在许多学科都有广泛应用，这才受到人们的关注。关于广义逆矩阵的性质，[1-2]总结了九十年代以前已有的结果。[3]总结出了加号广义逆矩阵的一些性质。在较严格的条件下，本节证明了加号广义逆矩阵的三条性质。矩阵的广义逆理论与计算在最优化理论、控制理论、计算数学、数理统计等领域中有着广泛的应用.例如在数理统计中,广义逆矩阵对于有限Markov链的研究具有十分重要的作用,Markov链可以由其转移矩阵T描述,Ti表示从状态i到状态j的变迁概率。在回归分析中还可运用矩阵的Moore逆为回归分析建立参数估计方法。在计算数学中,常以广义逆矩阵为工具,研究长方或奇异或约束线性方程组的求解与广义逆矩阵的计算问题。在最优化理论中,可用Moore逆法由阴影恢复立体表面的实现算法求得矛盾方程组的最优解。矩阵在数值分析、优化理论、概率统计、数字信号处理、自动控制等自然科学及工程技术中有着广泛的应用,其中的许多问题都归结为求矩阵及其相关矩阵的代数问题。因此,研究矩阵的左逆和右逆具有重要的理论意义和现实意义。我们认为,由于只有方阵才可能有逆矩阵,因此对于一个n阶方阵来说,它的逆矩阵可以采取“单边”定义,即单纯定义左逆或右逆。亦即:设A是一个n阶方阵,若存在一个n阶方阵B,使得AB=E,则B叫做A的逆矩阵(或称为右逆矩阵)。因为对于n阶方阵来说,我们可以证明“单边”定义并对教科书均采取“单边”定义的原因作探讨。矩阵的迹及其应用是高等数学的重要内容，也是工程理论研究中的重要工具。本文在前人研究的基础上，首先介绍了矩阵迹的相关性质，然后给出了矩阵不等式的证法，最后对矩阵的应用给出实例.矩阵作为一种基本的数学工具，在数学体系中有着不可缺少的地位人类对于矩阵的研究历史极为悠久，据考证，早在史前年代拉丁方阵和幻方就已经有人开始研究历经千万年人类历史发展和科技进步，矩阵及其理论体系早已形成并得到逐步的发展和完善，它在现代科学技术的各个领域都有着广泛的应用同时也吸引着无数计数学家们的深入探索和研究，并且获得了极为丰硕的成果，为数学的发展史添上了精彩的一幕设有阶矩阵；那么矩阵的迹就等于的特征值的总和，也即矩阵的主对角线元素的总和矩阵的迹作为矩阵的一个重要数字特征在计算数学、数值估计、滤波、随机控制及其计量经济理论等方面都有着重要的应用国内外学者对此进行了深入研究，并取得了一系列重要成果许多量的计算最终都会归结到矩阵迹的运算因此，作为矩阵的迹，它有着无穷的奥秘，正等待着我们做进一步的探索、研究和发现在矩阵理论中，尤其是矩阵迹的不等式，有着更为突出的解决实际问题和理论问题的特点它在许多领域，诸如管理科学与工程、信息科学与技术、系统工程、通信工程、数值分析、逼近论、测量误差、噪声、病态矩阵、最优化理论、概率统计、运筹学、控制论、等学科以及统计估计都有着相当多的应用本文我们将讨论有关矩阵迹的一些重要不等式，以及它们在逼近论中矩阵逼近方面的应用同时还给出了一些关于矩阵和的控制不等式，以及对著名迹不等式的推广，矩阵乘积的特征值和奇异值估计，并运用矩阵特征值与奇异值不等式的性质，对矩阵幕乘积之迹方面的不等式做了相应的推广.矩阵迹的不等式是矩阵理论的主要课题之一，许多量的计算最终都会归结到矩阵迹的运算控制不等式作为一种数学工具，它常常能够深刻地描述许多数学量之间的内在关系，几乎渗入到各个数学领域而且处处扮演着精彩角色范数是典型的酉不变范数，是研究最小二乘解，矩阵扰动的主要手段乘积是一种比较特殊的矩阵乘法，在组合论中的组合方案，概率论中的特征函数及通信工程等方面都有着重要的应用。一矩阵的迹的理论概述矩阵的迹（trace）是一个数学专业名词，X∈P（n×n）,X=（xii）的主对角线上的所有元素之和称之为X的迹，记为tr(X)，即tr(X)=∑xii。矩阵的迹在矩阵理论中有着重要的作用，它在矩阵估计与计算有着重要的一席之地(参见文献[29][30]>。而利用Hermite阵探讨约束条件下矩阵迹的研究也较多(参见文献[31-32]，涉及内容也非常广泛，特别是在线性模型参数估计最优性方面发挥着重要的作用(参见文献。本节首先建立在约束条件XX=I:下给出了tr(XAX-(XA-'X)-')的上界，但是XX-I:范围太苛刻，本节中我们将可逆矩阵X和XX=△分别代替XX=I:并且得到了与在约束条件XX=I:下给出的tr(XAX-(XA-'X)-')的上界相一致的不等式的结果。(1)设有N阶矩阵A，那么矩阵A的迹（用tr（A）表示）就等于A的特征值的总和，也即A矩阵的主对角线元素的总和。1.迹是所有对角元的和2.迹是所有特征值的和3.某些时候也利用tr(AB)=tr(BA)来求迹(2)奇异值分解（Singularvaluedecomposition）奇异值分解非常有用，对于矩阵A(p*q)，存在U(p*p)，V(q*q)，B(p*q)（由对角阵与增广行或列组成），满足A=U*B*VU和V中分别是A的奇异向量，而B是A的奇异值。AA'的特征向量组成U，特征值组成B'B，A'A的特征向量组成V，特征值（与AA'相同）组成BB'。因此，奇异值分解和特征值问题紧密联系。如果A是复矩阵，B中的奇异值仍然是实数。SVD提供了一些关于A的信息，例如非零奇异值的数目（B的阶数）和A的阶数相同，一旦阶数确定，那么U的前k列构成了A的列向量空间的正交基。(3)在数值分析中，由于数值计算误差，测量误差，噪声以及病态矩阵，零奇异值通常显示为很小的数目。将一个矩阵分解为比较简单或者性质比较熟悉的矩阵之组合，方便讨论和计算。由于矩阵的特征值和特征向量在化矩阵为对角形的问题中占有特殊位置，因此矩阵的特征值分解。尽管矩阵的特征值具有非常好的性质，但是并不是总能正确地表示矩阵的“大小”。矩阵的奇异值和按奇异值分解是矩阵理论和应用中十分重要的内容，已成为多变量反馈控制系统最重要最基本的分析工具之一，奇异值实际上是复数标量绝对值概念的推广，表示了反馈控制系统的输出/输入增益，能反映控制系统的特性。正n阶方阵A的主对角线上元素和称为A的迹。从定义看,既明了又简单。用它解题时,如果题中出现“迹”,都要从这方面考虑,用它来解;如果题中没有出现它,往往就被遗忘了。殊不知,有些题特别是结论是否定的题,用它来解,比用其它方法就显得更简捷。蛇阶方阵A的主对角线上元素和称为A的迹.从定义看,既明了又简单.用它解题时,如果题中出现“迹”,都要从这方面考虑,用它来解;如果题中没有出现它,往往就被遗忘了.殊不知,有些题特别是结论是否定的题,用它来解,比用其它方法就显得更简捷.先给出几个解题过程中经常用到的结论.根据矩阵迹的定义,首先给出了矩阵迹的性质,然后依据方阵的F—范数定义Cauchy—Schwarz不等式,给出了零矩阵,不相似矩阵,数幂矩阵,列矩阵,幂等矩阵及矩阵不等式的证法。对矩阵的迹在解题中进行了应用。矩阵迹的不等式是矩阵理论的主要课题之一,许多量的计算最终都会归结到矩阵迹的运算.控制不等式作为一种数学工具,它常常能够深刻地描述许多数学量之间的内在关系,几乎渗入到各个数学领域而且处处扮演着精彩角色Frobenius范数是典型的酉不变范数,是研究最小二乘解,矩阵扰动的主要手段Hadamard乘积是一种比较特殊的矩阵乘法,在组合论中的组合方案,概率论中的特征函数及通信工程等方面都有着重要的应用.本文主要分为以下六个部分：第一部分概述文章主要内容,介绍相关引理及符号；第二部分给出在一定条件下复矩阵以及Hermite矩阵特征值与奇异值不等式,控制不等式和Frobenius范数不等式；第三部分介绍并推广著名的Neumann迹不等式；第四部分给出两个关于矩阵Hadamard乘积之奇异值不等式,并对这两个不等式进行推广；第五部分给出若干复矩阵连乘积之迹的不等式,并运用矩阵特征值与奇异值不等式的性质,获得m个复矩阵乘积以及Hermite半正定矩阵偶次幂之迹的不等式,并推广了相关结果；第六部分给出矩阵迹的不等式在逼近论中矩阵逼近方面的应用.二逆矩阵2.1概念矩阵集合上定义了乘法。以向量内积为基础的矩阵乘法非常成功。但它是不可交换的。即，通常有AB≠BA，那怕在n阶方阵子集中也这样。

矩阵的乘法有“单位元”E（n阶方阵）即在可乘的条件下，=A。AE或BE=B，E在乘法中的作用，就象数1那样。若n阶方阵A满秩，它就应该有逆元。即“右逆”AB=E或“左

逆”CA=E由于矩阵乘法不可易，按理“右逆”与“左逆”可能不同。但是《线性代数》中，满秩方阵A的逆阵B的定义就是AB=BA=E之所以有这个特殊性，原因在于A有伴随阵A*基本恒等式A*A=AA*=|A|E在A满秩时，它告诉我们，A*/|A|就既是A的“右逆”，又是A的“左逆”。且按照矩阵相等的定义，满秩方阵A的逆阵唯一。有趣的是，如果n阶方阵A的“列向量组”是标准正交组（单位正交组），则A′A=E你只能先说A′是A的“左逆”。A′的行，就是A的列。左行右列作内积，恰好用上已知条件。但是，逆阵唯一，“左逆”就是“右逆”。AA′=E这样一来，A的行向量组必定也是标准正交组。同样，如果n阶方阵A的“行向量组”是标准正交组，那它的列向量组必定也是标准正交组。实际上，很简单，AA′=E，则|A|=±1满秩方阵A的的逆阵唯一，A′=±A*只有两类正交阵——要么A的每一元就等于自己的代数余子式，要么A的每一元等于自己的代数余子式的相反数。另有一个应用逆阵唯一性的好例。

2.2左、右逆矩阵存在的条件首先,行列式乘积定理|AB|=|A|*|B|的证明不依赖于你想要证明的结论,它可以通过初等变换来证明.

然后就是一个观念的问题,满足|A|≠0的矩阵A称为非奇异矩阵,而关于X的方程AX=XA=E有解的矩阵A称为可逆矩阵,这两者的等价性没有验证之前最好不要混淆.

利用Cranmer法则可以证明非奇异矩阵必可逆,因为此时可以构造出一个解X=adj(A)/|A|.再利用行列式乘积定理可以证明可逆矩阵必定非奇异.准备工作到此为止.回到你的问题,如果AB=E,那么由|A||B|=1得A非奇异,因此必定可逆,取A的逆X,那么X=XE=XAB=B,从而BA=XA=E.2.3左、右逆矩阵的求法A乘以A的逆等于单位矩阵，两侧同时转置，右侧单位矩阵转置仍然得单位矩阵，左侧分别转置两个矩阵，然后以相反顺序相乘，因此A的逆的转置乘以A的转置得到单位阵。A转置的逆即是A的逆的转置。因此，要求A转置的逆，只需要先求A的逆，然后求该逆的转置即可。转置和逆两种乘法运算，对于单个矩阵而已，其顺序可以颠倒。这种算法就是在右边加上一个单位矩阵E组成一个新矩阵，然后使用初等变换，当变换到新矩阵左半部分是单位矩阵的时候，右半部分就是原来矩阵的逆了。

1.02.03.01.00.00.0

2.02.01.00.01.00.0

3.04.03.00.00.01.0

可以变换到：

1.00.00.01.03.0-2.0

0.01.00.0-1.5-3.02.5

0.00.01.01.01.0-1.0所以右边就是他的逆。Am×nBn×p=Cm×p，A列必须等于B的行数1）常规方法，行列点乘法：C=AB，C中的第i行j列结果来自A的第i行向量与B的第j列向量的点乘。整行整列的进行。2）列方法，整列考虑，列的线性组合方式：B的一个列向量乘以A（矩阵A各列向量的线性组合）得到C的对应列向量，此过程其余列向量暂不参与计算。3）行方法，整行考虑，行的线性组合方式：A的一个行向量乘以B（矩阵B各行向量的线性组合）得到C的对应行向量，此过程其余行向量暂不参与计算。4）列×行法：AB等于A各列与B各行乘积之和：A中列乘以B中行，如A第一列乘以B第一行得一个矩阵（这样的矩阵很特殊，行向量和列向量都是单个向量的线性组合，第四讲会讲到有关行空间，列空间的概念），最后将得到的各矩阵相加。三应用和例题3.1伴随矩阵求逆矩阵和用初等变换求逆矩阵1、用伴随矩阵求逆矩阵定义：设矩阵A=所对应的行列式detA中元素aij的代数余子式矩阵称为A的伴随矩阵，记为A*。显然，AA＊=仍是一个n阶方阵，其中第i行第j列的元素为由行列式按一行（列）展开式可知=所以AA＊==detAE（1）同理AA＊=detAE=A＊A定理：n阶方阵A可逆的充分必要条件是A为非奇异矩阵，而且A-1=A＊=证必要性：如果A可逆，则A-1存在使AA-1=E，两边取行列式det(AA-1)=detE,即detAdetA-1=1,因而detA≠0,即A为非奇异矩阵。充分性：设A为非奇异矩阵，所以detA≠0，由（1）式可知A(A＊)=(A＊)A=E所以A是可逆矩阵。且A-1=A＊例1求矩阵A=的逆矩阵。解因为detA=,所以A是可逆的。又因为所以A-1=A＊==2、用初等变换求逆矩阵用初等变换求一个可逆矩阵A的逆矩阵，其具体方法为：把方阵A和同阶的单位矩阵E，写成一个长方矩阵，对该矩阵的行实施初等变换，当虚线左边的A变成单位矩阵E时，虚线右边的E变成了A-1即从而可求A-1。例2用初等变换求的逆矩阵。解因为=所以A-1=例3解线性方程组解方程组可写成=设A=X=B=则AX=B由例2知A可逆，且A-1=所以X=A-1B，即=A-1B==于是，方程组的解是3.2几种变换例析1设表示所有系数在域中的矩阵的集合，考虑的子空间序列

这里，由于是上的有限维的向量空间，因此存在自然数使得，于是存在的矩阵使得

由于，对归纳就可以得到。上式同时乘以得到

因此

（2）因为ＡＢ＝Ｅ，Ａ，Ｂ是n阶方阵（已知条件）

故必然存在ＡＡ（－１）＝Ｅ＝A(-1)A（Ａ（－１）是n阶方阵，存在性）

比较上面两式，得到Ｂ＝Ａ（－１）（等效性）

故ＢＡ＝Ａ（－１）Ａ＝Ｅ方法２：因为（ＢＡ）^n=BA*BA*...=B(AB)^(n-1)A=BA对任意正整数n成立，

所以，ＢＡ必然是单位方阵Ｅ或者是０。

因为ＡＢ＝Ｅ，故可排除ＢＡ＝０可能性。故ＢＡ＝Ｅ。

方法３：ＢＡ*BA=BEA=ＢＡＥ,两边除以ＢＡ（因为|ＢＡ|=|AB|不等于０，故可除）

可得ＢＡ＝Ｅ

方法４：AB*A=A=AE,两边除以Ａ（因为｜Ａ｜不等于０，故允许除法）

可得ＢＡ＝Ｅ（3）由隐含条件

从而有：

若存在,使得则的行向量组线性无关,因为若存在则

因而的行向量组是线性空间的一个基，所以可以用A的行向量组表示出的标准基，即存在令,则,

最后易证（4）初等行变换，将(A,E)用初等行变换化为行最简形

若左子块是E,则A可逆,且此时右子块就是A^-1

--建议用此方法

例如题1

(A,E)=

-11-1100

-1-11010

1-1-1001

-->

00-2101

0-20011

1-1-1001

-->

001-1/20-1/2

0100-1/2-1/2

1-1-1001

-->

001-1/20-1/2

0100-1/2-1/2

100-1/2-1/20

-->

100-1/2-1/20

0100-1/2-1/2

001-1/20-1/2

A^-1=

-1/2-1/20

0-1/2-1/2

-1/20-1/2（5）如果那么互为强逆矩阵。那么可以知道强逆矩阵存在的充要条件是行列式不为零。这个过程只不过是书上可逆充要条件是行列式不为零这个过程的文本替换而已。如果，那么称为的右逆矩阵，那么容易知道如果一个矩阵有右逆矩阵，根据Cachy-Binet定理，行列式必然不为零，必然有强逆矩阵，并且强逆矩阵就是右逆矩阵。（6）有7位有效数字，这和定义所得结果完全一致,这是共它任何方法所难得到的.（7）设mxn二实矩阵A是列满秩的,是A的近似左逆矩阵,如果满足条件列则：其中R(A)表示矩阵A的象空间，A十表示A的广义逆矩阵，这里即为A的左逆矩阵·（8）如果二次型中含变量xi的平方项，则先将含xi的项集中，按xi配成完全平方，直至都配成平方项；如果二次型不含平方项，但某混合项系数aIj不为0，可先通过xi=yI+yj，xj=yI-yj，xk=yk（k不是i或j）这一可逆变换使二次型中出现平方项后，按前一方法配方。例：f=x1^2+x2^2+3x3^2+4x1x2+2x1x3+2x2x3=(x1^2+4x1x2+2x1x3)+x2^2+3x3^2+2x2x3=(x1+2x2+x3)^2-3x2^2+2x3^2-2x2x3=……=（x1+2x2+x3)^2-3(x2+1/3*x3)^2+7/3*x3^2;作变换y1=x1+2x2+x3,y2=x2+1/3*x3,y3=x3,就得标准型f=y1^2-3y2^2+7/3*y3^2.将上述变换求出逆变换x1=y1-2y2-5/3*y3,x2=y2-1/3*y3,x3=y3,写成矩阵形式X=CY形式，其中C=（1，-2，-5/3；0，1，-1/3；0，0，1）（分号表示矩阵行结束）就是合同变换中的变换矩阵。例，f=2x1x2-6x1x3,无平方项，则先作变换x1=y1+y2,x2=y1-y2,y3=x3,代入f中f=2y1^2-2y2^2-6y1y3-6y2y3=2(y1-3/2*y3)^2-2(y2+3/2*y3)^2;再作变换：z1=y1-3/2*y3,z2=y2+3/2*y3,z3=y3用逆变换y1=z1+3/2*z3,y2=z2-3/2*z3,y3=z3,就能把f化成f=2z1^2-2z2^2这种标准二次型。最后将再次用的变换写成矩阵形式，X=C1*Y,Y=C2*Z的形式，X=C1*C2*Z,则C=C1*C2就是所求（具体计算略）。先写出二次型的A的矩阵形式拼单位阵，变换左半为对角阵，要灵活运用三种初等变换（交换，倍数，加倍都需要行列相继对应变换），当对角线元素为零时，单纯交换不能解决问题，采用具有规律性的后行/列加前行/列，写在题目最后的一句话：做可逆变换x=Cy即（矩阵形式），把f做成标准形f=...。注意：用配方法或合同变换解题时，系数不是A的特征值，只有用正交变换才是特征值，它们的共同点是：项数一样，符号一样。变换得出左半对角阵即可写出标准形。将二次型的矩阵写出来，在下方写一个单位矩阵，然后对行和列做相同的初等变换，使上面的矩阵变成对角矩阵，对角线上是1或-1。下面的矩阵就变成了线性替换的矩阵。设矩阵A=1-81X=x1411x211-2x3解:f=x1^2+x2^2-2x3^2-4x1x2+2x1x3+2x2x3=(x1-2x2+x3)^2-3x2^2-3x3^2+6x2x3=(x1-2x2+x3)^2-3(x2-x3)^2=y1^2-3y2^2对AE用类同的行列变换将上子块化为对角矩阵,则下子块即X与Y的关系X=CYPS.这个方法很少用,不如配方法好使。用mathematical求正交变换化二次型为标准型，并写出所作的正交变换mat={{1.1,2.3,-2.4},{2.3,-2.2,4.45},{-2.4,4.45,4.2};{lam,

vec}=Eigensystem[mat];vec=Transpose[vec];vec//MatrIxForm至此求出正交变换的矩阵Diagonal[Inverse[vec].mat.vec]至此求出标准型的三个项用正交线性替换化下列二次型为典范性f(x1,x2,x3)=x1*2+2x2*2+3x3*2-4x1x2-4x2x3(注：x1中的1为下标)定理：假定A=I−L−U是一个M-矩阵,1D≥0且10LLβ≤≤,其中−L,−U分别是A的严格下三角部分和严格上三角部分,那么预条件混合型迭代法(5.1.4)是收敛的。证明：我们先记1DISβ=−,LLSSLβββ=−+,2UUSα=+其中1S,2S是SUβ的对角线和上三角部分,则11MDDLLββ=++−,11NDLUβ=++,因为A是一个M-矩阵，并且10LLβ≤≤,我们有1111111M(DDLL)[(DD)(LL)]0ββββ−−−=++−=+−−≥,1A0−≥,11NDLU0β=++≥.根据引理,我们可得M-矩阵预条件混合型方法是收敛的。推论：如果系数矩阵A是一个M-矩阵且0<r<1,那么PSOR迭代法是收敛的。推论5.2.2.如果系数矩阵A是一个M-矩阵且0<r<w<1,那么PAOR迭代法是收敛的。定理：设A为非退化的Z-矩阵，若满足1D≥0,10LLβ≤≤,β∈[0,1]且T,T分别是和所表示的迭代矩阵(ⅰ)若ρ(T)<1,则ρ(T)<ρ(T)<1；(ⅱ)假定A是不可约的，且满足1101,2,,.iiiiaain−−<<=有：(1)若ρ(T)>1则ρ(T)>ρ(T);(2)若ρ(T)=1则ρ(T)=ρ(T);(3)若ρ(T)<1则ρ(T)<ρ(T)。证明：取11MDDLLβββ=++−11NDLUββ=++11M=I+D+L−L11N=D+L+U11E(IS)(IDLL)ββ=+++−11F(IS)(DLU)ββ=+++那么,我们有A=M−N,AMNEFβββββ=−=−。(ⅰ)因为A是一个非退化的Z-矩阵且满足1D≥0和10LLβ≤≤,则易得11M=I+D+L−L是一个非奇异M矩阵且分解1111A=M−N=(I+D+L−L)−(D+L+U)是一个M-分解。因此ρ(T)<1,由引理2.5.6我们有A是一个非退化的M-矩阵，进而由引理2.5.7,存在正向量x，满足Ax≥0，所以有Ax(IS)Ax0ββ=+≥。另一方面,由：，我们可得：所以：因为：所以我们可以得到：即：以上得到了带约束条件矩阵迹的不等式的两个重要的推广，文献都是关于矩阵迹不等式及其推广的一些研究。从线性模型中相对效率的下界和最佳线性无偏估计的研究引申出带约束条件矩阵迹的不等式的推广，重要参见文献，有关于这方面的研究。在以后的学习中，我会努力将本节得到的推广加以应用。四矩阵的迹的应用广义逆矩阵是上世纪矩阵理论中极为重要的一项新发展，广义逆的概念是Redholm最早在1908年提出的，他给出了TFredholm积分算子的广义逆，在1912年利用有限维Fredholm积分算子的零空间Hurwitz给出了此类广义逆的一个简单的代数表征，在1904年Hilbert讨论广义Green函数时曾提出了微分算子的广义逆，许多学者从此以后研究了微分算子的广义逆，特别是Myller,westfall,Reid等。在1920年矩阵的广义逆由Moore首次提出，他利用投影矩阵定义了唯一的广义逆。erhammer在不知道Moore结果的情形下，重新提出了广义逆矩阵的定义，利用广义逆给出了线性方程组的解。Bott和Duffin在研究电网络理论时，引进了后来被称为Bott-Duffin广义逆。但是，在此后的20年中，这种广义逆几乎没有引起人们的多少注意，直到1955年，Penrose证明了Moore所定义的广义逆是满足四个矩阵方程的唯一的矩阵之后，广义逆的研究才真正为人们所重视，得到迅速发展并在诸多领域获得广泛的应用。近四十年来，广义逆矩阵理论在数理统计、最优化、算子理论、计算数学和经济学等众多数学分支和工程科技领域发挥了重大作用。矩阵迹的不等式是矩阵理论中的主要课题之一，是一个庞大的知识结构体系，具有广阔的研究空间.本文所做的讨论不过是矩阵理论知识海洋中的点滴，基本上是在前人成果的基础上做了一些改进和推广，其内容的创新性和严密性还有待进一步提升.因此，本文需要进一步研究的问题还很多，就目前而言，主要是想把矩阵和的有关控制不等式，矩阵Hadamard乘积之奇异值不等式，Neumann迹不等式，矩阵乘积之迹不等式推向更广泛的情况，同时可以类比其他类型的不等式做一些关于矩阵迹不等式方面的创新工作，等等，另外，本文研究的问题主要是矩阵迹的不等式，然而，由于作者自身的知识有限，并不能在更广泛的领域应用矩阵迹的不等式进行研究.因此，今后还需要进一步努力学习，刻苦专研，虚心请教，以丰富自身所掌握的理论知识，扎实功底，争取能够做好对矩阵理论知识更深入的研究.广义逆矩阵的概念最早是由MooreE.H于1920年提出，但当时并未受到重视。直到1955年PenroseR又提出了广义逆矩阵的概念，并证明了加号广义逆矩阵的唯一性，发现它在许多学科都有广泛应用，这才受到人们的关注。关于广义逆矩阵的性质，[1-2]总结了九十年代以前已有的结果。总结出了加号广义逆矩阵的一些性质。在较严格的条件下，本节证明了加号广义逆矩阵的三条性质。线性模型是一类统计模型的总称，许多生物，医学，经济，管理，地质，气象，农业，工业，工程技术等领域的现象都可以用线性模型来近似描述。参考文献[4-5],因此线性模型成为现代统计学应用最为广泛的模型之一。在线性模型的统计推断中，矩阵理论和矩阵算法将是一个十分重要的工具。随着研究的深入和应用的发展，矩阵与线性模型之间的关系会越来越深刻。一方面，线性模型对矩阵理论研究提出了许多新的研究课题，刺激了有关矩阵理论及矩阵计算研究的发展;另一方面，矩阵理论中的结果被越来越多地应用于线性模型的理论研究及其应用中。近三十年来，很多统计学家在这方面付出了很大努力，并写了很多这方面的论文和著作，其中很多结论在线性模型的研究中发挥着很大的作用。随着科技日新月异地进步，矩阵的应用越来越广泛，矩阵理论及矩阵计算的研究也就越来越重要[6]。本文皆在向读者介绍线性模型中常用矩阵理论及矩阵算法的如下几个方面：矩阵不等式、M矩阵、广义逆矩阵等，这些方面与线性模型息息相关。关于矩阵不等式，已经出版了好几部英文专著，要么以数量和函数的不等式为主要讨论对象，要么从某一特定方向研究一类数量或矩阵的不等式，其中最有影响的是Hardy，Littlewood和Polya的“Inequalities”[7]，Beckenback和Bellman（1961）的“Inequalities”[8]以及Marshall和Olkin(1979)的“Inequalities:TheoryofMajorizationanditsApplications”[9]。随着矩阵理论的迅速发展，矩阵理论在自然科学、工程技术和社会经济等领域有着广泛的应用，因此关于矩阵不等式的新结果层出不穷，它们或者是经典不等式的改进与推广，或者是完全新型的不等式，或者是应用的深入与拓广，这些结果在线性模型的研究中也起到很大的作用。M矩阵从20世纪初至今，应用日益广泛，对M矩阵的研究也日益受到人们的重视，有关的研究论文达数百篇，是基础数学，计算数学，和应用数学中较为活跃的研究领域之一，国际上许多著名数学家从事这个领域的研究，并取得了许多重要的成果，我国的数学工作者起步较晚，作为矩阵理论的一个分支和研究问题。随着矩阵理论的迅速发展，矩阵理论在自然科学、工程技术和社会经济等领域有着广泛的应用，因此关于矩阵不等式的新结果层出不穷，它们或者是经典不等式的改进与推广，或者是完全新型的不等式，或者是应用的深入与拓广，这些结果在线性模型的研究中也起到很大的作用。矩阵不等式的理论已经在统计学中的很多问题上得到应用，在其它学科中的应用也相当广泛。本章主要介绍两类矩阵不等式的推广，这两类不等式分别为Marshall和Olkin型Cauchy-Schwarz不等式和约束条件下矩阵迹不等式。Cauchy-Schwarz不等式是一个非常基本的不等式，自从1948年Kantorovich通过Cauchy-Schwarz不等式的推广形式得到了Kantorovich不等式以来，在数理统计和统计相对效率方面有着广泛而重要的应用，许多统计学家相继给出了一些矩阵意义下的Kantorovich不等式的推广形式。在1990年，Marshall和Olkin[22]将Cauchy-Schwarz不等式推广到矩阵形式。在本章第二节中，我们结合Kantorovich不等式的推广形式[23]将其推广到了一般形式，扩大了它的适用范围。这些推广在线性模型的参数估计和相对效率的研究中能起到很重要作用，矩阵迹是矩阵论中一个重要内容，它在许多方面都有广泛的应用。本章第三节主要讨论带约束条件的矩阵迹不等式，把已有结果推广到了一般形式，这些结果在数理统计中是十分有用的。五结论随着科学技术的进步和计算机技术的发展,科学与工程计算简称科学计算的研究受到科学技术人员的极大重视,其应用范围己渗透到许多学科领域。而矩阵计算是科学计算领域中的一个重要方面。对于科学研究和工程技术上的各种问题,用矩阵的理论和方法来处理己越来越普遍。引入矩阵理论不仅使理论的表达更为简捷,而且对理论实质的刻画也更为深刻。这一点已被越来越多的科技工作者所认识。特别是由于计算机和计算方法的普及和发展,不仅为矩阵理论和方法开辟了广阔的研究前景,也使科学与工程技术的研究发生新的变化,开拓了崭新的研究途径。矩阵理论与方法已成为众多学科领域的数学工具。它不仅在数值分析、最优化方法、数学模型等数学分支上有极其重要的应用,还在信号处理、图像处理、无线电技术和卫星通信等尖端科学领域中有重要的用途。矩阵计算的理论和方法在图像恢复与重建、压缩与编码、图像分析、图像识别及近年来研究较热的数字水印等各个领域中都有重要的应用。这里我们就图像识别中的代数特征提取、基于四元数矩阵的彩色图像处理及数字水印中的水印嵌入分别简要地介绍矩阵计算的理论和方法在图像处理及识别中的应用。以上的讨论不过是矩阵理论中的点滴，通过探讨认识到矩阵知识是重要的、系统的。而矩阵的迹作为矩阵的一个重要数字特征，在数值计算、逼近论及统计估计等方面有着较为广泛应用。通过以上对迹的性质的讨论，不难发现利用矩阵迹的性质在解决一些实际问题中收到了很好的效果。在今后的教学科研活动中，应加强对矩阵理论问题的探讨，这对教师的科研和教学及学生的学习有很大的帮助。数学、统计学及物理学等多学科领域中均是随机矩阵理论的活跃研究领域，并且发展迅猛。现如今，随机矩阵理论及其应用范围十分广泛，其在多元统计分析中应用的研究也得到了越来越多的专家学者的关注。本文就随机矩阵理论的研究背景、目的意义及发展趋势进行了粗浅分析，以探究随机矩阵理论在高维多元统计分析的检验问题中的应用问题，为发掘随机矩阵理论更多的应用研究价值提供新思路。六参考文献[1]TianYaobang,Lidong,WangAnna.ExtensionsoftheMatrixAnthropocentricInequalities.ProceedingsoftheEighthInternationalConferenceonMatrixTheoryanditsApplications.2008[2]TianYaobang,WangAnna,Mialei.ExtensionoftheMatrixCauchy-SchwaandMarshallKinfolksinequality.ProceedingsofThirdInternationalWorkshopOnMatrixAnalysisandApplicationsinchina.2009[3]LiuShijiazhuang,KroneckerHeinz.SeveralmatrixAnthropocentricinequalities.JournalofMathematicalAnalysisandApplications.1996[4]SalaryJ.K,ChippyB,TrencherG.somefurtherresultsonDomitian-matrixinequalities.LinearAlgebraandItsApplications.1992[5]TianYaobang,Mialei.AGeneralizationofTraceInequalityofMatrix.ProceedingsofInterdenominationalWorkshopOnMatrixAnalysisandApplicationsinchina.2009[6]KroneckerH.Amatrixtraceinequality.MahAnalApp.1992[7]Gang-HuiChang,HuntingHuang,ShenaniganHen.Notetothemixed-typesplittingiterativemethodforZ-matriceslinearsystems.JComp.Appl.Math.2008[8]Li,S.Z.EfficiencycomparisonsbetweentheOLSEandtheBLUEinasingularlinearmodel.J.Stasis.Plain.Infer.2000[9]E.F.Backpacker,R.Bellman.Inequalities..1983[10]HardyG.H,LittleJ.E,PloyG.Inequalities..2004[10]杜娟.

基于广义逆矩阵理论的结构形态创构方法研究[D].哈尔滨工业大学2010[11]程静.

广义酉矩阵和广义Hermite矩阵性质的推广[D].西华大学2010[12]夏银红.

关于矩阵迹的不等式的探讨[D].华东师范大学2010[13]刘红明.

基于随机矩阵理论的股票收益相关矩阵分析[D].浙江工商大学2011[14]王辉.

矩阵理论以及应用[D].淮北师范大学2011[15]尧礼辉.

广义逆矩阵计算及在矩阵方程中应用的研究[D].解放军信息工程大学2008[16]李自留.

矩阵理论在北斗定位系统中的应用[D].西安电子科技大学2008[17]刘栋富.

统计学中的一些矩阵理论及其相关应用[D].青岛科技大学2009[18]董可荣.

矩阵理论的历史研究[D].山东大学2007[19]陈道琦;关于半正定Hermite矩阵乘积迹的一个不等式[J];数学学报;1988年04期[19]陈东彦;毕海云;;离散时间代数Riccati方程解矩阵的迹的下界[A];第二十六届中国控制会议论文集[C];2007年[20]包金山,宝音特古斯;关于“矩阵迹的几个不等式”的注记[J];内蒙古民族大学学报(自然科学版);2003年06期[21]O.Axelsson,InerativesolutionMethods