讲代数综合网课学社

23讲代数综（1）抛物线交轴于，轴交于，解得抛物线解析式（2）抛物点与轴23讲代数综（1）抛物线交轴于，轴交于，解得抛物线解析式（2）抛物点与轴交，两点，如，当在上方-1若点在点下方综上所述的长度上截或，连（若点在点下方综上所述的长度上截或，连（3）如，，过点作-2点，，，，（，）如，当点在的下方时，与轴交于点点直解析式为联立方程组解得（和点重合，故舍去）点坐标-点，，，，（，）如，当点在的下方时，与轴交于点点直解析式为联立方程组解得（和点重合，故舍去）点坐标-3当点的上方时，同理可求解析式联立方程组解得（和点重合，故舍去）点坐标综上所述： 的坐标，．（1）直与轴、轴分别，当点的上方时，同理可求解析式联立方程组解得（和点重合，故舍去）点坐标综上所述： 的坐标，．（1）直与轴、轴分别，两点，则点 的坐标分别，将点 的坐标代入二次函数表达式得，解故函数的表达式令，或，故（2）如，作关轴的对，连，轴于，则此为最-4函数顶点坐，当时故，最小值在轴函数顶点坐，当时故，最小值在轴上方时（3）①当，，，过点作由勾股定理，解②当点在轴下方时故点的坐或-5（1）抛物线 时，，，时抛物点的坐与轴交于 两点（，在点的左侧），轴交于，直线经过，两点，设直线的函数解析，，即直线的函（1）抛物线 时，，，时抛物点的坐与轴交于 两点（，在点的左侧），轴交于，直线经过，两点，设直线的函数解析，，即直线的函数解析（2）直与轴交于，如所由（1）可得，，，，即，轴-6解得，当时（3）存在点，使理由：于，轴于，如所点，，，，，，-7解得，当时（3）存在点，使理由：于，轴于，如所点，，，，，，-7点，，，，，解得设点的坐，解得，（舍去当时点的坐即存在，点，，，，，解得设点的坐，解得，（舍去当时点的坐即存在，（1）把代，得一次函数的解析二次的图象，-8解得二次函数解析当（，），解，二次函数与轴交点坐标（2）由上一问得：直线解析式，抛物线解析整理得，关于的一元二次方程有两个不相等的实数根直线与抛物线还有另一个异的交，，抛物线开口解得二次函数解析当（，），解，二次函数与轴交点坐标（2）由上一问得：直线解析式，抛物线解析整理得，关于的一元二次方程有两个不相等的实数根直线与抛物线还有另一个异的交，，抛物线开口整理，（即横坐标直与抛物的另一个的坐标抛物顶，对称轴为-9抛物线对称轴与的交如，当时，均取得最有最抛物线对称轴与的交如，当时，均取得最有最大值，最大-10过点，点在轴（1）直线 ，点与点关于，，解轴对抛物经过和，代，解抛物线的表达式（2）设点坐标为则过点，点在轴（1）直线 ，点与点关于，，解轴对抛物经过和，代，解抛物线的表达式（2）设点坐标为则坐标，坐标当时此时点的坐标（3）存设点的坐，-11当时，，如和的纵坐标当时，，如和的纵坐标当时，，如-12和 的纵坐标相当时，如分别过和作轴的垂线，垂和，，综上和 的纵坐标相当时，如分别过和作轴的垂线，垂和，，综上：或或的坐标或或或-13（1）抛物线（）与轴交，两抛物线的解析（2）如图，过点作（1）抛物线（）与轴交，两抛物线的解析（2）如图，过点作直线，使，过点作当直线与抛物线只有一个交点直线的解析式最大①设直线的解析式②抛物线的解析联立化简得直线的解析式-14令，在中最（3）①时是的切半径为，轴，与是的切，-15令，在中最（3）①时是的切半径为，轴，与是的切，-15，在中过作轴轴，②时，如-16，在中过作轴轴，②时，如-16在中，设作轴中，根据勾股定理，而与关于点对称即：满足条件的坐标或或或-17在中，设作轴中，根据勾股定理，而与关于点对称即：满足条件的坐标或或或-17（1）将该抛物线（1）将该抛物线向上平个单位，故答案-18（2）当时，解，，，时，，，是直角三的对称设，，，当时，，方程当时，，解，当时，，，解得，，，综上所述：使得以，，为顶点的三角形是等腰三角形，的坐标，，（2）当时，解，，，时，，，是直角三的对称设，，，当时，，方程当时，，解，当时，，，解得，，，综上所述：使得以，，为顶点的三角形是等腰三角形，的坐标，，-19（1）抛物线经过和，解这条抛物线的解析（2）过点，垂足轴，又是等腰直角三轴，点也在（1）抛物线经过和，解这条抛物线的解析（2）过点，垂足轴，又是等腰直角三轴，点也在该抛物过作，垂足，-20在中在中（3）如所示作，垂足点是抛的顶又是等腰直角三又要与相似时，则点在点的左当时，当时，综上所述，与相似时在中在中（3）如所示作，垂足点是抛的顶又是等腰直角三又要与相似时，则点在点的左当时，当时，综上所述，与相似时， 的坐标或-21（1），代，得解得抛物线的解析（2）时点的坐①过将作轴于点，如图所中 旋 ，得绕，，，，，，点的坐②四边为矩（1），代，得解得抛物线的解析（2）时点的坐①过将作轴于点，如图所中 旋 ，得绕，，，，，，点的坐②四边为矩形，理由，，，，，，-22将绕，得中，旋且为平行四四边为矩（3）假设存在，设点的坐标点为的中有两种情况（所示①时，，解得点的坐或②时，，解得点的将绕，得中，旋且为平行四四边为矩（3）假设存在，设点的坐标点为的中有两种情况（所示①时，，解得点的坐或②时，，解得点的坐或综上所述：在该抛物线对称轴上存在点，与相似，的坐或或或．-23解与轴交、，，解，如图中，连...，.，，，∥直线，的面积是定，，当的面积最大时解与轴交、，，解，如图中，连...，.，，，∥直线，的面积是定，，当的面积最大时，四的面积最-24，，时的面积最，存在.如.中，因在抛物线是平行四边形的边，观察图象可知，满足条件的点的纵坐，对于，，时的面积最，存在.如.中，因在抛物线是平行四边形的边，观察图象可知，满足条件的点的纵坐，对于抛，时，解（舍弃），，.当时，解，，，，.综上所述，满足条件坐标，）或，）或，.-25解抛物交轴，两点，解得，该抛物线的解析；在中，，，，的周长最小时，的周长最小是定当如交于，则为所求的点，点解抛物交轴，两点，解得，该抛物线的解析；在中，，，，的周长最小时，的周长最小是定当如交于，则为所求的点，点 关于对称轴对称，连，周长的最小值.，，，，.-26周长的最小值.抛物线对称轴为，设直的解析，，代入，解得，直周长的最小值.抛物线对称轴为，设直的解析，，代入，解得，直的解析式；，存在设，，，-27则，，，四边是菱分三种情况：为对角线为对角线，如图，为对角①当为对角线时，，， 则，，，四边是菱分三种情况：为对角线为对角线，如图，为对角①当为对角线时，，， 解得，，，，，如②为对角线时，，，-28解得，，，③当为对角线时，，，，如图，解得，，，，，，，的坐标为：综上所述，符合条件的点，，，，，，，，.解：（1）解得中，，，解得，，，③当为对角线时，，，，如图，解得，，，，，，，的坐标为：综上所述，符合条件的点，，，，，，，，.解：（1）解得中，，，，，，，令，；，-29设直 的解析式，，，，解得，直直的解析式，与该抛物线交于点，与，，，交于，，设交轴于，，，，，，，，，，∽，，，-30设直 的解析式，，，，解得，直直的解析式，与该抛物线交于点，与，，，交于，，设交轴于，，，，，，，，，，∽，，，-30解得，；如图，抛物线对称轴为以、 ，，为顶点的四边形是菱对角∥为对角，为对角，，①为对角点为直解得，；如图，抛物线对称轴为以、 ，，为顶点的四边形是菱对角∥为对角，为对角，，①为对角点为直与抛物线对称轴的交点，，，，，为对角，， ，；②设，，，解得，-31，，③对角线时在直与互相垂直平分，上，，，，，综上所述的坐标，，，，，，.（1）二次函数表达式为将点的坐标代入上式并解得：，，③对角线时在直与互相垂直平分，上，，，，，综上所述的坐标，，，，，，.（1）二次函数表达式为将点的坐标代入上式并解得：则①将点 的坐标代入一次函数表达式并解直的表达式（2）存在，理二次函数对称轴，则于过作轴的平行-32设，则（3）设或（舍去、，①点是平行四边形的一条向左平个单位向下个单位个单位，即为②设，则（3）设或（舍去、，①点是平行四边形的一条向左平个单位向下个单位个单位，即为②向左平移个单位向下，，或或是平行四边形的对角故综上，，，或或或或-33（1）将可，代，对称（2）如图：过作轴，轴设，在中（1）将可，代，对称（2）如图：过作轴，轴设，在中中中-34（3）如图：过点作轴于，过作直轴，过作于四边是矩矩，，当时，面积有最大此（4）存在使得以， （3）如图：过点作轴于，过作直轴，过作于四边是矩矩，，当时，面积有最大此（4）存在使得以， 为顶点的四边形是平行四，设①四边是平行四边形②四边是平行四边形-35-36解：（1） -36解：（1） 代入抛物解顶点坐（2）①存 解析 时 时③四边 是平行四边形综上所述 ．轴点的横坐当时，如图此存在②由题在时，四为平行四，时（舍去使四边为平行四边中轴即当时周长的最大-37．轴点的横坐当时，如图此存在②由题在时，四为平行四，时（舍去使四边为平行四边中轴即当时周长的最大-37-38由-38由题 抛物线的解析如图①中， 交抛物线 ， 的解析式为 ，解 直 交轴于点关于点的对称 ，方程组无在直 的下方不存在满足条件的满足条件-39-39 经过，两点 故答案为 （3） ，，， 时，点， 为顶点的四边形是平行四边解得 满足条件的 的坐标 化简即直平移后的函令解点，（3）设的坐标，以当，，，轴于，，，为直角顶点）相似过作，，，，．或，或化简即直平移后的函令解点，（3）设的坐标，以当，，，轴于，，，为直角顶点）相似过作，，，，．或，或或或，当时，-40，，当时，，，当时，，，当时，，，当时，，，当时，，，当时，，，当时，，，即满足条件共有8个，其点的坐，或，或，或，．或，或，或，或，-41，，当时，，，当时，，，当时，，，当时，，，当时，，，当时，，，当时，，，即满足条件共有8个，其点的坐，或，或，或，．或，或，或，或，-41-42-42解 直 过 ，解 ，把点和代入抛物线的解析式，解 抛物线的解析式 存在点， 为直角三角形 ，直 与轴交 ， ，直 与轴交与 ， ∥轴 直 与轴的交点 ，与轴交点 ，，∥轴，若为直角三角形，则分两种情况讨论：过点在为直角顶点，于中，，，，，，，化简得解得，与，重合舍去，为直角顶点，若若为直角三角形，则分两种情况讨论：过点在为直角顶点，于中，，，，，，，化简得解得，与，重合舍去，为直角顶点，若，∥轴在中，，，化简得，-43解得，舍去，，综上所述：存设或，，为直角三角，∥，轴，在中，当最大时的周长最，又，当时最大，的周长最大，此 点坐标，和折叠过程中，共线，且和在两侧，，的最大在同侧时的最由（1解得，舍去，，综上所述：存设或，，为直角三角，∥，轴，在中，当最大时的周长最，又，当时最大，的周长最大，此 点坐标，和折叠过程中，共线，且和在两侧，，的最大在同侧时的最由（1）知 的坐标，的最大，的最小.-44-45解-45解， 轴下方时，即 填⼤于或小于时，该抛物线与轴必有两个交点；故答案为 ，下方，若 且不等于顶点横坐标 ，两点位置可能有以下三种情况①当，都在对称轴左侧时，由于在对称轴左侧，函数值随 的增大而减小，所以点 在轴上方，点 ②当，都在对称轴右侧时，由于在对称轴右侧，函数值随 的增大而增大，所以点 在轴上方，点 -46解（1-46解（1）① 在抛物 上，，③当，在对称轴两侧时，由于，分布在轴两侧，所以不管，哪个点在轴下方，都可以根据抛物线的对称性将其中一个点对称到对称轴另一侧的抛物线上，同①或②，可以说明抛物线顶点必在轴下方如图证明： 时 时 ，上存在两 分别位于轴两侧 可知 顶点在轴下方 ，，即 联解得（舍去），；②，理由如，点，在该抛上，，，由①知，直的解析，令，，交轴，，，，延，，，∥，，，，，，联解得（舍去），；②，理由如，点，在该抛上，，，由①知，直的解析，令，，交轴，，，，延，，，∥，，，，，，-47；抛物，，，， ，轴，点横坐标为，由图知，，，，，过作是梯轴于，的中位线的横坐标为，；抛物，，，， ，轴，点横坐标为，由图知，，，，，过作是梯轴于，的中位线的横坐标为，，点点，点，，直的解析式，令，，-48-49（1-49（1）抛物线经 ，可，解 点的坐，，， ， 记直 与轴的交点为，， ，，根据勾股定理得 过点 于，， 平 即射 平 （2）连点的横坐又解得（3）如图，过或作于