运动的守恒定律

关于运动的守恒定律1质点及质点系的动量定理第三章运动的守恒定律3动量守恒定律及意义5功能原理主要内容:4质点及质点系的动能定理6机械能守恒定律2质心及质心运动定理第2页,共89页，2024年2月25日，星期天1.1质点的动量及动量定理动量定理的微分形式冲量动量定理的积分形式动量第3页,共89页，2024年2月25日，星期天1.2质点组的动量及动量定理由具有相互作用的若干个质点构成的系统，称之为质点组.系统内各质点之间的相互作用力称之为内力.系统外其它物体对系统内任意一质点的作用力称之为外力.第4页,共89页，2024年2月25日，星期天质点组受的合外力质点组的动量质点组的动量定理的微分形式质点组动量定理的积分形式第5页,共89页，2024年2月25日，星期天1.3角动量及角动量定理质点角动量角动量定理第6页,共89页，2024年2月25日，星期天2质心及质心运动定理质心运动定理第7页,共89页，2024年2月25日，星期天3动量守恒定律及其意义动量守恒的条件动量守恒的内容1.实际中当合内力远远大于合外力时，动量守恒定律也可认为成立.2.某一方向上合外力为零，则该方向上动量守恒定律.角动量守恒定律第8页,共89页，2024年2月25日，星期天4.动量守恒定律是最普遍、最重要的定律之一。适用于宏观和微观领域。将动量守恒看作是由牛顿定律推导出来的看法是片面的。直角坐标系中的分量式：3.动量守恒定律只适用于惯性参照系.第9页,共89页，2024年2月25日，星期天4.1功1.功的定义4质点及质点系的动能定理第10页,共89页，2024年2月25日，星期天2.在直角坐标系中：元功可表示为功是标量。只有大小，没有方向。3.变力对它做功4.合力对质点做的功合力的功等于各分力的功的代数和。第11页,共89页，2024年2月25日，星期天4.2功率1.平均功率2.瞬时功率(简称功率)3.功率的单位功率的单位为焦耳每秒（

）.第12页,共89页，2024年2月25日，星期天作用在质点上的合外力所做的功等于该质点动能的增量.4.3质点的动能定理第13页,共89页，2024年2月25日，星期天若是N个质点构成的质点组,则4.4质点组的动能定理第14页,共89页，2024年2月25日，星期天动量和动能的相同点是：二者都是描述质点运动的状态量.动量和动能的不同点是：1、动量是矢量，而动能是标量；2、动量取决于力对时间的积累（冲量）,

而动能则取决于力对空间积累（功）；3、质点组动量的改变仅与外力的冲量有关，质点组动能的改变不仅与外力有关而且还与内力有关；4、质点间机械运动的传递用动量来描述，机械运动与其它形式运动的传递用动能来描述.动量和动能的异同点第15页,共89页，2024年2月25日，星期天5.1保守力及保守力的功1.万有引力的功5功能原理2.重力的功第16页,共89页，2024年2月25日，星期天3.弹性力的功若某种力做功仅与起末位置有关而与路径无关，则这种力称之为保守力；若某种力做功不仅与起末位置有关而且还与路径有关，则这种力称之为非保守力.保守力和非保守力属于系统（质点组）的内力.第17页,共89页，2024年2月25日，星期天保守力与非保守力的区分:保守力：重力、弹性力、万有引力、静电力非保守力：摩擦力、爆炸力物体沿闭合路径绕行一周，这些力所做的功恒为零，具有这种特性的力统称为保守力。没有这种特性的力，统称为非保守力。第18页,共89页，2024年2月25日，星期天5.2势能第19页,共89页，2024年2月25日，星期天讨论：1.势能为系统所有。2.对于非保守力不能引入势能的概念。3.势能是系统内各物体位置坐标的单值函数。4.引入势能的一个重要目的是为了简化保守力功的计算。5.a点的势能在数值上等于将物体从该点移到无穷远处保守力所作的功。第20页,共89页，2024年2月25日，星期天5.3功能原理第21页,共89页，2024年2月25日，星期天6机械能和机械能守恒定律若外力和非保守内力均不做功，或质点组在只有保守内力做功的条件下，质点组内部的机械能相互转化，但总的机械能守恒.这就是机械能转化和机械能守恒定律.第22页,共89页，2024年2月25日，星期天

（1）前提:只有保守内力做功，其它内力和外力不做功，或它们的代数和为零，或可以忽略不计；（2）只适用于惯性参考系。因为在非惯性参考系中，即使满足上述条件，机械能不一定守恒。（3）与惯性参考系的选择有关。因为外力做功虽然与选取参考系无关，但非保守内力做功是否为零,则决定于参考系的选择。机械能守恒的几点说明:第23页,共89页，2024年2月25日，星期天7能量转化和能量守恒定律能量既不能消灭，也不能产生；它只能从一个物体传递给另一个物体，或物体的一部分传递给另一部分，由一种形式转化为另一种形式.这称之为能量转化和能量守恒定律.第24页,共89页，2024年2月25日，星期天8例题分析第25页,共89页，2024年2月25日，星期天逆风行舟动量分析帆帆FFIpp112p22p2航向分力pp11tIFX2p22p2I逆风逆风p1p1m空气团分子质点系总动量m空气团分子质点系总动量ababbFFcosXbb~~pp112p22p20812ab~~动量分析逆风行舟的动量分析逆风行舟的第26页,共89页，2024年2月25日，星期天1.如图所示，一个质量为的小球,当它以初速度射向桌面，撞击桌面后以速度弹开.和与桌面法线方向之间的夹角分别为º

和º.（1）求小球所受到的冲量；（2）如果撞击的时间为，试求桌面施于小球的平均冲击力.第27页,共89页，2024年2月25日，星期天解已知条件如图所示。第28页,共89页，2024年2月25日，星期天第29页,共89页，2024年2月25日，星期天2.如图所示，在光滑的平面上，质量为的质点以角速度沿半径为的圆周匀速运动.试分别用积分法和动量定理，求出从到的过程中合外力的冲量.解用积分法求解如下：第30页,共89页，2024年2月25日，星期天用动量定理求解如下：第31页,共89页，2024年2月25日，星期天

3.一辆装煤车以的速率从煤斗下面通过，如图所示.每秒钟落入车厢的煤为，如果使车厢的速率保持不变，应加多大的牵引力拉车厢？（车厢与钢轨间的摩擦忽略不计）.第32页,共89页，2024年2月25日，星期天解以m表示在t时刻煤车和已落入煤车的煤的总质量.在此后时间内又有质量为的煤落入车厢.取m和为研究对象，则对这一系统在时刻t的水平方向总动量为在时刻的水平方向总动量为在时间内水平方向总动量的增量为第33页,共89页，2024年2月25日，星期天此系统所受的水平牵引力F，由动量定律可得所以第34页,共89页，2024年2月25日，星期天

4.

矿砂从传送带A落入传送带B，其速度v1=4m/s,方向与竖直方向成300角，而传送带B与水平方向成150角，其速度v2=2m/s。传送带的运送量为k=20kg/s.求：落到传送带B上的矿砂所受到的力。150300ABv1v2返回结第35页,共89页，2024年2月25日，星期天mvΔ1()=mv2mv47520cos××+=mvΔ()2224m=3.98m

()=3.98k

tΔm/s1503002mv1mvmvΔ()150300ABv1v2解：在Δt内落在传送带上的矿砂质量为：这些矿砂的动量增量为：m=kΔt，返回第36页,共89页，2024年2月25日，星期天75q20sin=mvΔ()mvsinFt=ΔmvΔ()Ft=ΔmvΔ()=3.98k

tΔtΔ=3.98k

=79.6N由动量原理：29=q01503002mv1mvmvΔ()600q返回结束第37页,共89页，2024年2月25日，星期天150300ABv1v21503002mv1mvxyo解二：对矿砂m(m=kΔt)应用动量原理sincos=2v1501v300()Δtk1.36(N)=2024××=cos150sin300)(FxsincosΔt=2mv1501mv300()sincos=2v1501v300()kFx返回结束第38页,共89页，2024年2月25日，星期天Δt()cossin=2v1501v300+k+2024××=sin150cos300)(=79.63(N)+=ij1.3679.6379.631.36=aarctg=8901503002mv1mvxyoFaFycossint=2mv1501mv300()Δ()cossin=2v1501v300+kFy+=FyFxijF=F+FyFx22=79.64(N)返回结束第39页,共89页，2024年2月25日，星期天

5.一质量均匀的柔软细绳铅直地悬挂着，绳的下端刚好触到水平桌面上。如果把绳的上端放开，绳将落到桌面上。试证明，在绳下落的过程中任意时刻作用于桌面上的压力等于已落到桌面上绳重量的三倍。证：

设t=0

时刻，绳的上端为x轴的原点O，向下为正方向，绳长为l,总质量为M。第40页,共89页，2024年2月25日，星期天

则t时刻，已落到桌面上的绳长为x

，质量为m=Mx/l，以此为研究对象。受力如图所示：第41页,共89页，2024年2月25日，星期天将（2）式代入（1）式得第42页,共89页，2024年2月25日，星期天

练习：人与船质量分别为m及M，船长为L，若人从船尾走到船首。试求船相对于岸的位移。人行走的速度变化，位移如何变？mML第43页,共89页，2024年2月25日，星期天设人相对于船的速度为u船相对于岸的速度为v由动量守恒:mMxLulv()vMu+mv=0Mvum=m+òudtMm=m+=Mmm+Lx=òvdtΔ注意不管人的行走速度如何变化。结果是相同的。第44页,共89页，2024年2月25日，星期天解：练习：半径为R的均匀半圆形铁丝的质心d

dL=Rd

R

yxy第45页,共89页，2024年2月25日，星期天6.从10米深的井中把10千克的水匀速上提，若每升高1米漏去0.2千克的水.(1)画出示意图，设置坐标轴后，写出力所作元功的表达式.(2)计算把水从井下匀速提到井口外力所作的功.解(1)建立坐标并作示意图如下：第46页,共89页，2024年2月25日，星期天(2)第47页,共89页，2024年2月25日，星期天7.一质量为10kg的质点，沿x轴无摩擦的运动.设t=0时，质点位于原点，速度为零（即初始条件为：）.问：（1）设质点在F=3+4t牛顿力的作用下运动了3秒（t以秒计），它的速度和加速度增为多大？（2）设质点在F=3+4x牛顿力的作用下移动了3米（x以米计），它的速度和加速度增为多大？第48页,共89页，2024年2月25日，星期天解（1）设t时刻质点速度为v,则由动量定理得代入数据t=3s、m=10kg可得速度和加速度分别为第49页,共89页，2024年2月25日，星期天（2）设移动到x位置时质点速度为v，则由动能定理，得代入数据x=3m、m=10kg可得速度和加速度分别为第50页,共89页，2024年2月25日，星期天

8.一球形容器落入水中，刚接触水面时，其速度为。设此容器在水中所受的浮力与重力相等，水的阻力为f=-kv,求（1）阻力所做的功；（2）下落距离与时间的函数关系。

解：（一）如图，取坐标Ox

向下为正。由功的定义，水的阻力做的功为第51页,共89页，2024年2月25日，星期天由题意：两边积分即得即第52页,共89页，2024年2月25日，星期天将（2）式代入（1）式得第53页,共89页，2024年2月25日，星期天（二）由（2）式得

两边积分：得第54页,共89页，2024年2月25日，星期天练习：

作用在质点上的力为在下列情况下求质点从处运动到处该力作的功：1.

质点的运动轨道为抛物线2.

质点的运动轨道为直线XYO（下一页）第55页,共89页，2024年2月25日，星期天做功与路径有关沿抛物线沿直线XYO第56页,共89页，2024年2月25日，星期天（2）如果和交换位置，结果如何？（1）对上面的木板必须施加多大的正压力以便在力突然撤去而上面的木板跳起来时，恰好使下面的木板提离地面？9.如图所示，用一弹簧把质量分别为和的两块木板连接在一起，放在地面上，弹簧的质量可忽略不计，且.问：第57页,共89页，2024年2月25日，星期天解设弹簧的弹性系数为k,上面的木板处于最低状态时的位置为重力势能零点，弹簧处于自然长度时的位置为弹性势能零点,如图所示.第58页,共89页，2024年2月25日，星期天则上跳使弹簧必须伸长才能使下面的木板恰能提起，正压力压上面的木板时，弹簧压缩量突然撤去外力后，上面的木板由这一位置从静止开始向上运动，因为系统（两块木板、弹簧、地球）只有重力、弹性力做功，所以系统遵守机械能守恒定律.若上面的木板运动到最高点时，弹簧恰能伸长，则以上各量必须满足第59页,共89页，2024年2月25日，星期天把和代入上式，化简可得因为不是压力，故舍去.所得结果具有对称性，因此和交换位置结果是不会改变的.第60页,共89页，2024年2月25日，星期天 10：在平面两相同的球做完全弹性碰撞，其中一球开始时处于静止状态，另一球速度

v。求证：碰撞后两球速度总互相垂直。解：设碰撞后两球速度由动量守恒两边平方由机械能守恒（势能无变化）两球速度总互相垂直第61页,共89页，2024年2月25日，星期天

11.如图是打桩的示意图.设锤和桩的质量分别为和，锤的下落高度为h，假定地基的阻力恒定不变，落锤一次，木桩打进土中的深度为d，求地基的阻力f等于多大？解以锤为研究对象，锤打击桩前作自由落体运动,则以锤和桩为研究对象，则锤与桩构成的质点组动量守恒.设锤打击桩后不回跳，锤和桩以共同的速度v进入土中，则第62页,共89页，2024年2月25日，星期天以锤、桩和地球构成的质点组为研究对象由功能原理可得联立以上各式，并求解可得第63页,共89页，2024年2月25日，星期天

12.一质量为m

=3500kg铝制人造地球卫星绕地球做圆周运动，轨道高度为h

=100km，关闭发动机后，由于空气阻力，它将逐渐减速，最后撞回到地面.（1）求卫星在正常轨道时的总能量和落回到地面后的总能量.

（2）如果卫星落地后减少的能量全部以热量的形式被卫星所吸收，它能被全部熔化吗？它能被全部蒸发吗？已知铝的熔解热是，铝的蒸发热为第64页,共89页，2024年2月25日，星期天解（1）卫星做圆周运动时，地球对卫星的引力提供卫星做圆运动的向心力，则因此卫星做圆周运动时的总能量为第65页,共89页，2024年2月25日，星期天卫星落回到地面（v=0，h=0）时的总能量为

（2）卫星由轨道上落回到地面后，能量的减少为第66页,共89页，2024年2月25日，星期天卫星全部熔化所需要的热量为如果卫星落地后减少的能量全部以热量的形式被卫星所吸收，则卫星将被全部熔化.卫星全部被蒸发所需要的热量为第67页,共89页，2024年2月25日，星期天 13：在光滑的水平桌面上，平放有如图所示的固定半圆屏障，质量为m的滑块以初速度v0沿切线方向进入屏障，滑块与屏之间的摩擦系数为

，试证明当滑块从另一端滑出时，摩擦力作的功为解由式（1）代入上式得：ONfS俯视图第68页,共89页，2024年2月25日，星期天第69页,共89页，2024年2月25日，星期天

14.一条均匀链条，质量为m，总长为l，成直线状放在桌面上，设桌面与链条间摩擦系数为μ。现已知链条下垂长度为a

时，链条开始下滑。用动能定理，功能原理计算链条刚好全部离开桌面时速率。对下垂部分a：解:(一)由动能定理：第70页,共89页，2024年2月25日，星期天对桌面上部分l-a:将（2）式和（3）式代入（1）式得有第71页,共89页，2024年2月25日，星期天（二）以链条、地球为研究对象，由功能原理设O为零势能点将（2）式和（3）式代入（1）式得——结果相同第72页,共89页，2024年2月25日，星期天

例15宇宙速度

由地面处发射使物体绕地球运动（人造地球卫星）所需的最小速度，称为第一宇宙速度。使物体脱离地球的引力范围所需的最小速度，称为第二宇宙速度。使物体脱离太阳系所需的最小速度，称为第三宇宙速度。试计算这三种宇宙速度。解：第一宇宙速度地球对卫星的引力为引力为卫星作圆周运动的向心力第73页,共89页，2024年2月25日，星期天卫星在地面上时或化简得代入（1）式得这就是卫星在半径为r

的圆轨道上运转所需的速度，称为环绕速度。第74页,共89页，2024年2月25日，星期天得第一宇宙速度第75页,共89页，2024年2月25日，星期天解：第二宇宙速度

以物体和地球为研究系统。忽略空气阻力，只有保守力做功，所以系统的机械能守恒。设为物体离开地面时的速度，为物体远离地球时的速度。并选取无穷远处为万有引力势能的零点，由机械能守恒定律第76页,共89页，2024年2月25日，星期天上述速度称为第二宇宙速度或称为脱离地球的逃逸速度。第77页,共89页，2024年2月25日，星期天解：第三宇宙速度

物体飞出太阳系去，必须满足圆椭圆抛物线双曲线第78页,共89页，2024年2月25日，星期天第79页,共89页，2024年2月25日，星期天

从地面发射的物体，飞出太阳系时，既要脱离太阳的引力作用，也要脱离地球的引力作用，发射时的能量必须满足所以

这就是从地面发射使星体飞离太阳系的最小速度，即第三宇宙速度。第80页,共89页，2024年2月25日，星期天

16.如图所示，质量为m的物块从离平板高为h的位置下落，落在质量为m的平板上.已知轻质弹簧的弹性系数为k，物块与平板的碰撞为完全非弹性碰撞，求碰撞后弹簧的最大压缩量.解该问题可分解为三个过程加以处理，即物块下落的过程、物快与平板碰撞的过程、物块与平板碰撞后弹簧继续被压缩的过程.在物块下落的过程中，物块是自由下落，所以到达物块与平板碰撞前，物块的速度为第81页,共89页，2024年2月25日，星期天在物